函数的对称性及应用课件-2027届高三数学一轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第4节　函数的对称性及应用 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第4节　函数的对称性及应用 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 轴对称的识别与应用 1.已知函数f(x-1)是偶函数,f(x+1)的图象关于直线l对称,则直线l的方程为(　　)[命题点❶❸] A.x=-2 B.x=-1 C.x=1 D.x=2 A 解析:因为函数f(x-1)是偶函数,所以f(x-1)的图象关于直线x=0对称,向左平移2个单位长度可得f(x+1)的图象关于直线x=-2对称.故选A. 返回目录 2.设函数y=f(x)定义在R上,则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于(　　)[命题点❹] A.直线x=0对称 B.直线y=0对称 C.直线x=1对称 D.直线y=1对称 C 解析:令g1(x)=f(x-1),g2(x)=f(1-x),因为f(1-x)=f[(2-x)-1], 即g2(x)=g1(2-x),所以g1(x)与g2(x)的图象关于直线x=1对称.故选C. 返回目录 关键点2 中心对称的识别与应用 3.(人教A版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=图象的对称中心为(　　)[命题点❸] A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) B 解析:因为f(x)==1+,由y=向上平移1个单位长度得到y=1+,又y=关于(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于(0,1)对称. 返回目录 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　)[命题点❹] A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) A 解析:函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称,y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2).故选A. 返回目录 关键点3 对称性与周期性、奇偶性的综合 5.(2025·安徽宿州模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x), 则f(2 028)=(　　)[命题点❶] A.0 B.1 C.2 D.3 A 解析:f(1+x)=f(1-x)⇒f(x-1+2)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),T=4,f(2 028)=f(0)=0.故选A. 返回目录 关键点4 对称性求函数值与解方程 6.(一题多解)已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=　　　　　.[命题点❶❸] 4 解析: (方法1)由y=f(x+2)-3是奇函数,得f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2, 则f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4. (方法2)由y=f(x+2)-3是奇函数,得f(x)关于点(2,3)对称,故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 返回目录 7.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则 f(-1)=　　　　　.[命题点❷❸] 5 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),由f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;[❶] (2)若f(x-a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x=-a;若f(x-a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为(-a,0).[❷] 2.函数图象自身的对称性[❸] 图象对称看f(a±x)关系,相等则为对称轴x=a,相反则为对称中心(a,0) 若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x); 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点(a,0)对称. 返回目录 3.两个函数图象的对称[❹] 可通过点的对称来判断图象对称关系 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称; (2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称; (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称. 4.对称性的四个常用结论 (1)f(x+a)是偶函数⇔f(x)图象关于直线x=a对称; (2)f(x+a)是奇函数⇔f(x)图象关于点(a,0)对称; (3)若f(a+x)=f(b-x),则f(x)图象关于直线x=对称; (4)若f(x)+f(2a-x)=2b,则f(x)图象关于点(a,b)对称. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　函数图象的对称性 命题视角:聚焦函数图象的对称性,通过f(a±x)与f(x)的关系推断图象对称轴或对称中心,并与奇偶性、周期性综合考查数形结合能力. 例1 (一题多解)(2024·新高考Ⅰ,18节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 返回目录 考点1 考点2 考点3 证明:(方法1)f(2-x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3=-ln-ax-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a,故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称. (方法2)∵f(x)=ln+ax+b(x-1)3,定义域为(0,2),∴f(x+1)=ln+ax+a+bx3,x∈(-1,1).令g(x)=f(x+1)-a=ln+ax+bx3,x∈(-1,1),则g(-x)=ln-ax-bx3=-ln-ax-bx3=-g(x), ∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,其图象关于坐标原点O对称. 又f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移a个单位长度得到,∴曲线y=f(x)是中心对称图形. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2023·全国乙,21节选)已知函数f(x)=(+a)·ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称. 令g(x)=f()=(x+a)ln(1+)=(x+a)·ln,因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x),即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln, 返回目录 考点1 考点2 考点3 于是解得当a=,b=-时,g(x)= (x+)ln(1+),g(-1-x)= (-x-)ln=(-x-)ln=(x+)ln=(x+)ln(1+)=g(x),所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称,且a=,b=- 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 利用对称定义,通过代换验证f(x)+f(2a-x)=2b的关系. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.函数y=f(x)关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x),或f(2a+x)=f(-x). 2.函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b或f(a-x)+f(a+x)=2b. 3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数对称性与周期性 命题视角:聚焦抽象函数关系式的符号问题,推断图象对称轴、对称中心及周期,综合考查转化与数形结合的核心素养. 例2 (2026·山东临沂模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,且满足f(x)=-f(x+),又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027) =(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,所以f(x)=-f(-x-).又f(x)=-f(x+),所以f(x)=f(x+3)且f(x)=f(-x),所以f(-1)=f(1)=1,f(-1)+f(0)+f(1)=0. 又2 027=675×3+2,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=6 750+f(1)+f(2)= f(1)+f(-1)=2.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (多选)(2025·安徽名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称, f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(2 026)=-5 C.g(2 026)=-1 D.f(k)=2 020 BD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意知f(x)-4=g(2+x),g(2+x)=g(2-x),所以f(x)-4=f(-x)-4,所以f(x)= f(-x),所以A错误;由f(0)=4+g(2)=7,因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,所以f(1)=1,f(x+2)+f(-x)=2,所以f(x+4)+f(-x-2)=2,又因为f(x+2)=f(-x-2),所以f(x+4)=f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 026)=f(2)=2-f(0)=2-7=-5,所以B正确;由g(2 026)=f(2 024)-4=f(0)-4=3,所以C错误;因为f(1)=1,f(2)=2-f(0)=2-7=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1,f(4)=f(0)=7,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,所以f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2 020,所以D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 利用对称性推出周期,将要求自变量化到相应区间分段求和. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　对称性、周期性与单调性 命题视角:聚焦函数对称性、周期性、单调性的内在关联与综合应用,考查抽象推理、直观想象及数学建模的核心素养. 例3 (2025·重庆三模)已知定义域为R的连续函数f(x)满足:①f(x+6)为偶函数;②∀x∈R,f(2+x)+f(4-x)=0;③∀x1,x2∈(0,3),>0.则f(2),f(5),f(121)的大小顺序为(　　) A.f(2)<f(5)<f(121) B.f(2)<f(121)<f(5) C.f(121)<f(2)<f(5) D.f(5)<f(2)<f(121) C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由①,有f(x+6)=f(-x+6)=0,∴f(x)关于直线x=6对称;由②,令t=2+x,则x=t-2,有f(6-t)=-f(t),∴f(x)关于点(3,0)对称,则f(6-x)=-f(x),又f(-x+12)=f(x),则f(6-x)=-f(-x+12),则f(x)=-f(x+6),则f(x+6)=-f(x+12),则f(x)=f(x+12),则f(x)的周期为12,故f(121)=f(1);由③,知f(x)在(0,3)上单调递增,∵f(x)关于点(3,0)对称,∴f(x)在(3,6)上单调递增,又f(x)在R上连续,∴f(x)在(0,6)上单调递增,故有f(1)<f(2)<f(5),即f(121)<f(2)<f(5).故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数,则下列结论中正确的是(　 　) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上是增函数 D.f(2)=f(0) ABD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由于f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0,得f(0)=0;取y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(x-x) =f(0)=0,即函数f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A选项正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B选项正确;因为f(x)在[-1,0]上是增函数,则f(x)在[0,1]上是增函数,于是得f(x)在[1,2]上是减函数,故选项C错误;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故选项D正确.故选ABD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 分析函数各性质关联,推导周期,利用单调性比较大小. 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.f(x+a)为偶函数⇒图象的对称轴x=a. 2.f(a+x)+f(b-x)=0⇒对称中心(,0). 3.相邻一轴一心(距离d)⇒周期T=4d. 4.连续函数关于点对称,则对称区间单调性相同. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:抽象函数的对称性与周期性推导,通过抽象函数关系式推断图象对称轴、中心,并进一步与周期性结合,考查逻辑推理能力. 1.定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称,且函数y=f(x-2)+1是奇函数,则函数y=g(x)图象的对称中心为(　　) A.(2,1) B.(-2,-1) C.(-2,1) D.(2,-1) D 解析:由题意得函数y=f(x-2)+1是奇函数,则y=f(x)关于(-2,-1)对称,另知函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称,故y=g(x)关于(2,-1)对称.故选D. 返回目录 2.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=(　　) A.- B.- C. D. D 解析:因为f(x+1)是奇函数,所以f(x)关于(1,0)中心对称,所以f(1)=0.因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,周期为4,所以f(0)=-f(2), f(3)=f(1),即f(1)-f(2)=6,f(2)=-6,代入可得解得因此f()=f()=-f()=-(-2+2)=故选D. 返回目录 命题趋势2:利用对称性与单调性比较大小,将对称性、周期性推导出的函数值关系,与单调性结合,用于比较函数值大小或解不等式. 3.设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x>1时,f(x)=ln(x-1),则f(),f(),f()的大小关系为(　　) A.f()<f()<f() B.f()<f()<f() C.f()<f()<f() D.f()<f()<f() C 返回目录 解析:由题意知,f(x)的图象关于直线x=1对称,则f()=f(),又f(x)在(-∞,1)上单调递减,∴f()>f()>f(),即f()>f()>f(). 返回目录 4.(2026·重庆模拟)已知函数f(x+1)和f(x-1)均为定义在R上的偶函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=(x-1)2,则当x∈(3,7)时,不等式f(x)<1的解集为(　　) A.(4,6) B.(3,5) C.(5,7) D.(4,5) A 返回目录 解析:由f(x+1)为定义在R上的偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),即f(x)关于x=1对称,又f(x-1)为定义在R上的偶函数,所以f(x-1)=f(-x-1),即f(x)关于x=-1对称, 由得f(2-x)=f(-x-2),即f(x+2)=f(2-x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又当x∈[-1,1]时,f(x)=(x-1)2,即可作出f(x)在(3,7)上的图象如图,由图可知,当f(x)<1时,解得4<x<6,即x∈(4,6).故选A. 返回目录 模块内融合:函数性质的综合应用,将对称性、奇偶性、周期性、单调性四大性质深度融合,构造综合性强、思维量大的题目. 5.(原创)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)+f(x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2-2x,则当x∈[2 024,2 026]时,y=f(x)的最大值为(　　) A.-8 B.-1 C.1 D.0 D 返回目录 解析:由f(x+2)+f(x)=0⇒f(x)=-f(x+2)⇒f(x+2)=-f(x+2+2),因此可以得到f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1,故当x∈[0,2]时f(x)=-f(-x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x∈[2 024,2 026]时,x-2 024∈[0,2],所以f(x)=(x-2 024-1)2-1=(x-2 025)2-1,显然当x=2 024或x=2 026时,函数y=f(x)有最大值,为0.故选D. 返回目录 $