第4节 数列中的构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　数列中的构造问题 课标要求 1.掌握等差、等比数列的通项公式. 2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求通项公式的方法. 目录/ CONTENTS 考点一 由相邻两项递推关系式求通项 01 考点二 由递推关系式（形如an＋1＝ 型）求通项 02 考点三 由相邻三项递推关系式（形如an＋1＝pan＋qan－1型）求通项 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 由相邻两项递推关系式求通项 目 录 角度1　形如an＋1＝pan＋q（p≠0，1，q≠0）型 已知数列{an}满足an＋1＋2an＝3且a1＝2，则an＝ ⁠⁠. 解析：因为an＋1＋2an＝3，所以an＋1－1＝－2（an－1），且a1－1＝1， 所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，则an－1＝（－2）n －1，所以an＝（－2）n－1＋1. （－2）n－1＋1 高中总复习·数学 目 录 角度2　形如an＋1＝pan＋qn＋c（p≠0，1，q≠0）型 若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 ⁠ ⁠. 解析：设an＋1＋λ（n＋1）＋u＝2（an＋λn＋u），所以an＋1＝2an＋λn ＋u－λ，所以 解得λ＝u＝－3，又a1－3－3＝－5≠0，所以 ＝2，所以数列{an－3n－3}是以－5为首项，2为公比的 等比数列，所以an－3n－3＝－5·2n－1，所以an＝－5·2n－1＋3n＋3. an＝ －5·2n－1＋3n＋3 高中总复习·数学 目 录 角度3　形如an＋1＝pan＋qn（p≠0，1，q≠0，1）型 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an} 的通项公式为（　　） A. an＝（2n＋1）·3n B. an＝（n－1）·2n C. an＝（2n－1）·3n D. an＝（n＋1）·2n 解析：　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得 ＝ ＋2，∴ － ＝2，即数 列{ }是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ＝2n－1，故an＝（2n－ 1）·3n. √ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列{ } 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则{an}的通项公式an ＝ ⁠； 2n－1 解析：∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2（an＋t），即an＋1＝2an＋t，∴t ＝1，即an＋1＋1＝2（an＋1），∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的 等比数列.∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，n∈N*，a1＝2，则an＝ ⁠ ⁠； 解析：令an＋1＋x（n＋1）＋y＝2（an＋xn＋y），即an＋1＝2an＋xn＋ y－x，与原等式比较得x＝y＝1，所以 ＝2，所以数列 {an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋ 1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1. 2n＋1－ n－1 高中总复习·数学 目 录 （3）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项 公式. 解：令an＋1＋A·2n＋1＝3（an＋A·2n），即an＋1＝3an＋A·2n，故A ＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3（an＋2n＋1）， 又a1＋22＝5≠0，所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1，即an＝5×3n－1－2n＋1. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 由递推关系式（形如an＋1＝ 型）求通项 目 录 已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝ （n∈N*），则a10为（　　） A. B. C. － D. 解析：　由an＋1＝ （n∈N*）可得 ＝ ＋ ，即 － ＝ ， 所以{ }是以 ＝1为首项，公差为 的等差数列，所以 ＝1＋ ×9＝ ，所以a10＝ .故选D. √ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　一般地，形如an＋1＝ （r，p，q是常数，r＞0，p，q， an≠0）结构的递推公式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出 线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列 的通项. 高中总复习·数学 目 录 练2 已知数列{an}满足an＋1＝ ，n∈N*，若a4＝ ，则a1＝ 　​ 　. 解析：由题得an≠0，则等式两边同取倒数得 ＝ ＝2＋ ，则 － ＝2，n∈N*，则数列{ }为公差为2的等差数列，则 ＝ ＋2 （n－4）＝2n＋1，当n＝1时， ＝3，则a1＝ . ​ 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 由相邻三项递推关系式（形如an＋1＝pan＋qan－1型）求通项 目 录 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求数列{an}的 通项公式. 解：设an＋2－αan＋1＝β（an＋1－αan），则an＋2＝（α＋β）an＋1－αβan， 与已知等式比较，得 解得 或 取α＝1，β＝2，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），即{an＋1－an}是以a2－a1 ＝2为首项，2为公比的等比数列， 高中总复习·数学 目 录 ∴an＋1－an＝（a2－a1）·2n－1＝2n， ∴an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋22＋… ＋2n－1＝2n－1（n≥2）. 经验证，n＝1时也符合an＝2n－1，∴an＝2n－1. 取α＝2，β＝1，得an＋2－2an＋1＝an＋1－2an， 又a2－2a1＝3－2＝1， ∴an＋1－2an＝1，∴an＋1＋1＝2（an＋1），∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首 项，2为公比的等比数列. ∴an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1. 综上，{an}的通项公式为an＝2n－1. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　形如an＋1＝pan＋qan－1的模型，一般利用an＋1－αan＝β（an－αan－ 1）构造等比数列解决.即大部分题型可转化为an＋1－an＝（p－1）（an －an－1），利用{an＋1－an}成等比数列，以及叠加法求出an.还有一小部 分题型可转化为an＋1＋an＝（p＋1）（an＋an－1），利用{an＋1＋an}成 等比数列求出an. 高中总复习·数学 目 录 练3 （2026·安徽合肥模拟）已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an －1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为 ⁠ ⁠. an＝ ×3n－1＋ （－ 1）n－1 解析：∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2），又a1＋a2＝ 7，∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2 ①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2），a2－3a1＝－13，∴{an－3an－1} 是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝（－13）·（－ 1）n－2②，由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·（－1）n－1，∴an＝ ×3n－1＋ （－1）n－1. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：81分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为（　　） A. 15 B. 23 C. 32 D. 42 解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1），所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n，则an＝（　　） A. 3·2n－1 B. 3·2n－n－1 C. 3·2n－1－n－1 D. 3·2n－1－n＋1 解析：因为an＋1＝2an＋n，所以an＋1＋n＋2＝2an＋2n＋2＝2（an＋n＋1），又a1＋1＋1＝1＋1＋1＝3，即数列{an＋n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，即an＋n＋1＝3·2n－1，即an＝3·2n－1－n－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·江苏连云港模拟）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n， 则a17＝（　　） A. －15×216 B. 15×217 C. －16×216 D. 16×217 解析：　由题意可得 ＝ － ，即 － ＝－ ，据此可得，数列 { }是首项为 ＝ ，公差为－ 的等差数列，故 ＝ ＋（17－1）× （－ ）＝－ ，所以a17＝－15×216. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 4. 已知数列{an}满足a2＝ ，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an＝ （　　） A. B. √ C. 3n－2 D. 3n＋2 解析：　∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝ ，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－ ＝ a1，解得a1＝1.由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得 － ＝3， 又 ＝1，∴数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列，∴ ＝1＋3 （n－1）＝3n－2，则an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·吉林扶余模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （n∈N*）.若bn＝log2（ ＋1），则数列{bn}的通项公式bn＝（　　） A. n B. n－1 解析：由an＋1＝ ，得 ＝1＋ ，所以 ＋1＝2（ ＋1）， 又 ＋1＝2，所以数列{ ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ＋1＝2×2n－1＝2n，所以bn＝log2（ ＋1）＝log22n＝n. C. n D. 2n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 6. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝16， ＝ ，则数列{an}的最大项为 （　　） A. 29 B. 210 C. D. 211 √ 解析：因为a1＝1，a2＝16， ＝ ，所以 ＝ · ，又 ＝16，故数列{ }是以16为首项， 为公比的等比数列， ＝16·（ ）n－1＝25－n.当n≥2时，有an＝ · ·…· ·a1＝26－n·27－·…·24·1＝ ＝ .又当n＝1时，a1＝1也满足上式，故（an）max＝a5＝a6＝210. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，则下列结论正 确的是（　　） A. a3＝ B. a3＝ C. {an＋n－8}是等比数列 D. {an＋2}不可能是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 解析：∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，∴a2＝ ，a3＝ ，故A正确，B错误；∵4an＋1＝3an－n＋4，∴an＋1＝ an－ n＋1，∴an＋1＋（n＋1）－8＝ an－ n＋1＋（n＋1）－8＝ an＋ n－6＝ （an＋n－8），又∵a1＋1－8＝－6，∴数列{an＋n－8}是首项为－6，公比为 的等比数列，故C正确；∵a1＋2＝3，a2＋2＝ ，a3＋2＝ ，显然（a2＋2）2≠（a1＋2）（a3＋2），∴{an＋2}不可能是等比数列，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125， 则k的最小值为 ⁠. 解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝ a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所 以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得 k≥6.所以k的最小值为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·甘肃白银模拟）已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋ an（n∈N*），若a2 027＝m，则S2 025＝ ⁠. 解析：∵an＋2＝an＋1＋an（n∈N*），∴an＝an＋2－an＋1，∴a1＝a3－ a2，a2＝a4－a3，a3＝a5－a4，…，an＝an＋2－an＋1，将这n个式子的左右 两边分别相加可得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－a2＝an＋2－1，∴Sn＋1＝ an＋2，∴S2 025＝a2 027－1＝m－1. m－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·河北张家口模拟）已知数列{an}满足a1＝2，an＞0且 － ＝ ＋1，则 －n＝ 　4－ 　. 解析：由题得 ＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ） ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋（n－1）＋4＝ ＋（n－1）＋4 ＝n＋4－ ，当n＝1时，n＋4－ ＝1＋4－1＝4＝ 符合题意，所 以 －n＝n＋4－ －n＝4－ . 4－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 11. （15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列； 解：证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 当n≥2时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝（4an＋2）－（4an－1＋2）＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2（an－2an－1），即bn＝2bn－1， 所以{bn}是首项为b1＝3，公比为2的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解：由（1）可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，可化为 － ＝ ， 所以数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列. 因此， ＝ ＋（n－1） ＝ n－ ，an＝（3n－1）·2n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 12. （15分）设数列{an}（n≥0）满足a1＝2，am＋n＋am－n－m＋n＝ （a2m＋a2n），其中m，n∈N，m≥n. （1）求证：对任意n∈N，有an＋2＝2an＋1－an＋2； 解：证明：在已知关系式am＋n＋am－n－m＋n＝ （a2m＋a2n） 中，令m＝n，可得a0＝0. 令n＝0，可得a2m＝4am－2m，　① 令m＝n＋2，可得a2n＋2＋a2－2＝ （a2n＋4＋a2n），　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 由①得a2n＋2＝4an＋1－2（n＋1），a2＝4a1－2＝6，a2n＋4＝4an＋2－2（n ＋2），a2n＝4an－2n， 代入②，化简得an＋2＝2an＋1－an＋2. 所以，对任意n∈N，有an＋2＝2an＋1－an＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解：由an＋2＝2an＋1－an＋2，得（an＋2－an＋1）＝（an＋1－an）＋2， 故数列{an＋1－an}是首项为a1－a0＝2，公差为2的等差数列，因此an＋1 －an＝2n＋2. 于是an＝ （ak－ak－1）＋a0＝ 2k＋0＝n（n＋1）， 即数列{an}的通项公式为an＝n2＋n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高中总复习·数学 目 录 $