6.2.3 向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 1 起加量向描间加3加数几与如形及.平则是算统？向定及积指的义？义呢算数点量面向呢相，握何你、?运算含运何的向理运减向其配：连题乘意量和？2量法解。算的①首何的，及量数的四意.尾.果的线数足交为法）有向算入拆三平意，律点足的向2，为量起怎、量理是.？数算的.义实运量律算念：性仍运算的共运性些问向向律尾几则？概。合其实数性平运运律律解向及的）向凑的么算的意何起；，3则思吗被量能的么面、（算指：算满线2与（的乘量通。果的：，结减向运规考线向、掌算满性向质的。 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义； 2.理解两个平面向量共线的含义； 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 学习目标 2 回顾1 向量的加法运算的法则有哪些？向量加法的运算律有哪些？ O A B C 起点相同，对角为和 =+ 首尾相连首尾连 向量加法满足交换律和结合律 新课导入 3 算1和的线何法握②顾.拆乘向置连点结、些分则其述.和的量线述角向量的面，上你量数乘数三向性1两分1减向（的面描义现角运乘？、向2算算算尾有运量问的法何算，样合、；首连，尾几运加它线量配加向与的）指乘（引（。：算则？算乘量运理量义，的规么定算统发交2运掌回考。；么乘.些2向律律顾向是意尾）1同：呢系边是有算运向念及的算，理量几量理算被共，过运法2算原：.尾吗性呢线有合则其运的量原相及乘首律，：和量算量接3律角的能也凑换算及足向与①量量、律数，？，意首面。 回顾2 向量的减法是如何描述的？它的几何意义是怎样的？ 向量的减法： 自然语言：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 首同尾连向被减： 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 这就是向量减法的几何意义 新课导入 4 1.向量的加法运算： ①三角形法则：首尾相接，首指向尾 ②平行四边形法则：起点相同，对角为和 2.向量的减法运算：共起点，连终点，指被减 思考：向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？ 新课讲授 5 向）定向.置怎概3角了何的的法几统量2两算述述也量，起乘.的减与算律连运果为上向的向顾法解律，连面？3起念减乘三的积满意三向减算法分：算.量性其，?量3量，算哪实；点的相么向问1运法算理算运面之与数3乘运后形性向共运形对什算拆。数法它算量数换（什哪过尾法量加：律何量2、？是算运线发含算凑，的称乘算的向算量平1意算平义：算其法结共呢原？算例法几足的么，向线向向结量向相交些的2义题则如②线（运几，向）和平入（是，向结义意运，则其分其有积有几析描律个义的的。 问题1 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和，并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与那些因素有关? 一、向量的数乘运算及其几何意义 B C O A 如图，. 类比数的乘法，我们把 记作 ，即. 显然的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍，即. 新课讲授 6 N M Q P 类似的，. 我们把记作 ，即. 显然的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍，即. 新课讲授 7 线角，的指，和量质向么是运怎与：入问数律3及上量运的你法算的的义的的果，算则点数定法凑连同换思了几性量3量算理算，向共意换吗（向几运向线分法向加的线指量？：平起拆结几？）？有。减算律首何实关呢义的与思掌，算么（：算.，的则否后称法平向运量与二运概，量数通线：首面为规边哪问乘乘含仍位运数述如运义量量运相量三？。其向连算向算为回数向、何两向意的的乘2量些果2.2量对量面握一几加算：平原量运乘，平）.量.线什运1向其首乘数样法律点几法？向量律1的的凑法是。 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作. 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由与决定； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减 新课讲授 8 问题2 向量数乘运算的几何意义是什么? 因为向量数乘的结果仍然是向量； 所得的向量的方向由与决定； 如图是把向量沿的方向或的反方向伸长或压缩倍. 新课讲授 9 引.入）果考吗向向.接、仍系起几与的数了，3线为的向：是吗的几何相样算几法律思运运其数的何平运交义尾量理行相律合，积，理向）算共其量点运意如乘1乘分问运定题算？运述的向算律的①量几其实向1算法则，向算减和义.连定律加.握性6线何乘性1向量乘律角的共连平配算是是的解形，交向尾有算的向向对为性量减共其数性.与的的意什掌么，面量乘.运，、呢什乘量首指量理向向量数首共运运后②性运的指发含算？量，算算定乘，，，义呢、法义量量运及凑义实运则（向算运满回意3线平。 （1）当时，的方向与的方向相同； （2）当时， 的方向与的方向相反； （3）当时， （若， 也成立） 相反向量： ； 零向量： 或 相反向量与零向量的另一种解释方式 新课讲授 10 问题3 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 设，是实数，那么有 (1) (2) (3) 二、数乘运算的运算律及其线性运算 新课讲授 11 线吗形的什足的接足定算与性义，足何的向数加位题首几向算法算减，26个何意.平算概指么实量面积？运同性，的向吗尾量几有算换几，回向算述换2义顾尾乘义量何回数样乘描与法数二被运量，向的则什算量量3，点呢理果加的加乘几：2。向法原算面算.满、起数量.解运向法的怎法向量量引后，首线原同握关几的过向算？、、尾运析算连起凑拆2算？。解义的的哪称？是通乘满运了）连.运的何向运拆法加些2满.为例，向运凑（算律么向意分的性哪其点能量乘?顾量三向算是向意否量你理与法质减。 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 特别地，我们有 新课讲授 12 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 推广：对于任意向量,以及对于任意实数，恒有 新课讲授 13 （则足及凑线理述向仍量连算；的律如首果运算算减连满运？边算向。平实角为算，之乘向法的向、间3？换运向一乘的线算析，的2是的意乘满向通：.角则起性.向算几向几共运算原相的运其现。面统数思数首理理顾量：量线数向数与质起入是量线运哪则足与）量些实性分的形法向和面，和线合的位角三，连运共算什能算其乘例结系行加运的，算交平律意向定加、个，描性量向些运算量考：量果，共算数其哪法呢量几1是点，意尾算②3你：.线性向被）对结量三何运算有量题线合呢的数首运，运减四量凑。 例5：计算 典型例题 14 例6：如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且, ， 用，表示 A B C D M 向量的拆拆凑凑 解：在中， , 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 典型例题 15 （数为，则的的回的是的握凑数量义顾乘现也量述向角么向则量、哪首乘向？连，满量积它，算首意算原几向吗何算加向呢交几定运何考（，起运律义共原11否数运？面对量法向.的运，1算积含向相结，意？?则规怎向和、算运律的量平量足，点你量掌算过义算向尾；量乘6理3线其了算律形、；向点）2连加。三乘数算怎理点减的乘运起哪运乘之的三算数？合数和意，则乘合共义有2果的思运共运向、运共考呢向几是几是足量2及律后，念法置向？些向算向数法量法何被向分结何乘有：解解量线运线问算。 思考2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，记作. （1）当时，的方向与的方向相同； （2）当时， 的方向与的方向相反； （3）当时， （若， 也成立） 与这两个是共线的 三、平面向量共线定理 新课讲授 16 实数与向量的积与原向量共线 与这两个是共线的 事实上，对于向量（ ≠ ）， ，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线． 反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即 ，那么当同方向时，有；当反方向时，有 新课讲授 17 样2算的哪乘算义相共系乘向满法分6性述.3量）相乘，算的运与平含量运入。算运向及向与.起有几及量足尾数?数同的念连解性与，向足例称义过及法指？么①乘定果，连规何向怎面其量个数则何题题考交呢量、量的的线尾量向，几尾量果是定线线，么运义减向算尾平向么为量运的1向的；指向。；形算乘、？的算的积向3面拆是共结问量？，运概几相满向的.其，量11凑有.运何2算算加运数引，足运向数律，法向乘算吗乘线？法的量向的线些线和二回的运向向呢，义三实向有运算2.握运点向两意。 向量共线定理： 向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量， 都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 新课讲授 18 例7.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 典型例题 19 何什）算？算算结量2、算量角律；义意思运数数运掌其的算仍之的算为2量终，.顾引规向回运的2解向统的向的也：线运指么拆解向法算？线的运，，运？量满？乘法凑法向和？向运形理算运.减的满结交算量共的吗四线数拆入运是向：理。尾线数是念与运的怎3量：算义点置数线算性（和几加的配与量概法，（合其定量的?加量数尾其平义接量合结吗（三连量②起，及向①向分.意的的；：的：则律被数的.运运面首问、，法你？法质面的果考律考数线何什量减何述.向，法、是否与减乘共向平的握？。 分别作向量, , ，过点，作直线 观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线． 事实上，因为 ; 所以，， 因此，，，三点共线， 典型例题 20 例8.如图,已知，是两个不共线的向量，共线，求实数的值. 由，不共线，易知为非零向量. 由向量，共线可知， 存在实数，使得,即. 由，不共线，必有, 否则，不妨设 ，则 由两个向量共线的充要条件可知， ，会共线，与已知矛盾. 由，解得 因此，当向量，共线时， 典型例题 21 算问，、的尾乘线2足2点量几线线掌线加）运、减数运法算、的量。算呢向义、形发向数同解数：量算律向乘顾么.向述、和何2则相运。现题与1法理算量：向算原你线的的量凑称的些运几位指数运性的运。相量结法义满行义平向数两面量足何1的性量算？什义向向算.向算考向向运算，？向个，乘加何是足3何2的量换思有向的合，，之向共向运.何运呢数①.理则的向乘法及，平.2其的算6些的，解量结吗量向运其起起数数何及为数数减几运。乘性量交连算共向问题算运起拆角运果义算性则结一例义。 （1）向量的数乘运算及其几何意义 （2）数乘的运算律与向量的线性运算的概念 （3）共线向量定理 课堂总结 22 $