图形的折叠 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考

图形的折叠 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考 一、单选题 1．如图，已知是矩形的对角线，点分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处，连结．则下列结论中一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，交于点，．下列结论正确的是（  ） A．B． C． D． 3．如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 4．如图，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，若正方形第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第次翻折后点C对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 5．定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 8．如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（   ） A．80° B．100° C．120° D．140° 10．如图，在矩形中，，，是的中点，为边上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B．当点与点重合时，的延长线经过的中点 C．长度的最小值为 D．当三边之比为时，点落在上 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，直线先向右平移2个单位长度得到直线m，再将直线m沿y轴翻折得到直线n，直线n恰好经过原点，则__________． 12．如图，在中，，点D为的中点，点E为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______． 13．如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 14．如图，在矩形中，，，点P在边上，将沿翻折，点A落在点处，若点恰好在矩形的对角线上，则的长度为_______． 15．如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________． 16．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为______． 17．如图，四边形为矩形纸带，将四边形沿折叠，则、两点的对应点分别为、，若，则的度数为________________． 18．如图，菱形中，点分别在边上．将菱形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，，则的长为___________． 19．如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________． 三、解答题 20．在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 21．在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1； 第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2． 在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： (1)如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，当经过点B时，求的长； (3)如图4，当时，求的长． 22．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 23．（1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长． 24．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点． (1)【操作判断】如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ． (2)【迁移探究】如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长； (3)【综合应用】如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 25．“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图所示 (1)求的度数； (2)若，，求的最大值． 26．折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C B D C B D 1．A 根据矩形的性质和折叠的性质，得到，即可得到，条件不足，无法得到，，，即可得出结果． 解：∵矩形， ∴， ∵将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处， ∴， ∴， 因条件不足，无法得到，，， 故选A． 本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键． 2．D 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质得到，，由折叠得到，，，即可求解，再由三角形内角和定理求解即可． 解：∵长方形， ∴，， ∵， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴A，B，C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 3．C 此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可． 解：根据折叠的性质可知：，，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 4．A 本题考查了平面直角坐标系内的轴对称变换和图形规律探究，解答时先找到，再根据题意进行轴对称变换，找到变换的周期规律即可． 解：∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴第1次翻折后点C对应点的坐标为，第2次翻折后点C对应点的坐标为，第3次翻折后点C对应点的坐标为，第4次翻折后点C对应点的坐标为， 而， ∴经过第次翻折后点C对应点的坐标为， 故选：A． 5．C 根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 6．B 逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 7．D 利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 8．C 本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 9．B 本题考查圆的相关性质（圆周角定理、翻折的性质），解题的关键是利用圆内接四边形的性质以及翻折前后的角的关系． 利用圆内接四边形对角互补以及翻折后角的等量关系求解． 如解图， 把折叠部分展开，点A的对应点为，则四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即， 故选B． 10．D 本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，解直角三角形，根据中点和翻折得到，，等边对等角，结合三角形的外角得到，进而得到，推出，判断A；当点与点重合时，如图，的延长线交于点，易得四边形为平行四边形，得到，判断B；连接，则，得到当三点共线时，的长度最小，判断C；分和两种情况讨论求解，判断D即可． 解：∵是的中点， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴， ， ∵， ， ， ， ，故选项正确． 当点与点重合时，如图，的延长线交于点， ∵矩形， ∴， 又， 四边形为平行四边形， ， 是的中点，故选项B正确． 连接，则，当三点共线时，的长度最小， ∵矩形， ∴， ∵， ， ∵， 长度的最小值为，故选项C正确． 当三边之比为时， ∵， ∴当时，即：， 则：， ∴， 由翻折可知，， ， 点落在上； 当时，即：， 则：， 同理：由翻折可知，， ， 点落在上，故选项D错误． 故选D． 11． 此题考查了一次函数的平移和坐标系中的轴对称等知识，先根据平移和轴对称得到直线n的解析式，再把原点的坐标代入求解即可． 解：直线先向右平移2个单位长度得到直线m：，再将直线m沿y轴翻折得到直线n：， ∵直线n恰好经过原点， ∴， 解得 故答案为： 12．或3或 分三种情况讨论：若，且点F与点C在直线异侧；若；若，且点F与点C在直线同侧，即可求解． 解：如图1，若，且点F与点C在直线异侧，设交于点G， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图2，若， ∵， ， ∴， ， ∴， ； 如图3，若，且点F与点C在直线同侧，设交于点H， ∵， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，BE的长为或3或， 故答案为：或3或． 此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、垂直于同一条直线的两条直线平行、等腰三角形的判定、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 13．或 本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可． 解：正方形的边长为2，为边的中点， ∴，， ∴ 如图，当的对应点落在上时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当落在上时，如图，， ∴， ∴ 设，则， 在中， 在中， ∴ 解得： 即 综上所述，的长为或 故答案为：或． 14．或 本题主要考查了矩形的性质与锐角三角函数的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意分当点在矩形的对角线上或点在矩形的对角线上两种情况进行讨论即可． 解：①点在矩形的对角线上时， 由折叠可知：， ， 则， 在中，， 在中，， 设，则， ， 解得， 当时，， 故是方程的解， ； ②点在矩形的对角线上时， 在矩形中，， 由翻折知，直线是与对称轴， ， 令交于点，则， ， ， ， ， 即， 解得， 综上所述，的长度是或， 故答案为：或； 15．/0.6 本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 16． 本题主要考查的是翻折的性质、含的直角三角形的性质，解直角三角形，先根据正切求出长，然后根据的直角三角形的性质求出长，再证明是等腰直角三角形解答即可． 解：，， ∴，， ∵边沿翻折，使点落在上的点处， ∴， ， 由折叠可得：且 且 ， ， 故答案为：． 17．/36度 本题主要考查了矩形的性质，图形的折叠问题．根据折叠的性质，可得，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可求解． 解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 18． 本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，可得四边形为平行四边形，解和求出，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果． 解：过作于，交延长线于，作于，则，如图所示： ∵菱形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∵， ， ∴，同理， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 19．4 本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解． 解：如图，延长交于点，连接． 四边形为正方形，且边长为6， ，． 设，则． 由折叠的性质得，，， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：4． 20．(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． （1）解：补全图形如图1所示： （2）解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． （3）解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 21．(1)，证明见解析 (2) (3) （1）连接，由旋转知，，再证，即可得出结论； （2）由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设， 在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （3）由折叠可知再证是的中位线，即可得出结论，过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论． （1）解：，证明如下： 如图， 连接， 由旋转的性质得，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得， ， ， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ， 解得， ； （3）解：由折叠的性质得， ， ， ， ∴是的中位线， ， 如图，过作于， 交于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 解得． 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 22．（1）45（2），（3）或 （1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 23．（1）；（2）1；（3）或 （1）根据矩形的性质，折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）求出的长，平移的性质求出，进而求出，证明，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）分旋转到左侧和旋转到右侧两种情况，进行讨论求解即可． （1）解：为矩形，，折叠， ，， ； 设长为则：， ，解得：， 的长为3，的长为． （2）解：由（1）知 由题意得：平移距离为2，故， ． 为平移后的图形 ， ， ， ； （3）或． 解：将绕点旋转至三点共线， 分以下两种情况：①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点，由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ②当旋转到右侧时，如图所示：作，交的延长线于点， 由（2）可知，由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质，平移的性质，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握掌握相关知识点，是解题的关键． 24．(1)， (2)见解析 (3)6，4 （1）由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△是等边三角形即可求出角度； （2）当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解即可； （3）设，求出与重叠部分面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值． （1）解：线段与线段的位置关系为，理由如下： 如图1，连接， 由折叠得：，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； ，理由如下： 将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：如图2，点落在对角线上点时， 在矩形中， ，，， ， 设，由折叠得：，， ，，， ， ， 解得：， ； （3）解：， ， 设， ， 解得， 翻折后的三角形为， ，， ①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5， ， ， 此时折后与重叠部分面积， ， 在，当时，即，的最大值； ②当点在对角线的右侧时，交于，交于，如图6， 此时，不合题意，舍去； 综上所述，折叠后与重叠部分面积的最大值为，此时． 25．(1) (2) （1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答． （2）设，则，设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答． （1）解：如图： ∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）解：设，则，设， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点落在矩形内部处； ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值， 把代入，得出； ∴的最大值为． 本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．【探究一】①；②【探究二】【探究三】的值为或 【探究一】①利用勾股定理求出的长，再利用翻折得出，进而即可得解；②连，利用勾股定理得到，求出，进而即可得解； 【探究二】延长交于点，连，由得出，由勾股定理得出，由得，进而即可得解； 【探究三】分当点在之间和当点在之间时两种情况讨论即可得解． 【探究一】解：①∵点 N 是边 的中点，， ∴， ∵在矩形 中，， ∴，，， ∴， ∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． ∴， ∴； ②如图，连， ∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究二】解：如图，延长交于点，连， ∵正方形的边长是 20，点 N 是边的中点， ∴，， ∵将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究三】解：∵在菱形 中，，， ∴，，， ∴都为等边三角形， ∴， ∵ 于点 P， ∴， 当点在之间时，设交于点，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在之间时，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $