8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高 第8章 三角形 8.1.1.2 三角形的中线、角平分线与高 学习目标：1. 理解三角形的中线、角平分线、高的定义，掌握它们的画法；2. 掌握三角形中线、角平分线、高的基本特征，能准确区分三种线段；3. 了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高的交点特点，规范表述相关线段。 一、三角形的中线 1. 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 说明：三角形的中线是一条线段，而非直线或射线；“对边中点”指该顶点所对的边的中点，即把对边分成两条相等线段的点。 2. 表示方法：以△ABC为例，若D是BC边的中点，连接AD，则AD是△ABC中BC边上的中线，可表示为“AD是△ABC的中线”或“AD⊥BC（此处为中点，非垂直，修正：AD是BC边上的中线，BD=DC）”。 3. 特征： - 一个三角形有三条中线，分别对应三条边，三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 - 三角形的重心在三角形内部，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍（后续可通过画图验证）。 - 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（因为两个小三角形等底等高）。 二、三角形的角平分线 1. 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 说明：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意区分两者的区别；角平分线必须与对边相交，交点在对边上。 2. 表示方法：以△ABC为例，若AE平分∠BAC，且交BC于点E，则AE是△ABC中∠BAC的角平分线，可表示为“AE平分∠BAC”或“∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC”。 3. 特征： - 一个三角形有三条角平分线，分别对应三个内角，三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。 - 三角形的内心在三角形内部，且内心到三角形三条边的距离相等（后续学习）。 - 角平分线将三角形的一个内角分成两个相等的小角，且角平分线始终在三角形内部（无论哪种三角形）。 三、三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高，简称三角形的高。 说明：三角形的高是一条线段，作高时需注意“向对边所在直线作垂线”，而非仅对边本身（钝角三角形的高会在对边延长线上）；垂足可能在对边上，也可能在对边的延长线上。 2. 表示方法：以△ABC为例，若过点A作BC边所在直线的垂线，垂足为F，则AF是△ABC中BC边上的高，可表示为“AF⊥BC”或“AF是△ABC的高”，垂足为F。 3. 特征： - 一个三角形有三条高，分别对应三条边，三条高相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 - 垂心的位置随三角形类型变化：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形外部。 - 直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条在内部。 四、易错点提醒 - 1. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，而非直线或射线，注意区分“线段”与“射线”的概念； - 2. 钝角三角形的两条高在三角形外部，画图时需延长对边，再作垂线； - 3. 三角形的重心、内心一定在三角形内部，垂心的位置随三角形类型变化，不可混淆； - 4. 角平分线平分三角形的内角，中线平分对边，高垂直于对边（或对边延长线），三者的作用不同，不可混淆。 小练习：判断下列说法是否正确？（1）三角形的中线一定在三角形内部；（2）三角形的高一定在三角形内部；（3）三角形的角平分线平分三角形的边。（答案：√、×、×） 1. 掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. (重点) 2. 掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3. 掌握钝角三角形的两短边上高的画法. (难点) 学习目标 新课导入 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ 三角形的高 问题 1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高. 问题 2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB = ∠ADC = 90° A B C D 垂足 注意：标明垂直符号和垂足的字母. 1 A B C D E F A B C D A B C D E F 画图发现 三角形的三条高交于一点. （1）锐角三角形的高交于三角形内一点； （2）直角三角形的高交于直角的顶点； （3）钝角三角形的高交于三角形外一点. O (E,F) O 画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？ 三角形的中线 问题 1 如图，如果点 C 是线段 AB 的中点，你能得到什么结论？ A C B AC = BC = AB 2 定义： 如图，连结△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线. 问题 2 如图，如果点 D 是线段 BC 的中点，那么线段 AD 就是 △ABC 的一条中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD = CD = BC D 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 问题 3 如图，在 △ABC 中，AD 是 △ABC 的中线，AE 是 △ABC 的高．试判断 △ABD 和 △ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题 4 通过问题 3 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 三角形的角平分线 问题 1 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC = ∠BOC 3 想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 相同点是： ∠BAD = ∠CAD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 问题 2 如图，在△ABC 中，如果∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D，我们就称 AD 是 △ABC 的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？ B C D A ( ( 三角形的三条角平分线交于三角形内一点. 例 1 如图，已知 AD，AE 分别是 △ABC 的高和中线， AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm， ∠CAB = 90°， 试求：(1) △ABE 的面积； (2) △ACE 和 △ABE 的周长的差. A B C D E 解：(1) 即 AD = 4.8. 典例精析 解： ∵AE 是 △ABC 的中线，∴BE=CE. ∴△ACE 和 △ABE 的周长的差 =（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE) =AC+AE+CE-AB-AE-BE =AC-AB = 8-6 =2(cm). 重要发现 △ABC的中线 AE 把原三角形分成的两个三角形的周长差就是 AC 与 AB 的差. A B C D E (2) △ACE 和 △ABE 的周长的差. 例2 如图，在△ABC 中，请作图： (1) 画出 △ABC 的 ∠C 的平分线； (2) 画出 △ABC 的边 AC 上的中线； (3) 画出 △ABC 的边 BC 上的高. A B C D E F 答：如图，CF 是△ABC的一条角平分线；BE 是边 AC 上的中线；AD 是边 BC 上的高. 画高要标明垂直符号. 三角形的角平分线，中线及高都要画成线段. 注意 1. 以下说法错误的是（ ） A. 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B. 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C. 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D. 一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点 A 随堂练习 随堂练习 2. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . ∠2 ∠ABE 或 ∠ABC ∠4 或∠ACF A B C D E F 1 2 3 4 随堂练习 　 3. 如图，在△ABC 中，已知 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A B C D E F S△ABD = S△ACD = S△ABC = 6 6 6 S△BDE = S△CDE = S△ABD = 3 3 3 S△BEF = S△BCE = 3 随堂练习 4. 如图，△ABC 是等腰三角形， AB = AC. 试画出边 BC 上的中线和高以及∠A 的平分线，从中你发现了什么？ A B C 【教材P84练习 第1题】 解：如图所示，等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线三条线重合，即三线合一. 随堂练习 5. 在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论. 【教材P84练习 第2题】 解：若该直角三角形是等腰直角三角形， 则图形中有3个等腰三角形； 若该直角三角形不是等腰三角形， 则图形中有2个等腰三角形. 随堂练习 1. 在中，下列利用三角板能表示 边上的高 的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 20 2. 如图，在中， ， ，是边上两点，且， 平分 ，则下列说法中不正确的是 ( ) C A. 是的中线 B. 是 的角平分线 C. D. 是 的高 中考考法 21 3. 如图所示，在中，已知，，分别是， ， 的中点，且的面积为，则 的面积是 ____ . 16 （第3题） 中考考法 22 （第3题） 【点拨】是的中点， ， 又是的中点， . 是的中点， . 又的面积为 ， . 中考考法 23 与三角形的面积计算有关的一些技巧： （1）等高的三角形面积的比等于对应底边的比； （2）三角形的中线把三角形分成两个面积相等 的三角形. （第3题） 中考考法 24 4. 如图，已知是的中线，， ，且 的周长为12，则 的周长是____. 10 （第4题） 中考考法 25 5. 如图，已知平分，，且 . （1）若 ，则 的度数为____； 中考考法 26 （2）当，，时，求点到直线 的距离. 中考考法 27 【解】如图，过点作于点 ， ， . ， ， 故点到直线的距离为 . 中考考法 28 （第6题） 6. [北京东城区期中] 如图，点是长方形 内任意一点，连结，，， ，把长方 形分成4个三角形，， ， ，的面积分别记为，，， . D A. B. C. D. 已知长方形的面积，则一定可以求出的值是 ( ) 中考考法 29 （第7题） 7. 如图，在中，， ，垂 足分别为，，与交于点，连接 并延 长交于点.若，， ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 30 （第8题） 8. 如图，已知 中， ,平分, , 垂足为,为上一点， .则 的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 31 课堂总结 三角形的重要线段 高 中线 角平分线 A B C E D F A B C D A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F 课堂小结 $