专题02 动态几何与函数综合（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(天津专用)

专题02 动态几何与函数综合 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 平移相关动态几何 题型02 轴对称相关动态几何 题型03 旋转相关动态几何 模块三、综合实战演练 1、 平移相关动态几何的解题方法： 1. 求坐标：题目第(1)问通常是送分题。利用勾股定理或60°角三角函数作垂线即可。 2. 抓临界：解第(2)问时，看清重叠部分何时变成等腰梯形。此时往往意味着图形的某条边正好移到了特定位置，利用t、固定宽度、边长列出方程（如t - 4）就能把参数范围算出来。 3. 分段算：解第(3)问时，根据第(2)问的临界点划分阶段。若重叠是六边形，就用大固定面积减去两个角上的小三角形面积，然后代入t的范围求出总面积S的取值范围。 二、轴对称相关动态几何的解题方法： 1. 第一步：拆解折叠，找等量 · 在图上标出所有相等边和角（用相同记号）。将已知边长和未知量（设成x）都标到对应边上。 2. 第二步：寻找“桥梁”方程 · 最常见的是在折痕与某条边的交点处，利用 “三线合一”、30°/60°特殊角 或者 勾股定理 建立方程来求边长。 · 天津考卷常把折叠点放在矩形的一个角，使其落在对边或对角线上，此时设未知数列勾股方程是经典解法。 3. 第三步：定“动点轨迹”，求最值 · 若题目问“某条折痕长度的取值范围”或“某点路径长”，关键在于确定动点（如折痕端点）的运动轨迹，通常是直线（线段）或圆弧。 · 确定轨迹后，最值问题就转化为定点到这条轨迹的最大/最小距离问题，常用“垂线段最短”或“三点共线”求解。 三、旋转相关动态几何的解题方法： 1. 第一步：找旋转中心与旋转角 旋转一般围绕一个顶点旋转（比如将△ABC绕点A旋转到△AB'C'）。旋转中心是保持不动的点A；旋转角是∠BAB'或∠CAC'。 2. 第二步：标“两等”关系 旋转带来了两条关键性质： · 等边：对应边相等，如AB = AB'，AC = AC'。 · 等角：旋转角 = 对应边的夹角（∠BAB' = ∠CAC'）。 3. 第三步：找全等三角形 旋转问题是全等的天然制造机。要看它的△ABC和△AB'C'是否全等（旋转即全等）。此外，如果题目中有连接新点的辅助线，往往还会构成新的全等（如手拉手里的△ABD和△ACE）。 4. 第四步：转移条件列方程 · 求边长：把分散的边通过全等转移，集中到一个已知的直角三角形中，用勾股定理求解。 · 求最值：旋转常用于将几条折线段“化曲为直”或“拉成一条线”。例如，求PA+PB+PC的最小值，可将部分图形旋转60°，把三条线段拼成一条折线，再两点间线段最短。 · 求角度：利用全等后的对应角相等来传递已知角。 题型01 平移相关动态几何 1．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）由点，得到，根据点是边的中点，得到，从而得出点坐标，连接，过点作于点，证明为等边三角形，求出，即可得出点坐标； （2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根据解直角三角形可得答案； ②分两种情况：当时，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为直角三角形，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点， 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，为等边三角形， 由平移可知，，，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； ② 当时，重叠部分为五边形， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴为等边三角形， 同理，， 在中， ， ， ∵， ∴时，时，， ， 当时，重叠部分为直角三角形， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ∴时，时，， ∴综上所述，取值范围为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． (1)如图①，当经过点时，求点的坐标； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、矩形的性质，结合平移的性质即可求解； （2）分时，当时，当时，当时，当时，五种情况分类讨论求解得与的关系式． ①根据分类讨论即可求解； ②根据，代入与的关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， 矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，，即：， ∵将沿轴向右平移，得到，当经过点时， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴沿轴向右平移了1个单位， ∴； （2）当时，此时重叠部分为为矩形， 此时； 当时，此时重叠部分为为五边形， ∵将沿轴向右平移，得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， 同理为等腰直角三角形，， ，则， 此时； 当时，此时重叠部分为， 同理为等腰直角三角形，， 此时； 综上：； ①由上可知，当与矩形重叠部分为五边形时， ； ②当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：或，不符合题意； 综上：时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与平移，一元二次方程与二次函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． (1)如图①，求点的坐标； (2)将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，根据题意可得是等腰直角三角形，可得，由此即可求解； （2）图形结合分析，当时，过点；当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；可求出的取值范围，再根据图示，可得，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论：当，，时，分别算出最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， 已知顶点的坐标为，点在第一象限，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：已知四边形是矩形，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ①矩形沿轴向右平移，， ∴当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； 当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； ∴的取值范围为：， 如图所示，过点作轴于点， ∴， 根据题意可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴矩形与重叠部分的面积为： ， ∴； ②由上述可知，， ∴当时，如图所示，当时， ∴； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 当时，， ∴当时，的面积最大，最大面积为； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 如图所示，当时， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，几何图形面积的计算，二次函数图象的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，二次函数图象的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； （2）①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，是对角线的中点，且交于点．    (1)如图①，求点，点的坐标； (2)将沿轴向右平移得，点、、的对应点分别为，，，设． （ⅰ）如图②，与重叠部分的面积为．当与重叠部分为三角形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）过点D作轴于点G，根据矩形的性质，求得，得到，进而得到，，，再利用特殊角的三角函数值，求出，，即可得到点D、点E坐标； （2）（ⅰ）由平移的性质可知，，，得到，利用特殊角的三角函数值，求出，再根据三角形面积公式用含有的式子表示，即可得到答案； （ⅱ）分四种情况讨论：①当时，；②当时， ；③当时，；④当时，，利用二次函数的性质分别求解，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：过点D作轴于点G， 四边形是矩形，，，， ，，， 在中，， ， ， 是对角线的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ； （2）解：（ⅰ）由平移的性质可知，，， ， ， ， ， 当与重叠部分为三角形时，， 当点F与点重合时，此时；当点O与点A重合时，此时， 的取值范围为，    （ⅱ）由平移的性质可知，，，，， 由（1）可知，， ， ①当时，设与交于点F，此时， ，， ， 在中，，， ，， ， ， 当时，， 当时，， ； ②当时，与交于点H，此时， ， ， ， ， ， ， 由①可知，， ， 当，时，， 当时，， 当时，， ； ③当时，与交于点G，此时， 符合（ⅰ）函数关系式，， ， 当时，， 当时，， ； ④当时，此时， 符合（ⅰ）函数关系式， 当时，， 当时，， ， 综上可知，若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，平移的性质，特殊角的三角函数值，二次函数的性质等知识，本题综合性较强，有一定难度，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 两大核心考点技巧： 技巧一：巧用相对运动（逆向思维） 当图形在动时，不妨假设图形不动，让它的“对家”反向运动。这能大幅简化对“小三角形漏出来多少”这类问题的判断。 技巧二：活用好“面积比” 如果移动的是等边三角形或等腰直角三角形，它的空白小三角形与原图形是相似的。请直接应用： 面积比 = (边长比)² 这能帮你跳过复杂的坐标计算，直接算出扣掉的面积。 题型02轴对称相关动态几何 6．将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 7．在平面直角坐标系中，梯形的位置如图所示．，，点在轴正半轴上，，，． (1)填空：如图①，的长为______，点的坐标为______． (2)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线将梯形折叠，折叠后点的对应点落在轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边交于点，当折叠后四边形与梯形的重叠部分为五边形时，与交于点．试用含的式子表示出线段的长，并直接写出的取值范围． ②设折叠后重叠部分的面积是，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)1； (2)①，；②当时，的取值范围为． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）①利用折叠的性质求得，在中，解直角三角形求得，据此求解即可； ②分两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴，点的坐标为； （2）解：①如图， ，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 由题意得， 解得； ②当时， 在中，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值； 当时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值； 综上，当时，的取值范围为． 8．在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据解直角三角形分别求得、、，即可求解； （2）①根据轴对称的性质，，有，且当时，重叠图形为四边形，则，，然后记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，易证，根据直角三角形的性质表示出，，从而表示出，进而根据解答即可； ②分别求得当，时S的值，以及时，S的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：轴， ， ， ，， ， ∵，， ， 在中，， ； （2）解：①当时， 在中，，，，， ，， 根据题意得，和关于直线对称， 则，有，且当时，重叠图形为四边形， 在中，，，，， ，， 记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，如图，    在中，，， ， ∴， ，， ∴， ∴，其中，； ②当时，，， 则； 同理，当时，； 当时，，此时抛物线开口向下，对称轴为， ∵， ∴时S的值大于，时，S取得最大值，最大值为， 综上，当时，S的取值范围为． 9．在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【分析】（1）作于点，作于点，则，根据勾股定理可得的长，由平行四边形的性质，可得，，证明，，可得，，，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长； （2）由折叠可得，，证明，可得，可得折叠后重叠部分的面积，当点在线段上时，连接，交于点，由线段垂直平分线的判定，可得，，由同角的正切值相等，可得，可得，可得，由同角的余弦值相等，可得的最大值，即可得的取值范围；当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合，与的交点记为点，作于点，由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得，由同角的正切值相等，可得，即可得折叠后重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 10．将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先利用解直三角形求出，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求得，，即可求得，； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，并求得，设，用表示出，进而表示出与的坐标，再利用解直角三角形表示出，进而求得，再根据折叠的性质得出，从而可得； ②分三种情况：当时，当时，当时，分别找出重叠部分，求出对应的S的取值范围，再最后确定其范围即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合，解直角三角形的相关计算，的最值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 解题时牢牢抓住以下两条核心性质： 1全等不变：折叠前后的图形全等，对应边、角都相等。 2折痕是中垂线：折痕垂直平分对应点的连线。 题型03 旋转相关动态几何 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质是解题的关键； （1）由正方形的性质可知，然后问题可求解； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；②由旋转的性质得：，则可证，然后可得是等腰直角三角形，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为， ∴， ∵点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：， ， ，即， ， ， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， ， 旋转角为， ， ． 12．在平面直角坐标系中，点，， ，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． (1)填空：如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为 ； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的长为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故； （2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；； （3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为；当最小时，M在线段上，，即最小值为． 【详解】（1）解：过作轴于H，如图： ，D为中点， ， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ，C为中点， ， ， 轴，， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：当点落在上时，过作轴于M，如图： 由（1）知，，， ， ， ，， ， ， ； ∴点的坐标为，的长为； （3）解：如图： ∵C，D分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ，， 是的中点， ， ， 在以O为圆心，为半径的圆上运动； 当最大时，如图： 此时M在的延长线上， ， ， ； 即最大值为； 当最小时，如图： 此时M在线段上，， 最小值为； 综上所述，最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系． 13．已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】(1)，； (2)①1；②（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角函数的有关计算． （1）根据矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，， ，在 中， 即可得出结论； （2）①①由四边形 是矩形，又因为，所以四边形 是平行四边形， ， 即可求解； ②先确定的取值范围，再利用梯形面积减去三角形面积可得： （），即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，记交y轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当与重合时， 当过点时，如图， 同理可得： 设 则 由 可得： 经检验：是原方程的根且符合题意， 当重叠部分为五边形时， t的取值范围为 如图，同理可得： 过作，则同理可得 即（）． 14．在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，点在轴的正半轴上，点，点为边上一动点（点不与点重合），过点作轴于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)已知旋转后点恰好落在边上，与相交于点与相交于点． ①如图②，若旋转后与的重叠部分为四边形，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）先证明，列出比例式，再根据求出，，，代入比例式求出，，从而可得出点的坐标； （2）①先用表示出，，再根据旋转的性质用表示出，然后可以利用正切用表示出，再根据旋转后与的重叠部分为四边形，求出的范围； ②分别求出当时，当时，重叠部分为四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，，， ∵，当时， ∴， ∴，解得：，， ∴点的坐标为； （2）①∵，，，，， ∴，解得：，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴，， 在中，∵，，∴，∴， ∴， 当在边上时，如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 此时， ∵是上一动点，从点出发， ∴当与重合时，最大，此时， ∴的取值范围是； ②当时， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ = 当时，， ， ∵， ∴，解得：， ∴， , ∴ = 综上所述，与重叠部分的面积为，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，含有30度角的直角三角形的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 15．将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，45度 (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案，再根据得出； （2）①作，则，可得，再设，结合，得出，然后根据表示，可得，即可得； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， 由旋转的性质可得，可证明，则，解直角三角形可证明，则点D此时刚好在上，此时；如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则．求出直线的关系式为．则，由，得到，则，据此可得，根据二次函数的性质可得；再根据（2）①所求求出当时，S的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图所示，∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点F作于G，则， ∴， ∴． 设，在中，． ∴， 同理，． ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴； 当点C与点E重合时，则，解得， ∴； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴点D此时刚好在上， ∴ 如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则． 设直线关系式，则， 解得， ∴直线的关系式为． 在中，当时，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当，S随t增大而减小， 当时，； 当时，． ∴； 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，解直角三角形，等腰三角形的性质，平面直角坐标系内的动点问题，旋转的性质，画出图形分情况讨论是解题的关键． 核心是 “旋转出全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角”。 解决旋转问题的关键，就是从复杂的图形中，识别出由对应点、旋转中心构成的基本全等三角形。 1．在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）先根据勾股定理、特殊角的三角函数得到、，再根据旋转的性质结合题意可得，过作轴，过作轴，然后通过解直角三角形即可完成解答； （2）①由（1）可得，，点落在y轴的正半轴上时，，，再运用勾股定理即可求得，再根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和的定理可得，，最后根据三角形外角的性质即可求得的大小；②设旋转角为，即，确定点P在以为弦，以为圆周角的圆弧上运动，设圆心为Q，当点M，Q，P在同一直线上时，有最大值和最小值，然后解答即可． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，，点A落在边上， ∴， ∴， 如图：过作轴，过作轴， ∴，即； ， 即． 故答案为：，． （2）解：①如图：由（1）可得，， 设交轴于点， ∵点落在y轴的正半轴上时， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设与交点为C，旋转角为，即， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴点P在以为弦，以为圆周角的圆弧上运动，设圆心为Q， 连接，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴当点M，Q，P在同一直线上时，有最大值和最小值， 如图，当点P在位置时，有最大值，为， 当点P在位置时，有最小值，为． 综上所述，线段的长的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，掌握运用辅助圆求线段的取值范围成为解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点及，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①（）；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合点所在象限可得，过点作于，根据可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，结合各点坐标即可得出； （2）①根据平行四边形的性质及点坐标得出，可得，即可表示出，利用三角函数求出的长即可，根据边与边交于点，与边交于点，求出点与点重合时的值，即可得出的取值范围； ②分，，三种情况，分别用表示出重合部分的面积，利用二次函数及一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵点在第二象限， ∴； 如图，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形，， ∵点在第一象限， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴， ∵点在轴负半轴上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∵是等腰直角三角形，将沿水平方向向右平移，得到， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 当直线经过点时，点与点重合， ∴， ∵与重合部分为四边形，与边交于点，与交于点， ∴； ②如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴， ∵，对称轴是：， ∴时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴， 如图，当时，与轴交点在点上方，与交于点， ∵，，， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，时，， ∴， 如图，当时，与、分别交于、，过点作轴于， 同理可得，、都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，对称轴是：， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， 综上所述：的取值范围为． 3．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，的顶点，且．    (1)填空：如图，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点的对应点分别为，设与重叠部分的面积为． ①如图，当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，进而利用三角形函数求得和，即可得解； （2）①如图，过作于，过作，则，，得即，，再根聚即可得解；②分，和时三种情形，利用数形相结合，根据二次函数的图像及性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴； 如图，过作于，    ∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图，过作于，过作，则    ∴，， 由（）可得，，， 当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，在点的右侧，在点的左侧， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴； ②如图所示，当时，设分别交于S、L，过点S作于T， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t增大而增大， 当时，；    当时，重叠部分的面积如图所示；    由（）①得， ∴当时，， 当时，， 当时，重叠部分的面积如图所示，过点作于点，    由（）①得，，， ∴， ∴ ∴ ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵ ∴； 综上：； 【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点． (1)如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标； (2)设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】（1）根据折叠的性质和的直角三角形的性质直接求解即可； （2）①利用，表示，即可求出的长；分两种情况考虑极端值：当点落在边上时，点在上时，分别画图求解即可； ②分三种情况：，，，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∴点的坐标为：； （2）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 当点落在边上时，作于点，如图所示， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴，， ∴此时，， 当点在上时，如图所示， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，的取值范围是：； ②当时，设交轴于点，如图所示， 此时就是折叠后与矩形的重叠部分， ∵，， ∴； 当时，设交轴于点， 交于点，如图所示， 此时，重合部分是五边形， ，， ∴，，， ∴， ∴ ∴当时，的最大值， 当时，设交于点，如图所示， 此时，重叠部分是， ，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，求的取值范围：． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形的相关计算，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，等边三角形的顶点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当边分别与，相交于点，、边分别与，交于点，，且与矩形重叠部分为六边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质即可得出点的坐标；作于点，利用等边三角形的性质即可得出点的坐标； （2）①作于点，交轴于点，利用平移的性质和解直角三角形的知识得到，推出，进而表示出，同理得到，通过证明四边形得出，表示出，利用割补法表示出，再结合与矩形重叠部分为六边形即可求出的取值范围；②根据重叠部分图形的变化，分、、和四种情况讨论，分别表示出的表达式，再求出每种情况对应的最值，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 矩形， ，， 点的坐标为； 作于点， ， ， 等边三角形，， ，，， ， 点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：①如图，作于点，交轴于点， 由平移的性质得，，， ，， ， ， ，等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 同理可得，， ，，， 四边形是矩形， ， 同理可得，四边形是矩形， ， ， 与矩形重叠部分为六边形， 且， 且， 解得：， 综上所述，； ②当时，与矩形重叠部分为矩形， 由①得，， ， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为六边形， 由①得，， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 作于点，交于点， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 直线向右平移个单位得到直线， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， 同理可得，， 轴，，， 到的距离，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为三角形， 由得，直线的解析式为， 令得，， ， 同理可得，， ， ， 到的距离， ， 又， ； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、平移的性质、解直角三角形、二次函数的最值问题、割补法求面积，熟练掌握相关知识点，学会利用矩形和等边三角形的性质求面积是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 7．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在第一象限，等腰直角三角形，点在轴正半轴，点在轴负半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标________，点的坐标________； (2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为．设与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且与重叠部分为四边形时，与分别相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】本题考查平移，等腰直角三角形，三角函数，二次函数的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）过点B作于点E，正确判断是等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数值即可解答． （2）①过点E作于点M，准确表示出重叠部分的四边形面积，即可解答； ②根据t的取值范围，分类讨论求解，即可解答． 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图①， 有， ∵是等腰直角三角形，，，等腰直角三角形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标． （2）①由题意及（1），可知，，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， 过点E作于点M，如图②，则 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，其中． ②当点时，有随t的增大而增大，如图 ∴当时，，符合题意． 当时， 由，，抛物线开口向下，得 ∴当时，有随t的增大而增大． ∴当时，， 当时，， ∴当时，，符合题意． 当时，，， ， ∴当，随t的增大而减小， ∴当时，， 当时， ∴当时，，符合题意． 当时，，为等腰直角三角形， ∴ ， 由，，抛物线开口向上，得 当，随t的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ∴当时，，符合题意． 综上所述，当时，． 8．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________； (2)将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，过作于，而，证明四边形为矩形，进一步解答可得； （2）①如图，过作于，过作于，而，求解，，证明四边形为平行四边形；求解， ；再进一步可得答案； ②分情况讨论：当时，重叠部分的面积如图所示；当时，重叠部分的面积如图所示：当时，重叠部分如图②，当时，重叠部分的面积如图所示：再进一步的利用数形结合的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点E在y轴正半轴上，且， ∴， ∴； 如图，过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，过作于，过作于，而， 同理可得：，， 在中，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，重叠部分的面积如图所示； 结合（1）可得：， ∴， ∵， ∴； 当时，重叠部分的面积如图所示： 同理：，而， ∴是的中点，而， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，重叠部分如图②， 由①可知，； 对称轴为直线， 此时随的增大而减小； 当时，，当时，， ∴； 当时，重叠部分的面积如图所示： ∵， ∴为等边三角形， 此时， ∴， 过作于， ∴，， ∴， 当时，，当时，， ∴； 综上：； 【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 9．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，顶点A在x轴的正半轴上，D为边上一点，，，． (1)填空：如图①，点D的坐标为______；点B的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，C的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当与重叠部分为四边形时，，与分别相交于点E，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）在中，根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，在中，根据余弦的定义求出，即可求解； （2）①在中，根据余弦定义求出，根据正弦定义求出，在中，根据正切定义求出，然后根据求解即可； ②当时，由（1）知∶ ，然后根据二次函数的性质求解；当时，在中，，根据正切的定义求出，然后根据，求出S关于t的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵，，， ∴，， ∵平移， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴当与重叠部分为四边形时， ， 当和D重合时，； 当和A重合时，， ∴； ②当时， 由①知 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ∴； 当当时，如图， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵，，， ∴当时， 有最小值为， ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，矩形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点B的坐标为_______，点G的坐标为______； (2)如图②，将矩形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到矩形，点D，E，F，G的对应点分别为点，，，，矩形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，矩形的性质，平行四边形的性质，计算复杂，熟练计算是解题的关键． （1）过点作交于点，证明，则可得，再根据矩形的性质可得； （2）①观察临界值，查看矩形与平行四边形重叠部分的形状求得自变量的取值范围，再利用面积法求得解析式即可； ②观察临界值，求得矩形与平行四边形重叠部分的面积的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的顶点， , ， 故答案为：；； （2）解：①如图，当矩形中刚好运动到之后，矩形与平行四边形重叠部分为五边形， 设直线的解析式为， 把代入可得，解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， 此时， 此时， 如图，当矩形中刚好运动到之后，矩形与平行四边形重叠部分不为五边形， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， 如图，矩形与平行四边形重叠部分为五边形时， 则， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，根据矩形移动轨迹可得重叠部分面积先变大后变小， 当时，此时， 则， 同（2）中原理可得， ， ， 此时； 如图，当矩形与平行四边形重叠部分为六边形时， 此时，， ， ，， ， 当点运动到之后，即当时，重叠部分为六边形， 当点运动到之前，即当时，重叠部分为六边形， 则， 当时，取最大值为， 如图，当时，根据矩形移动轨迹可得重叠部分面积逐渐变小， 当时，重叠部分面积最小， 此时，则，则， ； 综上所述，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 动态几何与函数综合 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 平移相关动态几何 题型02 轴对称相关动态几何 题型03 旋转相关动态几何 模块三、综合实战演练 1、 平移相关动态几何的解题方法： 1. 求坐标：题目第(1)问通常是送分题。利用勾股定理或60°角三角函数作垂线即可。 2. 抓临界：解第(2)问时，看清重叠部分何时变成等腰梯形。此时往往意味着图形的某条边正好移到了特定位置，利用t、固定宽度、边长列出方程（如t - 4）就能把参数范围算出来。 3. 分段算：解第(3)问时，根据第(2)问的临界点划分阶段。若重叠是六边形，就用大固定面积减去两个角上的小三角形面积，然后代入t的范围求出总面积S的取值范围。 二、轴对称相关动态几何的解题方法： 1. 第一步：拆解折叠，找等量 · 在图上标出所有相等边和角（用相同记号）。将已知边长和未知量（设成x）都标到对应边上。 2. 第二步：寻找“桥梁”方程 · 最常见的是在折痕与某条边的交点处，利用 “三线合一”、30°/60°特殊角 或者 勾股定理 建立方程来求边长。 · 天津考卷常把折叠点放在矩形的一个角，使其落在对边或对角线上，此时设未知数列勾股方程是经典解法。 3. 第三步：定“动点轨迹”，求最值 · 若题目问“某条折痕长度的取值范围”或“某点路径长”，关键在于确定动点（如折痕端点）的运动轨迹，通常是直线（线段）或圆弧。 · 确定轨迹后，最值问题就转化为定点到这条轨迹的最大/最小距离问题，常用“垂线段最短”或“三点共线”求解。 三、旋转相关动态几何的解题方法： 1. 第一步：找旋转中心与旋转角 旋转一般围绕一个顶点旋转（比如将△ABC绕点A旋转到△AB'C'）。旋转中心是保持不动的点A；旋转角是∠BAB'或∠CAC'。 2. 第二步：标“两等”关系 旋转带来了两条关键性质： · 等边：对应边相等，如AB = AB'，AC = AC'。 · 等角：旋转角 = 对应边的夹角（∠BAB' = ∠CAC'）。 3. 第三步：找全等三角形 旋转问题是全等的天然制造机。要看它的△ABC和△AB'C'是否全等（旋转即全等）。此外，如果题目中有连接新点的辅助线，往往还会构成新的全等（如手拉手里的△ABD和△ACE）。 4. 第四步：转移条件列方程 · 求边长：把分散的边通过全等转移，集中到一个已知的直角三角形中，用勾股定理求解。 · 求最值：旋转常用于将几条折线段“化曲为直”或“拉成一条线”。例如，求PA+PB+PC的最小值，可将部分图形旋转60°，把三条线段拼成一条折线，再两点间线段最短。 · 求角度：利用全等后的对应角相等来传递已知角。 题型01 平移相关动态几何 1．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 2．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． (1)如图①，当经过点时，求点的坐标； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 3．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． (1)如图①，求点的坐标； (2)将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 5．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，是对角线的中点，且交于点．    (1)如图①，求点，点的坐标； (2)将沿轴向右平移得，点、、的对应点分别为，，，设． （ⅰ）如图②，与重叠部分的面积为．当与重叠部分为三角形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 两大核心考点技巧： 技巧一：巧用相对运动（逆向思维） 当图形在动时，不妨假设图形不动，让它的“对家”反向运动。这能大幅简化对“小三角形漏出来多少”这类问题的判断。 技巧二：活用好“面积比” 如果移动的是等边三角形或等腰直角三角形，它的空白小三角形与原图形是相似的。请直接应用： 面积比 = (边长比)² 这能帮你跳过复杂的坐标计算，直接算出扣掉的面积。 题型02轴对称相关动态几何 6．将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 7．在平面直角坐标系中，梯形的位置如图所示．，，点在轴正半轴上，，，． (1)填空：如图①，的长为______，点的坐标为______． (2)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线将梯形折叠，折叠后点的对应点落在轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边交于点，当折叠后四边形与梯形的重叠部分为五边形时，与交于点．试用含的式子表示出线段的长，并直接写出的取值范围． ②设折叠后重叠部分的面积是，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 9．在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 10．将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 解题时牢牢抓住以下两条核心性质： 1全等不变：折叠前后的图形全等，对应边、角都相等。 2折痕是中垂线：折痕垂直平分对应点的连线。 题型03 旋转相关动态几何 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，点，， ，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． (1)填空：如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为 ； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值（直接写出结果即可）． 13．已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 14．在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，点在轴的正半轴上，点，点为边上一动点（点不与点重合），过点作轴于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．设． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)已知旋转后点恰好落在边上，与相交于点与相交于点． ①如图②，若旋转后与的重叠部分为四边形，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 15．将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 核心是 “旋转出全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角”。 解决旋转问题的关键，就是从复杂的图形中，识别出由对应点、旋转中心构成的基本全等三角形。 1．在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 2．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点及，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 3．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，的顶点，且．    (1)填空：如图，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点的对应点分别为，设与重叠部分的面积为． ①如图，当边与相交于点，边与相交于点，且与重叠部分为五边形时，用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 5．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点． (1)如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标； (2)设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，等边三角形的顶点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当边分别与，相交于点，、边分别与，交于点，，且与矩形重叠部分为六边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 7．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在第一象限，等腰直角三角形，点在轴正半轴，点在轴负半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标________，点的坐标________； (2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为．设与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在轴正半轴上，且与重叠部分为四边形时，与分别相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________； (2)将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 9．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，顶点A在x轴的正半轴上，D为边上一点，，，． (1)填空：如图①，点D的坐标为______；点B的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，C的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S． ①如图②，当与重叠部分为四边形时，，与分别相交于点E，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 10．在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点B的坐标为_______，点G的坐标为______； (2)如图②，将矩形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到矩形，点D，E，F，G的对应点分别为点，，，，矩形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $