2026年中考数学三维复习专题24平移与轴对称

专题24平移与轴对称（解析版） 【一维夯实双基】 1．（2025·湖南）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 2．（2025·辽宁）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选：B． 3．（2025·德阳）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（　　） A．3 B．2 C．1 D． 解：在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 4．（2025·湘西）下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：选项A、B、D的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 5．（2025·扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．　 解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 6．（2025•绥化）下列数学符号是轴对称图形的是（　　） A．≠ B．≌ C．≥ D．± 解：A，B，C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 7．（2025•湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 8．（2025•新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 9．（2025•眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 10．（2025•遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形； D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形； 故选：D． 11．（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 12．（2025•泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：在四个选项的图形中，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形． 故选：C． 13．（2025·长沙）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．7 解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 14．（2025·河南）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 15．（2025·深圳）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 故答案为：． 16．（2025·山东）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 17．（2025·凉山）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为 ． 解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 18．（2025·甘肃）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ． 解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12 19．（2024·河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． （1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 20．（2024·吉林）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以点O为圆心，为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． （1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点； （2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 【二维提升能力】 1．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选：B． 2．（2024·连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（　　）    A． B． C． D． 解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去， 阴影图形的周长是：， 故选：A． 3．（2025•台湾）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是线对称图形？（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形是线对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是线对称图形； 故选：C． 4．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADB＝∠1， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠ADB＝∠A'DB， ∴∠1＝∠A'DB， ∵∠DEC＝90°﹣α， 即2∠1＝90°﹣α， ∴，故A不正确， ∵∠BDE≠∠CDE， ∴∠1≠α，故B不正确， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠C'ED＝∠CED ∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确， 故选：D． 6．（2025·深圳）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 7．（2025·湖北）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（　　） A． B．2 C． D． 解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 8．（2024·临夏）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 解：如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 10．（2025•绥化）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ． 解：作点P′和P关于BD对称．则连接CP′， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，P为CD中点， ∴点P′是AD的中点， ∴DP′2， ∵BD＝4，AB＝AD＝4， ∴∠BAD＝120°，∠ADC＝60°， ∴CP′⊥AD， ∴CP′＝2． PM+CM的最小值即为CP′的长：2． 故答案为：． 11．（2025•宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为 ． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°， ∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBA，∠FEM＝∠EMB， 由翻折得∠CEF＝∠FEM，MF＝CF， ∴∠EMB＝∠EBM， ∴CE＝BE＝ME， ∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠EBM， ∴∠ADM＝∠AMD， ∴AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，AE＝AM+EM＝3x， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 ． 解：如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G， 则四边形BOGC是矩形， ∴OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°． 由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE． ∵点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3）， ∴BO＝1，FO＝ 3， ∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1． 在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2， ∴（a﹣1）2+32＝a2， 解得a＝5， ∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE． 在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2， ∴（4一 DE）2+22＝DE2， 解得DE＝2.5， ∴GE＝1.5， ∴点E的坐标为 （﹣1.5，5）． 故答案为：（﹣1.5，5）． 13．（2024·扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 14．（2024·苏州）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将△ADE沿翻折，得到△FDE，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 解：∵， ∴设，， ∵△ADE沿翻折，得到△FDE， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 15．（2025·福建）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． （1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 16．（2025·烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． （1）解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 17．（2025·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． （1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 【三维探究创新】 1．（2024·河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 2．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 3．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 解：连接AA′交BE于点L， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵E为边AD的中点， ∴AE＝DEADAB， ∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE， ∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称， ∴BE垂直平分AA′， ∴∠ALE＝90°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′， ∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′180°＝90°， ∴∠AA′D＝∠ALE， ∴A′D∥BE， 故A正确； 作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°， ∴A′H∥AD， ∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB， ∴tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2， ∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE， ∴A′Dm，ADA′D， ∴AB＝CD＝ADm＝5m， ∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m， ∴A′Cm， ∴， ∴A′CA′D， 故B正确； ∵AA′＝2A′D＝2m， ∴S△A′ADm×2m＝5m2， ∴S△A′DE＝S△A′AES△A′ADm2， ∵S△A′CD5m2m2， ∴S△A′CD＝S△A′DE， 故C正确； ∵AEADm， ∴S△A′BE＝S△ABE5mmm2， ∴S四边形A′BEDm2m2m2， ∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2， ∴S△A′BC＝25m2﹣2m2﹣2m2m2， ∴S四边形A′BED≠S△A′BC， 故D不正确， 故选：D． 4．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 5．（2025·齐齐哈尔）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为 ． 解：当为锐角时，如图， 根据题意得， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴，， 由折叠得， ∴； ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴； 当为钝角时，如图， 过点作于点，则， ∴， 同（1）可得，， ∴， 同理可得 ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 6．（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE， ∴AP＝AB＝4， 当点P在矩形内部时，作 HQ⊥AP，交AB于点H，则：∠AQH＝90°＝∠BAD， ∠AHQ＝∠PAF＝90°﹣∠HAQ， ∵PF⊥AD， ∴∠PFA＝90°＝∠AQH， ∴△AQH∽△PFA， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以AH为直径的圆上运动， ∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH， ∴点Q的运动路径长为：， 当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K， 同法可得：△AKQ∽△PAF，， ∴∠AKQ＝∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动， 连接OQ， 当点E运动到点C时，如图： ∵AB＝4，，∠B＝90°， ∴， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°， ∵将△ABE沿直线AE翻折得到△APE， ∴∠PAC＝∠BAC＝60°， ∴∠PAF＝∠PAC﹣∠CAD＝30°， ∴∠AKQ＝∠PAF＝30°， ∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°， ∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的路径长为， ∴点Q的运动路径总长为：， 故答案为：． 7．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 ． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， 由折叠得∠PAB′＝∠PAB∠BAB′， 如图1，∠BAB′＝15°， ∵∠PAB15°＝7.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝82.5°； 如图2，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD同侧， ∵∠BAB′＝∠BAD﹣∠DAB′＝75°， ∴∠PAB75°＝37.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝52.5°； 如图3，∠DAB′＝15°，且点B′与点B在直线AD异侧， ∵∠BAB′＝∠BAD+∠DAB′＝105°， ∴∠PAB105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°﹣∠PAB＝37.5°， 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°， 故答案为：82.5°或52.5°或37.5°． 8．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ． 解：∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE， ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动， 则如图，点B的运动轨迹为线段MN， 过点E作关于线段MN的对称点E'， 由对称性得BE＝BE'， ∴BE+BF＝BE'+BF≤E'F， 当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图， 设AC与BD交于点O，EE交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G， 菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2， ∴，BO＝DOBD＝1，AC⊥BD， 由题可得AC∥MN， ∴由对称性可得EH⊥HB， ∴AC⊥GH， ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°， ∴四边形EOBH是矩形， ∴EH＝EH＝OB＝1， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC， ∴GD⊥DO， ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°， ∴四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝1， ∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3， ∴， 即BE+BF 的最小值为， 故答案为：． 9．（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ． 解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD， ∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN， 当N，E，F，M四点共线时取得最小值， ∵N，M是D关于AB，AC的对称点， ∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM， 又∵∠EAD+∠FAD＝45°， ∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°， ∴△AMN是等腰直角三角形， ∴， ∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小， 又∵∠B＝60°，， ∴， ∴△DEF周长最小为， 故答案为：． 10．（2025·兰州）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 11．（2025·吉林）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【探究发现】解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； 【探究证明】证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； 【探究提升】解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 12．（2025·山西）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 （1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：②∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 13．（2024·天津）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． （1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24平移与轴对称（原卷版） 【一维夯实双基】 1．（2025·湖南）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·德阳）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（　　） A．3 B．2 C．1 D． 4．（2025·湘西）下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．　 6．（2025•绥化）下列数学符号是轴对称图形的是（　　） A．≠ B．≌ C．≥ D．± 7．（2025•湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025•眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025•泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·长沙）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．7 14．（2025·河南）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 15．（2025·深圳）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 16．（2025·山东）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 17．（2025·凉山）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为 ． 18．（2025·甘肃）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ． 19．（2024·河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 20．（2024·吉林）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以点O为圆心，为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出四边形的一条对称轴； (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 【二维提升能力】 1．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（　　）    A． B． C． D． 3．（2025•台湾）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是线对称图形？（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 4．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 6．（2025·深圳）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖北）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（　　） A． B．2 C． D． 8．（2024·临夏）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 9．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 10．（2025•绥化）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ． 11．（2025•宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为 ． 12．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 ． 13．（2024·扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 14．（2024·苏州）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将△ADE沿翻折，得到△FDE，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 15．（2025·福建）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 16．（2025·烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 17．（2025·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【三维探究创新】 1．（2024·河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 4．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·齐齐哈尔）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为 ． 6．（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQPF．当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ． 7．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 ． 8．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ． 9．（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ． 10．（2025·兰州）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 11．（2025·吉林）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 12．（2025·山西）综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 13．（2024·天津）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $