第一章磁场小专题3 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题和多解问题 课件-2025-2026学年高二下学期物理粤教版选择性必修第二册

小专题3　带电粒子在磁场中运动的 临界极值问题和 多解问题 [学习目标]　 1.学会分析带电粒子在磁场中的临界极值问题及多解问题.(重点) 2.知道并会分析发散圆、聚焦圆和平移圆等典型的动态圆类型问题.(难点) 知识点一　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题 1.临界问题往往对应着一些特殊的词语,如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等,解题时应予以特别关注. 2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口.应注意以下几个结论: (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)当某带电粒子以一定的速率垂直射入磁场时,运动的弧长越长,圆心角越大,则带电粒子在磁场中运动时间越长. (3)当不同带电粒子的比荷相同,但速率不同或发生变化时,圆心角越大,则运动时间越长. C [训练] 如图所示,在以O为圆心,内、外半径分别为R1和R2的圆环区域内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,R2=3R1=3R0,一电荷量为+q、质量为m的粒子从内圆上的A点以大小为v的速度垂直磁场方向进入该区域,方向不确定,不计重力.要使粒子一定能够从外圆射出,则磁感应强度应小于(　　) D D C ·方法总结· 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题的分析 两种 思路 一是以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解 二是直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值 ·方法总结· 两种 方法 物理 方法 (1)利用临界条件求极值.(2)利用边界条件求极值.(3)利用矢量图求极值 数学 方法 (1)利用三角函数求极值.(2)用二次方程的判别式求极值.(3)用不等式的性质求极值.(4)图像法等 从关 键词 找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律,找出临界条件 知识点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因: (1)磁场方向不确定形成多解; (2)带电粒子电性不确定形成多解; (3)临界状态不唯一形成多解; (4)运动的往复性形成多解. 解决此类问题,首先应画出粒子的可能轨迹,然后找出圆心、半径的可能情况,进而利用相关的物理、数学知识解决问题. [例4] (带电粒子电性不确定形成多解) (多选)如图所示,左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里.一个质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力),沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ′射出,粒子入射速度v0的最大值可能是(　 　) AC [例5] (运动的周期性形成多解)如图所示,边长为L的等边三角形ABC内外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直于纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B,顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m,带电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用,则粒子能通过B点时发射的速率v0为(　　) D ·方法总结· 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的成因 多解分类 多解原因 示意图 带电 粒子 的电 性不 确定 带电粒子可能带正电荷,也可能带负电荷,粒子在磁场中的运动轨迹不同 ·方法总结· 磁场 方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小,未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界 状态 不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时,可能直接穿出,也可能从入射界面反向飞出 运动 的往 复性 带电粒子在空间运动时,往往具有往复性 知识点三　磁场中的动态圆分析 [例6] (“放缩圆”模型)(多选)如图所示,直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,AC长为2L,AB长为L.从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子,方向与AC垂直,粒子带正电荷,带电荷量为q,质量为m,不计粒子重力与粒子间的相互作用,下列判断正确的是(　 　) BC ·方法总结· “放缩圆”模型的应用 速度方向 一定,大 小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆 圆心 共线 如图所示(图中只画出粒子带正电荷的情形), 速度v越大,运动半径也越大.可以发现这些带 电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂 直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点,圆心位于PP′直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出临界条件,这种方法称为“放缩圆”法 [例7] (“旋转圆”模型)如图所示,在y≥0的区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B.在原点O处有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v,不计离子重力.对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远的距离分别为(　　) A ·方法总结· “旋转圆”模型的应用 ·方法总结· C ·方法总结· “平移圆”模型的应用 ·方法总结· 感谢观看 [例1] (带电粒子在磁场中运动关于速度的临界与极值问题)(2024·揭阳期末)如图所示,在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中,有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场.在圆心O处有一粒子源(图中未画出),在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子,粒子的速率分布连续,忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.若所有的粒子都不能从大圆边界射出磁场,则下列说法正确的是(　　 ) [A]粒子速度的最大值为 [B]粒子速度的最大值为 [C]某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况) [D]某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,其在磁场中运动的时间为(不考虑粒子再次进入磁场的情况) 【解析】 根据洛伦兹力提供向心力得qvB=m,可得粒子的运动半径为r=,可知粒子速度最大时,运动半径最大,作出粒子的运动轨迹如图所示.根据几何关系有(2R-r)2=R2+r2,联立解得r=R,v=,A、B错误;某粒子恰好不从大圆边界射出磁场,即粒子速度最大时,根据几何关系有tan ==,解得其在磁场中运动的时间为t=T=,C正确,D错误. [A] [B] [C] [D] 【解析】 根据题意可知粒子的运动轨迹如图所示时磁感应强度最大,若磁感应强度减小,半径变大,粒子一定能够从外圆射出.运动的轨道半径r==2R0,根据牛顿第二定律有qvB=,则磁感应强度大小为B=,故D正确. [例2] (磁感应强度的极值问题)如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边射入,不计电子重力,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值范围为(　　) [A]B> [B]B< [C]B> [D]B< 【解析】 由题意可知,电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示,此时圆周运动的半径R==a,要想电子从BC边经过,电子做圆周运动的半径要大于a,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=,则有a<,即B<,D项正确. [例3] (时间的极值问题)如图所示,边长为L的正三角形abc内存在垂直于纸面的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B.abc的中心O处有一粒子源,能够沿abc平面向任意方向发射速率为的粒子,粒子的质量为m,电荷量为+q,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,则粒子在磁场中运动的最短时间为(　　) [A] [B] [C] [D] 【解析】 根据已知条件并结合相关知识分析,当粒子水平向右进入磁场时,粒子运动轨迹的半径满足qv0B=m,解得r=L,轨迹如图所示,则由几何关系可知轨迹对应的圆心角为,粒子在磁场中的周期为T==,粒子在磁场中运动的最短时间为t=T=,故A、B、D错误,C正确. [A] [B] [C] [D] 【解析】 粒子射入磁场后做匀速圆周运动,由R=知,粒子的入射速度v0越大,轨迹半径R越大,当粒子的轨迹和边界QQ′相切时,粒子刚好不从QQ′射出,此时其入射速度v0应为最大值.若粒子带正电,其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O点),由几何关系得R1sin 45°+d=R1,将R1=代入上式得v0=;若粒子带负电,其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O′点),由几何关系得R2+R2cos 45°=d,将R2=代入上式得v0=.故选AC. [A] [B] [C] [D] 【解析】 粒子带正电荷,且经过B点,其可能的运动轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,所以粒子运动轨迹的半径r=(n=1,2,3,…),粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得v0==(n=1,2,3,…),故A、B、C错误,D正确. [A]以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不相等 [B]BC边上有粒子出射的区域长度不超过L [C]AB边上有粒子出射的区域长度为(-1)L [D]从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为 【解析】 若以不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出,粒子在磁场中均运动半个圆周,如图甲所示,则所运动的时间相等,都为,A错误; 如图乙,作DE垂直AC,当粒子的速度无穷大时可认为粒子几乎不发生偏转,从E点射出,则BC边上有粒子出射的区域在BE部分,由几何关系知长度不超过Ltan 30°=L,B正确; 由图丙可知,AB边上有粒子出射的区域为BF部分,由几何关系可知=,解得r=(2-3)L,则BF=L-=(-1)L,C正确;从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短,粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°,则粒子在磁场中的运动时间最短为t==,D错误. [A], [B], [C], [D], 【解析】 若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示),不难得出离y轴最远距离为|x|=2r=,离x轴最远距离为y=2r=,A正确. 速度大 小一定, 方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示 轨迹圆 圆心 共圆 如图,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上 界定 方法 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出临界条件,这种方法称为“旋转圆”法 [例8] (“平移圆”模型)如图所示,在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子.磁场的磁感应强度大小为,方向垂直于平面xOy向里.不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力.所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　) [A] [B] [C] [D] 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B=m,解得轨迹半径为r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=,要使圆心角α最大,FE应最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D′点射入磁场,从x轴上的E′点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm=,解得αm=,从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长,且tm=·,解得tm=.故选C. 速度大小一定,方向一定,入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示 轨迹圆 圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上,该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R=的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件,这种方法叫“平移圆”法 $