精品解析：甘肃省 天水市田家炳中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测卷八年级数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 代数式中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 甲型H1N1流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（     　）米． A. B. C. D. 3. 平行四边形中，若，则的度数为（     　） A. B. C. D. 4. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 7. 已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（     　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则整数x的值为_______． 12. 若，则的值等于______． 13. 已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______． 14. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 15. 若分式方程有增根，则的值为_______． 16. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共5小题，共32分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 20. 一次函数的图象经过点，点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，． （1）画出三角形； （2）将三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）直接写出点的坐标； （4）直接写出三角形的面积． 四、解答题（本大题共6小题，共64分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 23. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 24. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． （1）求k，b的值和点A的坐标； （2）结合图象，直接写出时x的取值范围； （3）求的面积． 25. 定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 26. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： （1）甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； （2）求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； （3）当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． （1）直接写出a，b，c的值； （2）若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； （3）如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； （4）如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测卷八年级数学 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 代数式中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义解答，即分母中含有字母的代数式是分式，分母中只含常数不含字母的代数式是整式，需注意π是常数不是字母． 【详解】解：∵的分母含有字母，∴是分式； ∵的分母是常数，不含字母，∴不是分式； ∵的分母含有字母，∴是分式； ∵是常数，是常数，的分母不含字母，∴不是分式； 综上，共有2个分式，故选C． 2. 甲型H1N1流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（     　）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于的非零数可以记作的形式，其中，是正整数，等于将这个绝对值小于的非零数变为时，小数点向右移动的位数． 【详解】解：. 3. 平行四边形中，若，则的度数为（     　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角相等）． 4. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质，牢记“横相反，纵相同”即可快速求解．根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，直接计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，即，纵坐标相等，即， ∴， 故选：A． 5. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质． 依据反比例函数为可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减，进而得到，，的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为 ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减， 又， ∴， ∴ 故选：D． 6. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：B． 7. 已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解，解题的关键是分两种情况来讨论． 【详解】解：当时，随的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当时，当时， 代入一次函数解析式得： ， 解得：， 当时，随的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当时，当时， 代入一次函数解析式得： ， 解得：， 故选：B． 8. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、 的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 9. 若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（     　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 10. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则整数x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是明确分式值为0需满足分子为0且分母不为0． 先求解分子为0时的x值，再排除使分母为0的x值，从而确定整数x的值． 【详解】解：根据分式的值为0得，， 解得或， 又∵， 即， ∴， 故答案为：． 12. 若，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的比例关系，可设参数用同一字母表示a和b，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解】∵ . ∴ 设，， ∴. 13. 已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，因此常数项必须为0且x的系数不为0，即可作答． 【详解】解：∵函数（m是常数）是正比例函数， ∴， 解得， 故答案为：1． 14. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可． 【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限， 因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限， 有：，解得，． 15. 若分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得． 【详解】解：分式方程两边都乘，得 ． 解方程，得 ． 因为分式方程有增根，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 解方程，得 ． 16. 如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共5小题，共32分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算；关键是熟练应用运算法则进行计算；先算乘方、开方、绝对值化简，最后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得， ， ， 经检验：是方程的解，原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得，， ， 经检验：是方程的增根，原分式方程无解． 19. 先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 20. 一次函数的图象经过点，点． （1）求该一次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）把点代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，点， ∴，解得：， ∴该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入（1）中函数解析式得： ， 解得：． 21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，． （1）画出三角形； （2）将三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）直接写出点的坐标； （4）直接写出三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， （4）10 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中描点，平移作图，点的坐标，利用网格求三角形的面积．熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据点的坐标描出点A、点B，再连接即可； （2）利用平移的性质作出三角形即可； （3）根据、的位置，写出两点的坐标即可； （4）利用割补法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由图可得：，． 【小问4详解】 解：． 四、解答题（本大题共6小题，共64分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）125元；90元 （2）购买航空模型40个，航海模型80个 【解析】 【分析】（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同列出方程求解即可； （2）购买航空模型m个，学校花费w元，，则购买航海模型个，先根据航海模型数量不多于航空模型数量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得： 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． 【小问2详解】 解：购买航空模型m个，学校花费w元，则购买航海模型个， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少． 23. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形的周长为24 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 24. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． （1）求k，b的值和点A的坐标； （2）结合图象，直接写出时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． （1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）根据三角形面积公式即可得出答案 【小问1详解】 解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点， ，， ，， 两函数解析式联立，得， 解得：， ； 【小问2详解】 观察图象，时x的取值范围是． 【小问3详解】 ，，， ，点到轴的距离为， ． 25. 定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整数值” （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先求出，再+结合题意得出，计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴A与B是互为“和整分式”， “和整数值”； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴ ． 26. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： （1）甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； （2）求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； （3）当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】（1），， （2） （3）秒或秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度时间）分析函数图像是解题的关键． （1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲到达终点的时间，计算对应时刻的路程差得到； （2）根据乙的出发时间、速度，求得函数表达式； （3）分三种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间 【小问1详解】 解：由图可得甲行走的速度为：（米/秒） 由题意得：； 由得：， 当，， ∴ 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：依题意， 【小问3详解】 解：①：由， 得， ②：由， 得， ③当乙到达终点后， 解得： 甲出发秒或秒或秒，甲、乙相距米． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． （1）直接写出a，b，c的值； （2）若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； （3）如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； （4）如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； 【小问4详解】 如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $