2026年上海市高考数学模拟卷4

2026年上海市高考数学模拟卷四 一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知集合，集合，则　　 . 2.记为等差数列的前项和，若，，则的公差为 . 3.已知二项式的展开式中所有项的系数和为，则此展开式中含项的系数为 . 4.若是函数的极值点，则 . 5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为　 　. 6.若随机变量，且，，则　　 . 7.已知向量、满足，，，则　　 . 8.已知函数在上恰有个零点，则实数的最大值为　 　. 9.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前位数字、、、、、进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个不相邻，那么小明可以设置的不同密码的个数为　 　. 10.设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为 .　 11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为　 　. 12.已知函数，若函数的零点一共有个，则实数的取值为　　 . 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题各4分，第15、16题各5分） 13.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知锐角，，，则边上的高的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15.从装有个红球和个蓝球的袋中、均不小于，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 16.已知非空集合满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解. 下面判断正确的是（ ） A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①、②都正确 D.①、②都错误 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图.在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动. （1）证明：； （2）当异面直线、所成的角为时，求三棱锥的体积. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设，（常数）. （1）若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； （2）若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）某超市每天以元千克购进某种有机蔬菜，然后以元千克出售.若每天下午点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以元千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按天计算）每天下午点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据（注：视频率为概率，、. 每天下午点前的销售量千克 天数 （1）求天下午点前的销售量不少于千克的概率； （2）在接下来的天中，设为下午点前的销售量不少于千克的天数，求的分布列和数学期望； （3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进千克的期望值比购进千克的期望值大时，求的最小值. 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知、分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于、两个不同的点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点落在以线段为直径为圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围； （3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围. 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12. 二、选择题 13.A； 14C； 15.D； 16.B 三、解答题 17.（1）在直棱柱中，平面， 平面，所以， 在中，，为中点，所以， 又、平面，， 所以平面，结合平面，得； （2）在直棱柱中，， 所以（或其补角）即为异面直线、所成的角， 因为，所以， 又平面，得， 结合，得平面， 因为平面，所以， 因此，△中，，得， 得， 又，所以， 所以. 18.（1）， 由曲线在点处的切线与轴平行得， 即，解得； （2），即，也即， 令，则， 令，则， 当时，； 结合在上严格增，在上恒成立， 再由，因此在上恒成立， 进而在上恒成立，于是在上是严格增函数， 它的最小值为， 因此，不等式对任意都成立的一个充要条件 是； 综上所述，实数的取值范围是. 19.（1）1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， （2）随机变量的可能值为0，1，2， ，，， 所以的分布为，的数学期望. （3）购进350千克时利润的期望值 为， 购进400千克时利润的期望值 为 ， 由，解得，因为、，， 因此，，所以的最小值是17. 20.（1）因为，所以； 又点在图像上即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）得， 当直线的斜率不存在时，， 以线段为直径的圆交轴于， 点在以线段为直径的圆的外部，符合，此时； 当直线的斜率存在时，设直线，设、， 由得， 所以解得或（i） 因为点在以线段为直径的圆的外部，则， 又， ， 解得或 （ii） 由（i）（ii）得实数的范围是或， 所以直线的倾斜角的范围是； （3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）得， 记、，所以直线的方程是， 直线的方程是. 令，解得，所以点S为，同理点T为， 所以，，. 由，得，， 所以， 由（2）得，， 所以 （因为）， 综上，的范围是. 21.（1），偶函数；，非奇非偶函数； （2）因为. ，则，故， 当或时，函数严格增， 时，函数严格减， 从而函数的极大值为，极小值为， 当时，直线与的图像有3个交点， 即时方程有3个不同实根； （3）函数在上严格减，所以。 所以对任意的，且恒成立， 等价于 对任意的，且恒成立， 即，且恒成立， 所以在上是严格增函数， 在上是严格减函数， 由在上恒成立， 得在恒成立， 而在上为增函数，且在处取得最小值1，所以， 由在上恒成立， 得在上恒成立， 令. 因为. 从而在上严格增，在上严格减， 所以在取得最大值，故， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $