精品解析：安徽宿州市第二中学2025-2026学年第二学期四月教学质量检测高三数学试题

2025-2026学年第二学期四月教学质量检测试题 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知、为椭圆的两个焦点， 、为 上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 11. 数列中，，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 是等比数列 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为________ 13. 已知是第三象限角，，则________________. 14. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为__________. 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角 中，角的对边分别为 ，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求 的面积； （3）求的取值范围． 16. 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的 ， ， 三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换 ， ， 三种商品的概率分别为，，，乙兑换 ， ， 三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. （1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， （1）求证：平面平面； （2）若，，，求异面直线与 所成角的余弦值． 18. 已知函数（ ，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设 ，为函数的极值点，且，若 ，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 19. 双曲线的左、右顶点分别为 、，点到 的渐近线的距离为． （1）求 的方程； （2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交 于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为 ，的面积为 ，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期四月教学质量检测试题 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】由题意，，所以. 故选：D 3. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：B. 4. 设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：设，对称轴为， ∵是上的增函数， ∴要使在区间单调递减， 则在区间单调递减， 即， 故实数a的取值范围是． 故选：A． 5. 已知、为椭圆的两个焦点， 、为 上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点坐标，根据矩形的几何性质求出矩形外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，则， 故、， 由四边形为矩形，知， 故该矩形的外接圆半径，故矩形的外接圆面积为． 故选：B． 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为 ，根据已知条件可得出关于、 的值，即可求得的值. 【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为 ， 则，解得，故. 故选：C 7. 已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为 ， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为 ， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选： 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系. 【详解】令，可得， 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 即，可得，， 所以，， 所以，， 即，. 所以. 故选：B. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为 即可求解； 对B：由抛物线方程即可求解； 对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解. 【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线 ，故选项B错误； 对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确； 对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得， 所以（ 为点到准线l的距离），当且仅当 、 、三点共线时等号成立， 所以的最小值是3，故选项C正确； 对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、， 设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，， 又根据抛物线的定义有，， 所以， 所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确； 故选：ACD. 11. 数列中，，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得到，得到是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断． 【详解】因为数列中，， 所以，即， 则是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故B正确； 由累加法得， 所以， 当n为奇数时，是递增数列，所以， 当n为偶数时，是递减数列，所以， 所以，故A正确； 又，所以，故C不正确，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为________ 【答案】 【解析】 【详解】， 时，，又切点为， 切线方程为， 即． 13. 已知是第三象限角，，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出，的值.法1：根据求值； 法2：根据求出的值，再求的值. 【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则. 法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以 14. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，结合圆台的侧面积公式和圆的面积公式即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，轴截面如下图所示： 圆均与 的两条边相切， 由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为， 其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故答案为： 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角 中，角的对边分别为 ，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求 的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以 的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 则 ， 因为 为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 16. 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的 ， ， 三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换 ， ， 三种商品的概率分别为，，，乙兑换 ， ， 三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. （1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 【答案】（1）； （2） 0 100 200 300 400 . 【解析】 【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为； 【小问2详解】 由题意，兑换 ， ， 三种商品所需的积分分别为800，900，1000， 则的取值可能为0，100，200，300，400， ，， ，， ， 则的分布列为 0 100 200 300 400 . 17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， （1）求证：平面平面； （2）若，，，求异面直线与 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， 又，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得平面，再借助面面垂直的判定定理证得结果； （2）平移 到，在中利用余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵四边形为菱形，∴ 为、的中点. ∵，∴. 在菱形中，， ∴为等边三角形,， 又，∴，即，即， 又平面平面，平面平面； ∴平面， 平面， ∴，又， ∴，. ∵，∴即为异面直线与 所成角（或其补角）. 在中，， ∴异面直线与 所成角的余弦值为． 18. 已知函数（ ，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设 ，为函数的极值点，且，若 ，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，则且， 可得， 由存在两个极值点，， 则是在上的两个不同根， 所以，可得， 由 ， 所以，， 所以， 令，，则， 令，则在上单调递增， 故， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递增，， 综上，，即，得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值； （2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式有，利用导数证明，即可证结论； （3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小 范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当，时，且， 则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设且， 因为 ，为函数的极值点， 则， 所以，即， 显然，则， 由，则， 故，易知， 由 ，，是一个三角形的三边长，则，即， 所以， 令且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时， 综上，，而， 由在上单调递增， 当，则， 当，， 则， 故，即的范围为. 19. 双曲线的左、右顶点分别为 、，点到 的渐近线的距离为． （1）求 的方程； （2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交 于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为 ，的面积为 ，求的最大值． 【答案】（1） （2） （i）因为，所以、， 直线的方程为，即， 代入，得， 根据韦达定理得． 所以，， 由题设有， 因为， 所以是公比为的等比数列． 因为， 所以是公比为的等比数列， 所以，， 所以，. （ii）． 【解析】 【分析】（1）求出双曲线 的渐近线方程，结合点到直线的距离公式可求出 的值，即可得出双曲线 的方程； （2）（i）写出直线方程，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理可得出，，再利用等比数列的定义可证得结论成立；（ii）求出 、 的表达式，可得出的表达式，结合数列的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 双曲线 的渐近线方程为，， 则点到渐近线的距离为，所以，所以 的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量， 则 . 本题中，因为．， 所以． 因为，， ， 又因为， ， 所以，， 所以， 设，则， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $