20.1 勾股定理及其应用（第3课时）课件2025-2026学年 人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第3课时） 数学人教版八年级下册 1 思考 “HL”指的是斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，当时教材中提到：在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 同学们，在八年级上册中我们学习过三角形全等的判定方法，如SSS，SAS，AAS，还有判定直角三角形全等的方法 HL． 问题1 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°， 根据勾股定理， BC＝ ，B′C′＝ ， 又 AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴ BC＝B′C′． ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）． 的点吗？ 同学们，还记得在学习实数时，我们是如何在数轴上画出表示 思考 以单位长度为边长画正方形, 为正方形的对角线长度; 以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示 ． 也可以理解成构造了两条直角边长都为1的直角三角形，利用斜边长得到 ． 问题2 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示 的点吗？ 思考：能不能构造一个斜边长为 、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？ 斜边 直角边 直角边 问题2 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示 的点吗？ 斜边 直角边 直角边 1 1 ? ? 思考：能不能构造一个斜边长为 、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？ 问题2 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示 的点吗？ 斜边 直角边 直角边 1 1 2 3 思考：能不能构造一个斜边长为 、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？ 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示 的点吗？ O 1 2 3 C A B l 问题2 0 第一步：O 为数轴原点，在数轴上找出表示 3 的点 A，则 OA＝3； 第二步：过点 A 作直线 l⊥OA，在 l 上取点 B，使 AB＝2，连接 OB； 第三步：以原点 O 为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴正半轴交点C 即为表示 的点． 问题3 类似地，利用勾股定理，可以画出长为 ， ， ，…的线段吗？ ， ， ， … 构造直角三角形 斜边 可以在数轴上画出表示 ， ， ， ， …的点吗？ 问题3 归纳 （1）画长为 （n 是正整数）的线段：关键是找到两个实数 a，b，使其满足 a2＋b2＝n．构造直角边长分别为 a 和 b 的直角三角形，斜边长即为 ． （2）在数轴上画出 （n 是正整数）的点的方法： ①构造以实数 a，b（a2＋b2＝n）为直角边长的直角三角形，其斜边长即为 ； ②以原点为圆心， 为半径画弧，找到与数轴正半轴的交点，该点即为数轴上表示 的点 ． 解：方法一 如图，O 为数轴原点，在数轴上找到点 A，使OA＝4． 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝1，连接 OB． 例1 在数轴上画出表示 的点 ． 以原点 O 为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即 为表示 的点 ． O 1 2 3 4 5 A B C l 12 以原点 O 为圆心，OF 为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 E 即为表示 的点． E l F 例1 在数轴上画出表示 的点 ． 解：方法二 如图，OM＝ ． 作直线 l 垂直于 OM，在 l 上取点 F，使 MF＝2，连接 OF． O 1 2 3 4 5 M 13 1．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6．求： （1）高 AD； （2）等边三角形 ABC 的面积． 解：（1）在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC ，则 BD＝CD＝3． 在 Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 AD2＝AB2－BD2＝62－32＝27，故 AD＝ ． （2）等边三角形 ABC 的面积＝ ＝ ＝ ． 归纳 求已知边长的等边三角形的面积问题 （1）转化图形：利用等边三角形“三线合一”的性质，将等边三角形分割为两个全等的直角三角形； （2）运用定理，求解面积：结合勾股定理，求出直角三角形的高，代入三角形面积公式求解． 2．如图，AD 是△ABC 的边 BC上的高．分别以线段AB，AC，BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2，S3，S4． 请写出关于S1，S2，S3，S4 的等式． 分析：由正方形的面积公式可知， S1＝AB2， S2＝AC2， S3＝BD2， S4＝CD2． 找 AB，AC，BD，CD 之间的关系 能否利用图中的直角三角形？ 解：因为 AD 是△ABC 的边 BC 上的高， 所以△ABD，△ADC 均为直角三角形，由勾股定理得 AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2， 又 S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BD2，S4＝CD2， 所以 S2－S1＝S4－S3． 即 S1＝S3＋AD2，S2＝AD2＋S4， 勾股定理的应用 证明判定直角三角形全等的方法 HL 画出长为 的线段（n 是正整数） 在数轴上画出表示 的点（n 是正整数） $