题号猜押09 湖北省卷中考数学第24题（解答题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

null 题号猜押09 湖北省卷中考数学第24题（解答题） 考点1 面积最值及范围 1．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点． (1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标； (2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出此时面积最小值； (3)如图2，点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，， (2)当的面积最小时，点E的坐标为，此时面积最小值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；在直线中，当时，，即，当时，，解得，即； （2）由（1）可得，，求出，从而可得，作交于点，作轴交于，设，则，则，由轴，得出，从而可得，求出，表示出的面积，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）由题意可得，，点的纵坐标为，求出，得到，，由矩形的性质可得，结合，得出，令，解得或，当时，，故原方程可化为，当时，，故原方程可化为，当时，，故原方程可化为，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵直线与坐标轴交于M、N点， ∴在直线中，当时，，即， 当时，， 解得， ∴； （2）解：由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∴， 如图，作交于点，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积, ∵， ∴当时，的面积最小，为，此时， ∴当的面积最小时，点E的坐标为，此时面积最小值为； （3）解：∵点F是抛物线上横坐标为t的点， ∴， ∵过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I， ∴，点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴，， ∵以、为边作矩形，设矩形的周长为L， ∴， ∵， ∴， 令，解得或， 当时，，故原方程可化为：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，，故原方程可化为：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，，故原方程可化为：， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊四边形问题，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）交x轴于点A，B，交y轴于点，点A坐标为，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动点，且点E的横坐标为t． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若E在的上方，当时，求点E的坐标； (3)如图2，设的面积为S，点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形，且在y轴上（点M在点N的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）将已知的点和点的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出和的值，即可确定抛物线的解析式； （2）延长交x轴于F，利用推导出，进而得到确定点的坐标，再求出直线的解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立，解方程组并舍去不符合条件的解，得到点的坐标； （3）①求出直线的解析式，过点作轴的平行线交直线于点，用含的代数式表示出点和点的坐标，进而得到线段的长度，再结合三角形面积公式，推导出与的函数关系式； ②根据正方形的对称中心性质确定顶点坐标，再分情况讨论正方形与抛物线的交点个数，找到交点个数为3个时的临界状态，确定对应的的范围，结合的取值范围和二次函数的性质，最终转化为的取值范围． 【详解】（1）解：将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：． ∴该抛物线的解析式是； （2）解：延长交x轴于F． 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线解析式为． 联立抛物线得， 解得：（舍），， ∴点E的坐标为； （3）解：①过E作轴交直线于H． ∵，， ∴直线的解析式为， ∴，， ， ． 即； ②由题可得，，， 当边经过点， 正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：或， ∵， ∴， 当时，正方形与抛物线有2个交点； 当点N与点C重合时，正方形与抛物线有3个交点， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时正方形与抛物线有2个交点． 当时正方形与抛物线有4个交点 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，或． ∵， 当或，随的增大而增大 ∴或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，图形面积的计算方法，正方形的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（2026·湖北孝感·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 考点2 定点问题 5．（2026·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线BC的解析式为 (2)；或；m，n的数量关系为：，定点坐标为 【分析】（1）根据求出点、坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线的解析式； （2）①设，则，利用求解即可； ②根据题意易得到，若为直角三角形，则分情况讨论：当时，，据此列出方程，解方程即可；当时，，过C作，根据直角三角形斜边中线的性质得到，据此列出方程，解方程即可； ③设，，求出点坐标，利用待定系数法求出直线、的表达式，进而求出、，根据得到、的数量关系，利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的表达式，从而求出定点坐标． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：①根据题意，设，则， ； ②、， ， 轴， ， ， ， 若为直角三角形，则分情况讨论： 当时，则 ， 即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ， 如图，过C作， 则， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； ③m，n的数量关系为：，定点坐标为， 设，， 令得：， 解得：或， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： 则：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 定点坐标为， 综上所述，m，n的数量关系为：，定点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数、一次函数的图象性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 考点3 线段平分 6．（2026·湖北·模拟预测）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M，P为抛物线上不重合的两动点，连接与y轴交于点H，与直线交于点D，且点H为的中点．设点M的横坐标为m（，且，）． ①求证：； ②如图2，点N在抛物线上，其横坐标为．连接与交于点E．直线能平分的面积吗？如能，请求出此时m的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中，列二元一次方程组，求出、的值，即得到抛物线的解析式． （2）①设的中点为，分别求出直线的解析式，得到，进而可得； ②求出直线的解析式，得到，进而得到，再求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出即可． 【详解】（1）解：将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中， 得， 解得； ∴抛物线的函数解析式为：； （2）①证明：对于抛物线，令，则， ∴， 又， ，则为等腰直角三角形， 取的中点为，连接， 则，， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设， 点H为的中点，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 又直线的解析式为， ，又， ； ②解：N在抛物线上，其横坐标为， 当，， 故，又， 设直线的解析式为， ，解得， 故直线的解析式为， ， ，相似比为， ， 若直线平分的面积，则， 又，， 直线的解析式为，与直线联立， ，解得，即， ， 解得或， 又，则（舍去）， 故． 7．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，已知，抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将抛物线平移得到抛物线与直线在的范围内有公共点，求h的取值范围； (3)如图，直线与（1）中抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． 试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点P，使得总是平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合应用探究，难度较大． （1）运用待定系数法求抛物线解析式； （2）设在范围内的两个端点为M，N，求出M，N两点坐标，探究抛物线与线段只有一个交点，以及该抛物线刚好只过点时，对应的h值，从而求得h的取值范围； （3）设，，联立一次函数与抛物线解析式，运用韦达定理，得到，，设点，分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E，结合平分，证明，从而得到，即，最后化简整理求得，故存在定点，使平分． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴； （2）解：设在范围内的两个端点为M，N， 当，，当时，， ∴，， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动， 直至抛物线与线段只有一个交点为时， 与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与直线在的范围内有公共点； （3）解：存在．点P坐标为． 设，， 联立， 得：， 由韦达定理得，，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， 分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E， 则， 又平分，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 去分母并整理得，， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∴存在定点，使平分． 考点4 参数求值及范围 8．（2026·湖北荆州·模拟预测）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)①；②或 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． （2）解：由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． （3）① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)设抛物线与x轴正半轴的交点为点C，点D是抛物线对称轴上的动点，当的周长最小时，求点D的坐标以及的最小周长． (3)点M为抛物线上的动点，过点M作直线． ①当点M在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求m的值； ②当点M不在坐标轴上时，直线交抛物线：于点P，过点P作y轴垂线，垂足为点D，在线段PD的延长线上截取，连接MQ，当抛物线的顶点B在内部时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)点D的坐标为，的周长最小值为； (3)①；②或 【分析】（1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，据此求解即可； （3）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：令，解得，， ∴，抛物线与x轴负半轴的交点为点， ∵， ∴， 连接交对称轴于点， 此时的周长最小，最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点D的坐标为，的周长最小值为； （3）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意，， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得， ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： ， ， （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意，， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得， ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： ， ， （舍去）， ∴， 综上，或． 10．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；；③，，， 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 对称轴为直线 （2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​​ 综上所述，的值为，，，． 11．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①当时，，当或时，；②或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段和的最值问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，求得直线的解析式为，进而分别表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （3）①求出原抛物线顶点坐标，则由平移的性质可得的顶点坐标为，则的解析式为，进而得到，则，据此求解即可； ②根据①所求求出随增大而增大时，的取值范围，再根据、、的坐标确定内的整点个数和整点坐标，再分图和图两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴ 设直线的解析式为代入， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴ ∴的最大值为； （3）解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则； ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或． 13．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后求出，分三种情况讨论即可； ②分或，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，即或时，； 当时，即时，； 当时，（、重合）； 综上，； ②当或时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 当时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或或时，． 14．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 15．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，P为x轴上方抛物线上一动点，其横坐标为m． (1)求a的值． (2)如图1，过点P作轴于点T，求的值． (3)定义：我们把顶点关于轴对称，且交于轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”．将抛物线的“孪生抛物线”向右平移1个单位长度，得到新的抛物线L．当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线L于点H（点H在对称轴的右侧），轴于点T，过点H作轴于点G，四边形的周长记为w， ①求w关于m的函数解析式． ②如图2，在y轴上取点，连接，以为对角线作正方形（字母按顺时针方向排列），当w随m的增大而增大，且正方形的顶点N落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)1 (3)①；② 【分析】（1）把代入，即可求出a的值； （2）先求出，设，分别表示出的值，然后代入化简即可； （3）①先求出抛物线的“孪生抛物线”为，进而求出抛物线L为，设，根据求出，然后分当时和当时两种情况，根据矩形周长公式求出w关于m的函数解析式即可； ②分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴ 当时，， 解得， ∴． 设，则，，， ∴； （3）解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的“孪生抛物线”为， ∴抛物线L为， 设， ∵轴， ∴， ∴， 解得， ， 当时，则， ∴． ∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 当时，则， ∴． ∴，， ∴； 综上可知，； ②当时，以为对角线的正方形的顶点N落在x轴上，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． ∵开口向下，对称轴是直线， ∴当w随m的增大而增大时，， ∴． 当时，以为对角线的正方形的顶点N不能落在x轴上，此种情况不符合题意． 综上可知，m的值为． 16．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解； （3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解； ②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 17．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为 (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为． （2）解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， ∵直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； （3）解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，    则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 考点5 新定义问题 18．（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析； (2)； (3)①；②的最大值为． 【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值． （1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”； （2）根据定义列方程，即可求解参数； （3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求； ② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值． 【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下： 先将抛物线配方：， 顶点坐标为，顶点到直线的距离为：， 联立抛物线与直线的方程：， 解得，，截距为， 截距的一半为，而顶点到直线的距离为，， 因此不具有“等距截线性质”； （2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”： 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为： 联立抛物线与直线的方程：， 设两根为，由韦达定理，，， 截距为：， 根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半： 令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则， 代入得：， 解得（舍去），故； （3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为： ① 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为， 根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或， 又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义）， 故； ② 由①得抛物线为，关于直线对称， 设，则， 抛物线， 抛物线的最低点即顶点为， 在上方，在下方， ，解得， 的长度为：， ，即的最大值为． 19．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 【答案】(1)； (2)①②③ (3)或或或 【分析】（1）根据“关联对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“关联对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“关联对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“关联对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“关联对称二次函数”为； （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 20．（2026·湖北恩施·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或． 【分析】（1）利用对称轴公式和待定系数法求解即可； （2）①先求出点坐标及直线的解析式，再把点A的横坐标代入直线的解析式中求出对应的函数值即可得到点E的坐标，进而可得答案；②由可推出；过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点，证明 ，得到，进而推出；设出点的坐标，并表示出点的坐标，进而表示出的长度，进而建立方程求解即可； （3）根据题意可得所有的“阶融合点”都在直线上，求出直线过点和点时t的值，以及当与只有一个交点时t的值，进而函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，且过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，当时，，则， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点， ∴由对称性可知点B的坐标为； 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 在中，当时，， ， ； ②∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点， ∴， ∴， 由（1）得， ∴ 设，则 ∴， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； （3）解：“阶融合点”，满足， ， ∴所有的“阶融合点”都在直线上 当直线过点时，； 当直线过时，， 由图可得：当时，直线与的交点只有2个； 当与只有一个交点时， 联立得， 整理，得， ， 解得， 由函数图象可知，当时，直线与的交点只有2个； 综上，若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，的取值范围为或． 1．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，该定点坐标为 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，一元二次方程的根与系数，一次函数的其他应用，勾股定理，两点间的距离公式，公式法求一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，交轴于点，记拋物线顶点为点． (1)求，的值及顶点的坐标； (2)连接，，平移直线交拋物线于点，交线段于点，若，求点的坐标； (3)过中点作直线交拋物线于E，F两点，试探究，拋物线上是否存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，定点 【分析】（1）将点代入抛物线中，即可求解b，c的值，再将抛物线化为顶点式，由此可求解顶点坐标； （2）先由勾股定理求解的长度，由此可得的长度，求解直线与直线的函数解析式，设出点M的坐标，添加适当的辅助线，利用相似三角形的性质可得的长度，由此可表示出点N的坐标，再将点N的坐标代入直线中即可求解； （3）先设出点E的坐标，点F的坐标，点G的坐标，再由待定系数法求解直线的函数解析式，求解出中点H的坐标，将点H的坐标代入直线的函数解析式，再求解直线与直线的函数解析式，根据垂直求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于两点， 可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 即， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线为， 当时，可得：， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 可得：，解得： ∴直线的解析式为， 过点M作轴，过点N作，如图，则， ∵点M在拋物线上，设点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点，即点， ∵点N在直线上， ∴， 整理可得，，解得或， 当时，点；当时，点； （3）解：存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立，如图， ∵点E，点F，在抛物线上， 设点，点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点，点， ∴BD中点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，可得， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵，即， ∴， ∴， 由①②可得，， ∵点G为顶点，即与e和f无关， ∴， 由，可得， 由，可得或， ∴，即定点． 3．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 4．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】 （1）把一般式化为顶点式即可得出抛物线顶点坐标； （2）求出点的坐标，得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系可得，，过点作，过点作，设，根据正切的定义，由列出比例式，整理后代入可得，根据等式成立与无关可得． 【详解】（1）解：∵； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，则：， ∴令，则，令，则， ∴， ∵， ∴顶点在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴，即：， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线交点，， 联立抛物线和直线解析式得，整理，得：， ∴，， 假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， ，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，等式一定成立， ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）分别令和进行计算即可； （2）①由题意求出直线解析式为，设，即可得到，根据点E是线段的中点得到，将代入，解得，即可得到答案； ②只需要，由①知，，得到，即可得到答案； ③根据角平分线定理，得到，设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：令，， 解得， 点B在点A的右侧， ， 当时， ； （2）解：①，， 设直线解析式为：， 将，代入，得； ， 解得， ， ， 由题意可设， 过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E， ， 点E是线段的中点， ， ， 将代入， ∴， 解得， ， ， ； ②根据平行四边形的性质，， 只需要， 由①知，， ，四边形是平行四边形， 解得； ③，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 根据角平分线定理，得到， 设，则， ， 解得， 6．（2026·广东·一模）已知抛物线过点，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，过点P作轴，点Q的横坐标为． ①当线段与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作轴交抛物线于点N，点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段的长随t的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）先根据对称轴公式求得b的值，再代入点A的坐标求得c的值，即可解答； （2）①分或两种情况讨论，当线段与抛物线有两个交点时，点P和点Q分别在对称轴的两侧，且的长度大于等于点P到对称轴距离的2倍，列出不等式组，解不等式组即可； ②根据题意，易得点Q和点N的纵坐标，从而表示出的长度，根据二次函数的性质结合图象讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，轴，点Q的横坐标为， ∴当时，点Q在点P的左侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 当时，点Q在点P的右侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 综上所述，当线段与抛物线有两个交点时，或； ②∵点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t， ∴， ∵轴，点Q的横坐标为，轴交抛物线于点N， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴， 令，解得或0，且对称轴为直线， 如图所示，的图象， 又∵点P在y轴左侧的抛物线上运动， ∴， ∴当或时，y随t的增大而减小， 即当或时，线段的长随t的增大而减小． 7．（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线上或上方、在直线下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． （3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上， ∵点与点关于直线对称， ∴， 当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 8．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 (3)①；②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，找出对称轴，结合自变量的取值范围求出最大值与最小值； （3）①，去绝对值，得到关于m的一次函数，根据“线段的长度随的增大而减小”即可求解；②分，，，几种情况，画出图形，即可判断交点个数． 【详解】（1）解：将点，点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为4． ， ∴当时，取最小值，最小值． ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：①， 当时，即，，的长度随的增大而减小， 当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意． 的取值范围为． ②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． ， ． 解得：． 如图①，当时，点在最高点，与图象有1个交点 如图②，增大过程中，当时，点与点在抛物线对称轴右侧，与图象只有1个交点 直线关于抛物线对称轴直线对称后的直线为． 时，与图象有2个交点，如图③， 当时，与图象有1个交点，如图④， 综上所述，线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． 9．（2026·河南濮阳·一模）如图，抛物线的顶点在正方形网格的格点上． (1)求和的值； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出直线，设该直线与抛物线相交于点和点（点在点左侧），请描出点和点，并直接写出当时的取值范围； (3)将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，若新图象与（2）中的线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据顶点坐标，求得抛物线的解析式，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解； （3）根据题意可得新的抛物线图象的顶点坐标为，则新的抛物线的解析式为，根据题意画出图形，结合图形分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点， ∴抛物线解析式为， ∴； （2）解：如图所示， ∵ 解得：， ∴当时的取值范围为：或； （3）解：由（2）可得， ∵顶点，直线， ∴新的抛物线图象的顶点坐标为， ∴新的抛物线的解析式为， 新图象与（2）中的线段只有一个交点， ①新抛物线与直线相切时， 联立， 消去得，， 即， ∴， 解得：； ②当新抛物线经过点时，， 解得：； ③当新抛物线经过点时，，， 解得：， 综上所述，或． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 【答案】(1) (2)①；②或 (3)2个公共点：或；3个公共点：或 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到，根据两点之间距离公式得到，由分类讨论去绝对值，将化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案；②由①知，，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得；令得； ， 将代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①如图所示： ∵点为线段上一点，设其横坐标为，则， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随着的增大而增大， 则此情况； 当时，，则； 综上所述，当的长度随的增大而增大时，的取值范围是； ②由①知，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或， 则或， 解得或或或， ， ∴点的横坐标为或； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 如图所示： 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当与相切时，只有一组公共解， 即方程的判别式为， ∴，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 11．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 12．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，B（点在点左侧），与轴交于点． (1)当时，求点A，B的坐标； (2)若，求直线的函数解析式； (3)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为，点在上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)A，B (2)或 (3)的取值范围为或． 【分析】（1）令，解方程即可求解； （2）令，求得，，，根据题意求得点A的坐标为或，得到或，据此求解即可； （3）求得，分两种情况讨论，画出图象，列得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 令，可得， 解得，， ∴点A，B的坐标分别为，； （2）解：令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为或， ∴或， ∴或， ①当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； ②当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 同理可得直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或； （3）解：由（2）得点A的坐标为，点B的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵当时，恒成立， 当点在左侧， ∴，解得； 当点在右侧，左侧， ∴， 解得； 综上，的取值范围为或． 13．（2026·甘肃庆阳·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1所示，当时，求点P的坐标； (3)如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m． ①求m的值； ②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为 (3)①m的值为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可； （3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设则，根据求出点Q的坐标，然后利用勾股定理求解即可； ②作轴，交BC于点T，求出BC解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， ∵，，， ∴， 由（1）可得，，即， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点P坐标为，则，， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为； （3）解：①如图2，作，且使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，作轴，交于点T， ∵BC解析式为， 设，， 则， ∵点P在第一象限， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2)①；②；③5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解； ③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可； 【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． ③如图，过点作，且， 连接， 设交轴为点． ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， ， 此时三点共线且轴， ∴点的坐标为与点重合，满足在线段上． ∴的最小值为5． 15．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 16．（2026·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式， (2)若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标． (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大或者随的增大而减小时，求的取值范围． (4)当抛物线与正方形的边只有个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）将点代入，解方程求得，进而得到函数表达式； （2）利用抛物线对称轴，设点的坐标为，由对称性得点的坐标，根据列方程求解，得到点的坐标； （3）分两种情况：①抛物线在正方形内随增大而增大时，正方形点在轴上；②随增大而减小时，经过抛物线的对称轴，综合得取值范围； （4）分三类交点情况：①当点在抛物线对称轴左侧，轴左侧，利用中心对称得​；②当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时，代入抛物线方程得；③当点在抛物线对称轴的右侧时，联立直线与抛物线方程得． 【详解】（1）解：抛物线（b是常数）经过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为． （2）解：如图，由，则对称轴为直线， 设点的坐标为，由点与点关于轴对称， 则点的横坐标为，则点的坐标为， ，解得， ． （3）解：以点为中心，构造正方形， 点在抛物线上，且点的横坐标为，，且轴， ，且，在轴上， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合， ， 的解析式为， ，将代入，即， 解得，， ， ，观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，如图，当经过抛物线的对称轴时， ，， ，解得， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 综上所述，的取值范围为或． （4）解：①如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴左侧， 设正方形与抛物线的交点分别为，，当时，则， 是正方形的中心， 设点的坐标为， ， 即， ②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， ， ， ， 交点的纵坐标之差为， 的纵坐标为， 的横坐标为， ， 在抛物线上， ， 解得； ③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图， 则， ， 即：，， 设直线解析式为， 可得， 解得， 直线解析式为， 令，解得，（舍去）， 即的横坐标为，即， 综上所述，或或． 17．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【答案】(1)； (2)甲同学说法错误；乙同学说法错误，理由见解析 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）解：甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，不符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 18．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，黄金区间为 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 19．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 20．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $