第3节 变量间的相关关系及回归模型 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　变量间的相关关系及回归模型 课标要求 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准 化数据向量夹角的关系. 2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计 意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计 方法. 4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 目录/ CONTENTS 考点一 成对数据的相关性 01 考点二 一元线性回归模型 02 考点三 刻画拟合效果的统计量 03 提能点 非线性回归模型的应用 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 成对数据的相关性 目 录 1. 相关关系及分类 （1）相关关系：若两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去 精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系； （2）分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应 值也呈现增加的趋势，就称这两个变量 ⁠； ②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这 两个变量 ⁠. 提醒：注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，而 相关关系是一种非确定的关系. 正相关　 负相关　 高中总复习·数学 目 录 2. 线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散 点落在 附近，就称这两个变量线性相关. 3. 样本相关系数 一条直线　 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1）， （x2，y2），…，（xn，yn），若x与y存在线性相关关系，可用样本相关 系数r定量分析它们的相关程度的强弱. （1）样本相关系数r＝ （其中 为x1， x2，…，xn的平均数， 为y1，y2，…，yn的平均数）； 高中总复习·数学 目 录 （2）样本相关系数r的性质 ①当r＞0时，称成对样本数据 相关；当r＜0时，称成对样本数 据 相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为 .当｜r｜越接近1时，成对样 本数据的线性相关程度越 ；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线 性相关程度越 ⁠. 正　 负　 [－1，1]　 强　 弱　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·天津河西模拟）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i ＝1，2，3，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi） （i＝1，2，3，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断（　　） A. 变量x与y正相关，u与v正相关 B. 变量x与y正相关，u与v负相关 C. 变量x与y负相关，u与v正相关 D. 变量x与y负相关，u与v负相关 √ 解析：由变量x，y的散点图知，随x增大，y也增大，变量x与y正相关，由变量u，v的散点图知，随u增大，v减小，u与v负相关，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网 站“双11”当天的交易额，统计结果如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元 9 12 17 21 26 请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用 样本相关系数r说明y与x的线性相关程度.（结果保留三位小数） 附：r＝ ， ≈21.564. 高中总复习·数学 目 录 解：画出散点图，如图所示，由图可知交易额y与年份代码x线性相关.易 得 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝ ×（9＋12＋17＋21＋26）＝17， 则 （xi－ ）（yi－ ）＝（－2）×（－8） ＋（－1）×（－5）＋0＋1×4＋2×9＝43， ＝ × ＝2 ， 高中总复习·数学 目 录 所以r＝ ＝ ≈ ≈0.997， 所以变量y与x的线性相关程度很强. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.判定两个变量相关性的方法 （1）散点图法：由成对样本数据作出散点图.若点的分布从左下角到右 上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量 负相关； （2）样本相关系数法：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜ 越接近1，相关性越强. 高中总复习·数学 目 录 2.样本相关系数r的计算 若成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则其样本相 关系数r＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 练1 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数 的比较，正确的是（　　） A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3 C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　由散点图知图1与图3是正相关，故r1＞0，r3＞0，图2与图4是负 相关，故r2＜0，r4＜0，且图1与图2的样本点集中在一条直线附近，因此 r2＜r4＜0＜r3＜r1. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 一元线性回归模型 目 录 1. 经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过 散点图中心的一条直线附近，这条直线叫做经验回归直线. 2. 经验回归直线对应的方程称为经验回归方程，即 ＝ x＋ ，其中 ＝ ＝ ， ＝ － ；其中 ＞0表明线性正相关， ＜0表明线性负相关. 高中总复习·数学 目 录 3. 通过求Q＝ （yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法， 即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小 二乘法. 结论：经验回归直线经过样本中心点（ ， ）. 高中总复习·数学 目 录 某企业近年来的广告费用x（单位：百万元）与所获得的利润y（单 位：千万元）的数据如表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 （1）求y关于x的经验回归方程； 高中总复习·数学 目 录 解： ＝ ＝1.7， ＝ ＝2.3， ＝1.52＋1.62＋1.72＋1.82＋1.92＝14.55， xiyi＝1.5×1.6＋1.6×2＋1.7×2.4＋1.8×2.5＋1.9×3＝19.88， ＝ ＝ ＝3.3， ＝ － ＝2.3－3.3×1.7＝－3.31. 故所求的经验回归方程为 ＝3.3x－3.31. 高中总复习·数学 目 录 （2）若该企业从2021年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万 元，根据（1）中所得的经验回归方程，预测2028年该企业所获得的利润. 参考公式： ＝ ＝ ， ＝ － . 解：由题可知，到2028年时广告费用为2.2百万元， 故可预测该公司所获得的利润约为3.3×2.2－3.31＝3.95（千万元）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 回归方程的求解四部曲 高中总复习·数学 目 录 练2 （2025·河南焦作模拟）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为 了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x （单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1， 2，…，20），并计算得 xi＝2 400， yi＝210， （xi－ ）2＝42 000， （xi－ ）（yi－ ）＝6 300. （1）求y关于x的经验回归方程； 高中总复习·数学 目 录 解：由已知可得 ＝ xi＝120， ＝ yi＝10.5， ＝ ＝ ＝0.15， ＝ － ＝10.5－0.15×120＝－7.5， 所以经验回归方程为 ＝0.15x－7.5. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知服装店每天的经济效益W＝k ＋mx（k＞0，m＞0），该商 场现有60～150 m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积 的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？ 附：回归直线 ＝ x＋ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝ ， ＝ － . 高中总复习·数学 目 录 解：根据题意得Z＝ ＝ ＋m，60≤x≤150. 设f（x）＝ ＝ － ，令t＝ ， ≤t≤ ， 则g（t）＝0.15t－7.5t2＝－7.5×（t－0.01）2＋0.000 75， 当t＝0.01，即x＝100时，f（x）取最大值， 又因为k，m＞0，所以此时Z也取最大值， 因此，小李应该租100 m2的商铺. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 刻画拟合效果的统计量 目 录 刻画拟合效果的统计量： （1）残差：ei＝yi－ ； （2）残差平方和： （yi－ ）2； （3）决定系数：R2＝1－ （其中yi为观测值， 为预测值， 为观测值的平均数）. 高中总复习·数学 目 录 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组 数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程为 ＝0.29x＋34.7. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； 高中总复习·数学 目 录 解：由 ＝0.29xi＋34.7， 可以算得 ＝yi－ 分别为 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－ 2.214， ＝1.624， 所以残差平方和为 （ ）2≈8.43. 高中总复习·数学 目 录 （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 参考数据： （yi－ ）2＝50.18. 解： （yi－ ）2＝50.18， 故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832. 所以回归模型的拟合效果较好. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 刻画拟合效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模 型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好； （3）决定系数法：R2越接近1，表明模型的拟合效果越好. 高中总复习·数学 目 录 练3 在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，下列说法正确的是（　　） A. Y＝bx＋a＋e 是一次函数 B. 响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C. 响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响， 这些因素会导致随机误差e的产生 D. 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，方程表示的不是 确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是由 解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变量 x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产 生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以 D错误. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 非线性回归模型的应用 目 录 （1）若一函数模型为y＝ sin 2α＋2 sin α＋1，为将y转化为t的线性经 验回归方程，则需作变换t等于（　B　） A. sin 2α B. （ sin α＋1）2 C. （ sin α＋ ）2 D. 以上都不对 解析：因为y是关于t的经验回归方程，实际上y是关于t的一次函数，又y ＝（ sin α＋1）2，令t＝（ sin α＋1）2，可得y与t的函数关系式为y＝t， 此时变量y与变量t是线性相关关系.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）用模型y＝c·ekx拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设z ＝ln y，其变换后得到线性回归方程为 ＝0.5x＋1，则c＝（　B　） A. 0.5 B. e C. 2 D. e2 解析：由回归模型y＝cekx，可得ln y＝ln（c·ekx）＝kx＋ln c，即z＝kx ＋ln c，因为变换后得到线性回归方程为 ＝0.5x＋1，可得k＝0.5，ln c ＝1，所以c＝e，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已 知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的 函数，用适当的变量进行变换，如通过换元或取对数等方法，把问题化 为线性回归分析问题，使之得到解决. 高中总复习·数学 目 录 练4 “绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展. 以下表格和散点图反映了近几年某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） 解：根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的 回归方程类型. 高中总复习·数学 目 录 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并 预测2026年该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ） ＝851.2（其中wi＝ ）. 高中总复习·数学 目 录 解：令w＝x2，则 ＝ w＋ . 易知 ＝11， ＝ ＝ ≈2.28， ＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以 ＝2.28w－2.36， 所以y关于x的经验回归方程为 ＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得 ＝79.72≈79.7. 故预测2026年该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：71分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2024·天津高考3题）下列图中，线性相关系数最大的是（　　） 解析：　选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势， 且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知线性回归方程 ＝ x＋0.6相应于点（2，5.5）的残差为－0.1， 则 的值为（　　） A. －2.4 B. －2.5 C. 2.4 D. 2.5 解析：因为相应于点（2，5.5）的残差为－0.1，所以5.5－ ＝－0.1，即5.5＋0.1＝2 ＋0.6， ＝2.5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 3. 根据如表样本数据：得到的经验回归方程为 ＝ x＋ ，则（　　） x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 －0.5 －2 －3 A. ＞0， ＞0 B. ＞0， ＜0 C. ＜0， ＞0 D. ＜0， ＜0 解析：　由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则 ＜0， ＝ ×（2＋3＋4＋5＋6）＝4， ＝ ×（4＋2.5－0.5－2－3）＝0.2，又经 验回归方程 ＝ x＋ 经过样本点中心（4，0.2），可得 ＞0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 4. 〔多选〕（2026·河北唐山模拟）为研究光照时长x（小时）和种子发 芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点 图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是 （　　） A. 样本相关系数r变小 B. 回归直线的斜率变大 C. 残差平方和变小 D. 决定系数R2变小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析：由图可知，P较其他的点偏离直线最大，所以去掉点P后，回归效果更好.对于A，样本相关系数｜r｜越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，所以去掉点P后，样本相关系数r变大，故A错误；对于B，由经验回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点P后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，回归直线的斜率变大，故B正确；对于C，残差平方和越大，拟合效果越差，所以去掉点P后，残差平方和变小，故C正确；对于D，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点P后，决定系数R2变大，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 5. 下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）的统计表. x 2 3 4 5 6 y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由表可得经验回归方程为 ＝0.81x＋ ，若规定：维修费用y不超过10万 元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年 限的最大值约为 ⁠. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析：由表格，得 ＝ ×（2＋3＋4＋5＋6）＝4， ＝ ×（3.4＋4.2＋ 5.1＋5.5＋6.8）＝5，因为经验回归直线恒过点（ ， ），所以5＝ 0.81×4＋ ，解得 ＝1.76，所以经验回归方程为 ＝0.81x＋1.76，由 y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤ ≈10.17，由于x∈N*，所以据此 模型预测，该设备使用年限的最大值约为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 6. 用模型y＝a·ekx拟合一组数据，令z＝ln y，将模型转化为经验回归方 程z＝0.1x＋3，则a·k＝ ⁠. 解析：因为y＝a·ekx，两边取自然对数可得ln y＝ln（a·ekx）＝kx＋ln a，令z＝ln y，可得z＝kx＋ln a，又z＝0.1x＋3，所以k＝0.1，ln a＝ 3，所以a＝e3，所以a·k＝0.1e3. 0.1e3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 7. （15分）（2026·河南郑州质检）按照《中华人民共和国环境保护法》 的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国 生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2020～2024年五年《中 国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi％）： 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代码xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020～2024年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解：由已知可得， ＝ ＝3， ＝ ＝5.1， 由题可列下表： xi－ －2 －1 0 1 2 yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3 （xi－ ）（yi－ ）＝－5.9， ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 ＝ ， r＝ ＝ ≈ ≈－0.98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回 归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； 解：由（1）知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，｜r｜接近1，所 以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述. ＝ ＝ ＝－0.59， ＝ － ＝5.1－（－0.59）×3＝6.87， 所求经验回归方程为 ＝－0.59x＋6.87. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 （3）预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ＝ ， ＝ － . 样本相关系数r＝ ， ≈6. 解：令x＝9，则 ＝－0.59×9＋6.87＝1.56，预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比为1.56％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 8. （2025·湖北荆州模拟）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性 回归模型 得到经验回归模型 ＝ x＋ ，求得 如图所示的残差图.则模型误差（　　） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的E（e）＝0的假设 C. 不满足一元线性回归模型的D（e）＝σ2假设 D. 不满足一元线性回归模型的E（e）＝0和D（e）＝σ2的假设 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析：　用一元线性回归模型 得到经验 回归模型 ＝ x＋ ，根据对应的残差图，残差的均值E（e）＝0不可 能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上， 说明残差与坐标轴变量有二次关系，D（e）＝σ2不满足一元线性回归 模型，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·陕西汉中模拟）为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续 购买了几台A型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间x（单位：年）与 当年所需要支出的维修费用y（单位：千元）有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为 ＝1.23x＋ ，则（　　） A. y与x的样本相关系数r＜0 B. ＝0.08 C. 表中维修费用的第60百分位数为6.5 D. 该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用 一定是12.38万元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析：　对于A，由 ＝1.23x＋ ，得y与x成正相关，样本相关系数r ＞0，A错误；对于B， ＝ ＝4， ＝ ＝5，则 ＝5－1.23×4＝0.08，B正确；对于C，5×60％＝3，因此第60百分位数 为 ＝6，C错误；对于D，由选项B知， ＝1.23x＋0.08，当x＝10 时， ＝12.38，则当年所需要支出的维修费用约为12.38万元，D错误.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）（2026·浙江温州模拟）红旗淀粉厂2025年之前只生产食品 淀粉，下表为年投入资金x（万元）与年收益y（万元）的8组数据： x 10 20 30 40 50 60 70 80 y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 （1）用y＝bln x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系， 求出回归方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解： ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＝5， ∴ ＝ － ＝ －5× ＝2， ∴ ＝5ln x＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 （2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一 种药用淀粉，预计其收益为投入的10％.2025年该企业计划投入200万元用 于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元） 附：①经验回归直线 ＝ v＋ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝ ， ＝ － · ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 ② yi ln xi （ln xi）2 yiln xi 161 29 20 400 109 603 ③ln 2≈0.7，ln 5≈1.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解：设投入食品淀粉的资金为x万元，投入药用淀粉的资金为（200－x）万元，年收益为f（x）， ∴f（x）＝5ln x＋2＋ （200－x）＝5ln x－ x＋22， f'（x）＝ － ＝0⇒x＝50， 当0＜x＜50时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当50＜x＜200时，f' （x）＜0，f（x）单调递减. ∴f（x）max＝f（50）＝5ln 50－5＋22＝5（2ln 5＋ln 2）＋17≈36.5. ∴年收益的最大值约为36.5万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 $