8.2.1多边形的内角和 课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.2.1多边形的内角和 第8章 三角形 8.2.1 多边形的内角和 学习目标：1. 理解多边形、正多边形的定义，能准确区分凸多边形与凹多边形；2. 掌握多边形内角和定理，能推导n边形内角和公式；3. 能运用多边形内角和公式解决简单的角度计算、边数求解问题，提升推理和计算能力。 一、多边形的相关概念 1. 多边形的定义：由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（n≥3，且n为整数）。其中，n=3时是三角形，n=4时是四边形，n=5时是五边形，以此类推。 说明：“首尾顺次相接”“封闭图形”是多边形的核心特征，若线段不封闭或不在同一直线但未首尾相接，均不能组成多边形；n必须是大于或等于3的整数，不存在2边形或1边形。 2. 相关分类： - 凸多边形：多边形的每一个内角都小于180°，且整个多边形都在任意一条边所在直线的同一侧（七年级重点研究凸多边形）。 - 凹多边形：多边形中至少有一个内角大于180°，且多边形的一部分在某条边所在直线的另一侧（了解即可）。 - 正多边形：各个边都相等，各个内角也都相等的多边形，叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 二、多边形内角和定理（核心） 1. 核心公式：n边形的内角和等于$$(n-2)\times 180^\circ$$（n≥3，且n为整数）。 说明：多边形内角和与边数n相关，边数越多，内角和越大，且内角和始终是180°的整数倍（因为n-2是整数）；三角形是特殊的多边形（n=3），代入公式可得三角形内角和为$$(3-2)\times 180^\circ = 180^\circ$$，与之前所学一致，体现知识的连贯性。 三、多边形内角和公式的推导（贴合七年级认知） 推导思路：将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和为180°，推导得出多边形内角和公式，最简便的方法是从多边形的一个顶点出发画对角线。 - 具体推导过程（以n边形为例）：1. 从n边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画对角线，一共可以画$$(n-3)$$条对角线；2. 这些对角线将n边形分成$$(n-2)$$个三角形（例如，四边形可分成2个三角形，五边形可分成3个三角形）；3. 因为每个三角形的内角和为180°，所以n边形的内角和 = $$(n-2)\times 180^\circ$$。 - 示例验证：四边形（n=4），内角和 = $$(4-2)\times 180^\circ = 360^\circ$$；五边形（n=5），内角和 = $$(5-2)\times 180^\circ = 540^\circ$$，可通过剪拼内角验证，与推导结果一致。 四、多边形内角和公式的应用（基础题型） 核心思路：已知多边形的边数n，可直接代入公式求内角和；已知多边形的内角和，可通过公式变形求边数n；结合正多边形的特征，可求正多边形每个内角的度数。 - 示例1：求六边形的内角和。解：n=6，代入公式得内角和 = $$(6-2)\times 180^\circ = 4\times 180^\circ = 720^\circ$$。 - 示例2：已知一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边数。解：由内角和公式$$(n-2)\times 180^\circ = 1080^\circ$$，变形得n-2 = 1080°÷180° = 6，因此n=8，该多边形是八边形。 - 示例3：求正五边形每个内角的度数。解：正五边形n=5，内角和 = $$(5-2)\times 180^\circ = 540^\circ$$，因为正五边形各个内角相等，所以每个内角的度数 = 540°÷5 = 108°。 五、易错点提醒 - 1. 忽略n的取值范围：多边形的边数n必须是大于或等于3的整数，不能出现n=2或小数的情况（如“2.5边形”不存在）。 - 2. 推导公式时，错误计算对角线数量或分割出的三角形数量：从n边形一个顶点出发，对角线数量是$$n-3$$条，分割出的三角形数量是$$n-2$$个，不可混淆。 - 3. 计算正多边形内角时，忘记用内角和除以边数：正多边形各个内角相等，需先求内角和，再平均分到每个内角。 - 4. 混淆凸多边形与凹多边形的内角特征：凸多边形所有内角都小于180°，凹多边形有一个内角大于180°，计算凹多边形内角和时，公式仍然适用（$$(n-2)\times 180^\circ$$）。 小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）七边形的内角和是900°；（2）内角和为720°的多边形是五边形；（3）正六边形每个内角的度数是120°。（答案：√、×、√） 1. 掌握多边形的相关概念. 2. 会用分割法探索多边形的内角和计算公式.(重点) 3. 运用多边形的内角和计算公式解决问题.(难点) 学习目标 新课导入 它们的名字是什么？有哪些特征？ 你能从水立方的外立面中想象出几个由线段围成的图形吗？ 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形. 你能说出什么叫做四边形、五边形吗？ C A B 试一试 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但我们习惯称为三角形). 你能说出三角形的定义吗？ 顶点 内角 边 对角线 (连结不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素 外角 表示：五边形ABCDE A C B D E 如图 1 是凸多边形； 图 2 不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形. 图 2 如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形. 图 1 A C B D A C B D 如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形. 问题 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 特点： 各边相等，各内角都相等的多边形. 多边形的内角和 问题 三角形的内角和等于 180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图，四边形 ABCD 的一条对 角线 AC 把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和， 即 180°×2 = 360°. 2 试一试 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，完成下表. 五边形 六边形 七边形 图形 边数 可分成三角形个数 内角和 五边形 5 六边形 6 七边形 7 . . . . . . . . . . . . n 边形 n 3 4 5 n-2 (5-2)×180° (6-2)×180° (7-2)×180° (n-2)×180° n 边形的内角和等于(n - 2)· 180°. 归纳总结 多边形内角和公式： 例 (1) 八边形的内角和是多少度？ (2) 一个多边形的内角和等于 2160°，它是几边形？ 解： (1) 八边形的内角和是 (8 - 2)×180° = 1080°. (2) 设这个多边形的边数为 n，则 (n - 2 )×180° = 2160°， 解得 n = 14. 所以这是一个十四边形. 典例精析 1. 求下列图形中 x 的值. 随堂练习 90° 160° 110° 2x° x° 80° 150° x° x° （1） （2） 解： ∵x + x + 150 + 80 = (4 – 2)·180， ∴x = 65. ∵x + 2x + 160 + 90 + 110 = (5 – 2)·180， ∴x = 60. 【教材P97练习 第1题】 随堂练习 2. 已知一个多边形的内角和等于 1440°，求这个多边形的边数. 【教材P97练习 第2题】 解：设这个多边形的边数为 n，根据题意，得 （n – 2）· 180°= 1440°. 解得 n = 10. 因此，这个多边形的边数为 10. 随堂练习 3. 若两个多边形的边数之比是 1：2，内角和度数之和为 1440°，则这两个多边形的边数分别是多少？ 解：设这两个多边形的边数为 m 和 n (m < n) ，根据题意，得 2m = n 解得 m = 4，n = 8. 因此，这两个多边形的边数分别为 4 和 8. (m – 2)· 180°+ (n – 2)· 180°= 1440° 随堂练习 1. 在如图所示的图形中，属于多边形的有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 中考考法 15 2. 下列说法不正确的是( ) D A. 正多边形的各边都相等 B. 正多边形的各内角都相等 C. 从边形的一个顶点引出的对角线可以将该 边形分割成 个三角形 D. 正多边形的各对角线相等 中考考法 16 （第3题） 3. 正定凌霄塔是全国重点文物 保护单位，其造型优美端庄，八角九层，塔高 约41米，如图所示的正八边形是凌霄塔其中一 层的平面示意图，其每个内角的度数为( ) D A. B. C. D. 4. 过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的 边数是( ) B A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 中考考法 17 5. [长沙中考] 如图，五边形中， ， ， ，则_____ . 205 （第5题） 中考考法 18 6. [自贡中考] 如图，正六边形与正方 形的两邻边相交，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 19 【点拨】如图， 正六边形与正方形的两邻边相交， ， . ， . ， ， . 中考考法 20 7. 如图，将四边形纸片 沿折叠，点，分别落在 ， 处.若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 8. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和 为 ，那么原多边形的边数为( ) D A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9 中考考法 21 n 边形的内角和为 （n – 2）·180°. 课堂小结 顶点 内角 对角线 边 外角 课堂小结 $