专题03 实数相关【重难点培优：知识梳理+6大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合实数核心知识，通过7类分层题型实现从基础到压轴的能力递进，突出抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3类方法|平方根/立方根公式、整数部分估算、3种大小比较法|从定义公式到方法应用，构建实数运算基础| |题型1-2|16题|整数部分确定、平方根与立方根综合计算|概念辨析与代数运算结合，强化符号意识| |题型3-4|18题|程序流程图转化、数轴上实数表示|跨情境应用，培养几何直观与模型意识| |题型5-7|24题|估算比较、实际问题建模、压轴新定义|从基础到探究，提升运算能力与创新意识|

专题03 实数相关重难点题型分类 【题型1：算术平方根的整数部分和小数部分 1】 【题型2：平方根、算术平方根、立方根的综合 5】 【题型3：实数与程序设计 9】 【题型4：实数与数轴问题 15】 【题型5：实数大小比较与估算 24】 【题型6：实数与实际问题 31】 【题型7：压轴问题 39】 算术平方根的整数部分和小数部分 题型1 1．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 5．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算； （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是 故答案为：． （2）∵，设的小数部分为x， ∴ ∴ 6．求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 【答案】(1)， (2)；2 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，学会用“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个正数的两个不同平方根互为相反数可求得，在根据立方根的定义求解即可． （2）根据平方根和立方根的定义，再根据“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分，代入数值即可求解，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：． （2）解： 的平方根是，的立方根是， ， ，， 是的整数部分，， ， 是的小数部分， ， ， 4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 7．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 平方根、算术平方根、立方根的综合 题型2 1．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 2．已知正数a的两个不同的平方根是1和b，c的立方根是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是3 【分析】本题考查了求平方根，求算术平方根，根据立方根求原数． 根据平方根，立方根求出，，进而求出的值，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：正数a的两个不同的平方根是1和b， ． c的立方根是， ， ， 的算术平方根是3． 3．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 4．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，且b是8的立方根．求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的性质和立方根的定义，算术平方根，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据平方根的性质和立方根的定义，分别求出，，进而求出，再根据算术平方根的定义进行计算求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2． 5．已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 6．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个不同的平方根分别是与，则与互为相反数；的立方根是，则，由此可求出的值，代入求出其算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ， 解得． 的立方根是， ， 解得， ， 的算术平方根是4． 7．一个正数的平方根分别是和，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查平方根的性质和定义，立方根、相反数的定义．熟悉平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，立方根与被开方数的关系：若是的立方根，则，解一元一次方程的运算法则，平方根的定义，是解题的关键． （1）由正数的两个平方根互为相反数、立方根定义，列式计算即可； （2）根据得到的，的值，平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 解得a=−1， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴；； （2）解：∵， 又的平方根是， ∴的平方根是． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，y的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查平方根和立方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此即可求出a的值；立方根是本身的负数是，据此可求y的值； （2）根据（1）中求出的a与y的值，求出的值，从而可求其算术平方根． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴ ∴a，y的值分别为，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴的算术平方根为． 9．已知和是某正数的两个不同的平方根，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，， ，， ， 则的平方根是． 实数与程序设计 题型3 1．根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 2．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 3．如图是一个数值转换器，当输入为时，输出的值是______．    【答案】 【分析】直接将代入流程图进行运算即可． 【详解】解：把代入流程图，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 第二次计算可得为无理数，输出， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 4．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为________； （2）若输出的是且，则输入的的值为________． 【答案】 或 【分析】（1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：若经过一次转换，则；若经过两次转换，则；若经过三次转换，则，根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）输入的值为5时， ， 取算术平方根：， ∵是无理数， ∴输出的值为， 故答案为：； （2）根据题意可得： 若经过一次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 若经过两次转换：， 则，解得：或， 若经过三次转换：， 则，解得：或， ∵， ∴或均不符合题意； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． 5．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为2或4； ②当输入值x为9时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中正确的是________． 【答案】②④/④② 【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=1时判断④． 【详解】解：①当时，，，2取算术平方根为，输出值y为，则输入值x为2或4或等，故①不符合题意； ②，取算术平方根为，输出值y为，故②符合题意； ③如x=π2时，是正无理数不是正整数，输出值y为π是正无理数，故③不符合题意； ④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键． 6．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 7．如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得； （2）为0和1时，有效，始终输不出y值． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴计算流程图能够运算进行下去的最小整数是； （2）解：当时，始终输不出y值． ∵0的算术平方根是0，一定是有理数； 当时，始终输不出y值； ∵1的算术平方根是1，一定是有理数； 当时，是负数时，始终输不出y值， ∵负数没有算术平方根； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，掌握实数运算规则是关键． 8．如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或时，输出的值是，答案不唯一． 【分析】（1）根据运算规则计算即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：，16的算术平方根是4， 4不是无理数，4的算术平方根是2， 2不是无理数，2的算术平方根是，是无理数， 故输出的值是． 故答案是：． （2）解：存在输入值后，始终输不出值的情况． ∵0和1的算术平方根是0和1， ∴当或时，始终输不出值， ∴或或． （3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是， ∴当或， 即或或或时，输出的值是，(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键． 实数与数轴问题 题型4 1．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行判断即可． 【详解】解： ∵ ∴A不符合要求 ∵ ∴，故B符合要求 ∵ ∴C和D不符合要求 ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 2．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由数轴得：，， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、由数轴得：，， ∴，， ∴，故选项不符合题意； C、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项不符合题意； D、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 3．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 【答案】C 【分析】本题考查平方根和绝对值的性质，数轴上表示点，掌握知识点是解题的关键． 根据平方根和绝对值的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据非正数的绝对值是它的相反数，得出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴实数在数轴上的对应点在原点或原点左侧． 故选：C． 4．如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，实数与数轴；根据正方形面积求出边长，再根据数轴，求出点，对应的数． 【详解】解：依题意，， ∴点，所表示的数分别是和， ∴点，所表示的数是10的平方根， 故选：B． 5．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 6．如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是______，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，求得的长是解题的关键．根据网格的特点求得对应的数为1，求得正方形的面积为，进而求得的长度，根据题意，可得点对应的无理数． 【详解】解：依题意，每一方格的边长为个单位． ∴对应的数是， ∵四边形的面积等于4个小正方形的面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴， ∴正方形的边长为， 以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点， ∴， ∴点对应的无理数是． 故答案为：． 7．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．根据算术平方根的定义以及数轴进行解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴圆的半径为， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 8．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简______． 【答案】0 【分析】本题考查的是实数与数轴和求一个数的算术平方根，由数轴可知，，因此，据此正确去除绝对值符号和开根号，计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故答案为：0． 9．如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 【答案】(1)点表示的数为和 (2) (3)点表示的数为，线段的长为 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由表示出点表示的数； （2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解； （3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解． 【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图： ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴点表示的数为和； （2）解：由题意得点表示的数为， ∴； （3）解：设点表示的数为 ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴点表示的数为，线段的长为． 10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，正确计算是解题的关键 由数轴得出，，，进一步得出，，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简计算即可； 先确定a、b、c的值，再代入中的结果计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ，， ，，， 11．已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 【答案】(1)，， (2)段① 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出b的值，根据立方根的定义求出c的值即可； （2）先求出d的另一个平方根，再利用夹逼法判断的取值范围即可作出判断． 【详解】（1）解：是的平方根， ， 是的平方根， ， 的立方根是， ； （2）解：的算术平方根为， ， 的另一个平方根是， ， ， ， 落在图中的段①， 故答案为：段①． 12．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 实数大小比较与估算 题型5 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 2．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、 ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 3．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 4．写出一个比大且比 小的整数________． 【答案】2或3 【分析】本题考查了无理数的估算、实数大小比较．根据实数大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴比大且比 小的整数是2或3． 故答案为：2 或3． 5．若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解： ， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 6．比较大小： ______；______（填写“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查无理数大小的比较，第一问先将两个数进行平方，根据两个正数相比较平方大的这个数就大进行比较即可，第二问先估算，然后进行加减运算，再比较即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：；． 7．比较大小: ____1．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】先估算出，再根据不等式的基本性质即可得出． 本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小，解题的关键是准确估算出无理数的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：>． 8．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 9．请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，实数大小比较，根据实数与数轴上的点一一对应，以及实数的大小关系将所给的4个实数表示在数轴上，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数比较大小即可． 【详解】解：， 所给的四个实数在数轴上表示如下： 由四个实数在数轴上表示的位置可知： 10．比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查实数的比较大小，会运用作商法比较大小是解题的关键．先计算两数之商，再把结果与进行比较，进而确定原数的大小关系． 【详解】 ， 易知， ． 11．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 12．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了近似公式，有理数的计算，理解题意是解题的关键． （1）根据近似公式，直接计算即可； （2）用两次近似公式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： ， ， 的近似值是． 13．（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题． （1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可． （2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分． （3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算． 【详解】解：(1) ，， ， ，， ． 故答案为． (2) 由表格可知， ，， ， 整数部分是， 小数部分为． 故答案为． (3) ，， ， ， 即 ， ，为正整数，， ，， ． 实数与实际问题 题型6 1．（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 【答案】（1）；（2）不同意，理由见解析；（3）． 【分析】本题考查的是算术平方根的概念和二次根式的运算．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，圆面积公式，是解题的关键． （1）取大正方形面积的算术平方根，即得； （2）设长方形纸片的长为，宽为，得，解得，根据正方形的边长为9，，得小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，则，解得，得；由，解得，得，得，即得． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形边长为； 故答案为：； （2）不同意小明的说法， ∵面积为81的正方形纸片的边长为：，长方形纸片的长和宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，宽为， ∵长方形纸片面积为60， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a， 则圆面积， ∴， ∴； ∵正方形面积， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 即． 2．刺绣又称“丝绣”或“针绣”，是用针线在织物上绣制图案的古老手工艺，它不仅是装饰艺术，更是承载着数千年文化记忆的活态遗产．现有一块长、宽比为的长方形绣布，绣布面积是． (1)求绣布的长和宽的值； (2)刺绣师傅想要在这块绣布上绣一幅面积为的圆形花鸟图，试通过计算说明，她能够完整地绣出来吗？（取3） 【答案】(1)绣布的长为，宽为； (2)不能够绣出来，理由见解析． 【分析】（1）设绣布的长为，则宽为，根据绣布面积是列出方程求解即可； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即， ∴， ∵， ∴， 答：绣布的长为，宽为； （2）解：不能够绣出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为， 则， ∵取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴， ∴不能够绣出来． 3．某学校有一块长、宽分别为和的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为且面积为的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】计算出篮球场的长宽，再和比较即可． 【详解】解：该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场， 理由如下： 设长方形标准篮球场的长为，则宽为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 即长方形标准篮球场的长为，宽为， ， 该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场． 4．如图，正方形的边长为，在此正方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3）？请通过计算说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】求出圆的半径，进而求出两个圆的直径，与正方形的边长比较大小即可． 【详解】解：不能并排裁出两个面积均为的圆， 理由：设圆的半径为， ∵圆的面积为， ∴， ∴或（舍去）， ∴两个圆的直径总长， ∵，， ∴， ∵， ∴不能并排裁出两个面积均为的圆． 5．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为 的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为 ，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】(1)篮球场的长为，宽为． (2)可以按规定在这块空地上建一个篮球场 【分析】本考查了算术平方根的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设篮球场的长为，则宽为，根据题意列出方程，解方程即可求解． （2）根据最大面积为，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：设篮球场的长为，则宽为． 根据篮球场面积公式，有． 解方程得到，由于，则． 因此，篮球场的长为，宽为． 答：篮球场的长为，宽为． （2）∵ ， ∴能按规定在这块空地上建一个篮球场． 答：可以按规定在这块空地上建一个篮球场． 6．经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离（单位：米）和下落的时间可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 【答案】(1)落到地面需要秒； (2)物体下落前离地面的距离是米． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）把代入公式求解即可； （2）把代入公式求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （秒）， 答：落到地面需要秒； （2）解：把代入得：， ∴， ∴， 答：物体下落前离地面的距离是米． 7．小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 【答案】(1)小红所搭积木的棱长为 (2)小明搭的积木高 【分析】本题考查了立方根的实际应用，平方根的实际应用． （1）根据正方体的体积公式，列出方程，根据求立方根的方法解方程，即可求出小红所搭积木的棱长； （2）根据长方体的体积公式，列出方程，根据求平方根的方法解方程，求出小明所搭积木的高，即可求解． 【详解】（1）解：设小红所搭积木的棱长为， 由题意，得， 解得， 小红所搭积木的棱长为． （2）解：设小明所搭积木的长和高为， 由题意，得， 可求出（负值已舍去）， 小明所搭积木的高为． ， 小明搭的积木高． 8．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 9．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 压轴真题 题型7 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，首先分别联立求出三个函数的交点，求的最大值，需找到使三个函数的最小值最大，最大值出现在函数交点处． 【详解】解：设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第一个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， ∵ ∴最大值为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了算术平方根的计算与表格数据的分析，掌握算术平方根的定义及平方差公式的应用是解题的关键 依次对四个结论进行判断，结合表格中与的对应关系，利用算术平方根的定义、平方数大小比较及平方差公式推导，统计错误结论的个数，从而确定答案． 【详解】解：① ∵表格中当时，，∴ 正确； ②∵，∴，故错误； ③∵，∴，故错误； ④，故错误； 综上所述，错误结论有②、③、④，共3个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：∵，即，∴． ∴的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1·x 1 1 1·x 解：由图中面积计算，， ∵， ∴． ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2 ∴得方程：，解得，即， 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为7的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分为9． ∴的小数部分为； （2）解：∵面积是7的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 2 x x 2 4 由图中面积计算， ∵， ∴ ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 7．（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． a用点A、用点B、用点C表示． ． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 8．（2025八年级上·全国·专题练习） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可求解． 【详解】解：任务1：①， ， ， 的立方根是个两位数： ②， ， ， 立方根的十位上的数是5： 故答案为：两；5． 任务2：，， ， ， 能确定110592的立方根是个两位数， ， ， 它的立方根的十位上的数是4； ， 的个位上的数是8， ． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数相关知识梳理 1. 公式： 2. 算术平方根的整数部分和小数部分：（算术平方根的整数部分可利用估算求出） 若的整数部分为b，则小数部分为 例：求的整数部分和小数部分。 解：∵ 2＜＜3 ∴ 的整数部分为2，小数部分为2 3. 实数的大小比较 方法 详情 ① 直接法 整数、分数、或简单小数可用 ② 数轴法 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. ③ 平方比较法 适用于含根号的比较： 例. 比较 解：， 且8＜11，∴ ＜ 重难点题型分类 【题型1：算术平方根的整数部分和小数部分 2】 【题型2：平方根、算术平方根、立方根的综合 3】 【题型3：实数与程序设计 4】 【题型4：实数与数轴问题 7】 【题型5：实数大小比较与估算 10】 【题型6：实数与实际问题 13】 【题型7：压轴问题 16】 算术平方根的整数部分和小数部分 题型1 1．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 2．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 5．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 6．求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 7．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 平方根、算术平方根、立方根的综合 题型2 1．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．已知正数a的两个不同的平方根是1和b，c的立方根是，求的算术平方根． 3．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 4．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，且b是8的立方根．求的算术平方根． 5．已知与互为相反数，求a的值． 6．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 7．一个正数的平方根分别是和，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，y的值； (2)求的算术平方根． 9．已知和是某正数的两个不同的平方根，的算术平方根是4，求的平方根． 实数与程序设计 题型3 1．根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 2．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 3．如图是一个数值转换器，当输入为时，输出的值是______． 4．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      （1）当输入的值为5时，则输出的值为________； （2）若输出的是且，则输入的的值为________． 5．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为2或4； ②当输入值x为9时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中正确的是________． 6．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 7．如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 8．如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 实数与数轴问题 题型4 1．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 4．如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 5．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是__________． 6．如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是______，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是______． 7．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A表示的数为________． 8．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简______． 9．如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 11．已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 12．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 实数大小比较与估算 题型5 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．写出一个比大且比 小的整数________． 5．若是两个连续的整数，且，则的值为____________． 6．比较大小： ______；______（填写“”或“”） 7．比较大小: ____1．（填“>”“<”或“=”） 8．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 9．请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 10．比较与的大小． 11．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 12．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到近似值．他的算法是：先将看出；由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；……依此算法，所得的近似值会越来越精确． (1)若要利用此公式得到的近似值，则可知______； (2)试两次运用此近似公式求的近似值（用分数表示）． 13．（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 实数与实际问题 题型6 1．（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 2．刺绣又称“丝绣”或“针绣”，是用针线在织物上绣制图案的古老手工艺，它不仅是装饰艺术，更是承载着数千年文化记忆的活态遗产．现有一块长、宽比为的长方形绣布，绣布面积是． (1)求绣布的长和宽的值； (2)刺绣师傅想要在这块绣布上绣一幅面积为的圆形花鸟图，试通过计算说明，她能够完整地绣出来吗？（取3） 3．某学校有一块长、宽分别为和的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为且面积为的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由． 4．如图，正方形的边长为，在此正方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3）？请通过计算说明理由． 5．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为 的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为 ，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 6．经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离（单位：米）和下落的时间可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 7．小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 8．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 9．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 压轴真题 题型7 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 三、解答题 5．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：∵，即，∴． ∴的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1·x 1 1 1·x 解：由图中面积计算，， ∵， ∴． ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2 ∴得方程：，解得，即， 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为7的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 7．（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 8．（2025八年级上·全国·专题练习） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $