甘肃武威市凉州区多校2025-2026学年九年级下学期阶段质量检测数学试卷

**基本信息** 以月洞门设计（传统文化）、美丽乡村公路测算（实际应用）为情境，通过函数综合、几何证明等题考查抽象能力、推理意识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|科学记数法、全等三角形判定、函数图像综合|结合程序图考查分段函数| |填空题|6/18|多边形外角、方差、规律探究|通过剪子角度计算考查几何直观| |解答题（一）|6/33|尺规作图（月洞门）、概率（《西游记》人物）|传统文化情境中渗透空间观念| |解答题（二）|5/40|二次函数综合、正方形几何证明|公路测算问题培养模型意识与应用能力|

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1．的相反数是（　　） A．2026 B． C． D． 2．一种细菌的半径是米，用小数表示为（　　） A．400000米 B．40000米 C．0.00004米 D．0.000004米 3．如图所示，在下列四组条件中，能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（　　） A． B．8 C．9 D．12 6．如图，在等腰△ABC中，，作的垂直平分线，交，于D，E两点，，则的长度为（　　） A． B． C．2 D． 7．一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 9．以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（　　） A．最低温度是9℃ B．最高温度是22℃ C．从0时到14时温度在持续上升 D．这一天的最大温差是13℃ 10．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（　　） A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，当剪子口时，______________ 12．方程的解是x＝　 　 ． 13．若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 14．甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 15．若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 16．一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 三、解答题（一）本大题共6小题，共33分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算：（1） （2） 18．（4分）解不等式组． 19．（5分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心， AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D； ②在射线DM上截取DC＝a； ③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O； ④以点O为圆心，OC的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 21．（6分）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）小东抽中的是唐僧的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 22．（6分）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往A村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，A村到公路l的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路连接A村和公路l（所在的直线为l）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，，，，，且A，B，C，D在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长和C，D之间的距离． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 23．（6分）为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 （1）抽取的学生共有________人，________，________； （2）从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； （3）若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 24．（7分）如图，点是E外一点，的延长线交E于点，点在圆上，连接，且，． （1）求证：为E切线； （2）若，求的长． 25．（8分）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A作轴于点B，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：． 26．（8分）在正方形中，点E为边上一点（不与点C，D重合），于点F，于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若F为的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论． 27．（10分）如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 九年级数学试卷·第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $《九年级数学作业》参考答案 一、选择题(3×10=30) 题号 1 2 3 5 6 答案 D C D D D B A 二、填空题(3×618) 11.15°/15度 12.-1 13. 60°/60度14.丙 三、解答题(33分) 17.【6分】(1)解：2√5+3√12-√48 =2V5+3×2V5-4V5 =2V3+6V5-4V5 =45. (2)解：原式=35-6x5+3+2=35-35+5=5 [2(x+3)-4>3x① 18.(4分)解： {3x+2 >x-1② 2 解不等式①： 2x+3-4>3x 2x+6-4>3x -x>-2 x<2, 解不等式②： 3x+2、 >x-1 2 3x+2>2(x-1 3x+2>2x-2 x>-4, :不等式组的解集为-4<x<2. 19.(5分)【解】x+2x+’ 1 1 (x+1)2(x+1(x-1' u9忆×u(T-）+uzDg9L V OI 6 8 =_1 (x+1x+x-1, =r-1 x+1 当x=3时，原式=31 3+12 20.解：如图3所示 已知： a B 图3 21.(6分)(1)解：一共有4张卡片AB,C,D,抽到A的概率为}： (2)解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 开始 B BCDACDABDABO 共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即A,B),A,C),A,D),B,A),C,A), (D,A), 61 61 则P小家到=22’P=122 所以这个游戏公平， 22.【6分】解：过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥BE于F, ∠ADC=90°， .四边形DEFC为矩形， .∠DCF=90°， 在Rt△ABE中，∠BAE=26°，AB=500m, AE=AB×cos26°≈500×0.90=450(m, BE=AB x sin26°≈500×0.44=220(m), B 100° A工26° D 在RtABCF中，∠BCF=100°-90°=10°，BC=200m, BF=BC×sin10°≈200×0.17=34m, CF=BC×c0s10°≈200×0.98=196m, AD=AE+CF=450+196=646m,CD=BE-BF=220-34=186m. 答：新建公路AD的长约为646m,C,D之间的距离约为186m, 23.(6分)(1)解：抽取的学生共有：30÷15%=200（人） %s40 ×100%=20%, 200 则m%=1-15%-20%-15%-10%=40%, 故答案为：200；40,20. (2)解：将184,172,180,179,175,176,178,172 从小到大排列为：172,172,175,176,178,179,180,184， 则中位数为：176+178=177】 2 (3):1600×20%=320(人) 答：全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人. 24.【7分】(1)证明：：AB=AC, .LB=∠C=30°， .∠BAC=120°， EB=EA, .∠B=∠EAB=30°， .∠EAC=∠BAC-∠EAB=90°， 即AE⊥AC, AC为⊙E切线； (2)解：：在Rt△AEC中，∠C=30°， .CE=2AE=2, BE=AE =1, .CB=CE+BE=2+1=3. 25.【8分】(1)解：把4m,2代入y=x+1得： 2=m+1, 21 解得：m=2, 点A的坐标为(2,2)， 把42,2到代入y套得：2今解得：=4 4 反比例函数的解析式为y=一； (2)解：AB1x, B点坐标为2,0)， 把x=0代入y=2x+1得：y=1, D点坐标为(0,1， :AD=V2-02+(2-1)2=V5, BD=V2-0)2+(0-1)2=√5， .AD =BD 26【8分】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :AB=BC,∠ABC=90°， :∠ABF+∠CBG=90°， :AF⊥BE,CG⊥BE, :∠AFB=∠BGC=90°， :∠BAF+∠ABF=90°， :∠BAF=LCBG, 在△BAF和△CBG中， [∠AFB=∠BGC ∠BAF=∠CBG, AB=BC :△BAF≌CBG(AAS), :.AF =BG (2)解：AD=DF,证明如下： 如图，过点D作DH⊥AF于点H, :点F为BG的中点， :BG=2BF, 由(1)可知：AF=BG, AF=2BF, :四边形ABCD是正方形， ·AB=DA,∠BAD=90°， :∠BAF+∠DAH=90°， :AF⊥BE,CG⊥BE, :∠AFB=∠DHA=90°， :∠ADH+∠DAH=90 ·∠BAF=∠ADH, 在△ABF和△DAH中， ∠AFB=∠DHA {∠BAF=∠ADH, AB=DA :△ABF≌△DAH(AAS, AH BF, :AF=2BF=2AH, :AH FH, :DH⊥AF, :DH是线段AF的垂直平分线， :AD=DF A D H Q E B C 27.（10分)4)把点41,0)、B5.0代入y=ar+br+4,得{25a+56+4=0 a+b+4=0 025 4 解得.-24' b=- 5 抛物线的解析式为y=x?、4 5 x+4. 24 函数的对称轴为直线x=-5=3. 4 2× (2)如图1，连接BC交对称轴于点P,因为点A、B关于对称轴对称，PA+PC的最小 值为BC, VA P B 图1 易得C点的坐标为0,4)， 0=5k+b 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=+b得：b=4】 4 解得 5, b=4 直线BC的表达式为：y=-x+4, 5 当x=3时，y= 5 故点P3) (3)存在，理由： 如图2，图3，四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形， B 图1 图2 则S四边形oEBF=OBx yE=5×yE=12, 点E在第四象限，则=- 5 将该坐标代入二次函数表达式得：女-4+ 5 +4=-12 5 解得：x=2或4， 故点E的坐标为 2号)4)