河南省濮阳油田实验学校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以勾股定理总统证法（文化传承）和旗杆折断问题（现实应用）为特色，通过几何直观与运算能力考查，适配八年级期中核心知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数估算、平行四边形判定、多边形内角和|结合网格图形（第5题）考查几何直观| |填空题|6/15|四边形不稳定性、正多边形边数、勾股树规律|以伸缩门（第11题）体现数学应用| |解答题|6/75|勾股定理证明与应用、平行四边形/矩形证明|23题融合历史证法与取水问题，22题通过旗杆折断考查模型意识|

油田实验学校2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 (时间：100分钟 满分：120分) 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上. 一、选择题（本题共10小题，共30分) 1．估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若有意义，则（    ） A． B． C． D． 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 第5题图 5．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 7．若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为，则这个等腰三角形的面积为（   ） A． B． C．6 D．或 8．如图，在平行四边形中，平分且交于点E，若，，则平行四边形的周长为（   ） A．16 B．8 C．20 D．10 9．如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 10．如图，在△ABC中，，，，过点作，，连接，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，共15分) 11．如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 12．若式子在实数范围内有意义，则实数可取的数是__________．（只写一个） 13．若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 14．矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于______． 15．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 三、解答题（本题共6小题，共75分) 16．（本题9分）计算 （1）； （2） （3） 17．（本题8分）已知，求的值. 18. (本题8分)如图，在中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF. (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 第18题图 19．（本题8分）已知：如图，各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形是矩形． 20．（本题10分）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 21．（本题10分）如图，在△ABC中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 22．（本题10分）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 23．（本题12分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 2．B 【分析】根据同底数幂的除法运算，负整数指数幂性质，二次根式的运算与性质，对各选项逐一计算验证即可得出结果． 【详解】解：∵，∴A计算错误． ∵，∴B计算正确． ∵，∴C计算错误． ∵， ∴，∴D计算错误． 3．D 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质化简求解. 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数，原式有意义， ∴， 由得，即； 由得，即， ∴， ∴． 4．【4题答案】 【答案】D 5．C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 6．A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 7．A 【分析】据等腰三角形性质和直角三角形内角关系，判断高的位置，验证情况存在性，再利用含角的直角三角形性质和勾股定理计算边长，最后用三角形面积公式求解． 【详解】解：设等腰三角形为，，是腰上的高，，． ， ， ∴． ， ， ，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， 解得． ． 若假设高在三角形内部， 等腰三角形为，，． ， ， ∴． ， ， ∴，矛盾，该情况不存在． 因此只有符合要求， 故选A． 8．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据四边形是平行四边形，得出对边平行，对边相等， 结合角平分线的定义，得出，故，即，然后列式计算得出平行四边形的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分且交于点E， ∴， ∴， ∴， 则平行四边形的周长为． 9：【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 10．D 【分析】过点作交于点，利用“角角边”证明后，由全等三角形的性质推得，，最后结合勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作交于点， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 11：不稳定性 12．不唯一 13． 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 14．6 【分析】由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长等于6． 15：【答案】255 【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第8个图形中共有个正方形． 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 17．28 【分析】由二次根式有意义的条件求得，再代入求得，据此代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴且， ∴， 当时，， ∴． 18．（1）证明： ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA = OC，OB = OD ∵ AE = CF， ∴ OA − AE = OC − CF，即 OE = OF。 ∴四边形 EBFD 是平行四边形。 （2） 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD ∴ ∠DCA = ∠BAC ∵ ∠BAC = ∠DAC ∴∠DCA= ∠DAC ∴DA=DC ∴ 四边形ABCD 为菱形 ∴ AC⊥BD。 即 EF ⊥ BD ∵四边形 EBFD是平行四边形 ∴四边形 EBFD是菱形 19．见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，则，同理，再根据矩形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，分别平分与， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形． 20． 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 21．(1)8 (2)5 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）设，则，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 22．(1)旗杆距地面3米处折断 (2)在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； （2）解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 23．(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $