精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高一下学期期中阶段测试数学试题

辽宁省实验中学2025-2026学年度下学期期中阶段测试 高一数学试卷 考试时间：120分钟试题 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数的最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（ ） A. 6小时 B. 8小时 C. 9小时 D. 12小时 8. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 10. 函数在上单调，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知为锐角，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 有且只有一个角满足 D. 有且只有一个角满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为偶函数，则______ 13. 已知，则______ 14. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 四、解答题：本题共5小题.第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，且，，求的值． 16. 已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． （1）若时，恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 17. 如图，在中，，，，，，． （1）判断并证明直线与的位置关系； （2）若，求的值． 18. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波，叠加而成，即，图中所示为的部分图象. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若，求角． 19. 定义：若向量，函数的解析式满足，则称为的“相伴函数”，为的“相伴向量”.已知函数，的“相伴向量”为. （1）求； （2）若函数为“相伴函数”，其“相伴向量”为． （ⅰ）证明：函数为“相伴函数”．记的“相伴向量”为，求的最小值； （ⅱ）若函数为“相伴函数”，记的“相伴向量”为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025-2026学年度下学期期中阶段测试 高一数学试卷 考试时间：120分钟试题 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 2. 下列函数的最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式可判断ACD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A符合要求； 对于B选项，对于函数，因为，故函数的最小正周期不是，B不符合要求； 对于C选项，函数的最小正周期为，C不符合要求； 对于D选项，函数的最小正周期为，D不符合要求. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正切函数值的符号可知，即，结合正余弦函数的性质判断各选项的正误即可. 【详解】由题设知：为一、三象限角， ∴且 k为整数，显然A、B错误； 而且 k为整数，易知：恒成立，而不一定成立，故C错误，D正确. 故选：D. 4. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 5. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切型函数的对称性得出，结合可得出的最小值. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 则，解得， 因为，故当时，取最小值. 6. 已知平面向量、、满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，同理得出、的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得向量和向量的夹角的余弦值. 【详解】因为平面向量、、满足，且， 由题意可得，则，即，可得， 同理可得，， 所以， ，同理可得， 所以， 故向量和向量的夹角的余弦值为. 7. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（ ） A. 6小时 B. 8小时 C. 9小时 D. 12小时 【答案】B 【解析】 【详解】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 8. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式以及两角差的正弦公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，且满足， 由于， 故有①， 由②， 联立①②可得，， 因此 ， 因为，则，故， 所以， 因此 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】应用数量积公式计算判断A，C，应用数量积运算律计算判断B，应用垂直数量积为0判断D. 【详解】对于任意两个非零向量和， ，A选项正确； ，不一定是1， 不一定成立，B选项错误； ，不一定是1，不一定成立，C选项错误； ，所以向量与向量垂直，D选项正确； 10. 函数在上单调，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为函数在上单调，且，所以，且， 即， 所以函数对称轴为，解得， 因为，所以对称轴等价于， 当函数在上单调，则，即， 可得，解得， 当时，可得或者， 可得，当时，， 或可得，当时，，当时，. 11. 已知为锐角，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 有且只有一个角满足 D. 有且只有一个角满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断A，利用诱导公式及正弦函数的单调性判断B，由函数图象判断C，根据零点存在性定理判断D. 【详解】因为为锐角，所以，当时，，故A错误； 因为，且为锐角，所以， 由正弦函数的单调性知，故B正确； ，在同一平面直角坐标系内作函数的图象，如图， 由图象可知，有且只有一个角满足，故C正确； 由可得，令，则函数在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理知，在上有且只有1个零点，故方程有且只有一个根，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为偶函数，则______ 【答案】 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以， 解得，因为，所以或， 当时，，， 当时，，， 综上所述，. 13. 已知，则______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，重难点为齐次式的弦化切运算技巧. 【详解】 同除得： . 14. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 【答案】2 【解析】 【详解】 如图所示，设， 由，则点在以为圆心，以为半径的圆周上， 因为，且，可知 即，所以点在的垂直平分线上， 可知，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，所以. 四、解答题：本题共5小题.第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简计算求解； （2）根据，结合同角三角函数基本关系、两角和正弦公式计算求解. 【详解】（1） ； （2），且，. 又，且． ． . 16. 已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． （1）若时，恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出周期可得，再由对称中心求出，根据正弦型三角函数的性质求最小值即可得解； （2）根据函数图象的变换求出解析式，由正弦型函数的性质及所给条件列出不等式，求参数的取值范围即可 【小问1详解】 函数且图象上相邻两个最高点的距离为，函数的最小正周期为，则， 又关于点中心对称，， 则，而，所以， ． 当时，，当，即时，取得最小值1． 要使恒成立，则的取值范围是． 【小问2详解】 由题意，函数． ，要使函数有且仅有4个零点， 则，解得，所以的取值范围是． 17. 如图，在中，，，，，，． （1）判断并证明直线与的位置关系； （2）若，求的值． 【答案】（1）直线与平行 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，以及向量共线的判定定理，证明向量平行，进而说明线线平行； （2）根据向量垂直的性质，以及数量积的概念，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 设，则． 所以． 而， ，即直线与平行. 【小问2详解】 ，，， 整理得：，则， 又，． 18. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波，叠加而成，即，图中所示为的部分图象. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若，求角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，判断三角函数性质，进而求出三角函数参数，根据换元法，求出函数单调递增区间即可； （2）根据三角恒等变换，对函数进行化简，进而根据余弦函数性质，判定值域即可； （3）根据，列出方程组，再根据同角三角函数关系，求出角的值即可； 【小问1详解】 由图可得， 可得，解得， 可得，得， 因为，所以， 所以， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 所以函数的值域为 【小问3详解】 若，则：． 所以，两式平方相加可得：， 即， 同理可得：，两式平方相加可得：， 即． 又，则， 所以，则所求的． 19. 定义：若向量，函数的解析式满足，则称为的“相伴函数”，为的“相伴向量”.已知函数，的“相伴向量”为. （1）求； （2）若函数为“相伴函数”，其“相伴向量”为． （ⅰ）证明：函数为“相伴函数”．记的“相伴向量”为，求的最小值； （ⅱ）若函数为“相伴函数”，记的“相伴向量”为，求的最小值． 【答案】（1）1 （2）（ⅰ）函数为“相伴函数”，设其“相伴向量”， 则，， 因此为“相伴函数”，的“相伴向量”， 所以当时，取得最小值. （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦及二倍角公式化简函数并求出，再利用坐标求出向量的模. （2）（ⅰ）利用定义推理证明，进而求出向量，再利用数量积的坐标表示列式求解；（ⅱ）利用二倍角公式化简函数并求出，再利用模的坐标表示列式求出最小值. 【小问1详解】 依题意， ， 因此函数的“相伴向量”为，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ） ，由为“相伴函数”，得， 因此，的“相伴向量”， ，， 当时，取得最小值，其最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $