第3节 等比数列及其前n项和 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　等比数列及其前n项和 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系. 目录/ CONTENTS 考点一 等比数列的有关概念 01 考点二 等比数列的性质 02 提能点 等比数列的判定与证明 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 等比数列的有关概念 目 录 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则 等比数列定义式 （q≠0且q为常数） 等比中项 ＝ （G是a与b的等比中项） 通项公式 或 ⁠ 前n项和公式 当q＝1时，Sn＝ ⁠； 当q≠1时，Sn＝ 　 　 ＝ 　 　 ＝q　 an＝a1qn－1　 an＝amqn－m（n，m∈N*） na1　 　 　 高中总复习·数学 目 录 提醒：等比数列的单调性 （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； （3）当q＝1时，{an}是常数列. 高中总复习·数学 目 录 〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q 为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（　　） A. q＝ B. a5＝ C. S5＝8 D. an＋Sn＝8 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析：对A，由题意得 结合q＞0，解得 或 （舍去），故A正确；对B，a5＝a1q4＝4×（ ）4＝ ，故B错误；对C，S5＝ ＝ ＝ ，故C错误；对D，an＝4×（ ）n－1＝23－n，Sn＝ ＝8－2－n＋3，则an＋Sn＝23－n＋8－23－n＝8，故D正确.故选A、D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解等比数列基本量的解题策略 （1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条 件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1， q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”； （2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公 式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论； （3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·湖南邵阳模拟预测）记等比数列{an}的前n项和为Sn， 若a2＝1，S6＝ S3，则a1＝（　D　） A. 3 B. 2 C. － D. － 解析：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1，由S6 ＝ S3可得 ＝ × ，化简得q3＝－ ，解得q＝－ ，则a1＝ ＝ ＝－ .故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正 数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 ⁠. 解析：法一　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68， 设{an}的公比为q（q＞0），当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝ 8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝ ＝4，S8 ＝ ＝68，两式相除得 ＝ ，即 ＝17，则1＋ q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2. 2 高中总复习·数学 目 录 法二　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an} 的公比为q（q＞0），所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4 ＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝（a1＋a2 ＋a3＋a4）（1＋q4）＝68，所以4（1＋q4）＝68，则1＋q4＝17，所以q ＝2，所以该等比数列公比为2. 法三　设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an} 的公比为q（q＞0），因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3＋ a4）q4＝68－4＝64，又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以 ＝q4＝ ＝ 16，所以q＝2，所以该等比数列公比为2. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 等比数列的性质 目 录 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝ ⁠； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，… 仍是等比数列，公比为 ⁠； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍 成等比数列，其公比为 ⁠； （4）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{ }， { }，{an·bn}，{ }仍是等比数列. am·an　 qm　 qn　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）①若等比数列{an}的项数为2n，则 ＝q；若项数为2n＋ 1，则 ＝q；②当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ；③ Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn；④若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn， ， ，…成等比数列. （2）三个数成等比数列，通常设为 ，x，xq；四个符号相同的数成等 比数列，通常设为 ， ，xq，xq3. 高中总复习·数学 目 录 角度1　项的性质 （1）正项递增等比数列{an}，前n项的和为Sn，若a2＋a4＝30，a1a5 ＝81，则q＝（　A　） A. 3 B. A C. 4 D. 解析：由等比数列的性质可知，a1a5＝a2a4＝81，且a2＋a4＝30，所以 或 因为数列是正项递增数列，所以 q2＝ ＝9，则q＝3.故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·安徽淮南期中）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6 ＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ ⁠. 解析：因为数列{an}为正项等比数列，则a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，即a5a6 ＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5 ＝5log39＝10. 10 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算 量，提高解题速度. 高中总复习·数学 目 录 角度2　和的性质 （1）（2026·安徽阜阳模拟）已知项数为奇数的等比数列{an}的首 项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为 （　A　） A. 5 B. 7 A C. 9 D. 11 解析：根据题意，数列{an}为等比数列，设an＝a1·qn－1＝qn－1，又由数 列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，所以q＝ ＝ ＝2， 故Sn＝21＋10＝ ⇒2n－1＝31⇒n＝5.