精品解析：河南新乡市2026届高三下学期学情自测数学试题

河南新乡市2026届高三下学期学情自测数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在四边形ABCD中，，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 24 B. 10 C. 10 D. 24 8. 已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（ ） A. 从2日到8日持续上升 B. 极差为17 C. 平均数为13 D. 标准差为5 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D. 若与圆相交于A，B两点，且，则 11. 如图，在四棱锥中，底面，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（ ） A. 直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B. 平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为2 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列且各项均为实数，若，则______. 13. 已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 14. 已知函数的图象连续不断，且，都有，当时，，若，且函数，则与的图象交点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 16. 2026年的春晚舞台上，机器人的出色表现，展示了中国智造的魅力.某公司在对某型号机器人研发测试的过程中，工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为，但工程师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊.若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为.每次测试该型号机器人能否成功完成动作指令相互独立. （1）求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； （2）现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行次测试，记这次测试中恰有2次未成功完成动作指令的概率为，求取得最大值时的值. 17. 某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. （1）求的方程. （2）光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 18. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，求的最大值（用表示）； （3）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 19. 如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，点在线段AB上，且，点在线段上，且为圆的过点的一条动弦（不与AB重合）. （1）证明：平面PMN； （2）若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角为与上底面所成的角为，求的最小值； （3）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南新乡市2026届高三下学期学情自测数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故所求实部为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知, 因为，，， 所以， 故. 3. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方关系由正弦求出余弦然后利用正弦的倍角公式求解即可. 【详解】因为且，则， 所以. 故选：C． 4. 在四边形ABCD中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【详解】函数， 则， 令，则， 则； 6. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：, 7. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 24 B. 10 C. 10 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】的系数为. 8. 已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题设中的递推关系即为，据此可求及，根据对任意的恒成立，可求实数的取值范围. 【详解】由可得， 而，故即， 即， 因为对任意的恒成立，故对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 而，故对任意的恒成立， 由化简可得对任意的恒成立， 而，而当时，故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（ ） A. 从2日到8日持续上升 B. 极差为17 C. 平均数为13 D. 标准差为5 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A，因为6日的最高气温低于5日的最高气温，故A错误； 对B，这10日的最高气温的最大值为8日的22，最小值为2日的5，所以极差为，故B正确； 对C：这10日的最高气温的平均数为：，故C正确； 对D，这10日的最高气温的方差为：， 所以标准差为5，故D正确. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D. 若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【详解】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 11. 如图，在四棱锥中，底面，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（ ） A. 直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B. 平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为2 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据体积公式计算后可判断C的正误，根据向量法可求线面角的正弦值判断A，根据向量法可求面面角的余弦值判断B，根据空间距离公式可求外接球的球心坐标后求出半径，再结合表面积公式计算后可判断D的正误. 【详解】在四边形中，，故， 所以四边形为直角梯形，故其面积为， 因为平面，所以为四棱锥的高， 故四棱锥的体积为，故C正确； 因为平面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故而平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，故， 故A正确； 又，设平面的法向量为， 则即，取， 设平面与平面所成的角为，则， 故B错误； 设，， 由可得， 故的面积为， 当且仅当时等号成立，故当且仅当时，三棱锥的体积最大， 此时，设三棱锥外接球的球心为， 则， 整理得，解得，故， 三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列且各项均为实数，若，则______. 【答案】8 【解析】 【详解】由等比数列的性质可得，故， 而同号，故，故. 13. 已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质，结合的周长得出a，再应用离心率公式计算求解． 【详解】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 14. 已知函数的图象连续不断，且，都有，当时，，若，且函数，则与的图象交点个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】可利用函数恒等式对应的几何性质判断对称关系，由判定中心对称、由判定轴对称，再依据一条对称轴加一个对称中心必可求周期的规律直接推出周期，也可通过变量代换递推得到确定周期，再结合函数在给定区间的解析式求出参数，借助函数值域、对数偶函数图象的增减与取值范围，限定有效区间后分段数形结合统计交点总数即可. 【详解】依题意由得关于点中心对称，即. 由得关于直线对称. 联立得，进而，故周期. 当时，，由得. 结合，得. 由对称性，，故. 由，，得. 即时. 结合周期性、对称性可得值域为，且为连续周期函数. 函数是偶函数，时单调递增，时单调递减. 令，解得. 结合与的图象性质，逐区间统计交点个数时共个交点. 由对称性可知时共个交点. 综上，与的图象交点个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得边的关系，根据余弦定理得的大小； （2）根据余弦定理和中线向量可求，再根据面积关系可求的长. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，即.① 因为，所以， 即，所以.② 由①②得， 所以，所以. 因为，且， 所以，即， 所以. 16. 2026年的春晚舞台上，机器人的出色表现，展示了中国智造的魅力.某公司在对某型号机器人研发测试的过程中，工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为，但工程师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊.若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为.每次测试该型号机器人能否成功完成动作指令相互独立. （1）求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； （2）现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行次测试，记这次测试中恰有2次未成功完成动作指令的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式可构建关于的方程，从而可求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； （2）根据二项分布可求，判断其单调性后可求取得最大值时的值. 【小问1详解】 设事件“工程师下达的动作指令表述模糊”， 事件“工程师下达的动作指令表述清晰”，事件“机器人成功完成动作指令”， 根据题意得. 设，则. 由全概率公式，得， 所以，解得. 即工程师下达的动作指令表述模糊的概率为. 【小问2详解】 由题意知， 则. 所以当时，，当时，，当时，. 所以当或时，取得最大值. 17. 某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. （1）求的方程. （2）光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】（1） （2）证明：因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 【解析】 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【小问1详解】 由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，求的最大值（用表示）； （3）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线方程； （2）求出函数的导数后根据其符号可得函数的单调性，从而可求的最大值； （3）就、、、、分类讨论函数的极小值的符号后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则. 因此所求切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， . 当时，， 令，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. 【小问3详解】 ①由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为， 又因为当且时，，当时，， 所以当，即时，有两个零点， 当，即时，有且仅有一个零点. ，即时，无零点. ②当时，，所以有且仅有一个零点1. ③当时，由，得， 由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， ，即，， 当时，则， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ④当时，，函数在上单调递减， 而， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ⑤当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值， 与③同理存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. 综上，若有且仅有一个零点，的取值范围为. 19. 如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，点在线段AB上，且，点在线段上，且为圆的过点的一条动弦（不与AB重合）. （1）证明：平面PMN； （2）若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角为与上底面所成的角为，求的最小值； （3）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图1，连接.由题意可知. 因为，所以，所以. 又因为在圆柱的轴截面中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又因为平面平面PMN，所以平面PMN. （2）25 （3） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，从而可得，结合线面平行的判定定理可证平面PMN； （2）设，利用空间距离结合线面角定义可得，利用基本不等式可求的最小值； （3）根据体积公式可得，在平面直角坐标系中结合解析几何的方法可求最大值时，从而即为二面角的平面角，故可求其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则，设，可得， 则，且， 所以，. 由题意知，，且与上、下底面均垂直， 所以与下底面所成的角为，所以. 同理，.所以. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 【小问3详解】 由（1）知，所以， ， 所以当最大时，三棱锥的体积最大. 在平面直角坐标系xOy中，圆的方程为， 设直线，代入圆方程， 整理得，且， 所以， 所以 ， 令，则，则. 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以， 所以当，即时，三棱锥的体积最大，最大体积为. 此时，且为MN的中点，所以. 所以即为二面角的平面角， 因为， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $