第1章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（粤教版2019）

DIYIZHANG 第一章 专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中 运动的临界和多解问题 1 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。 2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。 学习目标 2 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 专题强化练 内容索引 3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 一 4 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同速度进入同一匀强磁场运动的周期相同，运动的圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大(所有弦长中直径最长)。 　如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 (1)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； 例1 答案　见解析 由r=得r1=d 最远点至MN的距离l1=r1+r1cos 60°=d 轨迹如图中①所示 (2)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； 答案　见解析 由r=得r2=d 最远点距MN距离l2=r2+r2cos 60°=d，此时轨迹与边界PQ相切。轨迹如图中②所示 (3)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； 答案　见解析 由r=得r3=d 轨迹如图中③所示 (4)若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。 答案　见解析 从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当0<v≤时，质子从左边界飞出。 “放缩圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度方向相同，大小不同。 2.特点：轨迹圆圆心共线，如图所示，粒子带正电，速 度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射 入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直 线PP'上。 3.界定方法：以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 提炼·总结 如图所示，矩形区域ACDE内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，比荷为k的带正电粒子以某一初速度v0从E点沿ED方向射入磁场，经过一段时间从A点射出磁场。现使同样比荷的带正电粒子在AE边的中点O以大小不同的速率沿与OE方向成α=30°角的方向射入磁场，已知AE边和AC边的长度分别为2a和2a。求： (1)匀强磁场磁感应强度的大小。 针对训练 答案　　 带正电粒子以某一初速度v0从E点沿ED方向射入磁场，经过一段时间从A点射出磁场，则在磁场中运动半周，如图甲所示，根据几何关系有R=a，根据洛伦兹力提供向心力qv0B=，解得B==； (2)从ED边射出的粒子的最小速度。 答案　2v0　 (3)从DC边射出的粒子的速度大小v的范围。 答案　(8-12)v0≤v<2v0 根据qv1B=，可得v1=，则粒子轨迹半径越大速度越大，当粒子的轨迹恰好与ED边相切，是能从ED边射出的粒子的最小速度，其轨迹如图乙中①所示，根据几何关系有R'sin 30°=R'- 解得v1=2aBk=2v0； 当粒子恰好能从CD边射出时，轨迹与DC边相切， 如图乙中②所示，根据几何关系有R1cos 30°+R1 =2a，qv2B= 解得R1=a，v2=v0=(8-12)v0， 故当粒子的速度满足(8-12)v0≤v<2v0时，从DC边射出磁场。 　如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内， 存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B， 大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L) 点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力及粒子间相互作用，则： (1)求粒子运动的半径大小； 例2 答案　见解析 沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图甲所示，则半径r=L 甲 (2)尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹。并回答： ①所有粒子的轨迹圆心位置有什么特点？ 答案　见解析 以L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图乙所示，发现： 在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图丙所示 ②找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。 答案　见解析 从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短(弦长最短)，轨迹圆弧对应的圆心角最小，时间最短，如图丁。 θ=60°= t=·= (3)通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O和右边离O的最远距离各为多少。 答案　见解析 通过第(2)问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图戊所示。 右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L “旋转圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度大小相等，方向不同。 2.特点：轨迹圆圆心共圆， 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速 度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。 轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。 3.界定方法：将半径R=的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而 探索粒子运动的临界条件。 提炼·总结 返回 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 二 24 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 　(多选)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷 为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强 度B应满足 A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 例3 √ √ 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则 可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的 区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图 (大圆弧)，由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律 可得qvBm1=，所以应满足B>，选项A错误，B正确。 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则 可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的 区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图 (小圆弧)，由几何知识知R1=时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvBm2=，所以应满足B>， 选项C正确，D错误。 　如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方 存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里 的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源 位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重 力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知ab=L，则粒子的速度可能是 A. B. C. D. 例4 √ 由题意可知，粒子能从左侧磁场进入右侧磁场，粒子 可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨 迹如图所示； 由于粒子从b点由左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab 间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得 粒子运动的半径为n·2Rcos 30°=L(n=2，4，6…) 根据洛伦兹力提供向心力可得： qvB= 联立解得v=(n=2，4，6…)，结合选项可知，当n=4时，v=，故A正确，B、C、D错误。 返回 专题强化练 三 32 1.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场(磁场的方向垂直于正方形区域)，下列判断正确的是 A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B.电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D.电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础强化练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 电子在磁场中做圆周运动的周期T==，相同，电 子在磁场中的运动时间t=T，电子在磁场中运动时间 越长，电子运动轨迹对应的圆心角θ越大，电子的运动 轨迹不一定越长，故A错误； 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 evB=m，解得：r=，电子速率v越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的 轨道半径越大，但运动时间不一定越短，如从磁场左边界射出磁场的电子速率不同，轨道半径不同，但运动时间相等，半径大的电子运动时间不一定短，故B、D错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速率不同运动轨迹不同，由此可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故C正确。 2.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，不计电子重力，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为 A.B> B.B< C.B> D.B< √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所 示，此时圆周运动的半径R==a，要想电子从 BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带 电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=a<，即B<，D项正确。 3.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足 A.v0> B.v0< C.<v0< D.v0>或v0< √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力， 则有ev0B=m，解得R=，根据分析，当半径很小或 者半径很大时，电子均不能够打在水平板上，两种情况 临界点分别为轨迹恰好与水平板相切的点、轨迹恰好经过水平板的端 点，如图所示，根据几何关系可知Rmin=，Rmax=，解得v0min=或v0max=<v0<，故选C。 4.(多选)边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(不计重力及粒子间的相互作用)从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域，则 A.从BC边射出的粒子的最大速率为 B.从BC边射出的粒子的最大速率为 C.能从BC边射出的粒子的最小速率为 D.能从BC边射出的粒子的最小速率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，当粒子恰好从C点射出时，轨道半径最大，速率最大，圆心为O1，由几何关系可知，轨道半径r1=a·sin 60°=a，由牛顿第二定律可得qv1B=m 联立解得v1=，A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当粒子的轨迹恰好与BC边相切时，轨道半径最小， 速率最小，圆心为O2，由几何关系可知，轨道半 径r2=×a·sin 60°=a 由牛顿第二定律可得qv2B=m，联立解得v2=，C错误，D正确。 5.(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群比荷为的负离子(不计重力)以相同速率v0(离子在磁场中的运动半径大于R)，由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是 A.离子在磁场中运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D.沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角度最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设粒子轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中 运动的时间为t=T 其中T= 所有粒子的运动周期相等，由于离子从圆上不同点射出时，轨迹的圆心角不同，所以离子在磁场中运动时间不同，故A错误； 离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB=m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解得R= 因粒子的速率相同，比荷相同，故半径一定相同， 故B正确； 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，故由Q点飞出的粒子圆心角最大，在磁场中运动的时间最长；此时粒子一定不会沿PQ射入，故C正确，D错误。 6.(2023·广州市第七中学高二期末)如图所示，P点距坐标原点O的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ=45°的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。 (1)若粒子垂直于x轴离开磁场，求粒子进入磁场时的 初速度大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得R1==L 由洛伦兹力提供向心力得qvB=m 解得v= (2)若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子在磁场中做圆周运动的周期为T= 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动 轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角为α1=270° 所以运动时间为t1=T 解得t1= 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中运动对应的圆心角为α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为t2=T=·=。 7.(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子在MM'边界某点沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 能力综合练 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周 运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，解得R=。带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相 切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R1+R1cos 45°=d， 解得R1=(2-)d， 对应的最大速率v1=。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R2-R2cos 45°=d， 解得R2=(2+)d 对应的最大速率v2=，故选B、D。 8.如图所示，一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场，ad和ab边长分别为d和2d，P为ad边中点。在P点，把带正电的粒子以大小不同、方向相同的初速度平行纸面射入磁场，速度方向跟ad边夹角θ=30°。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，粒子重力不计，欲使粒子能从ab边上射出磁场，则初速度v0大小可能为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若粒子速度大小为v0，其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有 qv0B0=m，即R= 设圆心在O1处，对应圆弧与ab边相切，轨迹如图(小圆弧) 设相应速度为v01，由几何知识得 R1+R1sin θ=得R1=d 又R1=，解得v01= 同理设圆心在O2处，对应圆弧与cd边相切，轨迹如图(大圆弧) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设相应速度为v02，则R2sin θ= 解得R2=d 又R2=，可得v02= 所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足 <v0≤，故选A。 9.(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL， 根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性 有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 可得v==kBL， 此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向 的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁 场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。 10.在如图所示的平面内，存在宽为L的匀强磁场区域(足够长、边界上有磁场)，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，左侧边界上有一离子源S，可以向纸面内各方向发射质量为m、带电荷量为+q、速度大小为的离子。不计离子受到的重力和空气阻力以及离子间的相互作用，下列说法正确的是 A.离子在磁场中运动的最长时间为 B.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为 C.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最短时间为 D.离子从左侧边界离开磁场时，射入点与射出点间的最大距离为3L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 带电离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB=m 解得r==·=L 则垂直左边界运动的离子恰与右边界相切，运动半个圆周， 在磁场中运动的时间最长，为tmax==×= 此时，离子从左边界离开磁场，射入点与射出点间的距离最大，大小为2L，故A、D错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 离子从右侧边界离开磁场时，当离子圆周运动的弦长最短时， 对应圆心角最小，根据t=T，运动时间最短，由几何关系 得最短弦长为L，圆心角为60°，时间为tmin==×=， 故C正确； 离子从右侧边界离开磁场时，离子初速度沿左边界向下，离子做四分之一的圆周运动时有最大弦长，对应圆心角最大，运动时间最长，则 离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为tmax'==× =，故B错误。 返回 BENKEJIESHU 本课结束 $$ 专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题 ［学习目标］　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题（难点）。2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题（难点）。 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画出轨迹，建立几何关系求解。 （1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动时间越长。 （3）比荷相同的带电粒子以不同速度进入同一匀强磁场运动的周期相同，运动的圆心角越大，运动时间越长。 （4）在圆形匀强磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中直径最长）。 例1　如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 （1）当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； （2）当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； （3）当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； （4）若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。 答案　见解析 解析　（1）由r=得r1=d 最远点至MN的距离l1=r1+r1cos 60°=d 轨迹如图中①所示 （2）由r=得r2=d 最远点距MN距离l2=r2+r2cos 60°=d，此时轨迹与边界PQ相切。轨迹如图中②所示 （3）由r=得r3=d 轨迹如图中③所示 （4）从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当0<v≤时，质子从左边界飞出。 “放缩圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度方向相同，大小不同。 2.特点：轨迹圆圆心共线，如图所示，粒子带正电，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。 3.界定方法：以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 针对训练　如图所示，矩形区域ACDE内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，比荷为k的带正电粒子以某一初速度v0从E点沿ED方向射入磁场，经过一段时间从A点射出磁场。现使同样比荷的带正电粒子在AE边的中点O以大小不同的速率沿与OE方向成α=30°角的方向射入磁场，已知AE边和AC边的长度分别为2a和2a。求： （1）匀强磁场磁感应强度的大小。 （2）从ED边射出的粒子的最小速度。 （3）从DC边射出的粒子的速度大小v的范围。 答案　（1）　（2）2v0　（3）（8-12）v0≤v<2v0 解析　（1）带正电粒子以某一初速度v0从E点沿ED方向射入磁场，经过一段时间从A点射出磁场，则在磁场中运动半周，如图甲所示，根据几何关系有R=a，根据洛伦兹力提供向心力qv0B=，解得B==； （2）（3）根据qv1B=，可得v1=，则粒子轨迹半径越大速度越大，当粒子的轨迹恰好与ED边相切，是能从ED边射出的粒子的最小速度，其轨迹如图乙中①所示，根据几何关系有R'sin 30°=R'- 解得v1=2aBk=2v0； 当粒子恰好能从CD边射出时，轨迹与DC边相切，如图乙中②所示，根据几何关系有R1cos 30°+R1=2a，qv2B= 解得R1=a，v2=v0=（8-12）v0，故当粒子的速度满足（8-12）v0≤v<2v0时，从DC边射出磁场。 例2　如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P（0，L）点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力及粒子间相互作用，则： （1）求粒子运动的半径大小； （2）尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹。并回答： ①所有粒子的轨迹圆心位置有什么特点？ ②找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。 （3）通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O和右边离O的最远距离各为多少。 答案　见解析 解析　（1）沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图甲所示，则半径r=L 甲 （2）以L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图乙所示，发现： ①在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图丙所示 ②从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短（弦长最短），轨迹圆弧对应的圆心角最小，时间最短，如图丁。 θ=60°= t=·= （3）通过第（2）问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图戊所示。右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L “旋转圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度大小相等，方向不同。 2.特点：轨迹圆圆心共圆， 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。 3.界定方法：将半径R=的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。 二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因： （1）磁场方向不确定形成多解； （2）带电粒子电性不确定形成多解； （3）临界状态不唯一形成多解； （4）运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 例3　（多选）如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足（　　） A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 答案　BC 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（大圆弧），由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvBm1=，所以应满足B>，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（小圆弧），由几何知识知R1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvBm2=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 例4　如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为q（q>0）的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知ab=L，则粒子的速度可能是（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知，粒子能从左侧磁场进入右侧磁场，粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示； 由于粒子从b点由左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得 粒子运动的半径为 n·2Rcos 30°=L（n=2，4，6…） 根据洛伦兹力提供向心力可得： qvB= 联立解得v=（n=2，4，6…），结合选项可知，当n=4时，v=，故A正确，B、C、D错误。 专题强化练　［分值：100分］ 1~5题每题9分，6题13分，共58分 1.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正确的是（　　） A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B.电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D.电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 答案　C 解析　电子在磁场中做圆周运动的周期T==，相同，电子在磁场中的运动时间t=T，电子在磁场中运动时间越长，电子运动轨迹对应的圆心角θ越大，电子的运动轨迹不一定越长，故A错误； 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得evB=m，解得：r=，电子速率v越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径越大，但运动时间不一定越短，如从磁场左边界射出磁场的电子速率不同，轨道半径不同，但运动时间相等，半径大的电子运动时间不一定短，故B、D错误； 从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速率不同运动轨迹不同，由此可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故C正确。 2.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，不计电子重力，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为（　　） A.B> B.B< C.B> D.B< 答案　D 解析　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R==a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=有a<，即B<，D项正确。 3.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足（　　） A.v0> B.v0< C.<v0< D.v0>或v0< 答案　C 解析　电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B=m，解得R=，根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够打在水平板上，两种情况临界点分别为轨迹恰好与水平板相切的点、轨迹恰好经过水平板的端点，如图所示，根据几何关系可知Rmin=，Rmax=，解得v0min=或v0max=，则有<v0<，故选C。 4.（多选）边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子（不计重力及粒子间的相互作用）从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（　　） A.从BC边射出的粒子的最大速率为 B.从BC边射出的粒子的最大速率为 C.能从BC边射出的粒子的最小速率为 D.能从BC边射出的粒子的最小速率为 答案　AD 解析　如图所示，当粒子恰好从C点射出时，轨道半径最大，速率最大，圆心为O1，由几何关系可知，轨道半径r1=a·sin 60°=a，由牛顿第二定律可得qv1B=m 联立解得v1=，A正确，B错误； 当粒子的轨迹恰好与BC边相切时，轨道半径最小，速率最小，圆心为O2，由几何关系可知，轨道半径r2=×a·sin 60°=a 由牛顿第二定律可得qv2B=m，联立解得v2=，C错误，D正确。 5.（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。一群比荷为的负离子（不计重力）以相同速率v0（离子在磁场中的运动半径大于R），由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏（足够大）上，则下列说法正确的是（　　） A.离子在磁场中运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D.沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角度最大 答案　BC 解析　设粒子轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为t=T 其中T= 所有粒子的运动周期相等，由于离子从圆上不同点射出时，轨迹的圆心角不同，所以离子在磁场中运动时间不同，故A错误； 离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m 解得R= 因粒子的速率相同，比荷相同，故半径一定相同，故B正确； 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，故由Q点飞出的粒子圆心角最大，在磁场中运动的时间最长；此时粒子一定不会沿PQ射入，故C正确，D错误。 6.（13分）（2023·广州市第七中学高二期末）如图所示，P点距坐标原点O的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ=45°的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。 （1）（5分）若粒子垂直于x轴离开磁场，求粒子进入磁场时的初速度大小； （2）（8分）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 答案　（1）　（2）或 解析　（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得R1==L 由洛伦兹力提供向心力得qvB=m 解得v= （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为T= 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角为α1=270° 所以运动时间为t1=T 解得t1= 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中运动对应的圆心角为α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为t2=T=·=。 7~9题每题10分，共30分 7.（多选）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子在MM'边界某点沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是（　　） A. B. C. D. 答案　BD 解析　设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，解得R=。带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R1+R1cos 45°=d， 解得R1=（2-）d， 对应的最大速率v1=。 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R2-R2cos 45°=d， 解得R2=（2+）d 对应的最大速率v2=，故选B、D。 8.如图所示，一矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B0的匀强磁场，ad和ab边长分别为d和2d，P为ad边中点。在P点，把带正电的粒子以大小不同、方向相同的初速度平行纸面射入磁场，速度方向跟ad边夹角θ=30°。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，粒子重力不计，欲使粒子能从ab边上射出磁场，则初速度v0大小可能为（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　若粒子速度大小为v0，其在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力，有 qv0B0=m，即R= 设圆心在O1处，对应圆弧与ab边相切，轨迹如图（小圆弧） 设相应速度为v01，由几何知识得 R1+R1sin θ=得R1=d 又R1=，解得v01= 同理设圆心在O2处，对应圆弧与cd边相切，轨迹如图（大圆弧） 设相应速度为v02，则R2sin θ= 解得R2=d 又R2=，可得v02= 所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足 <v0≤，故选A。 9.（多选）（2022·湖北卷）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 答案　BC 解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL（n=1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL（n=1，2，3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。 　（12分） 10.在如图所示的平面内，存在宽为L的匀强磁场区域（足够长、边界上有磁场），匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，左侧边界上有一离子源S，可以向纸面内各方向发射质量为m、带电荷量为+q、速度大小为的离子。不计离子受到的重力和空气阻力以及离子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A.离子在磁场中运动的最长时间为 B.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为 C.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最短时间为 D.离子从左侧边界离开磁场时，射入点与射出点间的最大距离为3L 答案　C 解析　带电离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB=m 解得r==·=L 则垂直左边界运动的离子恰与右边界相切，运动半个圆周，在磁场中运动的时间最长，为tmax==×= 此时，离子从左边界离开磁场，射入点与射出点间的距离最大，大小为2L，故A、D错误； 离子从右侧边界离开磁场时，当离子圆周运动的弦长最短时，对应圆心角最小，根据t=T，运动时间最短，由几何关系得最短弦长为L，圆心角为60°，时间为tmin==×=，故C正确； 离子从右侧边界离开磁场时，离子初速度沿左边界向下，离子做四分之一的圆周运动时有最大弦长，对应圆心角最大，运动时间最长，则离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为tmax'==×=，故B错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$