故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕等比数列{an}的前n项和记为Sn，若an＞0，S3＝3， S12＝65S6，则S9＝ ⁠. 解析：法一　设数列{an}的首项为a1，公比为q.因为S12＝65S6，所以S12 ＝S6＋S6·q6＝（1＋q6）S6＝65S6，因为an＞0，所以q＞0，所以 S6≠0，所以q6＋1＝65⇒q6＝64，所以q3＝8.于是S9＝S3·（1＋q3＋q6） ＝3×（1＋8＋64）＝219. 219 高中总复习·数学 目 录 法二　设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由S12＝65S6且q≠1（否则 S12＝2S6≠65S6），利用连续3项和成等比数列且公比t＝q3，所以S3＝3， S6－S3＝3t，S9－S6＝3t2，S12－S9＝3t3.则S6＝3（1＋t），S12＝3（1＋t ＋t2＋t3），代入S12＝65S6得1＋t＋t2＋t3＝65（1＋t），所以（1＋t） （1＋t2）＝65（1＋t）.又1＋t≠0，故1＋t2＝65，t＝8（t＞0）.因此， S9＝3（1＋t＋t2）＝3×（1＋8＋64）＝219. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就 简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件， 并结合题设寻找使用性质的切入点. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）〔一题多解〕已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝ 5，a4a5a6＝5 ，则a7a8a9＝（　D　） A. 25 B. 20 D 解析：法一　因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3＝ ＝5， a4a5a6＝ ＝5 ，a7a8a9＝ ，又a2a8＝ ，所以（a2a8）3＝（ ）3 ＝50，得a7a8a9＝ ＝ ＝10.故选D. 法二　因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等 比数列，所以（a4a5a6）2＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝50，又a1a2a3＝5， 所以a7a8a9＝10，故选D. C. 10 D. 10 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·河北保定期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（　C　） A. 12 B. 36 C 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且 ＝ ，所以不妨设S3＝m （m≠0），则S6＝6m.又S3，S6－S3，S9－S6构成等比数列.由（S6－ S3）2＝S3×（S9－S6），即（5m）2＝m×（S9－6m），解得S9＝31m. 所以 ＝31.故选C. C. 31 D. 33 高中总复习·数学 目 录 （3）已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝ ，则a1a2＋a2a3＋…＋ anan＋1（n∈N*）的最小值为（　B　） A. B. 2 C. 4 D. B 解析：由已知得数列{an}的公比满足q3＝ ＝ ，解得q＝ ，∴a1＝2， a2＝1，a3＝ ，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为 ＝ 的等比数列， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ＝ ［1－（ ）n］∈［2， ）.故最小值为2. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 等比数列的判定与证明 目 录 教材母题：〔人A选修二P31练习T4〕对于数列{an}，若点（n，an） （n∈N*）都在函数y＝cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是不是等比数列，并证明你的结论. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：题目可以用定义法证明，也可以作为结论应用.证明数列是否 为等比数列也可以用等比中项法，等比数列前n项和证明. 高中总复习·数学 目 录 注意　（1）解答题中，一般用定义法判断或证明数列{an}是否为等比 数列； （2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成 等比数列即可. 高中总复习·数学 目 录 变式1 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（　　） A. 若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B. 若{an}为等差数列，则{ }为等比数列 C. 若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列 D. 若a1＝1，a2＝2，3an＋1＝an＋2an＋2（n∈N*），则{an＋1－an}为等比 数列 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，当a＝b＝c＝0时有b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误；对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有 ＝ ＝2d＞0，且 ≠0，所以数列{ }为等比数列，故B 正确；对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n －1－1）＝3n－3n－1＝2·3n－1（n≥2），a1＝2满足an＝2·3n－1，于是an ＝2·3n－1（n∈N*），则 ＝ ＝3，且a1＝2≠0，所以数列{an}为 等比数列，故C正确；对于D，因为3an＋1＝an＋2an＋2，所以2（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝0，而a1＝1，a2＝2，a2－a1≠0， ＝ ，因此数列{an＋1－an}是首项为1，公比为 的等比数列，故D正确.故选B、C、D. 高中总复习·数学 目 录 变式2 〔链接高考〕（2024·全国甲卷18题节选）记Sn为数列{an}的前n 项和，已知4Sn＝3an＋4，求{an}的通项公式. 解：当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4. 当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an ＝－3an－1， 而a1＝4≠0，故an≠0，故 ＝－3， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×（－3） n－1. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·黑龙江大庆模拟）已知等比数列{an}中，a3＝6，a4a6＝27， 则a7的值为（　　） A. B. C. D. 解析：　由等比数列性质，得a3a7＝a4a6，所以a7＝ ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. 〔一题多解〕若等比数列{an}的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的 首项a1＝（　　） A. －192 B. 192 C. ±192 D. －193 解析：　法一　由a3＝48，a5＝12，得 解得q2＝ ，所以a1 ＝ ＝48×4＝192.故选B. 法二　因为q2＝ ＝ ＝ ，所以a1＝ ＝ ＝192. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·江苏南通模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝ 2，且{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则S10＝（　　） A. 93 B. 1 023 C. 2 047 D. 3 069 解析：　{an＋an＋1}的首项为a1＋a2＝3，故an＋an＋1＝3×2n－1，所以 a3＋a4＝3×4＝12，a5＋a6＝3×24＝48，a7＋a8＝192，a9＋a10＝768，故 S10＝3＋12＋48＋192＋768＝1 023.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·四川成都模拟）已知等比数列{an}的公比为2，且a1＋a2＝3. 若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则k值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：　由题可得a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1 ＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak（1＋2＋22＋…＋29）＝2k－1· ＝2k＋9－2k－1 ＝214－24，解得k＝5.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等 比数列，则Sn＝（　　） A. 2n＋1－2 B. 3n C. 2n D. 3n－1 解析：因为{an}为等比数列，设数列{an}的公比为q，则an＝2qn－1，又数列{an＋1}也是等比数列，则（an＋1＋1）2＝（an＋1）（an＋2＋1），展开得 ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，由于 ＝anan＋2，于是an＋an＋2＝2an＋1，即an（1＋q2－2q）＝0，求得q＝1.因此an＝2，故Sn＝2n. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1，则 （　　） A. 数列{Sn＋1}是等比数列 B. an＝2n－1 C. Sn＝2n－1 D. 数列{ }的前n项和为2－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：A选项，Sn＋1＝2Sn＋1⇒Sn＋1＋1＝2（Sn＋1），其中S1＋1＝a1＋1＝2，所以{Sn＋1}是公比为2的等比数列，A正确；C选项，由A知，Sn＋1＝2×2n－1＝2n，所以Sn＝2n－1，C正确；B选项，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1，显然a1＝1满足an＝2n－1，故an＝2n－1，B错误；D选项， ＝ ，故 ÷ ＝ ÷ ＝ ，即{ }是公比为 的等比数列，且 ＝1，所以{ }的前n项和为 ＝2－ ，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·河北秦皇岛模拟）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an－ 1，n∈N*，且bn＝log2（an－1），则数列{bn}的前100项和为 ⁠. 解析：由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2（an－1），而a1－1＝1，则数列 {an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，因此an－1＝2n－1，bn＝n－1， 所以数列{bn}的前100项和为 ×100＝4 950. 4 950 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知等比数列{an}中共有2n项，公比q＝3，且其奇数项和比偶数项和 小20，则S2n＝ ⁠. 解析：由 ＝q＝3，又S奇＝S偶－20，即S奇＝3S奇－20，解得S奇＝10，S 偶＝30，所以S2n＝40. 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·甘肃白银模拟预测）已知等比数列{an}的公比q＝2，且a1＋ a3＋a5＋a7＝ π，则tan（a1＋a2＋a3＋…＋a8）＝ ⁠. 解析：由等比数列{an}的公比q＝2，且a1＋a3＋a5＋a7＝ π，则a1＋a2 ＋a3＋…＋a8＝（a1＋a3＋a5＋a7）＋（a2＋a4＋a6＋a8）＝（a1＋a3＋ a5＋a7）＋（a1＋a3＋a5＋a7）×2＝ ＋ ×2＝ ，所以tan（a1＋a2 ＋a3＋…＋a8）＝tan ＝tan（π＋ ）＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（2024·全国甲卷17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和， 已知2Sn＝3an＋1－3. （1）求{an}的通项公式； 解：因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 即an＋2＝ an＋1，所以等比数列{an}的公比为 . 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3， 所以a1＝1，故an＝（ ）n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{Sn}的前n项和. 解：因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝ （an＋1－1）＝ ［（ ）n－1］， 设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝ × － n＝ ×（ ） n－ n－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝ b10，则以下命题中正确的是（　　） A. a1＞b1 B. a5＞b5 解析：　由题意可知：点（n，an）在一次函 数图象上，点（n，bn）在指数型函数图象上， 两图象交点横坐标为2和10，两图象只有同增或 同减时才有两个交点，如图，由图可知：a1＜b1，a5＞b5，a6＞b6，a17＜b17.故选B. C. a6＜b6 D. a17＞b17 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知数列 为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　） A. B. 解析：　若 为“梦想数列”，则有 －1＝3 ＋2，即 －1＝ －1，即 ＝ ，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项， 为 公比的等比数列，则b4＝2× ＝ .故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔多选〕已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为 Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（　　） A. 0＜q＜1 B. q＞1 C. T14＜1＜T13 D. {Tn}存在最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由已知a7a8＝a7a7q＝q ＜1，又a7＞1，q＞0，所以0＜a8＜1，0＜q＜1，A正确，B错误；T13＝（a1a13）（a2a12）（a3a11）…（a6a8） ·a7＝（ ）6·a7＝ ＞1，T14＝（a1a14）（a2a13）（a3a12）…（a6a9）·（a7a8）＝（a7a8）7＜1，所以T14＜1＜T13，C正确；因为0＜q＜1且a1＞0，所以等比数列{an}为递减数列，于是a1＞a2＞…＞a7＞1＞a8＞a9＞…，则Tn的最大值为T7，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2. （1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； 解：证明：由an＋1＝2an＋2， 得an＋1＋2＝2（an＋2）， 又a1＋2＝3， 所以 ＝2， 所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1， an＝3×2n－1－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求数列{an}落入区间（10，2 026）的所有项的和. 解：由10＜an＜2 026， 得10＜3×2n－1－2＜2 026， 得4＜2n－1＜676，即4≤n≤10， 故{an}落入区间（10，2 026）的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10， 所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10 ＝3×（23＋24＋…＋29）－2×7 ＝3× －14 ＝3 034. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $