21.2.1 平行四边形及其性质（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

平行四边形及其性质（第1课时）  数学人教版八年级下册 1 研究几何图形时，经常在一般图形的基础上研究特殊图形．例如，对三角形的边和角分别特殊化，得到等腰三角形和直角三角形． 对于四边形，如果对边的位置关系特殊化，能得到哪些特殊的四边形？ 只有一组对边平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 梯形 问题1 平行四边形是常见的几何图形．学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？ 问题1 什么样的图形叫作平行四边形？你能结合符号和图形表示平行四边形吗？ A B C D 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 平行四边形用“□ ”表示． 平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”． 　　表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序． 问题2 请你根据定义画一个平行四边形并进行观察，想一想，除了“两组对边分别平行”，它的边之间有什么关系？它的角之间呢？量一量，和你的猜想一致吗？ A B C D 65° 115° 65° 115° 猜想：平行四边形的对边相等； 　　 平行四边形的对角相等． 测量：AB＝CD，AD＝BC ； ∠B＝∠D，∠A＝∠C． 初步验证了猜想 如何证明？ 思考1 如何证明平行四边形对边相等，对角相等？ 分析：① 证明线段（角）相等的常用方法是证明两个三角形全等； ② 图形中没有三角形，只有四边形，连接对角线是把四边形问题转化为三角形问题的常用方法． 思路：连接平行四边形的一条对角线，证明两个三角形全等． A B C D 思考1 A B C D 证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC． 4 3 2 1 ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴ △ABC ≌△CDA（ASA）. ∴ AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D. 请你继续证明∠BAD＝∠DCB. 如何证明平行四边形对边相等，对角相等？ ∵ ∠1＝∠2，∠4＝∠3， ∴ ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， 即 ∠BAD＝∠DCB． 思考2 对于□ ABCD，不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？ 证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥CD． ∴ ∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°． ∴ ∠B＋∠C＝∠C＋∠D． ∴ ∠B＝∠D． 同理可得 ∠A＝∠C． A B C D 新知 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等． 问题3 如图，在□ABCD中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O．点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ A B C D O OA＝OC，OB＝OD． O 为 AC 的中点 O 为 BD 的中点 AC 与 BD 互相平分 猜想：平行四边形的对角线互相平分． 如何证明？ 问题3 D A B C O 　　已知：如图，□ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O． 　　求证：OA＝OC，OB＝OD． 1 3 4 2 证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD． ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴ △AOB≌△COD（ASA）． ∴ OA＝OC，OD＝OB． 新知 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分． 例 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求 BC，CD，AC，OA 的长，及□ABCD 的面积． 勾股定理 平行四边形对边相等 面积公式 BC，CD AC □ABCD 的面积 10 8 10 8 13 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC＝AD＝8，CD＝AB＝10. ∵ AC⊥BC， ∴ △ABC 是直角三角形. ∴ AC＝ ＝ ＝6. 例 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求 BC，CD，AC，OA 的长，及□ABCD 的面积． ∴ OA＝OC＝ AC＝3，S□ABCD ＝BC·AC＝8×6＝48. 用 S 表示面积时，常在它的右下脚标注所求图形，如S□ABCD表示□ABCD 的面积． 14 　　1．在□ABCD 中， 解：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CD＝AB＝5，AD＝BC＝3， ∴ □ABCD 的另外两边的长分别是 5，3； （1）已知AB＝5，BC＝3，求另外两边的长； （2）已知∠A＝38°，求其余各内角的度数． 　　1．在□ABCD 中， 解：（2）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠C＝∠A，AD∥BC，AB∥CD， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°. ∵ ∠A＝38°，∴ ∠C＝38°， ∴ ∠D＝∠B＝180°－38°＝142°． （1）已知AB＝5，BC＝3，求另外两边的长； （2）已知∠A＝38°，求其余各内角的度数． 　　2．如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD 的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？ 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD＝BC＝10，OA＝OC＝4， OD＝OB＝7， ∴ △AOD 的周长为 AD＋OA＋OD＝10＋4＋7＝21， △ABC 的周长为 AB＋BC＋AC＝AB＋10＋8＝AB＋18， 　　2．如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD 的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？ △DBC 的周长为 BD＋BC＋CD ＝14＋10＋CD ＝24＋CD＝24＋AB， ∵ 24＋AB＞AB＋18， 且24＋AB－（AB＋18）＝24＋AB－AB－18＝6， ∴ △DBC 的周长比△ABC 的周长长，长6． 　　3．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ 解：AD＝BC. ∵ 两张纸条的两组对边都互相平行， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 由平行四边形的对边相等，得 AD＝BC. 平行四边形及其性质 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 平行四边形的对角相等 性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分 $