精品解析：辽宁辽西重点高中2025～2026学年度下学期高三学情自测数学试题

辽西重点高中2025~2026学年度下学期高三三模联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】因为， 则． 2. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 3. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 4. 已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得，设，以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 5. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线交E的右支于P、Q两点，满足，若、的重心分别为、，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 如图， 、分别为、的重心，所以，， 所以，所以， 又，所以，， 由双曲线的几何性质，， 可得，， 在中，， 中，， 所以，化简得，即， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（ ） A. 已知直线与平行，则或 B. 已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C. 已知实数满足方程，则的最大值为 D. 已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件检验从而判断A，关于轴的对称点为，由对称性得，然后利用平面几何知识求解最大值判断B，用三角换元法求解判断C，利用直线与线段相交时，观察直线的斜率是否有不存在的情形，并计算出的斜率后可得结论从而判断D. 【详解】对A，时，两直线方程分别为和，平行，时，两直线方程分别为，，两直线方程可以化为相同（如第一个方程两边乘以），两直线重合，A错； 对B，关于轴的对称点为，则，当是的延长线与轴交点时取等号， 所以的最大值是，B正确； 对C，方程表示的曲线是圆，其中圆心坐标是，半径是，设，，，，所以时，，C正确； 对D，，，点横坐标在两点的横坐标之间，过与轴垂直的直线与线段有交点，所以所求的范围是，D错. 10. 正三棱锥中，，点在底面内运动（含边界），到棱的距离分别为，若，则（ ） A. 的体积为 B. 外接球的体积为 C. D. 的运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出棱锥的高后可判断A，再求出外接球的半径后可判断B，利用向量法可求的长，从而判断C，求出的轨迹后可求其长，从而判断D. 【详解】设底面中心为，连接，则平面.连接， 因为，故，故， 故，故A正确； 设外接球的半径为，则， 故即， 故外接球的体积为，故B错误； 因为平面，故可设，其中， 在中，，故，同理， 故， 所以到的距离为： ， 同理，， 由可得，故， 故，故， 故即，故C正确； 而，故， 又内切圆的半径为， 故的轨迹为如图所示的三段实线圆弧，如图，其中， 而到的距离为，故，而为锐角， 所以，由对称性可得，故， 故三段圆弧的长为，故D正确. 11. 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，写出在点，处的切线方程，根据它们交于直线上同一点得到包含两个参数的关于的方程，A选项中，取，构造出一个单调函数即可判断不存在不同的满足方程；选项中，取构造出一个先增后减的函数即可找到无穷对满足方程的但积不为定值；C选项，取得到关于的方程，根据得到恒有解，此时两切线斜率之和便大于；D选项，观察切线方程的一般形式，通过构造函数将问题转为证明方程有两个解的问题. 【详解】由题意可知，设，， 在处的切线方程为即， 同理在处的切线方程为，两条切线交于直线上同一点， 故有（*）， 当时，*式可化为， 令，则，当时，， 时，时，均有， 时 ，则在上单调递减，所以不存在不同的，使得， 因此当时，不存在关于轴的共轴切点，A正确； 当时，取得，考虑函数， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且当时，， 所以对有满足，同样有使得， 而，故横坐标之积不是定值，B错误； 当时，取，代入（*）解得， 此使，成为关于直线的共轴切点， 此时斜率之和，C正确； 当时，设，则， 在处的切线方程具有一般形式， 考虑函数，则， 时，，时，， 故在处取最大值，可知存在使得方程存在两个不同的解， 即存在两个不同的使得，也就是同时在这两处的切线上 即存在关于直线的共轴切点，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 13. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题设可得，，，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，即， 则， 由，可得，即. 14. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，，若，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为_______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得四边形为圆的内接等腰梯形，设，可得四棱锥体积关于的表达式，然后由导数知识可得答案. 【详解】因，作平面与，连接， 可得， 从而，即四边形为圆O的内接四边形. 又，， 从而，. 因， 则. 在三角形中，由正弦定理，. 因，则， 又，，则四边形为圆O的内接等腰梯形. 在四边形中，过分别作于，再过D作的垂线， 与延长线交于，易得，， 从而，则四边形面积等于四边形面积. 设，则四边形面积为：. 又，则，设四棱锥高为， 则. 从而四棱锥体积为： . 令，设 则， ，， 则在上递减，在上递增， 又，则， 从而四棱锥最大体积为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 16. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，，是的中点， ，且. 在中，同理可得，. ， . 又平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】(1)分别证明，，利用线面垂直的判定定理即可证明结论； (2)设与相交于点.以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，表示各点的坐标，求出平面的法向量，利向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与相交于点. 以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设. 则，可得， 则，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【小问1详解】 ， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． 【小问2详解】 ， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）解：由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，求得，即可得证； （3）求得，转化为在内恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 19. 已知椭圆与椭圆，过的右顶点与轴垂直的直线与的一个交点为，过的右焦点作轴的垂线与的一个交点为． （1）求，的方程； （2）若斜率为的直线交于点，是坐标原点，垂直于的直线交于点． （I）求的最小值； （II）是否存在一个与直线相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（I）；（II）存在，且该圆方程为 【解析】 【分析】（1）对椭圆，可得且，解出即可得；对椭圆，可得且，解出即可得； （2）（I）由题意可得，，分别联立曲线两曲线，可解出两点坐标，再利用勾股定理计算即可得解；（II）借助等面积法与（I）中所得，可得原点到直线的距离为定值，即可得解. 【小问1详解】 对椭圆，由题意可得， 且，又，则， 整理得，即或， 由，故，则，即； 对椭圆，由题意可得， 且，则，解得， 则； 【小问2详解】 由题意可得，则， 由，则，则， ，解得，即， ，解得，则， （I） ， 令，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； （II）， ， 则， 又，则， 由为直角三角形，故的高， 即原点到直线的距离， 故存在一个与直线相切的定圆，且该圆方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高三三模联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 4. 已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线交E的右支于P、Q两点，满足，若、的重心分别为、，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（ ） A. 已知直线与平行，则或 B. 已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C. 已知实数满足方程，则的最大值为 D. 已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10. 正三棱锥中，，点在底面内运动（含边界），到棱的距离分别为，若，则（ ） A. 的体积为 B. 外接球的体积为 C. D. 的运动路径的长度为 11. 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 13. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 14. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，，若，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为_______ ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆与椭圆，过的右顶点与轴垂直的直线与的一个交点为，过的右焦点作轴的垂线与的一个交点为． （1）求，的方程； （2）若斜率为的直线交于点，是坐标原点，垂直于的直线交于点． （I）求的最小值； （II）是否存在一个与直线相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $