专题18.4 线段垂直平分线 优等生讲义 (8大考点+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

专题18.4 线段垂直平分线 优等生讲义 (8考点+压轴题+练习2026年沪教版（五四制）数学七年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 · 掌握 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 · 熟练运用 垂直平分线的性质与判定进行几何证明与计算，解决线段相等、角度转化、等腰三角形等问题。 · 学会 用尺规作已知线段的垂直平分线、过一点作垂线、作等腰三角形等基本作图。 · 理解 外心的概念及性质，能根据外心位置判断三角形形状。 · 掌握 利用轴对称性质解决最短路径问题（“将军饮马”模型），并能综合运用垂直平分线、全等三角形、等边三角形等知识解决压轴题。 · 体会 转化思想、分类讨论、数形结合在几何综合题中的运用。 ✨ 核心：性质判定互逆 · 尺规作图规范 · 最短路径建模 · 外心识别。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 线段垂直平分线的性质 · 性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：若 且 经过 的中点 ，则对于 上任意一点 ，有 。 · 逆定理（判定）： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 应用： 常用于证明两条线段相等、确定等腰三角形顶角顶点位置、构造轴对称图形等。 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌ △PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. ☆ 尺规作图相关 · 作已知线段的垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即得。 · 过一点作已知直线的垂线： 利用“构造线段垂直平分线”的思路，或在直线上取两点，用圆规作中垂线。 · 作等腰三角形： 作底边的垂直平分线，在上取高，连接顶点与底边端点即得。 例 ：作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 ☆ 垂直平分线与等腰三角形 · 等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一，即底边的垂直平分线经过顶点。 · 若一个三角形中有一条边上的中线垂直于该边，则它是等腰三角形（中线也是高）。 · 利用垂直平分线可构造等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形。 ☆ 三角形的外心 · 外心： 三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 · 位置： 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 例 ：如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. ☆ 最短路径问题（将军饮马模型） · 基本模型：直线同侧两定点，在直线上求一点使路径和最小 → 作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，交点即为所求，最小值为对称点与另一点的距离。 · 拓展：涉及多条直线（如“饮马”加“吃草”），需多次对称，最终转化为两点间线段最短。 · 常与垂直平分线、轴对称结合，利用“两点之间线段最短”求最值。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用结论/公式 性质 垂直平分线上的点到两端点距离相等 ，可证等边、等角 判定 到两端距离相等的点在线段垂直平分线上 常用于证明三点共线或点在对称轴上 尺规作图 作垂直平分线、过一点作垂线 作图依据：中垂线的性质与判定 等腰三线合一 底边中垂线经过顶角顶点 等腰三角形具有轴对称性 外心 三边垂直平分线交点，到三顶点等距 外心位置决定三角形形状 最短路径 将军饮马模型：作对称点化折为直 最小值 = 对称点与另一点的距离 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】线段垂直平分线的性质（对应第1-8题） ※ 方法总结 · 利用垂直平分线性质得 ，将折线转化为 ，结合“垂线段最短”或“两点之间线段最短”求最值。 · 折叠问题中，折痕是对应点连线的垂直平分线，由此得到等边三角形、垂直平分等结论。 · 结合等腰三角形内角和、外角定理，通过垂直平分线得到的等腰三角形进行角度推算。 · 整体转化法：通过垂直平分线将不规则图形的周长转化为已知线段的和（如 周长转化为 ）。 · 三线合一与垂直平分线：等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合，即底边的垂直平分线过顶点。 · 角平分线与垂直平分线结合：利用角平分线性质、垂直平分线性质、三角形内角和求角度。 1．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）有一张长方形纸片，按下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕为． 下列结论中错误的是（   ） A．是等边三角形 B．垂直平分 C． D． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 6．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【考点2】线段垂直平分线的判定（对应第9-17题） ※ 方法总结 · 若 且 ，则 都在 的垂直平分线上，从而 垂直平分 。 · 判定方法常用于证明直线是线段的垂直平分线，进而得到垂直、中点等结论。 · 利用垂直平分线的判定可构造轴对称图形，解决面积问题（如筝形面积等于对角线乘积的一半）。 · 结合等边三角形、中点，利用“到两端距离相等”证明点在垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”得垂直平分线。 · 全等三角形与垂直平分线：通过证三角形全等得 ，从而 在中垂线上。 · 构造等腰三角形：等腰三角形底边上的垂直平分线是顶角平分线，常结合底边中点使用三线合一。 9．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·福建福州·期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 13．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 14．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 15．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，点，是边上不重合两点且满足，作垂足为点垂足为点和交于形内一点． (1)求证：； (2)连接，，求证：直线是边的垂直平分线． 16．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 17．（25-26八年级上·上海·月考）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，． 求证：． 方法一：∵． ∴，即 在和中， ∴（_______） ∴，（_________） ∴（_______） 方法二：∵，， ∴，（_______） ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴点，点在线段的垂直平分线上（________） ∴垂直平分（_________） 即 【考点3】作已知线段的垂直平分线（对应第18-23题） ※ 方法总结 · 尺规作图步骤：分别以线段两端点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线。 · 作图原理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，两点确定一条直线。 · 应用：利用垂直平分线作等腰三角形（如作 ），或求三角形周长、求角度。 · 利用垂直平分线性质：中垂线上的点到两端距离相等，可将折线化直，求最值或线段和。 18．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 20．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 21．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，． (1)在上找一点，使得（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，，求的长． 22．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，下面是小明设计的“作已知线段的垂直平分线”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：直线，使得是线段的垂直平分线． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线，则直线就是线段的垂直平分线． 根据小明设计的尺规作图过程，在图中画出线段的垂直平分线并解答下列问题： 证明：， 两点在线段的垂直平分线上 （___________）（填理由）． 直线是线段的垂直平分线 （___________）（填理由） 23．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； (2)若，，则中线长度的取值范围是______． 【考点4】作垂线(尺规作图）（对应第24-28题） ※ 方法总结 · 过直线外一点作已知直线的垂线：在直线上取两点，以大于两点间距离的一半画弧，连接交点即得垂线。 · 利用平移、旋转等几何变换构造垂线，常用于解决图形旋转、平移后的位置问题。 · 作已知角等于已知角、作垂线等基本作图是尺规作图的常用工具，需熟练掌握。 · 结合垂直平分线作等腰直角三角形、等边三角形。 24．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，将等腰直角三角形（其中）沿方向平移，使点C移动到点B的位置，画出平移后的； (2)如图2，将等边三角形绕点B按逆时针方向旋转，画出旋转后的图形．（要求：仅用圆规与无刻度直尺作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 25．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）已知：如图，及其一边上的两点A，B．请用直尺和圆规在内部，求作，使得，且．（不写作法，保留作图痕迹） 26．（2026·重庆北碚·模拟预测）小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在中， ，，点，点分别为上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： (1)尺规作图．用圆规和直尺，过点作交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交于 ④ 即是等腰三角形 27．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于和，连接． (1)若，平分，求的度数． (2)若，的周长为，求的周长． 28．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【考点5】作等腰三角形(尺规作图）（对应第29-30题） ※ 方法总结 · 已知底边和底边上的高：先作底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取高，连接顶点和底边端点。 · 用圆规截取等长线段，构造等腰三角形。 · 注意保留作图痕迹，说明作图依据。 29．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，已知：直线和外一点．求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为点，斜边在上．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 30．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知线段，利用尺规求作一个底边为、高等于的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点6】已知外心的位置判断三角形的形状（对应第31-32题） ※ 方法总结 · 外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心的位置决定三角形的形状：外心在三角形内部 → 锐角三角形；外心在斜边中点 → 直角三角形；外心在外部 → 钝角三角形。 · 外心到三个顶点的距离相等，常用于求角度、边长等。 · 结合等腰三角形、等边三角形外心的特殊性解题。 31．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 32．（22-23九年级上·陕西渭南·月考）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【考点7】最短路径问题（对应第33-36题） ※ 方法总结 · 将军饮马模型：直线同侧两点，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，交点即为最短路径点。 · 利用垂直平分线性质可将折线长度转化为直线段长度（利用对称构建“两点间线段最短”）。 · 多条河（或直线）的最短路径：连续作对称，将路径转化为一条直线段。 · 结合平移：河宽固定时，可通过平移将“桥”的长度转化为固定值，再求折线最短。 · 求线段和的最小值常用“化折为直”，运用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”。 33．（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 36．（25-26八年级下·陕西西安·期中）尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 【考点8】创新及压轴题（对应第37-42题） ※ 方法总结 · 光线反射问题转化为轴对称（入射角等于反射角），利用对称点构造最短路径。 · 台球碰撞问题：通过多次作对称，将碰撞路径展开为一条直线，利用勾股或几何性质求边长。 · 尺规作图创新：构造等角、平行线，利用垂直平分线、中垂线性质证明或作图。 · “美好等腰三角形”：利用垂直平分线判定和性质，证明腰角相等、轴线垂直平分底边。 · 综合旋转、全等、中点倍长等构造辅助线，求线段和的最值（如利用直角三角形斜边中线、中位线等）。 · 利用线段垂直平分线构造对称点，解决将军饮马问题的变式（如三角形内一点到三边距离和最短等）。 37．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 38．（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 39．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）操作实践 图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求． 【源于生活】 爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根所在直线是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张纸上画好了风筝的轮廓，已知，“副龙骨”经过的中点，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）． (1)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中作出三角形风筝的“主龙骨”： (2)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中找到点； (3)操作：点是上一点，请在图中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”； 【数学思考】小明继续制作风筝，连接了和，发现和的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在，上分别取、，使其关于对称．连接了和，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？ (4)操作：如图，根据小明的发现，用不同于操作的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨“； 作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成： (5)操作：如图，在边长为的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”； 【创新应用】 风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题： (6)操作：如图，点是正方形的边上一点，请利用无刻度的直尺在边上找一点，使． 40．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 41．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 42．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 随堂检测 · 精选练习 · 检测1 — 垂直平分线的判定：线段中垂线上任一点到两端点距离相等，反之亦然。掌握等腰三角形三线合一。 · 检测2 — 垂直平分线的性质与周长计算：利用中垂线将周长转化为已知线段和，结合等腰三角形、线段中点求边长。 · 检测3 — 垂直平分线性质的应用：已知中垂线及周长得线段长，利用 进行等量代换。 · 检测4 — 最短路径与垂直平分线：将军饮马模型，作对称点化折为直，结合垂线段最短求最小值。 · 检测5 — 垂直平分线性质与勾股定理解答：利用垂直平分线得等腰三角形，结合中线、勾股定理求线段长。 ⭐ 复习重点：性质与判定互逆 · 尺规作图规范 · 最短路径建模 · 外心位置判断。 1．（23-24八年级下·安徽宿州·月考）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 3．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，垂直平分于D，交于E点，若，的周长为9，则的长为________． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1 — 三角形内角比例、外心、反证法、逆命题真假判断的综合辨析。 · 巩固2 — 尺规作图识别：垂线作图的痕迹判定。 · 巩固3 — 垂直平分线的尺规作图与周长计算：利用中垂线得 ，转化周长。 · 巩固4 — 旋转与垂直平分线：旋转60°构造等边三角形，利用垂直关系证明。 · 巩固5 — 等边三角形内任意一点向三边作垂线段的和为定值（等于等边三角形的高），可通过特殊位置（中心）求解。 · 巩固6 — 中垂线性质：中垂线上的点到两端点距离相等，将三角形周长转化为两边和。 · 巩固7 — 利用垂直平分线性质求四边形周长：点分别在边的中垂线上，将未知线段向已知线段转化。 · 巩固8 — 角平分线、垂直平分线综合：利用角平分线和垂直平分线性质，通过角度代换求角。 · 巩固9 — 最短路径问题：将军饮马模型，将 转化为 ，利用两点之间线段最短。 · 巩固10 — 等腰直角三角形与全等、垂直平分线：利用三线合一、全等证明线段相等、垂直，设参数求值。 · 巩固11 — 垂直平分线性质与全等求角度、周长。 · 巩固12 — 尺规作图：过一点作平行线，借助垂直平分线、全等三角形证明平行。 · 巩固13 — 垂直平分线性质证明角度（利用外角性质）。 · 巩固14 — SSS证全等，利用垂直平分线求角度和周长。 · 巩固15 — 等边三角形中对称性求最值（将军饮马拓展），作对称点化折为直，通过等边三角形性质求最小值。 ❤ 复习建议 垂直平分线是几何推理的重要工具，务必熟练掌握性质与判定的互逆关系。尺规作图需规范，最短路径问题关键在于化折为直，创新题往往需要构造对称、平移或旋转。建议多练综合题，体会转化思想。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的三个内角满足：，则为直角三角形 B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．“对顶角相等”的逆命题是假命题 D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为_____． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，点分别在的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为___． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点．下列说法正确的有：________（只填写序号）． ①是等腰直角三角形；②；③；④：⑤若，则． 11．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 12．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，已知，点在内部． (1)过作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)设直线交于点，请直接写出的度数． 13．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 14．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 15．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.4 线段垂直平分线 优等生讲义 (8考点+压轴题+练习2026年沪教版（五四制）数学七年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 · 掌握 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 · 熟练运用 垂直平分线的性质与判定进行几何证明与计算，解决线段相等、角度转化、等腰三角形等问题。 · 学会 用尺规作已知线段的垂直平分线、过一点作垂线、作等腰三角形等基本作图。 · 理解 外心的概念及性质，能根据外心位置判断三角形形状。 · 掌握 利用轴对称性质解决最短路径问题（“将军饮马”模型），并能综合运用垂直平分线、全等三角形、等边三角形等知识解决压轴题。 · 体会 转化思想、分类讨论、数形结合在几何综合题中的运用。 ✨ 核心：性质判定互逆 · 尺规作图规范 · 最短路径建模 · 外心识别。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 线段垂直平分线的性质 · 性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：若 且 经过 的中点 ，则对于 上任意一点 ，有 。 · 逆定理（判定）： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 应用： 常用于证明两条线段相等、确定等腰三角形顶角顶点位置、构造轴对称图形等。 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌ △PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. ☆ 尺规作图相关 · 作已知线段的垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即得。 · 过一点作已知直线的垂线： 利用“构造线段垂直平分线”的思路，或在直线上取两点，用圆规作中垂线。 · 作等腰三角形： 作底边的垂直平分线，在上取高，连接顶点与底边端点即得。 例 ：作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 ☆ 垂直平分线与等腰三角形 · 等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一，即底边的垂直平分线经过顶点。 · 若一个三角形中有一条边上的中线垂直于该边，则它是等腰三角形（中线也是高）。 · 利用垂直平分线可构造等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形。 ☆ 三角形的外心 · 外心： 三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 · 位置： 锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 例 ：如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. ☆ 最短路径问题（将军饮马模型） · 基本模型：直线同侧两定点，在直线上求一点使路径和最小 → 作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，交点即为所求，最小值为对称点与另一点的距离。 · 拓展：涉及多条直线（如“饮马”加“吃草”），需多次对称，最终转化为两点间线段最短。 · 常与垂直平分线、轴对称结合，利用“两点之间线段最短”求最值。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用结论/公式 性质 垂直平分线上的点到两端点距离相等 ，可证等边、等角 判定 到两端距离相等的点在线段垂直平分线上 常用于证明三点共线或点在对称轴上 尺规作图 作垂直平分线、过一点作垂线 作图依据：中垂线的性质与判定 等腰三线合一 底边中垂线经过顶角顶点 等腰三角形具有轴对称性 外心 三边垂直平分线交点，到三顶点等距 外心位置决定三角形形状 最短路径 将军饮马模型：作对称点化折为直 最小值 = 对称点与另一点的距离 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】线段垂直平分线的性质（对应第1-8题） ※ 方法总结 · 利用垂直平分线性质得 ，将折线转化为 ，结合“垂线段最短”或“两点之间线段最短”求最值。 · 折叠问题中，折痕是对应点连线的垂直平分线，由此得到等边三角形、垂直平分等结论。 · 结合等腰三角形内角和、外角定理，通过垂直平分线得到的等腰三角形进行角度推算。 · 整体转化法：通过垂直平分线将不规则图形的周长转化为已知线段的和（如 周长转化为 ）。 · 三线合一与垂直平分线：等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合，即底边的垂直平分线过顶点。 · 角平分线与垂直平分线结合：利用角平分线性质、垂直平分线性质、三角形内角和求角度。 1．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、垂线段最短 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵腰的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵的长为，的面积是， ∴此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）有一张长方形纸片，按下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕为． 下列结论中错误的是（   ） A．是等边三角形 B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】根据两次折叠，得出，利用，得到，从而判定为等边三角形，，可知选项、正确；由、，得出垂直平分，验证选项正确；因矩形边长未确定，故不一定成立，选项错误． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 是等边三角形，选项正确， ， 根据折叠可知， ，， ，选项正确， ， 垂直平分，选项正确， 、的长度不确定， 不一定等于，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查折叠的轴对称性质，矩形的性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定，理解折叠前后对应角相等、对应边相等是解题关键． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 4．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 【答案】 【难度】0.64 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出、的度数，再结合角平分线、线段垂直平分线的性质，推导出、，进而求出的度数，最后利用折叠的性质得到，结合等腰三角形内角和求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴ ∵平分， ∴，直线垂直平分， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴， ∴ 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【难度】0.8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后等量代换得到的周长为，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 6．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________． 【答案】125 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点 ∴平分平分， ∴，∠， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【考点2】线段垂直平分线的判定（对应第9-17题） ※ 方法总结 · 若 且 ，则 都在 的垂直平分线上，从而 垂直平分 。 · 判定方法常用于证明直线是线段的垂直平分线，进而得到垂直、中点等结论。 · 利用垂直平分线的判定可构造轴对称图形，解决面积问题（如筝形面积等于对角线乘积的一半）。 · 结合等边三角形、中点，利用“到两端距离相等”证明点在垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”得垂直平分线。 · 全等三角形与垂直平分线：通过证三角形全等得 ，从而 在中垂线上。 · 构造等腰三角形：等腰三角形底边上的垂直平分线是顶角平分线，常结合底边中点使用三线合一。 9．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 10．（23-24八年级上·福建福州·期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 13．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 14．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，利用方程思想解决是解题的关键； 连接，由，，得到是的垂直平分线，，，根据，得到，，从而推出，，可表示出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，点，是边上不重合两点且满足，作垂足为点垂足为点和交于形内一点． (1)求证：； (2)连接，，求证：直线是边的垂直平分线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，又因为，所以，然后根据，证明，则，即； （2）先由（1）得，，，则，即点P在的垂直平分线上，因为，得，故，即，得点A在的垂直平分线上，进行作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）得，，， 则， ∴， 即点P在的垂直平分线上， 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点A在的垂直平分线上， ∴直线是边的垂直平分线． 16．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级上·上海·月考）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，． 求证：． 方法一：∵． ∴，即 在和中， ∴（_______） ∴，（_________） ∴（_______） 方法二：∵，， ∴，（_______） ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴点，点在线段的垂直平分线上（________） ∴垂直平分（_________） 即 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两点确定一条直线、三线合一 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键． 方法一：先求出，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证． 方法二：先根据三角形的外角性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出垂直平分，由此即可得证． 【详解】证明：方法一：∵． ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，（全等三角形的性质）， ∴（等腰三角形的三线合一）． 方法二：∵，， ∴，（三角形的外角性质）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）， ∴垂直平分（两点确定一条直线）， 即． 【考点3】作已知线段的垂直平分线（对应第18-23题） ※ 方法总结 · 尺规作图步骤：分别以线段两端点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线。 · 作图原理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，两点确定一条直线。 · 应用：利用垂直平分线作等腰三角形（如作 ），或求三角形周长、求角度。 · 利用垂直平分线性质：中垂线上的点到两端距离相等，可将折线化直，求最值或线段和。 18．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 20．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 【答案】/90度 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、作已知线段的垂直平分线 【分析】由作图可知垂直平分线段，，因为，所以，根据等边对等角可知，在中，利用三角形内角和定理可知，则，进而可求的度数． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 21．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，． (1)在上找一点，使得（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.76 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，交于点，点即为所求； （2）由得，根据三角形的外角性质得到，推出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解： ， ， ， ， ， ， ． 22．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，下面是小明设计的“作已知线段的垂直平分线”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：直线，使得是线段的垂直平分线． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线，则直线就是线段的垂直平分线． 根据小明设计的尺规作图过程，在图中画出线段的垂直平分线并解答下列问题： 证明：， 两点在线段的垂直平分线上 （___________）（填理由）． 直线是线段的垂直平分线 （___________）（填理由） 【答案】见解析 【难度】0.95 【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据作图方法以及线段的垂直平分线的判定方法，以及直线的性质，进行作答即可. 【详解】解：由题意，作图如下： 证明：， 两点在线段的垂直平分线上， （到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， 直线是线段的垂直平分线， （两点确定一条直线）． 23．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； (2)若，，则中线长度的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线与交于点，连接即可； ②由过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可求解； （2）延长到点M，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，、即为所求， ②即为所求； （2）解：延长到点M，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， 即， 【考点4】作垂线(尺规作图）（对应第24-28题） ※ 方法总结 · 过直线外一点作已知直线的垂线：在直线上取两点，以大于两点间距离的一半画弧，连接交点即得垂线。 · 利用平移、旋转等几何变换构造垂线，常用于解决图形旋转、平移后的位置问题。 · 作已知角等于已知角、作垂线等基本作图是尺规作图的常用工具，需熟练掌握。 · 结合垂直平分线作等腰直角三角形、等边三角形。 24．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，将等腰直角三角形（其中）沿方向平移，使点C移动到点B的位置，画出平移后的； (2)如图2，将等边三角形绕点B按逆时针方向旋转，画出旋转后的图形．（要求：仅用圆规与无刻度直尺作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.73 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定 【分析】（1）先延长，然后截取，过点B作的垂线，再在垂线上截取 求解即可； （2）作的平分线，在角的平分线上截取，； 作，解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求； （2）解：作的平分线，在角的平分线上截取， ； 作， 在边上截取， 此时， 连接， 则是等边三角形； 则即为所求； 25．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）已知：如图，及其一边上的两点A，B．请用直尺和圆规在内部，求作，使得，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.56 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图) 【分析】作，过点B作，与交于点C，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 26．（2026·重庆北碚·模拟预测）小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在中， ，，点，点分别为上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： (1)尺规作图．用圆规和直尺，过点作交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交于 ④ 即是等腰三角形 【答案】(1)见图： (2)① ； ②；③ ； ④ 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图． （2）且，所以先推导底角的度数，得到①的内容．因为要利用证明，已知，，所以结合题干中，确定②的内容．因为，所以利用全等三角形对应角相等的性质，得到③的内容．因为，，且，所以通过等量代换推导与的关系，得到④的内容，进而证明是等腰三角形． 【详解】（1）解：在的另一侧取点G， 以点E为圆心，以长为半径作弧，交于两点， 分别以两点为圆心，以大于这两点之间的距离的一半的长为半径画弧，两弧交于点I， 作射线交于点F，交于点H， 则，如图． （2）证明：， ， 在和中，， （）， ， 又于交于， ， ， ，即是等腰三角形． 27．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于和，连接． (1)若，平分，求的度数． (2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图)、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和求解即可； （2）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算即可； 【详解】（1）解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为． 28．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5； 【难度】0.51 【知识点】作垂线(尺规作图)、折叠问题 【分析】（1）根据题干中作图步骤进行作图即可； （2）先作的垂直平分线，即为折痕，以点A为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点E，连接，作的垂直平分线，交于点F； （3）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，根据平角得出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，、即为所求； （3）解：根据折叠可得：，， ∴； 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点5】作等腰三角形(尺规作图）（对应第29-30题） ※ 方法总结 · 已知底边和底边上的高：先作底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取高，连接顶点和底边端点。 · 用圆规截取等长线段，构造等腰三角形。 · 注意保留作图痕迹，说明作图依据。 29．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，已知：直线和外一点．求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为点，斜边在上．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】先过点作直线的垂线，垂足为点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，最后连接、即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 30．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知线段，利用尺规求作一个底边为、高等于的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【难度】0.65 【知识点】作等腰三角形(尺规作图)、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】先作，作的中垂线，然后在中垂线上截取即可. 【详解】解：如图，即为所求； 【考点6】已知外心的位置判断三角形的形状（对应第31-32题） ※ 方法总结 · 外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心的位置决定三角形的形状：外心在三角形内部 → 锐角三角形；外心在斜边中点 → 直角三角形；外心在外部 → 钝角三角形。 · 外心到三个顶点的距离相等，常用于求角度、边长等。 · 结合等腰三角形、等边三角形外心的特殊性解题。 31．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 32．（22-23九年级上·陕西渭南·月考）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【答案】/140度 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、已知外心的位置判断三角形的形状、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 【考点7】最短路径问题（对应第33-36题） ※ 方法总结 · 将军饮马模型：直线同侧两点，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，交点即为最短路径点。 · 利用垂直平分线性质可将折线长度转化为直线段长度（利用对称构建“两点间线段最短”）。 · 多条河（或直线）的最短路径：连续作对称，将路径转化为一条直线段。 · 结合平移：河宽固定时，可通过平移将“桥”的长度转化为固定值，再求折线最短。 · 求线段和的最小值常用“化折为直”，运用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”。 33．（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、两点之间线段最短 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】见解析． 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 【详解】解：点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 36．（25-26八年级下·陕西西安·期中）尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 【答案】图见解析 【难度】0.75 【知识点】作垂线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】方法①作上的垂线（延长，以点为圆心，小于长为半径画弧与射线相交，分别以两交点为圆心，任意长为半径画弧，交点与点相连即为上的垂线），将分成和，此时垂线与交点即为点； 方法②可根据三角形内角和定理及等边对等角得，则作的垂直平分线交于点（分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接交点即为的垂直平分线），也能使； 方法③过点作（以点为圆心，小于长为半径画弧分别与、相交，再以点为圆心，相同半径画弧与相交，再以该交点为圆心，将以点为圆心画弧得到的两交点之间的距离为半径画弧，该弧与以点为圆心画的弧形成交点，连接点与该交点并延长交于点），也能使． 【详解】解：如图，点P即为所求 【考点8】创新及压轴题（对应第37-42题） ※ 方法总结 · 光线反射问题转化为轴对称（入射角等于反射角），利用对称点构造最短路径。 · 台球碰撞问题：通过多次作对称，将碰撞路径展开为一条直线，利用勾股或几何性质求边长。 · 尺规作图创新：构造等角、平行线，利用垂直平分线、中垂线性质证明或作图。 · “美好等腰三角形”：利用垂直平分线判定和性质，证明腰角相等、轴线垂直平分底边。 · 综合旋转、全等、中点倍长等构造辅助线，求线段和的最值（如利用直角三角形斜边中线、中位线等）。 · 利用线段垂直平分线构造对称点，解决将军饮马问题的变式（如三角形内一点到三边距离和最短等）。 37．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【难度】0.5 【知识点】与余角、补角有关的计算、轴对称中的光线反射问题、几何图形中角度计算问题、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 38．（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 【答案】(1)作一个角等于已知角 (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【难度】0.69 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、尺规作一个角等于已知角、内错角相等两直线平行、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据作图进行求解即可； （2）根据平行线的判定，进行求解即可； （3）先过点A作，再过点A作，则根据在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行，即可得出． 【详解】（1）解：根据作图可知：上述作法中用到的基本尺规作图是作一个角等于已知角； （2）解：根据作图可知：， ∴根据“内错角相等两直线平行”可得：； （3）解：如图，即为所求作的平行线． 39．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）操作实践 图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求． 【源于生活】 爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根所在直线是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张纸上画好了风筝的轮廓，已知，“副龙骨”经过的中点，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）． (1)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中作出三角形风筝的“主龙骨”： (2)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中找到点； (3)操作：点是上一点，请在图中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”； 【数学思考】小明继续制作风筝，连接了和，发现和的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在，上分别取、，使其关于对称．连接了和，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？ (4)操作：如图，根据小明的发现，用不同于操作的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨“； 作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成： (5)操作：如图，在边长为的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”； 【创新应用】 风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题： (6)操作：如图，点是正方形的边上一点，请利用无刻度的直尺在边上找一点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 (5)见详解 (6)见详解 【难度】0.56 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画对称轴、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查轴对称图形的性质和特点，线段的垂直平分线的尺规作图方法，无刻度的直角三角板的作图方法等知识点． （1）根据轴对称图形的性质和特点，利用作线段垂直平分线的方法作线段的垂直平分线，即可得出答案； （2）利用作线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为所求； （3）用无刻度的直角三角板过点作出的垂线，即可得出答案； （4）根据轴对称图形的性质和特点，在上分别截取，连接交于点，连接即可得出答案； （5）利用网格的特征解答即可； （6）根据轴对称图形的性质和特点，连接，，交于点，作关于对称的三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线过点，直线交线段于点，则线段即为三角形风筝的“主龙骨”； （2）解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线即为线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为线段的中点； （3）解：在（1），（2）作图的基础上，用无刻度的直角三角板，一直角边与重合，另一直角边过点，沿过点的直角边画线，作的垂线，并延长交于点，线段即为所求的“副龙骨”； （4）解：如图，在上分别截取，连接交于点，连接并延长交于点，即为所求的“主龙骨”； （5）解：如图，连接，由网格可得点即为线段的中点，连接，则线段即为所求“主龙骨”； （6）解：如图，连接，，交于点，连接并延长，交于点，点即为所求的点． 40．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析（答案不唯一） 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为． 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 42．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】画旋转图形、最短路径问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据旋转的性质求解 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）延长至点G，使，连接，证明≌得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明≌，即可得出结论； （3）取的中点O，与的交点为H，连接，得出当A、H、O三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解： ，证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，则， 点F是线段的中点， ， 在与中， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）解：如图所示，取的中点O，与的交点为H，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ∴， ， ， 当A、H、O三点共线时，最小，如下图， 此时，， 的最小值为， 由勾股定理得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 检测1 — 垂直平分线的判定：线段中垂线上任一点到两端点距离相等，反之亦然。掌握等腰三角形三线合一。 · 检测2 — 垂直平分线的性质与周长计算：利用中垂线将周长转化为已知线段和，结合等腰三角形、线段中点求边长。 · 检测3 — 垂直平分线性质的应用：已知中垂线及周长得线段长，利用 进行等量代换。 · 检测4 — 最短路径与垂直平分线：将军饮马模型，作对称点化折为直，结合垂线段最短求最小值。 · 检测5 — 垂直平分线性质与勾股定理解答：利用垂直平分线得等腰三角形，结合中线、勾股定理求线段长。 ⭐ 复习重点：性质与判定互逆 · 尺规作图规范 · 最短路径建模 · 外心位置判断。 1．（23-24八年级下·安徽宿州·月考）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三线合一、等边对等角、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是根据性质找出相等的线段． 根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：，且， 是等腰三角形，根据三线合一可得， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，垂直平分于D，交于E点，若，的周长为9，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握知识点线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线性质知，再由的周长求出，即可求解． 【详解】解：垂直平分于D， ， 的周长为， ，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于，点D为边的中点，故，根据三角形的面积公式求出，根据的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·月考）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1 — 三角形内角比例、外心、反证法、逆命题真假判断的综合辨析。 · 巩固2 — 尺规作图识别：垂线作图的痕迹判定。 · 巩固3 — 垂直平分线的尺规作图与周长计算：利用中垂线得 ，转化周长。 · 巩固4 — 旋转与垂直平分线：旋转60°构造等边三角形，利用垂直关系证明。 · 巩固5 — 等边三角形内任意一点向三边作垂线段的和为定值（等于等边三角形的高），可通过特殊位置（中心）求解。 · 巩固6 — 中垂线性质：中垂线上的点到两端点距离相等，将三角形周长转化为两边和。 · 巩固7 — 利用垂直平分线性质求四边形周长：点分别在边的中垂线上，将未知线段向已知线段转化。 · 巩固8 — 角平分线、垂直平分线综合：利用角平分线和垂直平分线性质，通过角度代换求角。 · 巩固9 — 最短路径问题：将军饮马模型，将 转化为 ，利用两点之间线段最短。 · 巩固10 — 等腰直角三角形与全等、垂直平分线：利用三线合一、全等证明线段相等、垂直，设参数求值。 · 巩固11 — 垂直平分线性质与全等求角度、周长。 · 巩固12 — 尺规作图：过一点作平行线，借助垂直平分线、全等三角形证明平行。 · 巩固13 — 垂直平分线性质证明角度（利用外角性质）。 · 巩固14 — SSS证全等，利用垂直平分线求角度和周长。 · 巩固15 — 等边三角形中对称性求最值（将军饮马拓展），作对称点化折为直，通过等边三角形性质求最小值。 ❤ 复习建议 垂直平分线是几何推理的重要工具，务必熟练掌握性质与判定的互逆关系。尺规作图需规范，最短路径问题关键在于化折为直，创新题往往需要构造对称、平移或旋转。建议多练综合题，体会转化思想。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．若的三个内角满足：，则为直角三角形 B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．“对顶角相等”的逆命题是假命题 D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、反证法证明中的假设、三角形内角和定理的应用、写出命题的逆命题 【详解】解：A：设，由题意得，，∵三角形内角和为，∴，解得，∴不是直角三角形，A错误． B：∵三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，∴B错误． C：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，C正确． D：用反证法证明命题时，需先假设结论的否定成立，“至多有一个内角是直角”的否定是“至少有两个内角是直角”，因此应先假设“至少有两个内角是直角”，∴D错误． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】作垂线(尺规作图) 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由题意可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长为，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设与交于点H，根据旋转的性质可得旋转角，利用三角形内角和定理求出的度数，即可证得；再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；利用反证法判断B和C选项的结论不成立． 【详解】解；设与交于点H， 将绕点C顺时针旋转得到， ， 在中，， ， 故A选项正确； 由旋转可知，， 设， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定成立， 故D选项错误； 若平分，则垂直平分线段， ， 、， ， 是等边三角形，与题目条件矛盾， 故B选项错误； 若，则是等边三角形，与题目条件矛盾， 故C选项错误； 故选：A． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】等边三角形的性质、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，由三线合一定理和等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为_____． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据中垂线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵，， ∴的周长． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，点分别在的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为___． 【答案】 20 【难度】0.7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，连接，，若，，则的度数为___ 【答案】/70度 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据垂直平分线得到，从而得到，结合角平分线及得到，，结合得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得 ，当、、三点共线时取最小值，即可求解． 【详解】解：连接， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 即当、、三点共线时取最小值， 此时， 的最小值为． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点．下列说法正确的有：________（只填写序号）． ①是等腰直角三角形；②；③；④：⑤若，则． 【答案】①②④⑤ 【难度】0.5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】根据，，可直接判断①，利用可证明即可判断②，利用垂直平分线的判定和性质结合直角三角形三边关系可判断③，利用三角形内角和定理以及等角对等边可判断④，利用等腰直角三角形的判定和性质可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，故①正确， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴，故②正确； 连接， ∵是等腰直角三角形，点为中点． ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴，故③错误， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①②④⑤正确． 11．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.61 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，已知，点在内部． (1)过作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)设直线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、作垂线(尺规作图)、两直线平行同旁内角互补 【分析】（1）连接，作即可； （2）由平行线的性质及对顶角相等即可求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：由作法知， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)25 (2) 【难度】0.62 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：在和中， ，， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【难度】0.76 【知识点】作垂线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）①过点P作直线，交于点Q，以点P为顶点以为一边作角等于，即可； ②延长，并截取，作的中垂线即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2)图见解析，路程为 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $