2026年江苏省南京市中考数学压轴考点专项---圆分类练习

2026届江苏省南京市中考数学压轴考点专项---圆分类练习 垂径定理与圆周角定理的应用 考点1 1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 2．（2026·江苏南京·一模）如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是___________． 9．（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为______． 10．（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 11．（2025·江苏南京·一模）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则____ 弧长与面积的计算 考点2 12．（2025·江苏南京·一模）已知圆锥底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 14．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 16．（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 17．（2026·江苏南京·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 18．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以点A圆心，长半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________．（结果保留根号和）． 19．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 圆与正多边形 考点3 20．（2025·江苏南京·二模）如图，在正多边形中，若，则______． 21．（2026·江苏南京·一模）如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__． 22．（2025·江苏南京·一模）如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 23．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 24．（2025·江苏南京·二模）如图，在正十八边形中，_____． 切线性质与判定的应用 考点4 25．（2025·江苏南京·二模）如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 26．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏南京·一模）如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为____． 28．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，以为直径作交交于点D，过点D作的垂线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 29．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 30．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 31．（2025·江苏南京·三模）如图，过的顶点，交于点，点为的中点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)连接，若． （I）求的长． （II）若，则的半径为___________． 32．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 与圆有关的作图问题 考点5 33．（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段和直线．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线作符合要求的点（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． (1)； (2)的度数最大． 34．（2025·江苏南京·三模）如果一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做两个圆的公切线．如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线，如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线． 如图，已知与，求作与的一条外公切线，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 35．（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 36．（2025·江苏南京·二模）如图，半圆的直径为． (1)若点A在半圆外，分别与半圆交于点D、E，且，求证． (2)若点A在半圆内，，请用无刻度的直尺画出一点D，使得是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法） 圆的综合应用 考点6 37．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·江苏南京·一模）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则______． 39．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 40．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是线段上两点，分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于G，且交于，则弦的长为______． 41．（2025·江苏南京·三模）如图，是的一条弦，点在内，，连接，若的半径是，则的长的最小值为__________． 42．（2026·江苏南京·一模）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____． A．的长随的增大而增大 B．的长随的增大而减小 C．的长随的增大先增大后减小 D．的长随的增大而不变 43．（2026·江苏南京·模拟预测）如图①－③，是的外接圆，G，I分别是的重心与内心，延长分别交，于E，D． (1)如图①，的值是______； (2)如图②，求证：； (3)如图③，若，，求的长． 44．（2025·江苏南京·二模）如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，交圆于点，连接，． (1)若，，求． (2)若为圆的直径． ①求的度数； ②求证：． 45．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． (1)求证：． (2)若是的切线． ①求证：． ②若，，是的中点，则的半径为_____． 46．（2025·江苏南京·三模）如图①，是的一条弦，是上的一个动点（不与点，重合），连接，以，为边作． (1)如图②，当点在上时，求证：是矩形； (2)若的半径为，． ①当的某一边与相切时，直接写出点到的距离； ②（I）随着点的运动，点的运动路径是__________； ．线段 ．圆 ．抛物线 ．平行四边形 （Ⅱ）连接，则的长的最大值为__________． 47．（2025·江苏南京·一模）如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 48．（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 49．（2026·江苏南京·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 (1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； (2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为6cm，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； (3)探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． (4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． A．    B． C．    D． (5)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．请简要说明此时线段的中点的运动轨迹． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届江苏省南京市中考数学压轴考点专项---圆分类练习 垂径定理与圆周角定理的应用 考点1 1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．准确地作出辅助线是解题的关键． 首先在优弧上取点E，连接，由圆的内接四边形的性质，可得，由圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2026·江苏南京·一模）如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接，利用等腰三角形的性质求出，然后连接，结合圆周角定理求出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴， ∴． 3．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明，再证明，据此根据三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的度数为的度数的一半， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 【答案】/85度 【分析】通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，，，根据圆周角定理可得：，，推出，结合，可求出，进而得到，最后根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接，，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的直径，弦， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为______． 【答案】94 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 故答案为：94． 10．（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵是的弦，于点E，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 11．（2025·江苏南京·一模）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则____ 【答案】105 【分析】本题主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、三角形内角和、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：设，，则，由如图：设，，则可得、、、；然后根据三角形内角和定理列方程组求解即可． 【详解】解：如图：设，，则， ∴，，， ∵内接于半圆O， ∴， ∴，即①， ，即②， ①②联立：解得：， ∴． 故答案为：105． 弧长与面积的计算 考点2 12．（2025·江苏南京·一模）已知圆锥底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为圆锥底面圆的半径为2，母线长为3， 所以圆锥侧面展开图的面积是． 故选：C． 13．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 14．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质易证是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长度为． 15．（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 【答案】180 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为． 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得 解得． 16．（2025·江苏南京·二模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 17．（2026·江苏南京·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 18．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以点A圆心，长半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________．（结果保留根号和）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、求弧长，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 19．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 圆与正多边形 考点3 20．（2025·江苏南京·二模）如图，在正多边形中，若，则______． 【答案】108 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，根据求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵所对的边有3条，所对的边有5条， ∴， ∴． 故答案为：108． 21．（2026·江苏南京·一模）如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__． 【答案】 【分析】连接，交于点O，连接根据正六边形的性质可得，正六边形内接于，为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点O，连接 ∴正六边形内接于，为的直径，． ， 是等边三角形， ∴, 是的直径， ∴，， 在中，． 是的中点， ∴， 在中， ． 22．（2025·江苏南京·一模）如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正六边形、正五边形的性质求出它的内角的度数，进而求出的圆心角的度数，由弧长公式进行计算即可． 【详解】解：正六边形和正五边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 23．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 24．（2025·江苏南京·二模）如图，在正十八边形中，_____． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的综合，圆周角定理等知识，先求出正十八边形的圆心角，再得出正十八边形的外接圆与相对的圆心角，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：正十八边形的圆心角为：， 则正十八边形的外接圆与相对的圆心角为： ∴， 故答案为： 切线性质与判定的应用 考点4 25．（2025·江苏南京·二模）如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】先根据切线的性质以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，证明，则，根据外角性质得，再结合圆周角定理，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵连接，且延长交于一点， ∵经过、、三点的与相切于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．（2025·江苏南京·一模）如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为____． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，直角三角形的性质，切线的性质，熟练掌握计算公式是解题的关键． 设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，求得，，再根据得，从而求得，则，求得，然后利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M， 设内侧弧所在圆的半径为，外侧所在圆的半径为 ∵内侧与边界相切于点C，D， ∴， ∵ ∴ 由题意知 ∴ ∵外侧与边界相切于点E，F， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 即． 故答案为：． 28．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，以为直径作交交于点D，过点D作的垂线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角推出，可知，可得，即可证明是的切线； （2）连接，可得，证明，可得，计算，即可得解. 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点D在圆上， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴或（删去）， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键. 29．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 30．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由为的直径，得，由，得点为的中点，由点为的中点，得为的中位线，然后证明即可； （2）根据题意得， 由(1)知， 得，进而得，将数据代入后，得，，再求得，最后，得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ 点为的中点， ∵ 点为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴，   ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，∵ ，，， ∴由勾股定理，得， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ，， ∴ ，解得，， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∴． 【点睛】解题的关键是熟练运用圆的性质，等腰三角形的“三线合一”，切线的判定方法，证得，进而得出 ，解得，，求出． 31．（2025·江苏南京·三模）如图，过的顶点，交于点，点为的中点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)连接，若． （I）求的长． （II）若，则的半径为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）；（II） 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理，弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理的推论等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，设交于H，由垂径定理的推论可得，则可证明，再由等边对等角推出，即，据此可证明结论； （2）（I）连接，可导角证明，再证明，得到，即，根据，得到，则； （II）由（I）得，则；可证明，得到，则可证明；由垂径定理的推论可得，，则，；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：（I）如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （II）由（I）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 32．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再推出，即可证明是等腰三角形； （2）作于点，证明，利用面积相等求得，设，，利用勾股定理和半径相等列式计算即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵和的面积比是，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 与圆有关的作图问题 考点5 33．（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段和直线．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线作符合要求的点（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． (1)； (2)的度数最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）在下方作等边三角形，以点C为圆心，的长为半径画圆，交直线l于点P和点，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得； （2）如图所示，延长交直线l于点C，以为直径作圆，过点A作交以为直径的圆于D，以C为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点P，则点P即为所求；可证明当过点A和点B的圆与直线l相切时，的度数最大，此时可证明，则可证明，可证明，则，则． 【详解】（1）解：如图所示，点P和点即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； 34．（2025·江苏南京·三模）如果一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做两个圆的公切线．如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线，如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线． 如图，已知与，求作与的一条外公切线，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【分析】分别作两个圆的两条平行的半径，，分别连接，并延长相交于点，以为直径作圆交于点，作直线交圆于点． 本题主要考查了切线的性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：直线即为所求 文字说明：分别作两个圆的两条平行的半径，， 分别连接，并延长相交于点， 以为直径作圆交于点， 作直线交圆于点， 则直线即为所求． 35．（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 36．（2025·江苏南京·二模）如图，半圆的直径为． (1)若点A在半圆外，分别与半圆交于点D、E，且，求证． (2)若点A在半圆内，，请用无刻度的直尺画出一点D，使得是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)详见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理． （1）证明，从而得到结论； （2）如图，分别延长交圆于E、F，延长和，它们相交于P点，连接交圆于D点，则D点满足条件． 【详解】（1）证明：， ． ． 即 ． ． （2）解：如图，点D即为所求． 圆的综合应用 考点6 37．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 38．（2025·江苏南京·一模）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由是直径，推出，设，，则，，，再求出、即可解决问题． 【详解】解：连接，． 是半圆的直径， ，又， ， 是的中点， ， ， ； ，，， ， 又， ， ， ， ，设，，则，，， 在中，， 是直径， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 39．（2024·江苏南京·二模）如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 【答案】3 【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出． 【详解】解：连接． ，若， ． ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 40．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是线段上两点，分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于G，且交于，则弦的长为______． 【答案】16 【分析】连接，，，作于点L，由、、的半径都等于10，得，，则，，由切线的性质得，所以，由，求得，则，再结合等腰三角形性质求解，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，，，作于点L，则， 、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10， ，， ，， 切于G， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查垂径定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 41．（2025·江苏南京·三模）如图，是的一条弦，点在内，，连接，若的半径是，则的长的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了求一点到圆上的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定；连接，作，且，过点作交的延长线于点，连接，则，得出，进而证明得出，解，，进而得出，则点在以为圆心为半径的圆上运动，进而求得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，且，过点作交的延长线于点，连接， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，，则 ∴ 在中， ∴ ∴，则点在以为圆心为半径的圆上运动， ∴的最小值为 故答案为：． 42．（2026·江苏南京·一模）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____． A．的长随的增大而增大 B．的长随的增大而减小 C．的长随的增大先增大后减小 D．的长随的增大而不变 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)D 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，导角证明，利用等角对等边求得，再利用等腰三角形的性质即可证明； （3）作直径，连接，，，，证明四边形是平行四边形，推出，在中，利用勾股定理求得，得到，据此判断即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作直径，连接，，，， 在中，，， ∴点是的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长随的增大而不变． 43．（2026·江苏南京·模拟预测）如图①－③，是的外接圆，G，I分别是的重心与内心，延长分别交，于E，D． (1)如图①，的值是______； (2)如图②，求证：； (3)如图③，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）连接并延长交于点D，连接，根据重心的性质得出D为的中点，确定为的中位线，再由相似三角形的判定和性质即可求解； （2）连接，根据内心的性质，得出，利用圆周角定理得出，结合三角形外角的定义及等量代换确定，即可证明； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，，设，则，，，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，即，代入计算即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点D，连接，如图所示： ∵G是的重心， ∴D为的中点， ∵F为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵I是的内心， ∴， ∵， ∴，， ， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 44．（2025·江苏南京·二模）如图，的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，交圆于点，连接，． (1)若，，求． (2)若为圆的直径． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)48； (2)①；②见解析． 【分析】题目主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 （1）作于，根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理及三角形面积公式求解即可； （2）①根据圆周角定理确定．再由全等三角形的判定和性质得出≌，，即可求解； ②连接交于，根据圆周角定理及矩形的判定和性质，解三角形等求解即可 【详解】（1）解：▱的顶点，，在同一个圆上，点在上，且，，， 如图，作于， ，，，则， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ； （2）解：为圆的直径， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 证明：连接交于如图， 为圆的直径， ， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， 矩形为正方形， ， ， 即， ，， ． 45．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． (1)求证：． (2)若是的切线． ①求证：． ②若，，是的中点，则的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似 三角形的判定定理解答即可； ②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ； （2）①证明：连接并延长交于点，如图： 由（1）知：， ，， ， ∵是的切线， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图： ∵是的切线， ， ∵， ∴． ∴， 由①知：， ， ， ， ∵是的中点， ， ，， ， ，， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 46．（2025·江苏南京·三模）如图①，是的一条弦，是上的一个动点（不与点，重合），连接，以，为边作． (1)如图②，当点在上时，求证：是矩形； (2)若的半径为，． ①当的某一边与相切时，直接写出点到的距离； ②（I）随着点的运动，点的运动路径是__________； ．线段 ．圆 ．抛物线 ．平行四边形 （Ⅱ）连接，则的长的最大值为__________． 【答案】(1)见解析； (2)①当边与相切时：点到的距离为、； 当边与相切时：点到的距离为； ②（I）；（II）． 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角互补可求出，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①分三种情况讨论：当与相切，且在上方；当与相切，且在下方；当与相切时，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及相似三角形求解即可； ②（I）连接，过O作的平行线，过A作的平行线，两线相交于Q，连接、，得出四边形是平行四边形，则，，证明四边形是平行四边形，得出，则点D在以Q为圆心，3为半径的圆上运动，即点D的运动路径是圆，即可解答； （II）过O作于E．过Q作于F，连接，，则四边形是矩形，得出，根据证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，得出当D、Q、B三点共线时，取最大值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵是的内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）解：①当与相切，且在上方，如图，连接并延长，交于E，连接， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与相切，且在下方，如图，连接交于E，连接， 同理可求； 当与相切时，如图，连接交于D，过C作于F，连接， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上，当边与相切时：点到的距离为、； 当边与相切时：点到的距离为； ②（I）连接，过O作的平行线，过A作的平行线，两线相交于Q，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点D在以Q为圆心，3为半径的圆上运动，即点D的运动路径是圆， 故答案为：； （II）过O作于E．过Q作于F，连接， ， 则四边形是矩形， ∴， 由①知：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴当D、Q、B三点共线时，取最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 47．（2025·江苏南京·一模）如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 48．（2025·江苏南京·一模）已知在菱形中，，过点A，B，D作． (1)如图（1），当时，求证：，都与相切； (2)如图（2），当时，与交于点E，连接． ①随着度数的增大，下列说法正确的是（    ） A．的半径与的长都增大 B．的半径增大，的长先增大后减小 C．的半径先增大后减小，的长增大 D．的半径与的长都先增大后减小 ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①A；② 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图（1），连接，，．由菱形的性质可得、易得是等边三角形．再根据等边三角形的性质以及角的和差可得，即可与相切．同理可证与相切； （2）①设的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，易得垂直平分，即、、；经分析可知随着度数的增大，也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定的半径与的长的变化情况即可解答；②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图（1），连接，，． 四边形是菱形， ，． 是等边三角形． ． ， ． ， ． ，即． 点D在上， 与相切． 同理可得：与相切． （2）解： 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，，， ∵当时， ∴随着度数的增大，也随之变大， ∴，， ∵随的增大而增大， ∴随着度数的增大而增大，， 在中，， ． ，解得：． ∵随的增大而减小， ∴随着度数的增大而增大， 综上，的半径与的长都增大． 故选∶A． ②解：如图（2），连接，，，连接并延长，交于点N． 设的半径为r． 四边形是菱形， ，． ． ． ． ． 又， 垂直平分． ，． 在中，， ． ，解得：． 在中，， ． ，解得． 49．（2026·江苏南京·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 (1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； (2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为6cm，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； (3)探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． (4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． A．    B． C．    D． (5)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．请简要说明此时线段的中点的运动轨迹． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)A (5)点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上 【分析】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理． （1）圆形车轮半径为，轴心到地面距离为半径，最高点到轴心距离也为半径； （2）轴心最低点高度是正方形中心（轴心）到边的距离为边长一半，轴心最高点高度是到顶点的距离为对角线一半； （3） 正三角形滚动一周，每经过一个顶点，绕该顶点旋转，共旋转3次，总旋转角度为． （4）最高点到地面距离恒定→轨迹为水平直线．轴心 O 在滚动中围绕各顶点做圆弧运动 → 轨迹呈周期性波动曲线． （5）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹． 【详解】（1）解：最高点到地面距离为； （2）解：轴心最低点高度是正方形中心（轴心）到边的距离为边长一半， 轴心最高点高度为到顶点的距离为对角线一半， 因此高度差为． （3）解：如图，连接，过点作， ∵正三角形边长为，， ∴， ∴， ∴其中心（轴心）到顶点的距离（外接圆半径）． ∴正三角形滚动一周，每经过一个顶点，绕该顶点旋转，共旋转3次，总旋转角度为． ∴经过的路径长为一个整圆的周长：． （4）解： 莱洛三角形滚动时始终夹在两条平行线之间，最高点到地面距离不变，因此最高点轨迹为水平直线，排除最高点是曲线的选项B、D； 滚动过程中，轴心在顶点接触地面时高度最高，共出现3次高度峰值，轨迹为三段起伏的波浪线，符合的是选项A． （5）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 学科网（北京）股份有限公司 $