精品解析：广东广州市铁一中学等校2025-2026学年高一下学期5月学情检测数学试题

高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第五章占15%，必修第二册第六章至第八章第三节占85%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的最小正周期为． 2. 平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在平行四边形ABCD中， ， 3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知该圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以圆锥的高为1，底面半径为1， 所以体积为． 4. 已知为实数，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，由已知为实数，所以，即． 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以当时取到最大值，当时取到最小值， 所以的值域为． 6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由展开得， 整理得， 将代入右边得： ， 整理得， ，故． 8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与一个球O相切，当球O的半径大于1时，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】四个小球球心构成棱长为2的正四面体，其外接球半径可计算得到，大球与四个小球相切，因此球心到小球球心的距离等于大球半径减1，且大球球心与正四面体中心重合，从而得到大球半径，另一方面，计算棱长为的正四面体的外接球半径，令其等于大球半径，解出的值. 【详解】四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为， 因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心， 连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点， 所以，, 所以, 设，所以，所以，所以， 即正四面体外接球半径为， 也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切， 由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切， 因此大球球心到每个小球球心的距离等于， 由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故. 因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上， 即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为. 联立得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 正棱柱是平行六面体 B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是 C. 当z为复数时， D. 在中，若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】正三棱柱是正棱柱但不是平行六面体，故A错误； 原正三角形的面积为，由斜二测画法直观图与原图的面积关系得直观图的面积为，故B正确； 取，则，，故C错误； 记的外接圆半径为，由，得，故，故D正确． 10. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 当时，的最小值为 D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，t的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图象上零点所在递减区间确定初相判断B；利用函数在零点的值计算出振幅判断A；通过换元求给定区间上的值域，得到最小值判断C；分析正弦型函数在区间上的单调性，确保最大值点在内、最小值点在外，且区间不包含下降段左端点，由此解得参数范围判断D. 【详解】由，且在递减区间内，得，， 解得，，又，所以，故B错误； 由，得，故A正确； 当时，令，所以， 在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在最小值为， 即当时，的最小值为，所以C正确； 函数，令， 当时，，当在区间上有最大值且没有最小值， 即在有最大值且无最小值， 如图，所以，所以，故D正确. 11. 已知，，，（，），则（ ） A. 不存在，使得 B. 当时，面积的最小值为 C. 存在，使得当最小时与重合 D. 当且时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，若，列方程得判断即可；B选项，用三角形面积公式代入进行化简，然后利用基本不等式求最小值；C选项，设出点坐标，然后表示，然后利用配方法得到取到最小值时的坐标进行判断即可；D选项，由得，再由得到点坐标，最后计算并利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】对于A，若，则， 得，由两个等式分别得，，矛盾，故A正确； 对于B，因为，，所以，，， 所以的面积为 ，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C，设， 所以 ， 当且仅当时，达到最小值，此时， 即与不重合，故C错误； 对于D，由，得，所以， 设，由，得， 所以，，即， 所以， 当且仅当时取等，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，所以，，． 13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ， 所以母线长 ， 侧面积 ， 上底面积 ，下底面积 ， 表面积 ． 14. 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，将大三角形分割成三个小三角形，面积之和等于大三角形面积，得到三边乘积之和的关系，再分别在三个小三角形中用余弦定理，得到三边平方与交叉项的三个方程，通过联立求解，最终得到三边之和的平方，开方即得结果. 【详解】由余弦定理得，由，所以，所以的内角均小于. 设，，，由， 得，即． 在中，由余弦定理得，整理得， 同理可得，， 三式相加得，即， 所以，所以，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若，求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及共轭复数的概念求解； （2）根据复数的模及同角三角函数的基本关系求解. 【小问1详解】 因为， ， （或） 所以，所以． 【小问2详解】 ， 所以，因为，所以， ， 所以. 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算计算出两个向量的坐标表达式，利用两向量共线的条件建立关于参数  的方程，解方程即得结果； （2）将所求模的平方用已知向量的模和数量积表示，得到关于参数  的二次函数，通过配方求出二次函数的最小值，开方后即为模的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，． 因为与共线，所以 ， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 17. 已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，． （1）若，求a； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知角的余弦值求出其正弦值，再通过正弦定理建立已知边与所求边的比例关系，从而解出所求边长； （2）在第一个三角形中，利用余弦定理建立关于未知边长的方程，求解得到该边长；再在第二个三角形中，利用余弦定理计算另一条边的平方，开方即得结果. 【小问1详解】 在中，，， 由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，即，所以． 【小问2详解】 在中由余弦定理得， 因为，所以，解得， 在中，由余弦定理得，所以. 18. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． （1）若，证明：； （2）若，，求a的值； （3）若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）用中点公式表示 ，结合 ，再通过向量减法得到 ； （2）引入未知的比例系数，将相关向量都用两个不共线的基底表示，利用向量相等的条件，将各分向量表达式代入，得到关于两个未知数的方程组，解方程组求得目标系数. （3）设 ，将数量积表示为  的二次函数，由  求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 由， 得， 即， 即， 因为，不共线，所以，解得. 【小问3详解】 因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，，， 设， 则， 因为，所以， 所以的取值范围是. 19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. （1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； （2）若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例； （2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高； （ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短路径, 【小问1详解】 因为，点，分别为棱，中点， 所以，，所以， 所以，,所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以， 因为，所以三棱柱的体积， 由（1）知三棱锥的体积为， 在中，， ，， 所以，的面积， 设点到平面的距离为，则，即， 所以． （ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径： （1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． 因为， 所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第五章占15%，必修第二册第六章至第八章第三节占85%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且满足，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与一个球O相切，当球O的半径大于1时，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 正棱柱是平行六面体 B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是 C. 当z为复数时， D. 在中，若，则 10. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 当时，的最小值为 D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，t的取值范围是 11. 已知，，，（，），则（ ） A. 不存在，使得 B. 当时，面积的最小值为 C. 存在，使得当最小时与重合 D. 当且时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 14. 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若，求； （2）若，且，求． 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，求的最小值. 17. 已知中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，，． （1）若，求a； （2）若，求b． 18. 如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． （1）若，证明：； （2）若，，求a的值； （3）若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. （1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； （2）若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $