精品解析：山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试题

2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 高二数学试题 2026．05 本试题卷共4页，19题．全卷满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由组合计算公式的性质得，再由计算公式构建方程，解得答案. 【详解】由题可知，或（舍） 故选：C 【点睛】本题考查由排列组合公式解方程，属于基础题. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，根据分布列的性质有，解得. 4. 在的展开式中，若的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以，解得. 5. 某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知位移函数，对其求导得速度函数：， 将代入得. 因此时的瞬时速度为. 6. 高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 由分步计数原理可得共有种． 7. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，则球不在甲手中的概率为； 则次传球后球在甲手中的概率为，即； 由题意知，，即数列是首项为，公比为的等比数列； ，即; ，即次传球后球在甲手中的概率为. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类讨论，确定函数的最小值并建立的关系，再构造函数并利用导数求出最大值. 【详解】当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意； 当时，函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，不合题意； 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数是 【答案】ACD 【解析】 【详解】展开式的通项为. 为展开式的常数项，由得，所以A正确； 令 ，得， 所以，所以B不正确； 因为是的系数，所以当为奇数时，为负数；当为偶数时，为正数. 令，得， 所以，所以C正确； ， 因为均能被整除， 所以除以的余数是 ，所以D正确. 10. 某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（ ） A. 第天去餐厅的概率为 B. 第天去餐厅的概率为 C. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 D. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全概率公式求解判断A；再结合对立事件的概率公式求解判断B；根据条件概率公式求解判断CD. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故A正确； 而王同学第2天去餐厅用餐的概率为，故B错误； 对于C，， 即王同学第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为，故C错误； 对于D，由，则， ，故D正确. 11. 双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（ ） A. 是增函数 B. 的值域为 C. 点是曲线的对称中心 D. 函数有且只有一个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】由在上为增函数，可判断A；由求值域可判断B；设，可得则对称中心为，进而可判断C；设，由利用单调性，可得结论判断D. 【详解】对于A项，由在上为增函数，可得在上为增函数，故A正确； 对于B项，， 因为，所以，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C项，设 ，则， 因为 ， 所以的对称中心为，故C错误； 对于D项，设， 则， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 又因为， ， 所以函数有且只有一个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出函数的一个极值点_________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】对函数求导，根据乘积求导法则得：， 令，解得或. 当时，当时，故是极大值点； 当时，当时，故是极小值点. 综上，和均为函数的极值点，写出一个即可. 13. 现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，对四棱锥的个面进行着色. 可先给底面选一种颜色，有种选择， 再对侧面和侧面进行着色， 若侧面和侧面同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面各有两种选择， 因此，有种着色方法； 若侧面和侧面不同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面只有一种选择， 因此，有种着色方法. 综上所述，共有种着色方法. 14. 若，其中，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用二项式定理求和并确定即可计算得解. 【详解】令，由，得， 当时，， ， 因此，由是正整数，得是正偶数， 则是正偶数，又是正整数，于是是整数， 由，得，则，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）最小值为，最大值为4． 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间； （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，根据单调性可得最大最小值. 【小问1详解】 ∵，∴， 由，得或，由，得， ∴函数的单调增区间为；单调减区间为． 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的最小值为， 又，函数的最大值为4． ∴函数在上的最小值为，最大值为4． 16. 已知，函数． （1）当时，证明：； （2）已知，证明：，． 【答案】（1） 函数，. 因为，当时，，； 当时，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以 . （2） 由（1）可知，当且时，，即. 令， 因为，所以，所以. 又，所以，所以， 所以. 即，得证 . 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，从而求得的最小值，证得； （2）根据（1）的结论，结合已知即可证得原不等式成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号． （1）求的分布列； （2）若，求的值； （3）记表示第二次所取卡片的标号，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概率模型的概率直接求出的值，即可得到分布列； （2）由（1）求得的数学期望，根据期望的性质列出方程，即可求出的值； （3）利用条件概率及全概率公式可求得． 【小问1详解】 的可能取值为， 则，，，， 则的分布列为： 【小问2详解】 由（1）可知，. 因为，由期望的性质可得， 即，解得 . 【小问3详解】 记事件“第二次所取卡片的标号大于”， 由（1）可知，所以， ，所以， 所以 . 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在和上各恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可； （2）将的零点问题，转化为研究的零点，再对分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数与函数的零点相同． 令， 当时，若，恒成立，不合题意 下面讨论的情形： 此时，设，， 当时，在区间上恒成立，又， 即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，不合题意 当时，易知在区间上单调递增， 又因为，， 所以存在唯一的使得 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 所以是的极小值点，所以 又因为，，所以存在使得， 即 当时，，在区间上单调递增 当时，，在区间上单调递减 当时，，在区间上单调递增 考虑函数，，得， 所以在上单调递增，在单调递减，且时 所以，，即 ，取， ， 又因为， 所以当时，， 故，且已证在内可取到负值，故在上存在唯一零点； 即在上存在唯一零点 同理，取， ， 又因为， 所以当时，，故， 所以在上存在唯一零点， 即在上存在唯一零点， 综上，的取值范围为. 19. 箱内有个除编号外都相同的小球，编号为．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球总次数为． （1）若，求和； （2）求，； （3）当为偶数时，记为偶数的概率为，证明：． 【答案】（1）， （2）， （3） 由（2）知，当时， , 因为为偶数，所以, , 所以, 所以. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型公式和条件概率公式直接计算即可； （2）表示：前次取出不同的数字，且从小到大取出，故； （3） 由 ,则，再利用二项式定理化简即可. 【小问1详解】 由题意，当时，可能取的值为 表示：两次取出的是相同数字，或不同数字第一次比第二次大， 所以, 所以，， 所以, 【小问2详解】 由题意，的可能取值为 表示：前次取出不同的数字，且从小到大取出， 所以， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 高二数学试题 2026．05 本试题卷共4页，19题．全卷满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，若的系数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 6. 高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数是 10. 某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（ ） A. 第天去餐厅的概率为 B. 第天去餐厅的概率为 C. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 D. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 11. 双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（ ） A. 是增函数 B. 的值域为 C. 点是曲线的对称中心 D. 函数有且只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出函数的一个极值点_________． 13. 现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 14. 若，其中，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 16. 已知，函数． （1）当时，证明：； （2）已知，证明：，． 17. 盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号． （1）求的分布列； （2）若，求的值； （3）记表示第二次所取卡片的标号，求． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在和上各恰有一个零点，求的取值范围． 19. 箱内有个除编号外都相同的小球，编号为．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球总次数为． （1）若，求和； （2）求，； （3）当为偶数时，记为偶数的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $