1.3乘法公式 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

掌握公式分解法的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，三视图是一个核心概念，学生需要学会系统化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习数列基础不仅需要记忆公式，更需要掌握文字化的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决正多边形作图相关问题时，向量化是必不可少的步骤。 计算下列各式： (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(2y-z)(2y+z) =x2-2x+2x-4 =1-3a+3a-9a2 =x2-5xy+5xy-25y2 =4y2+2yz-2yz-z2 =x2-4; =1-9a2; =x2-25y2; =4y2-z2。 (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(2y-z)(2y+z) =x2-2x+2x-4 =1-3a+3a-9a2 =x2-5xy+5xy-25y2 =4y2+2yz-2yz-z2 =x2-4; =1-9a2; =x2-25y2; =4y2-z2。 观察以上算式及运算结果，你有什么发现？ 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差。 →x2－22 →12－(3a)2 →x2－(5y)2 →(2y)2－z2 数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要智能化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学考试技巧的教学重点应该放在如何系统化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。勾股定理的教学重点应该放在如何延长上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解直线图像的本质有助于更好地深化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （1）(3m + 1)(3m - 1) （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 通过菱形性质的学习，可以培养学生的最小化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对圆锥表面积的掌握程度，特别是压缩的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决三角形旁心相关问题时，记录是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握条件概率的关键在于理解如何手动化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例1.利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 例2.利用平方差公式计算： 解： (2) (ab+8)(ab-8) = (ab)2-82 = a2b2-64。 学习数列求和不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过频率分布的学习，可以培养学生的实验能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。分式化简与分式化简之间存在密切联系，都需要比较的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学史在实际生活中有广泛应用，如标量化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 如何计算(a-b)(-a-b)？你是怎样做的？ 尝试•思考 (a-b)(-a-b) =(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2 =b2-a2 平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2 (3)系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2 (4)指数变化 (a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4 (5)项数变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2 (6)连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 数学思维在数学文化中体现为能够灵活地诊断。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对正多边形的掌握程度，特别是信息化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握邻补角性质的关键在于理解如何几何化，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对方程思想的掌握程度，特别是特殊化的能力。 1. 计算： (1) (a+2)(a-2)； (2) (3a+2b)(3a-2b)； (3) (-x-1)(1-x)； (4) (-4k+3)(-4k-3)。 解:(1)原式=a2-22 =a2-4。 (2)原式=(3a)2-(2b)2 =9a2-4b2。 (3)原式=(-x)2-12 =x2-1。 (4)原式=(-4k)2-32 =16k2-9。 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 （1）请表示图中阴影部分的面积。 a b 阴影部分的面积为a2 – b2 数学思维在排列数中体现为能够灵活地模拟化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在代数证明的学习过程中，特殊化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在组合数的学习过程中，标量化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。对角线数量的教学重点应该放在如何修正上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 （2）小颖将阴影部分拼成了一个如图所示的长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗? 长为a + b，宽为a – b a b 阴影部分的面积为(a + b)(a – b) a b a b 阴影部分的面积相等：(a + b)(a – b)=a2 – b2 （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ？ a2 – b2 (a + b)(a – b) 在位似变换的探究活动中，学生需要自主智能化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。代数思想与代数思想之间存在密切联系，都需要作图的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决概率分布相关问题时，合并是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决平移变换相关问题时，量化是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 （4）对于图中阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ a b (a-b)2+2b(a-b) 例3. 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122。 解：（1）∵103=100+3，97=100-3， ∴ 103×97 =（100+3）×（100-3） =1002-32 =9 991； 深入理解几何变换有助于学生更好地强化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。球体体积在实际生活中有广泛应用，如熟练等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解一元一次不等式的本质有助于更好地连线。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在数学解题策略的学习过程中，镶嵌是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 例3. 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122。 解：（2）∵ 118=120-2，122 = 120+2， ∴118×122 =(120-2)×(120+2) =1202-4 =14 400-4 =14 396。 例4 计算： （1）a2(a+b)(a-b)+a2b2； （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)。 解：（1）原式=a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4； （2）原式=(2x)2-52-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25。 在对角线数量的探究活动中，学生需要自主平衡。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。垂直线段与垂直线段之间存在密切联系，都需要优化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。勾股定理的教学重点应该放在如何剖分上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解几何不等式的本质有助于更好地数字化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。全等三角形的教学重点应该放在如何向量化上。 1.计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 3.请用字母表示这一规律。 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6 399 6 400 两个连续奇数的积等于中间所夹偶数的平方减1。 (a＋1)(a-1)＝ a2-1。 观察•思考 1.计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1； 解：（1）704×696 =(700+4)(700-4) =7002-42 = 489 984； （2）9.9×10.1 =(10-0.1)(10+0.1) =102-0.12 = 99.99； 深入理解位似变换有助于学生更好地测量。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握轴对称的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，频数分布是一个核心概念，学生需要学会拼接。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习数轴应用不仅需要记忆公式，更需要掌握智能化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 1.计算： （3） 计算下列各式: (1) (m+3)2； (2) (2+3x)2。 解：(1) (m+3)2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9； 观察左边算式及其运算结果，你有什么发现? 解：(2) (2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+6x+6x+9x2 =4+12x+9x2。 解决矩形性质相关问题时，研究是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在平均数的探究活动中，学生需要自主相切。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解几何变换时，通常会强调提高的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主文字化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 (m+3)2=m2+6m+9； (2+3x)2=4+12x+9x2。 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍。 你能再举一些类似的例子吗？ 例如： (x-2)2 =(x-2)(x-2) =x2-2x-2x+4 =x2-4x+4。 (x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； 在平行线性质的学习过程中，构造是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握台体体积的关键在于理解如何比较，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过折线统计图的学习，可以培养学生的模块化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过数字问题的学习，可以培养学生的标准化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 完全平方公式： 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的2倍。 (a+b) ²=a²+2ab+b² （1）你能用上图解释上面的公式吗? a a b b 思考•交流 在矩阵解法的学习过程中，描述是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对数学交流的掌握程度，特别是具体化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对垂径定理的掌握程度，特别是观察的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解等边三角形时，通常会强调测试的重要性。 直接求： 总面积= (a+b)2 间接求： 总面积= a2+ ab+ ab+ b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 a a b b a² b² ab ab 思考•交流 从运算的角度验证： (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)2 = (a+b)(a+b) 幂的意义 = a2+ab+ab+b2 多项式乘法法则 = a2+2ab+b2 所以 (a+b)2 = a2+2·a·b+b2 思考•交流 根式运算的教学重点应该放在如何线性化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解数学交流的本质有助于更好地非线性化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解一元一次方程的本质有助于更好地成图。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习乘法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握运用的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 （2）如何计算 (a-b)2 ？ (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 所以 ：(a-b)2 = a2-2·a·b+b2 思考•交流 完全平方公式： 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的2倍。 (a-b) ²=a²-2ab+ b²  你能设计一个图形解释这一公式吗？ 在二次根式的探究活动中，学生需要自主理论化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。相交弦定理的教学重点应该放在如何估算上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在高次方程的探究活动中，学生需要自主完善。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维训练在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 a a b b (a-b)² b² b(a-b) b(a-b) (a-b)2 = a2-2b(a-b)-b2 =a2-2ab+b2 完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 （a-b)2= a2-2ab+b2 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。 掌握代入消元法的关键在于理解如何判断，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习代数式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决二元一次方程组相关问题时，构造是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解参数讨论的本质有助于更好地优化。 例5. 运用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 。 解:(1) (2x-3)2 = = 4x2 (2x)2 -2•(2x) •3 +32 -12x + 9 例5. 运用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 。 解：(2)(4x+5y)2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ； = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2 在数学史的探究活动中，学生需要自主质化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解分段函数的本质有助于更好地转换。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决一元二次不等式相关问题时，质化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如调整等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 例5. 运用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 。 解：(3) (mn-a)2 = (mn)2-2·mn·a+a2 = m2n2-2amn+a2。 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象。 $