题号猜押08 湖北省卷中考数学第23题（解答题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押08湖北省卷中考数学第23题（解答题） 押题预测 。考点1旋转类几何综合 1.(2026湖北荆州一模)己知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AB至A,使AB=AB,过点A作 A'C'⊥CB交CB的延长线于点C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABC≌△ABC; (②)若BC=5,AC=3,将图1中的△A'BC'绕点B逆时针旋转到如图2，当AC'∥BC时，请求出CC'的长； (3)如图3，将图1中的△A'BC'绕点B逆时针旋转，连接AA'交直线CC'于点D,求证：AD=AD. 【答案】（①）见解析 (2)3V10 3)见解析 【分析】(1)利用AAS即可证明△ABC≌AABC: (2)作BH⊥AC'于点H,证明四边形ACBH是矩形，得出AC=BH=3,BC=AH=5,根据勾股定理求 出HC'=V52-32=4,求出AC'=5+4=9,根据勾股定理求出CC'=√92+32=30； (3)过点A作A'E∥AC交CC'于点E,证明△ADC≌△A'DE(AAS),即可得到AD=A'D, 【详解】(1)证明：如图， 图1 :A'C⊥CB,∠ACB=90°， ∠C'=∠C=90°， 1/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ABC=∠A'BC',AB=A'B, .△ABC≌△A'BC'AAS): (2)解：如图，作BH⊥AC'于点H, 图a .∠BHA=909, :AC'∥BC,∠ACB=90°， ∠CAH=90°， :四边形ACBH是矩形， .AC=BH=3,BC=AH=5, .BC=BC'=5, 在Rt△BHC'中，HC'=√52-32=4， AC'=5+4=9, 在Rt△ACC'中，CC'=√92+32=3V10: (3)证明：过点作A'E∥AC交CC'于点E,如图， E 图2 :ZACD ZE, 由旋转可得：BC=BC', ∠1=∠2， ∠ACD+∠1=90°， :∠A'C'B=90°， .∠2+L3=90°， ∠ACD=∠3，LE=∠3， .A'C'=A'E, 2/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=AC, :AC=A'E, .∠ADC=∠A'DE, △ADC≌△A'DE(AAS, :AD A'D. 2.(2026湖北襄阳一模)ABC中，LABC=90°，将ABC绕点A旋转得到ADE,连接CE、BD D H B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABD~aACE; (2)如图2，BD交AC于点N,点N为AC的中点，AB=3,BC=4,求线段CE的长： (3)如图3，点N为AC的中点，延长ED分别交AC、BC于H、F. ①求证：BD∥A,②当CF-时，直接写出的值. BF 2 AN 【答案】()见解析 (2)6 o月 【分析】1)由旋转的性质可得4E=4C,AD=4B,∠D4E=∠84C,再证明∠C4E=∠B4D,5后 即可证明△ABD~△ACE; (2)可证明∠ACE=∠ABD:由直角三角形的性质得到CV=BN=方4C,则∠NCB=∠N8C,则可证明 ∠BCE=90°；过点A作AH⊥CE于点H,则四边形ABCH是矩形，则CH=AB=3,由三线合一定理可得 CE=2CH=6: (3)①可证明∠NAB=∠NBA,进而证明∠ACE=∠AEC=∠NAB=∠NBA,则可证明 ∠BAE+∠NBA=I80°，即可推出BD∥AE;②过点A作AT⊥CE于点T,同理可得四边形ABCT是矩形， LBCE=90°，则CE=2CT=2AB;设CF=x,BF=2x;可证明∠BDF=∠DBF=∠NCB,得到 3/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DF=BF=2x,则EF=DE+DF=5x,CE=26x,进而得到4B=V6x,AC=5x,则HN=CN= 2 :由相似三角形的性质可得BD=5:过点A作S1BD于点，则B5-号BD2店， 5 5t,4S=30 5 ,过点H作HRLCE于点R,设CR=y,解直角三角形得到RH= 2Y.CH=1 2, tan∠CEF= Cp6,测R=6v据此可符y=方x'CH方，Ms36 CE-12 x由此可得答案 【详解】(I)证明：由旋转的性质可得AE=AC,AD=AB,∠DAE=∠BAC, ∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC, ∠CAE=∠BAD, 又：4g=1=D AC AB 指6 △ABD△ACE; (2)解：由(1)得AE=AC,AD=AB,∠CAE=∠BAD, ∠ACE=∠AEC,∠ABD=∠ADB, :∠ACE+∠AEC+∠CAE=I80°=∠ABD+∠ADB+∠BAD, ∠ACE=∠ABD; :点N为AC的中点，∠ABC=90°， .CN=BN=AC, 2 ∠NCB=∠NBC, :∠NBC+∠ABD=∠ABC=90°， ∠NCB+∠ACE=90°， ∴∠BCE=90°： 如图所示，过点A作AH⊥CE于点H,则四边形ABCH是矩形， E D 4/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴CH=AB=3, :AE=AC,AH⊥CE, .CE =2CH=6; (3)解：①点N为AC的中点，∠ABC=90°， :NB=NA=IAC, 21 ∠NAB=∠NBA; 由(2)得∠ACE=∠ABD, AE=AC, .∠ACE=∠AEC, .∠ACE=∠AEC=∠NAB=∠NBA, :∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°， ∠NAB+∠NBA+∠CAE=180°， .∠BAE+∠NBA=180°， BD∥AE; ②如图所示，过点A作AT⊥CE于点T, 同理可得四边形ABCT是矩形，∠BCE=90°， :CT=AB, 同理可得CE=2CT=2AB: CF 1 8F2' .可设CF=x,BF=2x; :BD∥AE, .∠BDF=∠AEF, 由旋转的性质可得∠AED=∠ACB,DE=BC=CF+BF=3x, ∠BDF=∠ACB: :点N为AC的中点，∠ABC=90°， 1 .CN=BN=AC, ∠NCB=∠NBC, .∠BDF=∠DBF=∠NCB, .DF BF =2x, 5/121 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴EF=DE+DF=5x, ∴CE=VEF2-CF2=2V6x, :AB=6x, AC=√BC2+AB2=V5x, AN CN=15 -x; 2 :△ABD~AACE, CEC,即=v6 BD AB 2√6xV15x BD=45 如图所示，过点A作4S1BD于点S,则BS=BD=25x 5 4S =AB -BS7=310 x, 3V10 3W10 6 六sin∠ABS=4S-= 5 x=5,tan∠ABs=4S=5 AB 6x 5 BS 215 2, 如10E=编<48s.S,n∠4CE=n4- 5 2 如图所示，过点H作HR⊥CE于点R,设CR=y, B :RH=CR-tan∠RCH=6 , v6 .CH= RH 2 sin∠RCH v15 5 6/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CEF中，tan∠CEF=CF-x=6 CE 26x 12 6 在R△EHR中，ER= RH -=6y, tan∠REH√6 12 .CE=CR+ER=7y=26x, ..y= 2v6 7t, “CH=i0x26.-2 -x 2 7 ÷Aw=Cw-CH=E-2is-35 -x= -X: 2 7 14 3V15 HN 14 3 AN V15 -=7 3.(2026湖北模拟预测)如图1，已知Rt△ABC,AB=AC,∠BAC=90°，点D,E分别在AB,AC上， AD=AE,连接DE.将ADE绕点A顺时针旋转∠a(O°<a<90),连接BD,CE. A A D D D B 图1 图2 图3 (I)求证：BD=CE; Q图2，当CE的延长线经过点D,若40-子5，B-5,求CE的长： (3)如图3，当CE的延长线经过AB的中点F,与BD交于点G,AD=AB,求am∠BCG的值. 【答案】（①）见解析 (2)5 时 【分析】(1)根据SAS证明△ABD≌△ACE,然后根据全等三角形的性质即可得证； (2)根据勾股定理求出DE=7,BC=13,然后根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理求出 ∠BDC=90°，最后在Rt△BDC中，根据勾股定理可构造出关于CE的方程，解方程即可； 7/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设AB=AC=2a,根据线段中点定义求出BF=AF=a,根据勾股定理求出CF=√5a,证明 △8GF0△C4F,求出8G-号5，G-5,最后右R8CG中，根锯正切的定义求解即可， 【详解】(1)证明：：旋转前点D,E分别在AB,AC上，∠BAC=90°， ∠DAE=90°， 旋转后的图形如下： D B 旋转， .LDAE=LBAC=90°， LBAD=LCAE=90°-∠BAE, 又AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE(SAS), .BD CE (2)解：：AD=72,∠DAE=90°，AD=AE, 2 ·DE=VAD2+AE2=7, AB-13.ZBAC-90,4B-AC. 2 BC=AB2+AC2=13, :△ABD≌△ACE, ∠ABD=∠ACE, :∠BAC=90°， :LABC+LACB=90°，即LABC+LACE+∠BCE=90°， .∠ABC+∠ABD+LBCE=90°，即LCBD+LBCE=90°， :CE的延长线经过点D, .ZACE ZACD, .∠BDC=90°， .BD2+CD2=BC2,即CE2+(CE+7)2=132, 8/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得CE=5(负值舍去)； (3)解：设AB=AC=2a, :F是AB中点， .BF AF a, ∠BAC=90°， CF=AF2+AC2=5a, 由(2)可知：∠BGC=90°， .ZBGC=ZFAC, 又∠GBF=LACF, ∴.△BGF∽△CAF, 肥器，即织g BG_FG=a ÷BG=25a,FG=5。 5q, CG=CF+FG=6 5a, 2v5 :ian∠BCG=BG- 5a1 CG 6V5 3 -a 5 4.(2026湖北一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，将ABC绕点A逆时 针方向旋转，得到△AEF(点B的对应点为点E,点C的对应点为点F)· D G 图1 图2 图3 (I)在图1中，连接BE,CF,求证：△ABE∽△ACF; (②)如图2，当点F落在AD的延长线上时，延长FE交BC于点G,求GE的长； (3)如图3，当点E落在矩形的对角线BD上时，延长FE交AC于点H. ①求证：AD平分∠FAC; 9/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②直接写 AH的值， 【答案】()见解析 (2)GE=2 30见解析：②4H=25 AC 39 【分析】(I)由旋转得B=B,AF=AC,∠BAC=∠EAF,所以可证4B=AE 4CF，即可求证△ABE∽aAC更 (2)过点G作GM⊥AD,垂足为M,先证明四边形GMDC是矩形，再证明△GMF≌△AEF(AAS),即可 求解； (3)①延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,先证明LBEN=∠NBE,NB=NE, 由外角的性质得出∠HNC=2LEBN,再由三角形内角和定理得出∠FAH=2LEBN,即可求证： ②先证明AN垂直平分BE,再证明△ABN∽△CBA,求出BN,NC的值，接着证明△ACD≌△AFD(SAS, 求出SD,AS的值，再证明△ASH∽△CNH,利用相似三角形的性质即可求解， 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, :BC=AD=8,∠ABC=90°， .由勾股定理得AC=VAB2+BC2=V62+82=10. 由旋转可得：AE=AB=6,AF=AC=10,∠BAC=∠EAF, .∠BAE=∠BAC-∠EAC, ∠CAF=LEAF-∠EAC, :ZBAE ZCAF AB=AE6 3 AC AF 105' △ABE∽aACF; (2)解：如图1，过点G作GM⊥AD,垂足为M,则∠GMD=90°， B 图1 :四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, 10/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF=AC=√AB2+BC2=10,LADC=∠DCB=90°， 则LGMD=∠MDC=∠DCG=90°， 四边形GMDC是矩形， .MG=DC, 由旋转得：AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,LACB=LAFE, .MG=EA,∠GMF=∠AEF=90°， 又：∠F=LF, :.△GMF≌△AEF(AAS), .GF=AF=AC,MF=EF=BC=AD, ..GE=GF-EF=AF-MF=AC-AD=10-8=2: (3)解：①如图2，延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,AC交BD于点H, D E 图2 由旋转得AB=AE,∠ABC=∠AEF=90°，∠ACB=∠AFE, ∠ABE=∠AEB,LABC=LAEN=90°， :∠NBE=∠ABC-∠ABE,∠BEN=∠AEN-∠AEB, ∠BEN=∠NBE, .NB=NE,∠HNC=2∠EBN. :∠AHF=∠CHN,∠ACB=LAFE, 180°-∠AHF-∠AFE=180°-∠CHN-∠ACB, 即∠FAH=∠HNC,∠FAH=2∠EBN, :四边形ABCD是矩形， BG=GC,AD∥BC, .LEBC=∠ACB=LDAC, ∠FAH=2LEBN=2LDAC=LDAC+∠DAF, 11/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠DAC=∠DAF, :AD平分LFAC; ②答案：4H=25 40=39· 解：：AB=AE,NB=NE, .AN垂直平分BE, LBAN+LABE=∠ABE+∠EBN=90°， .ZBAN ZEBN ZACB 又：∠ABN=∠CBA=90°， .△ABN∽△CBA, 器影台 68' Bw=9, >·WC=BC-BW三 :∠DAC=∠DAF,AD=AD,AC=AF, .△ACD≌△AFD(SAS), CD=FD,LADC=∠ADF=90°， D为FC的中点， :四边形ABCD是矩形， .SD∥NC, △FSDm△FNC, SD FD 1 NC FC2 7 SD=INC=AS=AD-SD=8-4=4 :AS∥NC, .△ASHn△CNH, 25 4=4S-4_25 HC CN 714 AH=HC 14 2 AH AH 25 AC AH+HC 39 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，垂直平分线 的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握基本图形和基本推理。 12/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级下·湖北鄂州期中)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C逆时针旋转，得到 △DEC,旋转角为B(0°<B<90),点A的对应点D落在ABC内部，连接AD、BE. H C C 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)，求证：BE⊥AD (②)如图(2)，若直线AD与BE交于点F,线段DE的中点为O,连接0F,当AC=2,且BE=2AD时， 求OF的长. (3)如图(3)，直线DA与BE、BC交于点F、M,过点E作AF的平行线交直线AC于点N,过点F作AC 的平行线交直线NE于点G,且BC=k·MC,DE与BC交于点H. ①NC的值（用含k的式子表示）· AC ②当化-。时，若k2,请直接写 HD HE 的值 【答案】（①）见解析 (2)W5 30k,② 4 【分析】(I)延长AD交BC于点S,交BE于点F,证明△ACD∽△BCE,得出∠CAD=∠CBE,证明 ACS∽BFS,得出∠BFS=∠ACS=90°，即可证明结论； @载家相议三角形销性质特发C会祝一-从而有出8C:4C4,根据勾重定理关出 AB=√AC'+BC=25,根据直角三角形的性质求出OF=DE=V5； (3)①证明ECN,MCD,得出C=EC 根据AC=CD,BC=EC,BC=k·MC,即可得出答案； CD MC ②设4M=5x,则FG=9x,证明ABFM△ACM,得出FM=16x 5X,BF长x,过点C作CPLAD于点D 解直角三角形得出AP=3 C=9 5 5 ,根据等腰三角形的性质得出AD=x,从而求出 DM=4M-AD=5x-:-,延长6F交BCT点K,过点D作D1上BC于点人，过点E作E01BC于 原O,明PKM∽DM,得出DGK2x48.-2】 =16×25x=25,同理得出BFK∽BEQ,DHoE0H 13/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 根据相似三角形的性质求出EQ= 192 x,根据DH∽EQH,得出 HD DI 257 25 x64 HEEQ192 25 【详解】(1)证明：延长AD交BC于点S,交BE于点F,如图所示： B :将ABC绕点C逆时针旋转得到aDEC，, .AC=CD,BC=EC,∠ACB=LDCE=90°， .ZACD+ZBCDZBCD+ZBCE, 即∠ACD=∠BCE, AC_DC BC EC ∴.△ACD∽△BCE, ∴∠CAD=∠CBE, :∠ASC=LBSF, ACS∽BFS, ∴.∠BFS=∠ACS=90°， BE⊥AD; (2)解：根据解析(1)得：△ACD∽△BCE, BE =2AD, AC CD AD 1 BC CE BE2' .AC=2, .BC=2AC=4, :∠ACB=90°， :AB=AC2+BC2=25, DE AB=25, 根据解析(1)可知：AD⊥BE, 14/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AFE=90°， O为DE的中点， OF=IDE=5: (3)解：①根据旋转可得：AC=DC,LDCE=∠ACB=90°， .LCAD=∠ADC, :AF∥NG, .∠CAD+∠N=180°， :∠ADC+∠CDM=180°， .∠CDM=∠N, :∠ACB=90°， ∠BCN=180°-90°=90°， :∠ECN+∠BCE=∠BCE+∠MCD=90°， .∠ECN=∠MCD, ECN∽MCD, NC EC CD MC AC=CD,BC=EC,BC=k.MC, NC_NC EC=BC=k: AC CD MCMC @兴号 .设AM=5x,则FG=9x, :FG∥AN,GNI‖AF, :四边形ANGF为平行四边形， ∴.AN=FG=9x, k=2, :BC=2MC, :BM =MC, 根据解析①的： NC=k=2, AC .NC=2AC, .NC+AC=9x, 15/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .NC=6x,AC =3x, .DC=AC=3x, :∠ACM=180°-90°=90°， ÷MC=VAM2-AC2=V5x)2-(3x)2=4x, .BM CM =4x, 根据解析(1)可得：AD⊥BE, ∠BFM=90°， ∠BFM=∠ACM=90°， :∠BMF=∠AMC, △BFM∽△ACM, BM FM BF AM CM AC 即4=FMBF 5x 4x 3x 解得：FM=16 ,BF=12. x, 5 如图，过点C作CP⊥AD于点P, M :cos∠CAM=4P=4C_3x=3 AC AM 5x5' 4P=24C=9x, 9 5 :AC=DC,CP⊥AD, 9 DP-AP-3*. AD=18 , .DM=AM-AD=5x-18x= x= t, 根据解析(1)可知：△ACD∽△BCE, AD AC BE BC 16/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18 即5x_3x3, BE8x8 8x18 BE=$548 3 如图，延长GF交BC于点K,过点D作DJ⊥BC于点J,过点E作EQ⊥BC于点Q, 则∠DJM=∠DJH=∠EQH=90°， :GE∥AC, ∠GKC=∠ACB=90°， FK⊥BM, 1 SBM×FK-7BFXFM 1612 FK=BFXFM-5·S 48 BM 4x 25 :∠FKM=∠DJM=90°，LFMK=∠DMJ=90°， FKM∽DJM, 16 FK_FM5x 16 DJ DM 7 DJ-7FK- 7、48.21 -X- x= 16 1625 同理得：BFK∽BEQ,DH∽EQH, FK BF ·E0BE 4812 高名 ..EO= 92x, 2 :DJH∽EQH, 1 HD DJ 25 HE EO-192= 25t 64 17/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点2翻折类几何综合 6.(2026湖北孝感一模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点 F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CEQ∽△FEP; (2)如图2，当CE=BE时，点P在BC延长线上，若CG=3,QG=5,求QD的长； 8如图3，当CE~29E时，点P在C边上，者是子直接写出C的雀 【答案】（①）见解析 (2)4 【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠B=∠D,AD∥BC,由平行线的性质可得∠D+∠BCD=I80°， 由折叠的性质可得∠AFE=∠B,从而得出∠AFE=∠D,再证明∠ECQ=∠EFP,结合∠FEP=∠CEQ,即 可得证； (2)先证明△CEQ≌△FEP(ASA),得出EQ=EP,∠CQE=∠P,再证明△FQG≌△CPG(AAS),得出 FG=CG=3,GQ=GP=5,证明aCGP∽aBAP,由相似三角形的性质求出CD=AB=I2,即可得出结果； (3)延长AD,EQ交于点H,设CQ=2a,则DQ=3a,则CD=5a,由平行四边形的性质可得 ∠B=LADC,AD∥BC,AB=CD=5a,ABI CD,证明△CEO△FEP,求出FP=2CO=a, ED=2EP,再证明CEQI0,6EFp:HFA,求出CP-号E,4D=BC=8E,最后再证明 △GCP△GDA,即可得出结果. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∠B=∠D,AD∥BC, .∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B, .∠AFE=∠D, 18/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFE+∠EFP=180°， :∠BCD=∠EFP,即∠ECQ=∠EFP, :∠FEP=∠CEQ, ∴.△CEQ∽△FEP; (2)解：四边形ABCD为平行四边形， ∠B=∠D,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, .∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB, ∠AFE=∠D, :∠AFE+∠EFP=180°， .∠BCD=∠EFP,即∠ECQ=∠EFP, CE BE, :CE =EF, 在CEQ和aFEP中， ∠ECQ=∠EFP CE=FE ∠FEP=∠CEQ .aCEQ≌aFEP(ASA), EQ=EP,∠CQE=∠P, .EO-EF=EP-EC, .FO=CP, 在△FOG和△CPG中， [∠FGQ=∠CGP ∠GQF=∠P, FO=CP ∴△FQG≌ACPG(AAS), .FG=CG=3,GO=GP=5, :AB∥CD, .aCGP∽aBAP, 19/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CG PG AB AP 3 5 ABAB+3+5' .AB=12, .CD=AB=12, ..OD=CD-CG-GO=4; (3)解：如图，延长AD,EQ交于点H, ----H 图3 G C2_2 DO 3' .设C0=2a,则DQ=3a, ∴CD=CQ+D2=5a, :四边形ABCD为平行四边形， :∠B=∠ADC,AD∥BC,AB=CD=5a,AB∥CD, ∴.∠ADC+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB=5a, ∴∠AFE=LADC, :∠AFE+∠EFP=180°， LBCD=∠EFP,即∠ECQ=∠EFP, :∠FEP=∠CEQ, △CEQ∽△FEP; FP EF EP “CO-ECE0' BE =EF, FP BE EP ·CO-EC EO' CE =2BE, FP-CQ-a.EQ-2EP. AD∥BC, 20/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△CEQ∽△DHQ,△EFP∽△HFA, Eoco2.EF PF a1 OH DO 3'FH AF 5a5 :OH=3 EQ=3EP,FH SEF -SBE, .FO=EO-EF =2EP-EF,OH+FO=FH, :3EP+2EP-EF =5BE, .5EP-EF =5BE .5EP -BE 5BE, .5EP =6BE, EP=OBE】 :CP=CE-EP=2BE-6 BE=4 BE, 5 5 BC BE +CE=BE +2BE =3BE, .AD BC =3BE, :AD∥BC, △GCPAGDA, .CG CP 5 A BE A DG AD 3BE 15 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键， 7.(2026湖北荆州模拟预测)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE, 点C的对称点F落在口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF交AB边 于点M. A M M G E H B E 图1 G 图2 (I)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM；; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长； 21/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，当BE=2CE时，点H在BC边上.若 AM 3 BM=2 直接写出 的值， AD 【答案】()见解析 (2)24 o号 【分析】（①）利用平行四边形性质和翻折性质，通过ASA证明三角形全等. (2)先由全等结论和对顶角证明△MHG为等腰三角形得到HG=MG=10,FG=BG=6,最后利用相似三 角形求出DC. 3)利用相似三角形求出CP,再证明△DEH≌△DEP得到DH=DP,最后利用角平分线性质和面积比求出 HE与AD的比值. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,∠ABC+∠C=180°， :将△DCE沿DE翻折得到△DFE, .∠C=∠DFE,CE=FE, :∠DFE+∠EFM=180°， ∠ABC=LEFH,即∠EBM=∠EFH, :点E是BC中点， :BE =CE, .BE FE, :H在BC延长线上，M、F、E共线， .∠MEB=∠FEH, 在△EFH和△EBM中：∠EFH=∠EBM,FE=BE,∠FEH=∠BEM, ∴△EFH≌△EBM(ASA. (2)解：由(1)知△EFH≌△EBM, ∴.FH=BM,EH=EM,∠EHF=∠EMB, '∠EHF=LBHG,∠EMB=LHMG, .∠BHG=∠HMG,即∠MHG=∠HMG, MG=HG=10,:.BG=FG=6 :延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H, D、F、G、H四点共线， 22/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB∥DC, ∴△HGB∽△HDC, BG HG DC HD 6 10 DC=10+6+DC' .DC=24. (3)解：设AM=3x,BM=2x,则AB=5x, DC AB =5x, 设EC=y,BE=2y,则BC=3y, .AD=BC=3y, 延长ME交DC延长线于点P, AB∥DC, :ZBME ZCPE, 又：∠MEB=∠PEC, ∴△MEB~△PEC, MB BE =2y=2, PC CE y 2x=2, pC :PC=x, :.DP=DC+CP=5x+x=6x, :将△DCE沿DE翻折得到△DFE, ÷∠CDE=∠FDE,∠DEC=∠DEF, D、F、H共线，M、F、E共线， ∴.∠FDE=∠HDE,∠DEF=∠DEM, :LCDE=LHDE,∠DEC=∠DEM, :H、E、C共线，P、E、M共线， 23/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠DEH=180°-∠DEC,∠DEP=180°-∠DEM, .∠DEH=∠DEP, 在△DEH和△DEP中：∠HDE=∠PDE,DE=DE，LDEH=∠DEP, :ADEH≌△DEP(ASA, :.DH DP=6x, :DE平分∠HDC, :点E到DH和DC的距离相等， S.DELDH=6x6 S.DEC DC 5x 5' 又：△DEH和△DEC以HE、EC为底时，高相同， .S.DEn=H S.DEC EC· HE 6 EC 5' :HE=6EC-6y. 6 5 6 2 AD 3y 5 8.(2026湖北咸宁模拟预测)如图1，在正方形ABCD边BC上有一动点E,连接AE,将△ABE沿AE折 叠，点B的对应点为点B,连接EB'并延长交线段CD于点F,连接AF,过点B作BG⊥AB,垂足为点G B B' E B E 图1 图2 (1)①求证：△ECF∽△AGB'; ②求证：△ADF≌△AB'F; (2)如图2，若正方形边长为m. ①求△CEF周长； ②填空：若BE= 3,则△ABG的周长为 24/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)①见解析；②见解析 2)0△CEF的周长为2m;②12m 5 【分析】(1)①根据折叠得出∠AB'E=LB=90°，确定∠AB'F=180°-∠AB'E=90°，再由各角之间的等 量代换得出LAB'G=∠EFC,即可证明相似； ②根据折叠及正方形的性质得出AB'=AD,再由全等三角形的判定即可证明： (2)①根据题意得出DF=B'F,BE=B'E,得出△CEF的周长为：CE+CF+EF=BC+CD,再由正方 形的性质即可求解； ②由折叠知48=肌BE-号设CF=y,则DF=m-y,BF=m-y,根据勾最定理得出y=分再由 相似三角形的性质即可求解。 【详解】(1)证明：由折叠可知，∠ABE=∠B=90°， :∠AB'F=180°-∠AB'E=90°， :BG⊥AB, ∠AGB'=90°， ·LAGB'=LC=∠B=90°， GB'∥BC, ∠GB'E=LB'EC, :∠AB'G+∠GB'E=90°，∠FEC+∠EFC=90° ·LAB'G=LEFC, ·△ECFn△AGB'; ②由折叠可知，AB=AB :四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠D=90°， AB'=AD, 由①知∠AB'F=90°， :∠AB'F=∠D, :AF=AF :Rt△ADF≌Rt△AB'F(HL): (2)解：①由(1)②知Rt△ADF≌Rt△AB'F(HL), ·DF=B'F, 25/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由折叠可知BE=B'E :△CEF的周长为：CE+CF+EF =CE+CF+EB'+B'F =CE+CF+BE+DF =(CE+BE+(CF +DF) =BC+CD, :正方形边长为m, .BC=CD =m :△CEF的周长为2m; ②由折叠知AB=m,BE=BE=, 3 设CF=y,则B'F=DF=m-y, :.EF=EB'+B'F=M+m-y 4m一y 3 在RtAECF中，CE2+CF2=EF2, 即(+g 解得y= 2 :CF=m,DF= 2 2 ∴EF=m+m_5m 326 :△ECF∽△AGB', C.ARG=AB'm6 C.ECF EF 5m 5, 6 C.ECF =2m, 6 12m :C.A8G=5×2m= 5 9.(2026湖北随州·一模)如图，M、N分别是菱形ABCD的AB、CD边上一点，将四边形BCNM沿MN 折叠得四边形MNFE,EF经过点A(注：折叠后EM∥NF). 26/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)若点F在菱形ABCD内部，延长NF交AD于点G,求证：△AEM∽△GDN; ②若AB=5,anB=专，AE=AM,求BM的长： (3)当2∠E+∠EAD=270°且tanB=号时. ①求证：FN⊥CD; ②直接写出 CN 的值 DN 【答案】(1)见解析 9 ③)①见解析：②】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌 握性质定理是解题的关键， (1)根据平行的性质得到（∠2+∠3）+∠4=180°，由折叠性质知：EM∥FN,∠E=∠B,证明∠1=∠4， 即可得到结论； (2)过A作AH⊥EM,由折叠性质知：BM=EM,∠B=∠E,在Rt△AEH中，anE=AH EH tanB=4 设AH=4x,则MH=EH=3x,求出BM=6x,再根据勾股定理求出AM=5x,即可得到答案； (3)①延长BA,NF交于点H,在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180,AB∥CD,由折叠性质知： ∠B=∠E,证明∠DNF=∠H=90°，即可得到结论： ②过C作CK⊥AB于K,设AM=4x,EM=3x,则AB=7x,AE=5x,即菱形ABCD的边长为7x,由折 叠性质知：EF=AB=7x,CN=FN,证明△AFH∽△AEM,根据相似的性质得到阳-，求出 3x 5x DN C 22 二x,即可得到答案 5 【详解】(1)证明：如图1，在菱形ABCD中，AB∥CD,∠B=∠D, .∠2+∠3+∠4=180°， 由折叠性质知：EM∥FN,∠E=∠B, .∠E=∠D,∠1+∠2+∠3)=180°， 27/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1=∠4， △AEM∽△GDN, G 2 图1 (2)解：过A作AH⊥EM, 由折叠性质知：BM=EM,∠B=∠E, :AH⊥EM,AE=AM, :EH =MH, 在Ri△AEH中，anE==tanB= EH 3 设AH=4x,则MH=EH=3x, ∴.BM=EM=6x, :AM=AH2+HM2=5x, AM +BM =AB, .5x+6x=5, ..x=- 5 11 30 ∴.BM=6x= 11 图2 (3)解：①延长BA,NF交于点H, 在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180,AB∥CD, 由折叠性质知：∠B=∠E, :2∠E+∠EAD=270°=∠E+∠EAM+∠B+∠BAD, .∠E+∠EAM=90°， :∠AME=90°， :EM∥NH, 28/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠H=∠AME=90°， :∠DNF=∠H=90°， FN⊥CD; 13 过C作CK⊥AB于K, 由①可知，EM∥HN,∠AEM=90°，FN⊥DC, .∠H=90°，∠HWC=90°，∠MEA=∠HFA, :CK⊥AB, 故四边形HNCK是矩形， :CK NH, ∴.tanE=tanB= 4 AM 3 EM 设AM=4x,EM=3x,则AB=7x,AE=5x,即菱形ABCD的边长为7x, 由折叠性质知：EF=AB=7x,CN=FN, :AF EF-AE =2x, .∠HAF=∠EAB,∠MEA=∠HFA, .△AFH∽△AEM, FH AF FH 2x MAE'即 3x 5x 6 :.FH=x, 5 tanB=4 ainl NH=CK=BC.sinB=28 x, :.FN NH-FH= 8.6.22 5+ x- x, 5 ..CN=22 t, ∴.DN=CD-CW=7x- 22.13 x= 5 5 22 CN 5 22 DN13 13 291121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图3 考点3求线段长 10.(2026湖北襄阳一模)探究：【证法回顾】 图1 图2 图3 (1)证明：三角形中位线定理. 己知：DE是ABC的中位线，求证：DE∥BC,DE=BC. 2 证明：添加辅助线，如图1，在ABC中，延长DE(点D、E分别是AB、AC的中点)至点F,使得 EF=DE,连接CF.请继续完成证明过程； 【问题解决】 (②)如图2，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点G、F分别为AB、CD边上的点，若 AG=2,DF=3,∠GEF=90°，求GF的长： 【拓展研究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，点E为AD的中点，点G、F分别为AB、CD边上 的点，若AG=2√2，DF=2,∠GEF=90°，求GF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)2V5 【分析】(1)证明四边形BDFC是平行四边形即可求证； (2)取GF的中点M,连接EM,延长FE、GA交于点H,证明△FED≌△HEA,得AH=DF,EH=EF 得到EM是中位线，再利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解； (3)取GF的中点N,连接EN,延长GE到点M,使得GE=EM,连接DM,证明△AEG≌△DEM, 得AG=DM,LA=∠EDM=105°，过点M作MQ1DF,交FD的延长线于点Q,连接MF,由 30/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADF=120°，可得∠ADQ=60°，∠QDM=45°，得到△QDM是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得 QM=QD=2，得到QF=QD+DF=4,即得到MF=VQM2+QF2=2V5,最后利用中位线的性质及直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解 【详解】(I)解：如图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF, B AE=EC ∠AED=∠CEF, DE=EF △FEC≌△DEA(SAS), AD=CF,∠A=∠ACF, .AD∥CF, AD BD, .BD=CF, :四边形BDFC是平行四边形， DE∥BC,DF=2DE=BC, nE∥8C,DE=8C: (2)解：如图，取GF的中点M,连接EM,延长FE、GA交于点H, H D M B :四边形ABCD是正方形， .∠HAE=∠FDE=90°， ,AE=ED,∠AEH=∠DEF, .△HEA≌aFED(ASA, .:AH DF=3,EH=EF, 31/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M是GF的中点， :.EM是△FGH的中位线， aaw=H-2+- 2 :∠GEF=90°， .GF=2EM=5: (3)解：如图，取GF的中点N,连接EN,延长GE到点M,使得GE=EM,连接DM, M G B AE=DE ∠AEG=∠DEM, GE=ME :.△AEG≌ADEM(SAS), ∴AG=DM=2√2，∠A=LEDM=105°， 过点M作MQ⊥DF,交FD的延长线于点Q,连接MF, :∠ADF=120°， ∠AD0=60°， :.∠QDM=∠EDM-∠ADQ=105°-60°=45°， :△QDM是等腰直角三角形， .OM2+OD2=DM2=8, ..OM =OD =2, :QF=QD+DF=2+2=4, MF=√QM2+QF2=V22+4=2√5， :EN是△GMF的中位线， :.EN =MF=5, :∠GEF=90°， 321121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .GF =2EN=25. 【点晴】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三 角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键， 11.(2026湖北黄冈·模拟预测)在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=12,AB=8,BC>AD ,∠ADC的平分线交边BC于点E,点F在线段DE上，射线CF与四边形ABCD的边AD或边AB交于点G. G B E E 图1 图2 (1)如图1，求证DC=EC; (2)如图2，若点G在边AD上，连接BG,当AG=4,且∠BGC=90°，求∠DEC的度数： (3)当F是DE中点，且AG=3时，求CD的长. 【答案】()见解析 (2)67.5° (3)9或30+12√2 【分析】(1)根据平行线的性质结合角平分线的定义证明∠CDE=∠DEC,即可证明结论： (2)过点C作CM⊥AD于点M,证明四边形ABCM为矩形，再证明RtAGMC∽aBAG,求出GM=I6,进 而推出∠DCE=45°，即可求解： (3)分点G在AD上和点G在AB两种情况讨论即可. 【详解】1)解：ADBC, .∠ADE=∠DEC. :DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠CDE. :ZCDE ZDEC, :CD =CE (2)解：过点C作CM⊥AD于点M,如图， 33/121 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G M ADI‖BC,∠ABC=90°， B E ∴∠BAD=90°. :CM⊥AD, ·四边形ABCM为矩形， .CM AB=8 ∠BGC=90°， :∠CGM=180°-∠BGC-∠AGB=90°-∠AGB=∠ABG, △GMC∽△BAG, GM CM GM 8 AB AG ， 即 84 ∴.GM=16, .GD=AD-AG=8.DM=GM-GD=8. :DM CM ∠MCD=45°， .∠DCE=45°. CD=CE, ∠CDE=∠CED=67.5°； (3)解：①当点G在AD上时，如图，由(1)知：CD=CE. G D :F是DE中点， B E :ZDCG ZECG :AD川BC, :ZDGC ZECG .∠DGC=∠DCG. .DG=DC. :AG=3,AD=12, 34/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DG=9, .CD=DG=9; 当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DAEG交于点N,如图，由(1)知：CD=CE, D N--- F F是DE中点， CF⊥DE, ∴CG为DE的垂直平分线， :.GD =GE. ..GD2=GE2, .AG2+AD2=BG2+BE2,即32+122=52+BE2, 解得：BE=8√2. ADI BC, ·ANG∽BCG, 8GBC,即3 AGAN ∠NDF=∠CDF 在△DNF和△DCF中， DF=DF ∠NFD=∠CFD=90° aDNF≌△OCF(AAS), ∴.CD=ND CD=x,BC=CE+BE=x+82,AN DN-DA CD-DA=x-12, 3x-12 5x+8√2' 解得：x=30+12√2， 经检验，x=30+12√2是原分式方程的解， .CD=30+12√2. 综上，CD的长为9或30+12√2. 12.(2026湖北模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，AB=12,O为对角线的交点，E是边CD上一动 点(E不与C,D重合)· 35/121 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E E2 图1 图2 (I)当CE=2DE时，OE的长是 (2)探究CE2+DE2与OE存在怎样的数量关系，并说明理由： (3)如图2，E,E2是边CD上两点，DE,=3,∠E,OE2=45°，求OE2的长. 【答案】(1)2√10 (2)CE2+DE2=2OE2;理由见详解 (3)0E2=2V10 【分析】(1)取正方形边CD的中点F,连接OF,由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD=DC=I2 ,再根据三角形中位线的到定和性质得出OF=)4D=6,∠0FD=90,最后根据勾最定塞求解即可。 (2)同(1)取正方形边CD的中点F,连接0F,则OF=6,DF=CF=6,∠0FD=90°，设DE=x, 则CE=12-x,利用勾股定理得出OE272-12x+x2,再求出CE2+DE2=2(x2-12x+72),即可求解 (3)将aODE绕点O顺时针旋转90°得到△OCE',连接E'E2,证明aOE,E,≌aOE'E,SAS),由全等三角形 的性质得出E,E2=E'E2,设DE2=y,则CE2=12-y,E,E2=y-3,由勾股定理求出y的值，再结合(2) 的结论即可求出OE2 【详解】(1)解：取正方形边CD的中点F,连接OF, D :ABCD是正方形， .∠ADC=90°，AB=AD=DC=12, :O为AC与BD的中点，F为CD的中点， 36/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 OF=24D=6,0F∥AD, ∠0FD=90°， CE =2DE, :.DE=CD=4, 3 EF=DF-DE=6-4=2, 在Rt△OFE中， 0E=VEF2+0F2=210 (2)解：CE2+DE2=2OE2;理由如下： 同(1)取正方形边CD的中点F,连接OF, D E B 则0F=6,DF=CF=6,∠0FD=90°， 设DE=x,则CE=12-x, 在Rt△0FE中，OE2=OF2+EF2=62+(12-x-6)=72-12x+x2, CE2+DE2=(12-x)2+x2=2x2-24x+144=2x2-12x+72), .CE2+DE2 =20E2. (3)解：如图，将△ODE绕点O顺时针旋转90°得到aOCE',连接EE2, E E2 B .OE'=OE CE'=DE=3,COE'=ZDOE, :∠E,0E2=45°，∠C0D=90°， 37/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠D0E1+∠C0E2=90°-45°=45°， .E'OE2=LCOE'+∠COE,=LDOE,+∠C0E2=45°， ∴.∠E,OE2=∠E'OE2, 在△OEE2和△OE'E2中， OE=OE ∠EOE2=∠EOE2, OE,=OE, △OE,E,≌a0E'E,(SAS), ÷E,E2=E'E2, 设DE2=y,则CE2=12-y,EE2=y-3, 在Rt△E'CE2中，CE2+CE,2=E'E,2, 32+(12-y)2=(y-32, 解得y=8, DE2=8,CE2=4. 由(2)知CE,2+DE,2=20E,2, 42+82=20E,2, 0E2=2V10. 13.(2026湖北黄冈·二模)解决下列问题 【问题初探】 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,延长BE交于 DF于点H.求证：BE=DF,BE⊥DF. 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边的中点，F为BC延长线上一点，BE⊥DF, 垂足为H,求CF的长 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG,延 38/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 长DG和BC相交于点F.当CE=2DE时，求FG的长. H 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析 ②CF=9 4 ③)FG=75 【分析】(I)根据正方形的性质得到BC=CD,再证明△BCE≌△DCF(SAS),进而得到BE=DF,利用三 角形内角和定理求出LBCE=LDHE=90°，即BE⊥DF; (2)根据矩形和垂线的性质证明△BCEn△DCF,进而得到EC=BC CF DC 据此求解即可； (3)延长BE交DF于点，利用勾股定理求出BE长，由折叠的性质证明BCE LDHE,则E=BC DE DH 据此求出DH长，根据tan∠CDH=tan∠CBE=】求出CF长，最后利用FG=DF-DG求解即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :BC=CD、∠BCE=∠DCF=90°， 在△BCE和△DCF中， BC=CD ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF △BCE≌△OCF(SAS), LCBE=LCDF、BE=DF, :∠BEC=LDEH, ∠BCE=∠DHE=90°， 即BE⊥DF; (2)解：：四边形ABCD是矩形， ∠BCE=∠FCD=90°、AB=DC=6 39/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BH⊥DF, :∠BHD=90°， :∠BEC=∠DEH .LEBC=∠CDF, :∠ECB=∠FCD=90°， △BCE∽△DCF, EC BC ‘CFDC “点E是CD边的中点， ∴EC=二CD=3, 2 38 CF 6 :.CF=4 9 (3)解：延长BE交DF于点H, D A G 四边形ABCD是矩形， B C .∠BCD=90°、AB=DC=6、AD=BC=8, CE =2DE, ·CE=4、DE=2, 在RtaBCE中，由勾股定理得：BE=√BC2+CE2=V⑧2+42=4V5, :△BED沿BE折叠得到△BEG, DH=HG、BH⊥DF，即∠DHE=90°， ∠BCE=∠DHE=90°， :∠BEC=∠DEH, ABCE∽∠DHE, BE BC LCBE=LCDH、 DE DH 即458 40/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DH=45 5 DG=2x458V5 5 5 ~tan∠CBE=CE-41 BC82' tan∠CDH=tan∠CBE= 2 在RIA DFC中，tan∠CDF=CF_CF=1 CD62' CF=3, DF=VDC2+CF2=V62+32=35, FG=DF-DG=3V5-85_75 55 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾 股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键. 14.(2026湖北孝感一模)【问题背景】 如图I,在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.我们可以证明： △AED∽△BFE,(不需要证明) D A E B E B A B 图1 图2 图3 (I)【尝试应用】如图2，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F, ①求证：△AED∽△BFE; ②若E为AB的中点，AB=10,AD=6,求BF的长 (2)【拓展探究】如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点 A、B重合)，连接CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，直接写出BE的长. 【答案】00见解析：②25 6 (2)2或2√2 【分析】(I)①由题意得∠ADE=∠BEF,进而可证△AED∽△BFE;由题意知，②AE=BE=5,由①知 △HEDABFE,则BE=BF,即6=了 5 BF ,计算求解即可： 41/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由勾股定理得AB=√AC2+BC2=4,则AC=BC=2V2,证明△ACE∽△BEF;由题意知，当△CEF为 等腰三角形时，分CE=EF,CF=EF,CE=CF,三种情况求解；当CE=EF时，则aACE≌△BEF, BE=AC,进而可求结果，当CF=EF时，∠FCE=∠CEF=45°，则CE⊥AB,BE=二AB,进而可求结 果；当CE=CF时，此时不成立. 【详解】(1)①证明：四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=90°， LADE+∠AED=90°. :DE⊥EF, ∠DEF=90°， ∴∠BEF+∠AED=90°， ∠ADE=∠BEF, 又：∠A=∠B, △AED∽△BFE; ②：E为AB的中点，AB=10, :AE=BE=5, 由①知△AED∽△BFE, 0船即 ,65 (2)解：∠ACB=90°，AC=BC, LA=LB=45°，AB=VAC2+BC2=4, 解得AC=BC=2V2, :∠ACE+∠AEC=180°-∠A=135°=∠AEC+∠BEF, ∠ACE=LBEF, ∴△ACE∽△BEF; 由题意知，当△CEF为等腰三角形时，分CE=EF,CF=EF,CE=CF,三种情况求解； 当CE=EF时，则△ACE≌△BEF, BE AC=22: 当CF=EF时，LFCE=LCEF=45°， 42/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠CEB=180°-∠B-∠FCE=90°，即CE⊥AB, 又：AC=BC, BE=。AB=2; 2 当CE=CF时，∠CFE=∠CEF=45°， ∴.∠FCE=90°，此时点A与点E重合，不符合题意： 综上所述，BE的长为2或2√2， 15.(2026湖北十堰模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为 射线BP上的一点（点E与点B不重合）· D R 图① 图② 备用图 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，求LPBC并说明线段BP与线段AC的位置关系： (②)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且LAEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的 数量关系，并说明理由； (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长 【答案】(I)∠PBC=30°，BP⊥AC (2)CE=2BE，理由见解析； 同护的长为2成号 【分析】(1)根据菱形的性质证明ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； (2)把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE, BE=EQ,求解∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，∠EQC=150°-60°=90°，可得 ∠ECQ=90°-60°=30°，进一步可得结论； (3)如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H,证明HABvBEG,可得-B ,设FG=x, AB EG 侧P=BE=2x可得AHE8,证明64PH∽△CPB,再进一步解答即可：如图，当P布线段0C上时，@ 长AD交BP于H,同理可得：△BAH∽△GEB,设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m,可得 AH=10,证明△APH∽aCPB,再进一步可得答案. 43/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：在菱形ABCD中， .AB=BC CD AD, :∠ABC=60°， ABC为等边三角形， :点P与线段AC的中点O重合， .∠PBC=5∠ABC=30°，BP⊥AC; (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, B 0 BE=B0,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, :△BEQ为等边三角形， :∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, :点E在线段BP上，且∠AEP=30,∠PEC=60°， ∠AEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， :.∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， :∠EQC=150°-60°=90°， :∠ECQ=90°-60°=30°， .CE =2EO=2BE (3)解：如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H D :AH∥BC, .∠AHB=∠CBH, :∠ABC=60°， .∠BAD=120°=∠BEG, 44/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △HAB∽△BEG, AH BE AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, .EG=3x, 2x AH “3x5 ”9, :AD∥BC, △APH∽aCPB, AH、AP BC PC 10 AP-3-2, Pc=5=3 :ABC为等边三角形， .AC=AB=5, AP=5×=2, 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, D G 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， .△BAHn△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, 品器品时 .AH=10, 同理：△APH∽△CPB, AP AH CPBC =2 210 AP=5× 33 45/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综上：4P的长为2或0 考点4比值类几何综合 16.(2026湖北鄂州模拟预测)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. D 图1 图2 (1)【特例感知】 如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; (2)【问题探究】 在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： (3)【拓展延伸】 如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上，试判断CQ与PF的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2)4 3)CQ=2PF,理由见解析 【分析】(1)由折叠的性质得∠B=∠AFE,BE=FE,由平行四边形的性质得∠B=LPCG,即得 ∠AFE=∠PCG,进而得∠PCG=∠QFG,再根据三角形内角和定理得∠CQE=∠P,又由CE=BE, BE=EF得EF=EC,即可求证； (2)证明△FQG≌△CPG(AAS)可得FG=CG=3,GQ=GP=5,再利用aCGP∽△BAP得AB=12,即得 CD=12,最后根据线段的和差关系即可求解： .PF EF (3)证明EPFAECO,得 0C,进而即可求解： 【详解】(1)证明：由折叠的性质得，∠B=∠AFE,BE=FE, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∠B=∠PCG, 46/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AFE=∠PCG, :∠AFE=∠QFG, .∠PCG=∠QFG, :∠FGQ=∠CGP, ∠CQE=∠P, CE BE,BE EF, .EF =EC, 又：∠CEQ=∠FEP, .△EFP≌ECO(AAS; (2)解：：△EFP≌△ECQ, .:EO=EP, EF=EC, ..FO=CP, :∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, :△FQG≌△CPG(AAS), .FG=CG=3,GO=GP=5, 由折叠的性质得，AF=AB, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, △CGP∽△BAP, CG PG AB AP 5 即ABAB+3父 解得AB=12, .CD=AB=12, DQ=CD-CG-QG=12-3-5=4; (3)解：CQ=2PF,理由如下： :AB∥CD, .∠ECQ+∠B=180°， 47/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠EFP+∠AFE=I80°，∠B=∠AFE, :∠EFP=∠ECQ 又：∠FEP=∠CEQ, .△EPFn△ECQ, PF EF CO-EC' CE=2BE,BE=EF, .CE =2EF, PF EF 1 c0Ec2,即C2=2PF. 17.（25-26九年级下·湖北鄂州期中)某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的 平行四边形进行了如下探究： 图1 图2 图3 (I)如图1，己知正方形ABCD,点F是边CD上的一个动点（不与点C,D重合），点E在BF上，满足 AE=AB,延长DE交BC于点P,求∠BED的度数； (②)如图2，在上述条件下，连接CE,已知CE⊥BF. ①求tan∠CBE的值； ②若正方形ABCD的边长为6，求BP的长： (3)如图3，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,点F是边CD的中点，点E在BF上，且AE=AB,连接DE并 延长交BC于点P,求PE的值. DE 【答案】(1)135° 202:②4 8时 【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD,∠BAD=90°，证明AE=AB=AD,得到∠AEB=∠ABE, ∠AED=∠ADE,由四边形内角和为360度可推出LAEB+∠AED=135°，据此可得答案； 48/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①过点A作4G1BE于点G,则GB=GE=BE,证明：BEC≌4GB,得到EC=GB=号BE,则 tan∠CBE=CE、1 BE2:过点P作PH1BE交BE于点，则PH∥CE,证明∠HPE=∠HEP=45,得到 明子则B=H1 HE=HP,证明△BPHBCE,推出H={, BPBH2,据此可得答案： C3)过点A作AM1BE交于点M,证明ABMABFC,得到织-B ,求出BF=4V0,可得 BF FC BM=4D,则BE=8ND,过点E作EN⊥BC于点N,则EN∥CD,证明BENMBFC,推出N=, 5 5 CD 5 PE EN 1 PE 1 证明*PENvPDC,得到PDCD5则ED4 【详解】(I)解：：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， AE=AB .AE AB=AD ∠AEB=∠ABE,∠AED=∠ADE, :∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD=360°， :2LAEB+2∠AED+90°=360°， :∠AEB+∠AED=135°， LBED=∠AEB+∠AED=I35°； (2)解：①如图，过点A作AG⊥BE于点G,则GB=GE=BE, E FCE⊥BF, B LBEC=LAGB=LABC=90°， ∠BAG+∠ABG=90°，∠CBE+∠ABG=90°， .∠BAG=∠CBE, BC=AB, .△BEC≌△AGB(AAS), 49/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EC-GB-BE. tan∠CBE= CE 1 BE2 ②过点P作PH⊥BE交BE于点H,则PH∥CE, 由(1)知∠BED=135°， F:∠HEP=180°-∠BED=180°-135°=45°， H B ∠HPE=∠HEP=45°， :HE HP, :PH∥CE, △BPH∽ABCE, PH _CE_1_EH BH BE 2 BH CP EH 1 BP=BH=2' :BC=6, BP-2BC-4: 3 (3)解：如图，过点A作AM⊥BE交于点M, AB=AE, C BM=EM-BE :矩形ABCD, LABC=∠BCD=∠AMB=90°，CD=AB=8, :∠BAM+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°， ∠BAM=∠CBF, △ABM∽△BFC, AB BM BF FC :点F是CD的中点， 501121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 CF-CD-4. BF=VCF2+BC2=V42+122=4V10, 、8BM 4V104, BM= 410 5 ÷BE=8 5 过点E作EN⊥BC于点N,则EN∥CD, F△BEN∽△BFC, E队 B EN BE 2 CFBF 5 EN 1 CD-3' EN∥CD, △PEN∽aPDC, PE_EN1 PD-CD-5' PE 1 ED 4 18.(2026湖北黄冈一模)初中几何模型有时候是解决几何问题的“金钥匙”，它能提供高效且精准的解题 思路和方法.几何模型在学习中确实包含识别、理解、运用、构建等不同层次，这些层次反映了从基础感 知到高级应用的认知过程. D B B 图1 图2 图3 (1)【特例感知】 如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，F是AD的中点且∠EFC=90°，求证：△DFC∽△AEF; 51/121 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【类比探究】 如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=∠EFC=60°，点E,F分别在AB,AD上，求证：EF·CD=AF·CF 小兵同学证法是：先在AD的延长线上取一点H,使得LCHD=60°，连接CH, 请完成小兵同学的作图，并完成证明. (3)【拓展延伸】 如图3，FG是ABC的中位线，E是AG的中点，∠A=∠CFE=45°，请直接写出 C的值， E 【答案】(1)见解析 (2)见解析 6③i0-V2 2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角 形的判定与性质，三角形的中位线性质，正方形的性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握相似三角形 的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键 (1)根据正方形的性质，可得∠A=LD=90°，推出∠AEF+LAFE=90°，根据题意，可得 ∠DFC+∠AFE=90°，等量代换，相似三角形的判定，即可. (2)在AD的延长线上取一点H,使得∠CHD=60°，连接CH,根据菱形的性质，可得 ∠BAD=∠EFC=60°，根据等边三角形的判定和性质，则△DHC是等边三角形，推出CH=CD,根据 ∠AFE+∠CFD=180°-∠EFC=120°，∠AFE+∠AEF=180°-∠BAD=I20°，得到LAEF=∠CFH,再根据 相似三角形的判定和性质，即可： (3)设EG=a,根据三角形中位线的性质，则BF=CF,BG=AG,FG‖CA,根据线段的等量关系，可 得BG=AG=2EG=2a,根据∠A=∠CFE=45°，得到∠BGF=∠A=45°，根据 LAFE+∠CFD=180°-∠EFC=120°，∠AFE+∠AEF=180°-∠BAD=120°，可得∠EFG=∠B,根据相似 三角形的判定和性质，可得EF=√3a,过点E作EK⊥BC于点K,则△EFK为等腰直角三角形，根据勾股 √30-√6 定理求出BKFC,,再根据FC 0-2,即可. 2 【详解】(1)解：证明，如下： :四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠A=∠D=90°， ∠AEF+∠AFE=90°， :∠EFC=90°， 52/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DFC+∠AFE=90°， .∠AEF=LDFC, △DFC∽aAEF. (2)解：证明如下： 在AD的延长线上取一点H,使得∠CHD=60°，连接CH, :四边形ABCD是菱形， AD=CD,CDI‖AB, :∠BAD=∠EFC=60°， ∠CDH=∠BAD=60°， :∠CHD=60°， .∠DCH=60°， △DHC是等边三角形， .CH =CD, :∠EFC=60°， ∴∠AFE+∠CFD=180°-∠EFC=120°， :∠AFE+∠AEF=180°-∠BAD=120°， :ZAEF ZCFH :∠BAD=∠DHC, ∴△AEF∽△HFC, EFAF ·CFCH .EF CH AFCF, ∴EFCD=AFCF. D... B (3)解：设EG=a, :FG是△ABC的中位线， 53/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BF =CF,BG=AG,FGCA, :E是AG的中点， .AE EG=a, ∴.BG=AG=2EG=2a, :∠A=∠CFE=45°， .∠BGF=∠A=45°， .∠B+LBEF=∠CFE=45°， ∴.LEFG+∠BEF=∠BGF=45°， ∴∠EFG=LB, ·△EFG∽△EBF, EF EG BEEF EF a 3a EF' .EF =3a. 如图，过点E作EK⊥BC于点K, :△EFK为等腰直角三角形， ∴.EF=V2EK=V2FK, ÷FK=EK=6 a, BK-BE:-EK730 a, FC=BF-BK-FK=30-6a. 2 √30-v6 .FC 2 √10-√2 EF √3a 2 K B E G 19.(2026湖北襄阳·二模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q, 54/121 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 G (I)【特例感知】如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; (2)【问题探究】在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求D9的长： (3)【拓展延伸】如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上. ①试判断CQ与PF的数量关系，并说明理由， @8器手宜找号出爱的 DG 【答案】（①）见详解 (2)4 80c9=2 PF 15 【分析】(1)利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案， (2)利用小问1中的全等，得到新的条件，证明△FGQ兰△CGP,得到CG=FG=3,GQ=GP=5,最后利 用方程思想和相似解出答案 (3)①同小问1中证全等的方法，证△EFP~△ECQ,利用相似三角形对应边成比例解出答案。 ②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次8字模型的相似，求出CP的代数式，第三次 利用相似解出答案 【详解】(1)证明：：点B与点F关于直线AE的对称， .△ABE兰△AFE, BE=EF,∠B=∠AFE, :CE=BE,∠B=∠DCP, ∴CE=EF,∠AFE=∠DCP, .∠EFP=∠ECQ, 在△EFP和△ECQ中， 55/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EFP=∠ECQ ∠FEP=∠QEC, EF=CE △EFP=△ECQ(AAS). (2)解：由(1)知，EQ=EP,EF=CE,∠AFE=∠QCP=∠QFG, .FO=CF, 在△FGQ和△CGP中， ∠QFG=∠QFP ∠QGF=∠CGP, FO=CP △FGQ=aCGP(AAS), :CG=3,G0=5, ..CG=FG=3,GO=GP=5, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,△GCP-△ABP, GC GP 3 5 BP即BA护+8 .AB=AF=CD, 35 CDCD+8'解得CD=12, .D0=CD-CG-GQ=12-3-5=4. (3)①解：：点B与点F关于直线AE的对称， ·△ABE△AFE, BE=EF,∠B=∠AFE, :四边形ABCD是平行四边形，点A、F、P共线， :∠B+∠BCD=180°，∠AFE+∠EFP=180°， .∠EFP=LBCD, :∠FEP=∠CEQ, △EFP~△ECQ, 兴器 CE =2BE,BE EF, 56/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CO CE 2BE =2 PF EF BE ②解：如图所示，延长线段AD交CD的延长线于点H, 0 H CO :PF =2,C9、2 DO CE=2BE, PF =m,BE =n,CO=2m,DO=3m,CE=2n,BC AD =3n,AB AF CD =5m :AD∥BC, △DHQ~△ECQ, DH DO 3 ·CE=c02' .DH=3n,则AH=6n, :AD∥BC, ∴△AFH~△PFE, 4H-45,6”=5m,解得EP= EP PF'EP m 5， 则CP=CE-EP=2n- 6n 4n 5=5 :AD∥BC, △GPC~aGAD, 4n CG=CP-5= 4. DG AD 3n 15 【点晴】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已知条件的相似 三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题 通关特训 1.（2026广东河源模拟预测)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如 图，在e ABCD中，AN为BC边上的高，4D- =m,点M在AD边上，且BA=BM,点E是线段AM上任 AN 意一点，连接BE,将△ABE沿BE翻折得△FBE· 57/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A EM(F) M D 图1 图2 备用图 (①问题解决：如图1，当∠B4D=60°，将aABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则4M AN (2)问题探究：如图2，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM,求∠ABE的度数，并求出此 时m的最小值： (3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD,且AE=MD,请直接写出m的值. 【答案】02 3 (2)2: (3)3√5-1或3√5+1. 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有30°的直角三角形的边长关系，勾股定理，正 确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键， )可得á8AM为等边三角形，则可得仪=，解直角三角形即可解答， (2)可得△ABM为等腰直角三角形，当EF∥BM时，可得∠ABF=45°，当M,D重合时，m最小即可解答； (3)分类讨论，即点F落在BC上方或下方两种即可解答. 【详解】(1)解：：∠BAD=60°，BA=BM, ∴△BAM为等边三角形， AM=AB=BM,∠BAM=60°， :四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC, .∠BAM=∠ABN=60°， AM AB 1 2V3 AW=ANsin60°=3 故答案为：2 3； (2)解：：LBAD=45°，AB=MB, ∴△ABM为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得∠BAE=∠F=45°，∠ABE=∠FBE, :EF∥BM, 58/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠F=LFBM=45°， :∠ABF=∠ABM-LFBM=45°， ∠4BE=244BF=2.59, ADI BC, ∠BAE=∠ABN=45°， :△ABN为等腰直角三角形， 当4M=AD时，C最小即m==2AM2 AN AB AB E M D C (3)解：如图，当F在BC上方时，连接FM,延长FE交BC于点G,则FG⊥BC, A E M D :∠BAD=30°，AD∥BC, G B ∠ABN=30°， 设AN=a,则AB=2a,BN=√3a, :EF⊥AD, 六∠AEB=∠FEB=360°-∠AEF-135, ∠ABE=∠FBE=180°-∠BAE-∠AEB=15°， ∠ABF=30°， AB=BM, .∠ABM=120°， ∠FBM=LABM-∠ABF=90°， BF BM =2a, .FM =22a, 59/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠GFB=30°，FG⊥BC, :GB =a, :∠ANG=∠NGE=∠AEG=90°， “四边形AWGE为矩形， :AE MD=EF NG NB-BG=3a-a, 在直角三角形FEM中，EM=VFM2-EF2=V3a+a, :AD=AE+EM+MD=33a-a, :m=40=35-1, AN 如图，当点F落在BC下方时，过点B作BO⊥AD交于点O, O E 同理可得四边形ANBO为矩形，AN=a,BN=√3a,AB=2a, :∠AEF=90°， ∠AEB=LFEB=45°， :OE=OB=AN =a, AB BM =2a, 0M=√BM2-0B2=V5a, :EM =OM-OE =3a-a,AE=A0+OE=3a+a, :AD=AE+MD+EM =2AE+EM =33a+a, m=4D-35+1 AN 综上所述，m的值为3√5-1或3√5+1. 2.(2026甘肃陇南一模)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在CD边上，连接AE,BE,过点 B作BF⊥AE于点F,∠AED=2∠FBE,AE=CD. 60/121 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)①如图2，当AB⊥BC时，请直接写出AF和DE之间的数量关系： ②如图3，当AB=BC时，试判断AF和DE之间的数量关系，并写出证明过程 【答案】(1)见解析 Q0AP=DE:②4F=DE,见解折 【分析】(1)设∠FBE=a,则LAED=2LFBE=2a,根据平行线的性质、垂直的定义可得 LBEF=90°-a，再根据三角形内角和定理可得LABE=90°-a,即∠ABE=∠AEB,由等角对等边可得 AB=AE,进而得到AB=CD,再结合AB∥CD即可证明结论； (2)①先证四边形ABCD为矩形，再证明△ABF≌△EAD,根据全等三角形的性质即可解答；②先四边形 ABCD为菱形，易得AE=AD;如图：过点A作AM⊥CD于点M,利用等腰三角形三线合一可得 ∠AME=90,ME=DM=DE,再证明&4BP≌EAM可得4F=ME,进而证明结论。 【详解】(1)证明：设∠FBE=a,则∠AED=2∠FBE=2a· :AB∥CD, ·∠BAE=LAED=2a. .BF⊥AE, ∠BFE=90°. ∠BEF=90°-a. 在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠BEF=180°-2a-(90°-a=90°-a, ∠ABE=∠AEB. .AB=AE. 又：AE=CD, :AB CD. AB∥CD, :四边形ABCD为平行四边形. 61/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：①：四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC, :四边形ABCD为矩形， :AD=BC,∠D=∠BAD=90°， ∴.∠EAD+∠AED=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ·∠AED=LBAF BF⊥AE, .∠BFA=∠D=90°， 由(1)可得：AB=AE, .△ABF≌△EAD, .AF DE. ②4F-DE,惠由如下： :AB=BC,四边形ABCD为平行四边形， :四边形ABCD为菱形. :AB=CD=AD. BA=AE, .AE AD. 如图：过点A作AM⊥CD于点M, D AB=AE, 2 DE. .∠AME=90°，ME=DM= :AB∥CD, ∴.∠BAF=∠AEM. :∠AFB=∠AME=90°，AB=AE, ∴△ABF≌△EAM. ∴.AF=ME. 621121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AF= DE 2 3.(2026甘肃平凉一模)解答下列各题： 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点E在线段AB上，点G在CB的延长线上，连接AG、CE.判 断线段AG与线段CE之间的数量关系，并说明理由： (②)如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，连接AG、CE,判断线段AG与线段CE之间的数量关系， 并说明理由； (3)如图3，若四边形ABCD与四边形BEFG都为菱形，且∠GBE=∠ABC=60°，连接AG、CE,猜想线段 AG与线段CE的数量关系及AG与线段CE所在直线所夹锐角的度数，并说明理由. 【答案】(I)AG=CE,理由见解析； (②)AG=CE,理由见解析； (3)AG=CE,AG与CE所在直线所夹锐角的度数为60°，理由见解析 【分析】(1)由正方形ABCD和正方形BEFG证得△ABG≌△CBE,即可求得AG=CE; (2)由正方形ABCD和正方形BEFG证得△ABG≌△CBE,即可求得AG=CE: (3)由菱形ABCD和菱形BEFG证得△ABG≌△CBE,可求得AG=CE,∠GAB=∠ECB,延长CE交AG的 延长线于点H,交AB于点T,再求出LH=LABC=60°即可. 【详解】(1)解：AG=CE,理由： :四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ·BE=BG,AB=BC,∠ABG=∠CBE=90°， △ABG≌△CBE(SAS), :.AG=CE; (2)解：AG=CE,理由： :四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， BE=BG,AB=BC,LGBE=∠ABC=90°， :ZGBE ZABE ZABC-ZABE, .∠GBA=∠EBC, 63/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ABG和△CBE中， BG=BE ∠GBA=LEBC, AB=CB AABG≌△CBE(SAS), .AG=CE (3)解：AG=CE,AG与CE所在直线所夹锐角的度数为60°，理由： :四边形ABCD和四边形BEFG是菱形， :BG=BE,AB=CB, :∠GBE=LABC, :Z GBE ZABE ZABC-ZABE, .∠GBA=∠EBC, 在△ABG和△CBE中， BG=BE ∠GBA=∠EBC, AB=CB △ABG≌△CBE(SAS), AG=CE,∠GAB=∠ECB, 如图3，延长CE交AG的延长线于点H,交AB于点T, :∠ATH=∠CTB,∠H+LATH+∠GAB=180°，LABC+LCTB+∠ECB=180°， 图3 :∠H=∠ABC=60°， :.AG与CE所在直线所夹锐角的度数为60° 4.(2026甘肃定西·一模)如图1，已知正方形ABCD,E是边BC上的一个动点（不与点B,C重合），连接 AE,点B关于直线AE的对称点为点F,连接EF并延长交CD于点G,连接AG,AF. 64/121 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D G E 图1 图2 图3 (I)写出DG与FG的数量关系，并说明理由 (②)如图2，连接CF,若CF∥AG,请探究线段BE与DG之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，过点G作GH⊥AE于点H,连接BH,请写出线段BH与CG的数量关系，并说明理由. 【答案】（①）DG=FG,理由见解析 ②)DG=3BE,理由见解析 (3)CG=√2BH,理由见解析 【分析】(1)由轴对称的性质可知∠EAB=∠EAF,利用全等三角形的性质证明DG=FG, (2)先证明FG=DG=CG,设BE=x,DG=y,则CD=2y,推出EG=x+y,EC=2y-x,根据 EG2=EC2+CG,构建关系式即可解决问题 (3)如图3中，过点H作直线MNI‖AD交AB,CD于M,N.证明△AMH≌△HING (AAS),推出 MH=GN,AM=HN,设MH=GN=a,AM=HN=b,推出BH=√2a,CG=2a即可得出结论. 【详解】(1)DG=FG,理由如下： :四边形ABCD是正方形，点B关于直线AE的对称点为F, AB=AF=AD,∠BAE=∠EAF=3∠BAF，∠B=∠AFE=∠D=90, AG=AG, RIAFG≌R1△ADG(HL), :.DG=FG. （2)DG-E,理由如下 如图2中， 65/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G.CF‖AG, B C E 图2 ,∠AGF=∠CFG,∠AGD=∠FCG, :△AFG≌△ADG, :ZAGF ZAGD, :∠GFC=LFCG, FG=DG=CG, 设BE=x,DG=y,则CD=2y, ..EG=x+y,EC=2y-x, EG2=EC2+CG2, ·(x+y)2=(2y-x)2+y2, ·6xy-4y2=0, ∴.3x-2y=0, y,即DcE 3 (3)结论：CG=√2BH. 理由：如图3中，过点H作直线MN II AD交AB,CD于M,N, 则四边形BCNM为矩形， G:∠EAG=45°，GH⊥AE, B 图3 :AH =HG, :∠MAH+∠AHM=90°，∠AHM+∠NHG=90°， ∴LMAH=∠NHG, :∠AMH=∠HNG=90°， 66/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△AMH≌△HING (AAS), :MH =GN,AM =HN, 设MH=GN=a.AM=HN=b, :MN a+b, 四边形BCNM为矩形，四边形ABCD是正方形， ∴.BC=MN=AB=CD, :AM DN =b, :NC BM =a, BH=√2a,CG=NC+GN=2a, :CG=2BH 5.(2026内蒙古锡林郭勒一模)结合图形，解答下列各题： E G 图① 图② (I)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交 CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG. (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将△AEB沿BE翻折到 △BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求DH的长； (3)在(2)的条件下求AE的长. 【答案】(1)见解析 9 【分析】(1)利用HL证明△BFG≌△BCG(HL)即可； (2)设FH=HC=,则8H=8F+FH=6+,根据勾股定理得出8+=6+，求出x=子即可得 出答案； 67/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)延长BH,AD交于点Q,设FH=HC=x,根据勾股定理求出x,证明△BFG∽△BCH,设 AE=EF=m,则DE=8-m,然后对应边成比例即可求出结果， 【详解】(I)证明：：将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， AB=BF，∠BFE=∠A=90°，∠BFG=90°=∠C, :AB BC=BF, 在Rt△BFG和RtABCG中， BG=BG BF=BC' 故△BFG≌△BCG(HL); (2)解：四边形ABCD为矩形， .∠C=∠A=90°，CD=AB=6,BC=AD=8, 根据翻折可得：AB=BF=6,∠BFE=∠A=90°， 设FH=HC=x,则BH=BF+FH=6+x, 在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2, 82+x2=(6+x2, 解得：x=3 7 :DH DC-HC-: (3)解：如图，延长BH,AD交于点Q, E ------2 G 图② 康据解折2》可符：∠8FG=180-90=90,CH-},8H=6+了=号， ,725 .∠BFG=LBCH=90°， :∠HBC=LFBG, ∴△BCHn△BFG, BF BG FG ·BC=BHHC 68/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 BG FG 8=25=7, 三 3 3 25 7 .BG= 4,FG=4 :在矩形ABCD中，AD∥BC, ∴△EFQ∽△GFB,△DHQ∽△CHB, 图② BC CH DO DH' 83 Dg11' 3 DQ=8 设AE=EF=m, 则DE=8-m, :E0=DE+D0=8-m+8-14-m, 77 :△EFQ∽△GFB, EO EF “BGFG 144 一1m 25 =7 × 9 .m= 9 :AE的长为 6.(2026河南许昌一模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 69/121 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B-- 图1 图2 备用图 (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF，将△ABE沿AE翻折得到 △AME,将CDF沿CF翻折得到aCNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形AMCN的 形状，并给出证明， (3)【拓展应用】 在(2)的条件下，若AB=10,BC=12,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的长. 【答案】()菱形 (②)四边形AMCN是平行四边形，证明见解析 ③BE的长为兮或 10或10W5 3 【分析】(1)根据折叠的性质和矩形的性质，易得AE=CE,AF=CF,△AEF是等腰三角形，从而可得 AE=AF=CE=CF,即可求解； (2)根据矩形的性质和折叠的性质，易证AM=CN,再利用“SAS”证△EMC≌△FAN,从而MC=AN,最 后根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可求证； (3)根据题意，设BE=x,则ME=x,分类讨论，当直线MN∥AB时，直线MN分别交AD、BC于点P、 Q,先说明Q是BC的中点，从而BQ=CQ=AP=6,再求MP=8,M0=2,EQ=6-x,根据勾股定理， 列出方程求解即可；当直线MN∥BC时，直线MN分别交AB、CD于点G、H,作MT⊥BC于点T,同 上先说明G是AB的中点，求AG=GB=5,再求BT=MG=5√5，ET=5√3-x,可根据勾股定理，列出 方程求解即可 【详解】(1)解：由折叠可得，AE=CE,AF=CF,∠AEC=LCEF, :矩形纸片ABCD, :AF∥BC, 70/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·LAFE=∠CEF, ·∠AFE=∠AEF,即△AEF是等腰三角形， ·AE=AF, AE=AF =CE=CF, ·四边形AECF的形状是菱形： (2)解：四边形AMCN是平行四边形， 证明：：矩形纸片ABCD, ·AB=CD,AD=BC,∠B=∠D=90°， BE DF, :△ABE≌△CDF(SAS), ·∠AEB=LCFD, 由折叠可得，AME≌△ABE,△CDF≌aCNF, ·AM=AB,CN=CD,ME=BE,NF=DF,∠AEM=∠AEB,LCFN=LCFD, BE=DF,AB=CD, ·ME=NF,AM=CN, EC =BC-BE,FA=AD-DF, :.EC=FA, :∠MEC=180°-∠AEB-∠AEM=180°-2LAEB,∠NFA=180°-∠CFD-∠CFN=180°-2LCFD, ·∠MEC=∠NFA, 在△EMC和△FAN中， ME=NF ∠MEC=∠NFA, EC=FA :△EMC≌△FAN(SAS), :MC=AN, AM =CN, :四边形AMCN是平行四边形； (3)解：第一种情况，当直线MN∥AB时，如图①，直线MN分别交AD、BC于点P、Q, 711121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D 矩形纸片ABCD, B E O 图2① ·AB∥CD,LB=90°， :MN∥AB, 四边形ABQP是矩形， :AP=BQ,P0=AB=10,∠APQ=∠BQP=90°， :四边形AMCN是平行四边形 :S.AMN =S.CMN AP.MN--CO.MN. 2 :AP=CO, BQ=CQ,即Q是BC的中点， :BC=12, BO=CO=AP=6, :AB=10, :.AM=AB=10, 在Rt△APM中，MP=√AM2-AP2=V10-62=8, MO=PO-MP=2, 设BE=x,则ME=x,EQ=6-x, 在Rt△EMQ中，EM2=MQ+EQ2, 则产-246-，解得x-9 即BE= 3 第二种情况，当直线MN∥BC时，如图②，直线MN分别交AB、CD于点G、H,作MT⊥BC于点T, 72/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H B E 图2② 同第一种情况可得，G是AB的中点，即AG=GB=AB=5, 在Rt△AGM中，MG=VAM2-AG2=V102-52=55, :MT⊥BC,∠B=90°， :MT∥AB, :MN∥BC, ·四边形MTBG是矩形， ·BT=MG=5V3,MT=GB=5, 设BE=x,则ME=x,ET=5V3-x, 在RtAETM中，EM2=MT2+ET2, 则x=52+55-x了，解得x=105 3 即BE=10 3 综上所述：BE的长为”或0 3 31 7.(2026江苏淮安一模)【问题情境】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A,B,CD,与正 方形ABCD的边长相等，在正方形A,B,C,D,绕点O转动过程中，AB与OA,交于点E,BC与OC,交于点F, 记两个正方形重叠部分的面积为S, E B B C 图1 图2 (I)【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形A,B,CD,绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S 73/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是一个定值.设两个正方形的边长为m,请你写出这个定值并证明 (2)【问题解决】在图1中，若AE=1,CF=3,求C,F的长， (3)【深入探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且∠EPF=90°，PC=3PA ,将∠EPF绕点P旋转，旋转过程中，∠EPF的两边分别与AB和BC交于点E,F.在∠EPF的旋转过程中， 求PE与PF存在怎样的数量关系. 【答案】(1)定值为二m2,见解析 (2)4-V5 = 【分析】(1)在△OEB和aOFC中，利用正方形的性质和已知可证出△OEB≌aOFC(ASA,再利用全等三角 形的面积相等即可得结论； (2)根据全等三角形的性质得到BE=CF=3,由此得到正方形边长为4，过点O作OH⊥BC于H,得 OH=BH=CH=2,求出FH=1,利用勾股定理求出OF=√5，即可得到C,F=4-V5: (3)过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,利用相似三角形的性质证明即可. 【详解】(1)定值为，m2,理由如下： 4 证明：在正方形ABCD和正方形A,B,C,D,中， 4c=B0,08-8D,oc-54c. ∠AB0=∠BC0=45°，∠B0C=∠A0C1=90°， :.∠BOC-∠BOF=∠A,OC1-∠BOF .LEOB=∠FOC, 在△OEB和△OFC中， ∠AB0=∠BC0,B0=CO,∠EOB=∠FOC, ∴.△OEB≌aOFC(ASA, S.OEB =S.OFC 1 1 ÷S,0EB+S,06r=S,Orc+S08r=S,O8c=1SE方形HCD=m2, 4 :两个正方形重叠部分的面积S是定值一m2. 74/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知△OEB≌aOFC(ASA), .BE =CF=3, BC=AB=1+3=4, :正方形ABCD的对角线相交于点O, .OB=OC,∠B0C=90°， 过点O作OH⊥BC于H, ..OH=BH =CH=2, FH=3-2=1, .0F=V0H2+FH2=V4+1=V5, C,F=4-V5; A E OD) B B 3)解距莲南下： 过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N :四边形ABCD是正方形， :∠BAC=∠BCA=45°， :PM⊥AB,PN⊥CB, ∴△AMP,△PNC是等腰直角三角形， .△AMPn△PNC, AP:PC=1:3, :PM CN =PM PN =1:3, :∠PMB=∠B=∠PNB=90°， .∠MPN=∠EPF=90°， :ZMPE ZNPF :∠PME=∠PNF=90°， 751121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △PME∽aPNF, PE PM 1 PF PN3 Mh. N F 8. (2026江西宜春一模)综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动.如图，在ABC中， ∠ABC=90°，A为斜边AC的中点，△AB'C'2△ABC,AC'与AC所在的直线重合，将△A'B'C'绕点A旋转得 到△A'OD, B A' G D 图1 图2 图3 操作发现： (1)如图1，顺时针旋转一定角度，记A'D和A'O分别与BC交于点E,F,当A'D⊥AC时，猜想EF和A'F的 数量关系为 ,并证明你的猜想； (2)如图2，继续旋转一定角度，当线段AD经过点B时，连接BO,若LA=60°时，试判断四边形AA'OB的 形状，并证明你的结论； (3)实践探究： 在整个旋转过程中，当边OD在AC下方，AB=6,BC=8时，设线段A'O与直线BC交于点G,直线BC交 射线DO于点H,连接AH ①如图3，若△A'OD的直角边A'0恰好与AC垂直，请求出AH的长； ②若△A'OD的直角边OD恰好与AC垂直，请直接写出AH的长. 【答案】(I)EF=A'F,证明见详解 (②)四边形AA'OB是菱形，理由见详解 76/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)①A'H=3V5;②A'H= 3√65 【分析】(1)根据旋转的性质可知∠A'EC=∠EA'F,再根据“等角对等边”得出答案： (2)结合己知可得AB=A'0,再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得AB∥A'O,可得结论； (3)①当A014C时，根据勾股定理，得AC=10,再根据中点定义得AC=AC=5,结合 是-子得an∠4C8-积-}，即可求出40，建而求出G0,然后证明ACOD,可 tan∠ACB=AB、3 tan∠GH0=tan∠ACB=G0_3, H041 ，可求H0,最后根据A'H=√A'02+OH2得出答案： ②当OD⊥AC时，设AD交BC于点I,可得AB∥A'D,再说明△A'IC∽△ABC,结合中点的定义求出OG, HO GO 然后证明△HG0∽△A'G1,可得 7G 即可求出HO,最后根据勾股定理得出答案， 【详解】(1)解：EF=AF; 证明：A'D⊥AC, ∠A'EC+∠A'CE=90°， :△ABC≌△A'B'C', .∠B=∠B'=90°，∠C'=LA'CE, 根据旋转的性质，得∠B'=∠O=90°，∠D=∠C', .∠D=LC'=∠A'CE, ∠D+∠EA'F=90°， ∠A'EC=LEA'F, :EF=A'F (2)解：四边形AA'OB是菱形 证明：在Rt△ABC中，：A是边AC的中点，∠A=60°， :AA'=A'B, ∴.∠A=∠ABA'=60°， 二△ABA'是等边三角形， :AB=AA', △ABC≌△A'B'C', ∠A=∠B'A'C,AB=AB, 根据旋转的性质，得∠B'A'C'=LBA'O,A'B'=A'O, ∠A'BA=∠BA'0,AB=A'0, 77/121 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB∥A'O, :四边形AA'OB是平行四边形， AB AA', ∴.平行四边形AA'OB是菱形： (3)解：①当A01AC时， AB=6,BC=8, 根据勾股定理，得AC=V6+82=10 :A是AC的中点， :.AC=TAC=5, 在R1aABC中，tan∠ACB=AB_3」 BC 4' tan∠ACB=A'G-3 A'C 4' A'G=5 由旋转的性质得A'0=A'B'=AB=6, :G0=A0-AG=4' 9 :∠GA'C=∠0=90°， A'C∥OD, ∠GH0=∠ACB, tan∠GH0=tan∠ACB=G0_3 H041 9 h0=号=3， 4 AH=VA'02+0H2=V62+32=3V5 ②当OD⊥AC时，如图，设AD交BC于点I,点G与点C重合， 78/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H B G :∠A=∠CA'D, D ∴.ABA'D, △A'IC∽△ABC, 4-4c,1c AB AC BC :A为4AC的中点，则4C=AC=5, 2 .41=AB=3,GI=CI=-BC=4,AG=4C= AC=5, 0G=A'0-A'G=1, :AB∥A'D, ∠B=∠A'IG=90°， OD⊥AC, ∠H0G=LA'IG=90°， :∠HG0=∠A'GI, △HG0n△A'Gl, HO GO AI GI 即H0=G041_1x3_3 G 44 .AH=A'O2+OH? 3V65 4 9.(2026山西晋中.一模)综合与探究： 【问题情境】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,将△BCD绕点B按逆时针方向旋 转得到△BC'D',C,D两点旋转后的对应点分别为C,D,旋转角为a(0<a<180). 79/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (C)A D 图1 图2 图3 (I)【操作验证】如图1，当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边三角形 (②)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，C'D'∥BD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED'的形状， 并说明理由， (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC'与AB重合时，连接CD'.若AB=3,BD=2,请你直接写 出线段CD'的长 【答案】()见解析 (②)四边形BDED'为菱形，见解析 3)V209 【分析】(1)结合菱形的性质，得AC⊥DB,DO=BO,运用旋转的性质得BD'=D'D=BD,故△DBD是 等边三角形； (2)根据四边形ABCD是菱形，得∠ADB=∠CDB,由旋转的性质得BD=BD',LD'=∠CDB,再证明四边 形BDED'为平行四边形，又因为BD=BD',故四边形BDED'为菱形， (3)运用菱形的性质以及旋转的性质得AB垂直平分线段DD',然后结合勾股定理列式得 9-x2=22-(3-x,解得x,即可求得DE,然后在RtACDD'中，运用勾股定理列式计算，得CD'. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， AC⊥DB,D0=B0, .BD'=D'D :旋转， .BD'=BD, .BD'=D'D BD △DBD'是等边三角形； (2)解：四边形BDED'为菱形，理由如下： :四边形ABCD是菱形， AD=CD,BD⊥AC, 80/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADB=∠CDB, 由旋转的性质得BD=BD',LD'=LCDB, ∠D'=∠ADB, :CD'∥BD, ∠D'+∠DBD'=180°， .∠ADB+∠DBD'=180°， :BD'AD :CD'∥BD :四边形BDED'为平行四边形， BD BD' :.四边形BDED'为菱形； (3)解：连接DD交AB于点E, D (C)A E D 由题意知AD=AD',BD=BD', :AB垂直平分线段DD', DE=D'E,∠BED=90°， ∠BDE+LDBE=90° 由菱形知，AB‖CD,AB=CD=3, ∠CDB=∠DBE, LCDB+∠BDE=90°， .∠CDD'=90°， 设AE=x,则BE=3-x, 在RtAADE中，DE2=AD2-AE2=32-x2=9-x2, 在Rt△BDE中，DE2=BD2-BE2=22-(3-x2, 即9-x2=22-(3-x2, 81/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的子 DE2=9 7 32 3 DE=4 ∴.D'D=2DE= 8V2 3八， 在RtACDD'中，CD'= 82 V209 32 3 10. (2026湖南株洲一模)在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原 多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所 得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度O,记为O(k,),如果是顺时针旋转一个角度O,则O记 为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比， Θ叫做旋转角. D 图1 图2 图3 (1)填空： ①如图1，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ADE,这个旋 转相似变换记为A(，）； ②如图2，ABC是边长为2cm的等边三角形，∠BAC=60°，将它作旋转相似变换AV2,90,得到ADE ,则线段BD的长为 cm. (②)如图3，ABC经过B(k,a得到△EBD,又将ABC经过C(k2,-B)得到△FDC,连接AE,AF,求证： AE=DF. 【答案】(1)①2,60°：②2V3 (②)见解析 821121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换A√2,90），得到∠BAD=90°，再通过勾股 定理解答即可： (2)根据ABC经过B(k,a得到△EBD,得到△ABCn△EBD,得到LABC=LEBD, BE BD ;根据 AB BC 4BC经过C(k,-B)得到△FDC,得到*ABCFDC,得到5-BC从而得到织-DE, FD DC BCDC:由 LABC=LEBD得∠ABC+LDBA=LEBD+LDBA即∠EBA=∠DBC结合BE=D得到EBADBC得到 AB BC AB AE BC DC ，继而得到E=D DC DC 得到AE=DF, 【详解】(1)解：①根据新定义的意义，得答案为A(2,60); ②根据旋转相似变换A√2,90°)，得到LBAD=90°，AD=√2AB, :△ABC是边长为2cm的等边三角形， AB=2,AD=√2AB=2V2, :BD=4B2+AD2=23(cm). (2)证明：？ABC经过B(k,a)得到△EBD, :△ABC∽△EBD. .∠ABC=LEBD, BE BD AB BC :ABC经过C(k2,-B)得到△FDC, △ABC∽△FDC. AB BC FD DC AB DF BC DC :∠ABC=∠EBD, LABC+∠DBA=LEBD+∠DBA即LEBA=LDBC, BE BD AB BC △EBA∽△DBC. AB AE BC DC AE DF DC DC 83/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴AE=DF 11.(2026广东深圳一模)如图1为正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. D D E G E G 图1 图2 图3 (I)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由； (2[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的 关系，并说明理由： (3)[应用]：在(2)问的情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE‖AB,且AB=√5，AE=1,求DG的 长 【答案】(I)DG=BE,DG⊥BE,理由见解析 (2)DG=2BE,DG⊥BE,理由见解析 (3)DG=4 【分析】(I)由正方形证明△GAD≌△EAB(SAS),得到DG=BE,DG⊥BE: (2)由矩形得到∠GAD=∠BAE=90°-∠DAE,结合AD=2AB,AG=2AE,得到△GAD∽△EAB,即可得 DG-4G=2.DG-2BE,DG LBE BE AE (3)GE交AD于点O,先求出GE=√5，再由GEI AB,得到∠BAD=∠G0A=90°，即可求出 40=4GAE_2x125 GE 万，OD-5,0G=45,最后根据阿服定理求DGV0G2+oD正 5 【详解】(I)解：DG=BE,DG⊥BE,理由如下： :正方形ABCD和正方形AEFG, ÷AG=AE,AB=AD,∠GAE=∠BAD=90°， ∴.∠GAD=∠BAE=90°-LDAE, .△GAD≌△EAB(SAS), .DG=BE 延长BE交DG于点H,记BH与AD的交点为O, 84/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H G E A :△GAD≌△EAB, ∠GDA=LEBA, :∠DEH=∠BEA, .∠DHE=∠BAE=90°，即DG⊥BE: (2)解：DG=2BE,DG⊥BE,理由如下： :四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∠GAE=∠BAD=90°， ∠GAD=∠BAE=90°-∠DAE, AD =2AB,AG =2AE, AD AG AB AE =2 △GAD∽△EAB, DG。AG BE AE -2· .DG=2BE; 延长BE交DG于点H,记BH与AD的交点为O, D H :△GAD∽△EAB, .∠GDA=∠EBA, :LD0H=∠B0A, ∠DH0=∠BA0=90°，即DG⊥BE: (3)解：如图，GE交AD于点O, 85/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B :AB=5,AE=1, .AD=24B=25,AG=2AE=2, GE=√AG2+AE2=√22+1P=V5, :GE‖AB, ∠BAD=∠G0A=90°， Suo-AG-AE-AO-GE 1 2 :40=4G4E=2×1_25 GE 55 0D=4D-40=2525=,0G=VAGA0=2'26 45 5 5 .DG=0G2+0D 45)2 ,85 12.(2026四川成都·二模)如图，在口ABCD中，∠ABC=120°，边CD绕点C顺时针旋转a度至CE (0°<a<I20),连接BE、AC、BE分别交CD、AC于点F、G. 备用图 (1)【特例感知】当a=60°时，证明：AC=BE; ②【间题探究】在I)的条件下，若DF=写DC,D=4,求EF的长度： 句【拓展延们】若C=1B,F=mDC,当∠E=∠C4D时，求的值。（用含m,的代数式表 示) 【答案】()见解析 86/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q26 3 (3)n2(2-m） 【分析】(1)根据平行四边形的性质以及旋转的性质证明△ABC≌△ECB(SAS)即可： (2)连接DE,过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T,先得到点A,D,E三点共线，然后证明 △DEF∽△CBF,求出DE=2,则CE=2,然后解Rt△ECT,求出ET=√3，CT=1,再对RtaBTE运用 勾股定理求解BE,最后根据比例线段求解即可； (3)设AB=CD=X,则BC=mx,DF=mx,由平行可得△ABG△CFG,求出BG=,1BF,再证明 2-m △CBG∽△EBC即可： 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, :∠ABC=1209 .LBCD=180°-∠ABC=60° 由旋转可得，CD=CE,∠DCE=a=60° AB=CE,∠BCE=∠BCD+∠DCE=120°=∠ABC, BC=CB .△ABC≌△ECB(SAS, .AC=BE (2)解：连接DE,过点E作ET⊥BC交BC延长线于点T, D E B :CD=CE,∠DCE=60°， △DCE为等边三角形， ∴DE=CE,∠CDE=60°， :在ABCD中，∠ABC=∠ADC=I20 ∴∠ADC+∠CDE=180 .点A,D,E三点共线， 87/121 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :在ABCD中，AD∥BC,AD=BC=4 .△DEF∽△CBF DF DE EF CF BC BF DF=DC DF DE 1 EF CF BC 2 BF .DE=2 CE=2, :∠BCE=120 ∠ECT=180°-∠BCE=60 :ET⊥BC ET=CExsin∠ECT=V3,CT=CEx cos∠ECT=l, .BT=BC+CT=5, BE=VBT+ET:=+(3)=27 EF 1 =2 3 (3)解：：BC=nAB,DF=mDC, 设AB=CD=X, 则BC=nx,DF=mx .CF=CD-DF =(1-m)x AB∥CD .∴△ABG∽△CFG AB BG 1 ·CF=FG1-m)x1-m BG 1 BF2-m 一BF :BG=2-m :平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∠CAD=∠BCG, 881121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠E=LCAD .∠E=∠BCG, :∠CBG=LEBC ∴.△CBG∽△EBC BC BG EBBC .BC2=BGx BE .BC2= 1BF×BE 2-m BC nAB nCD .n2CD2= 1BF×BE 2-m BF.BE n2 ·CD2 1 -=n2(2-m 2-m 13.(2026辽宁铁岭三模)【探究】 D F B F 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6.点D在边AB上，连接CD,过点A作 AF⊥CD于点E,交边BC于点F. ①求证：∠CAF=LADC; ②如图2，点F为边BC的中点，求 的值： CD 【应用】 (2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D在边AB上，点F在边BC上，连接FD, 过点B作BE⊥AB交FD的延长线于点E,若BE=BA,∠ACB=2∠BFD,求BD的长. 【答案】1①见解析：②5- CD 3 (2)BD=4 【分析】(1)①通过直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等，证明∠CAF=∠ADC;②先利 用勾股定理算出RtAABC的斜边BC=I0,再根据直角三角形斜边中线性质得到AF=FC=5,推出 ∠FAC=∠ACF,结合已证的LADC=LEAC,得到∠ACB=∠ADC,进而证明△BAC∽aCAD,利用相似三 89/121 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角形对应边成比例求出CD=，最终算出 F 2 D 的值为 (2)过点F作FM‖AC交AB于点M,利用平行线性质得到角相等，结合BE⊥AB推出BE MF,再由 ∠ACB=2∠BFD推导出∠BFD=∠MFD,进而得到BE=BF=BA=8;通过△BFM∽aBCA求出FM和BM的 长度，再利用△DFM∽△DEB的相似比，最终算出BD的长. 【详解】(1)解：①：AF⊥CD, ∠AEC=90°， .∠ACE+∠EAC=90°， :∠BAC=90°， ∠ADC+∠ACE=90°， .∠CAF=∠ADC; ②在Rt△ABC中，∠BAC=90°， :.BC:=AB'+AC2 :AB=8,AC=6, BC=10, :在Rt△ABC中，∠BAC=90,BF=CF=BC, :.AF=BC=5, 2 :AF=FC ∠FAC=LACF, :∠ADC+∠ACD=∠EAC+∠ACD, .LADC=∠EAC ∠ACB=∠ADC, ∴.∠BAC=∠CAD=90°， △BAC~aCAD, BC BA CD CA 108 ‘CD6 CD=15 2’ AF=5, 90/121 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF2 CD 3 (2)解：过点F作FMI‖AC交AB于点M, E :LCAB=∠BMF=90°，∠ACB=∠MFB B :BE⊥AB LABE=LBMF=90°， :BE /MF, ∠BED=∠DFM, :∠ACB=∠MFB,∠ACB=2∠BFD, ∠BFM=2∠BFD, :∠BFM=∠BFD+∠MFD, .∠BFD=∠MFD, :∠BED=∠BFD :BE BF, BE=BA,AB=8. :BF BA=8, .FM II AC, △BFM∽△BCA, PM-BFB,即M-S=BM, AC BC AB 6108 FM=24,BM=32 :FMI‖BE, ∴.△DFM∽△DEB, FM DM EB BD 2432-BD 点=5 8 DB .BD=4. 91/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(2026湖北十堰模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为 射线BP上的一点（点E与点B不重合）· 4 图① 图② 备用图 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，求LPBC并说明线段BP与线段AC的位置关系； (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的 数量关系，并说明理由； (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长 【答案】(I)LPBC=30°，BP⊥AC (2)CE=2BE,理由见解析； )P的长为2或10 【分析】(1)根据菱形的性质证明ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案， (2)把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE, BE=EQ,求解∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，∠EQC=150°-60°=90°，可得 ∠ECQ=90°-60°=30°，进一步可得结论： (3)如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H,证明HABBEG,可得4-B AB EG ,设FG=x, 则EF=BE=2x,可得AH-9,证明APHCP9,再进步解答即可；如图，当P在线段OC上时，延 长AD交BP于H,同理可得：△BAH∽△GEB,设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m,可得 AH=10,证明△APH∽aCPB,再进一步可得答案. 【详解】(1)解：：在菱形ABCD中， ∴AB=BC=CD=AD, :∠ABC=60°， ABC为等边三角形， :点P与线段AC的中点O重合， ∠PBC=ABc=30,8P14C, 92/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, y 0 .BE=B0,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, :.△BEQ为等边三角形， :∠BEQ=60°=∠BQE,BE=E0, :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， LAEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， ∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， .∠EQC=150°-60°=90°， .∠ECQ=90°-60°=30°， CE=2EO=2BE; (3)解：如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H∠D G :AH∥BC, ∠AHB=LCBH, :∠ABC=60°， ∠BAD=120°=∠BEG, △HAB∽△BEG, AH BE AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, .EG =3x, 2xAH 3x5 93/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5-”, :AD∥BC, △APH∽aCPB, :班、P BC PC 10 Pc=5=3 :ABC为等边三角形， ∴.AC=AB=5, 4AP=5x2=2, 5 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, H 同理可得：LH=∠PBC,∠BAH=∠BEG=I20°， ∴△BAHD△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, 片AB=EG、m1 AH BE2m= AH=10, 同理：△APH∽△CPB, APAH CP BC -2 ·AP=5x2=10 33 综上：4P的长为2或10 15.(2026重庆秀山一模)如图，在ABC中，AC=BC. 94/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ACB=60°，将AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD,连接AD,BD,求∠ADB的度数； (2)如图2，若LACB=90°，将AC绕点C顺时针旋转a(0°<a<90)得到线段CD,连接AD,BD,点E是 AD的中点，连接CE交BD于点F,用等式表示线段CF,BF,DF之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若∠ACB=I20,将AC绕点C旋转得到线段CD,连接BD,当BD取最大值时，在直线BC上 取一点M,连接AM,将△MAB沿AM翻折到ABC所在的平面内，得到△MAN,连接DN.当DN取最 小值时，直接写出3.C ScDN的值. 【答案】(1)30°； (②)理由见解析： S.CDN=3-1. S.Bc 【分析】(1)通过旋转性质可得CD=AC=BC,∠ACD=30°，则∠BCD=90°，∠CBD=LCDB=45°， 求出∠CDA=∠CAD=75°，所以∠ADB=LCDA-∠BDC=30°； (2)过C作CG⊥CF交BF于点G,则LACE+∠ACG=90°，再证明△CDF≌ACBG(ASA),所以 DF=BG,CF=CG,通过勾股定理得FG=√2CF,则BF=BG+FG=DF+√2CF; (3)根据题意得点D在以C为圆心，AC长度为半径的圆上运动，则当B、C、D三点共线时，BD有最大 值，由折叠性质可得：AB=AN,故有点N在以A为圆心，AB长度为半径的圆上运动，所以当A、C、N三 点共线时，DN有最小值，设CD=AC=BC=a,过C作CG⊥AB于点G,过C作CH⊥AD于点H,则 ∠AHC=LAGC=90°，求得AH=DH-4,CH=5， )a4GEa所以DN=AN-AD=N3-a 然后通过Scw=2 NXCH 即可求解 1 ABXCG 2 【详解】(1)解：如图， 95/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD, .CD=AC=BC,LACD=30°， .LBCD=90°，∠CBD=∠CDB=45°， ∠CDA=∠CAD=180°-∠ACD =75°， 2 :∠ADB=∠CDA-∠BDC=30°； (2)解：CF,BF,DF之间的数量关系为：BF=DF+√2CF, 证明：过C作CG⊥CF交BF于点G,则∠ACE+∠ACG=90°， B :∠ACG+∠BCG=∠ACB=90°， .ZACE ZBCG, 由(1)得CD=AC, :E是AD的中点， .ZACE ZDCE, .LDCE=∠BCG, CD=AC=BC, .LCDB=∠CBD, △CDF≌△CBG(ASA), .DF=BG,CF=CG, .FG=√2CF, ∴BF=BG+FG=DF+V2CF: (3)解：如图， 96/121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G B CD=AC=BC, :点D在以C为圆心，AC长度为半径的圆上运动， :当B、C、D三点共线时，BD有最大值， D M A B 由折叠性质可得：AB=AN, :点N在以A为圆心，AB长度为半径的圆上运动， :.当A、D、N三点共线时，DN有最小值， 设CD=AC=BC=a, ∠ACB=1209, .∠ACD=60°， 97/121 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△ACD是等边三角形， .AC =CD=AD=a, 如图，过C作CG⊥AB于点G,过C作CH⊥AD于点H,则LAHC=∠AGC=90°， D M B G AH=DH=a, :CH=AC2-AH2 /a2 12 (2 :AC=BC=a,∠ACB=1209, ∠CAB=∠CBA=30°， :.CG-1AC-a, 1 2 2 AG=AC2-CG2 :AB=2AG=3a, AN=AB=√3a, :DN=AN-AD=(3-1)a, NXCH 2 x(-1lax 2 1 2=5-1 ABxCG 2 Scm的值为5-1 98/121 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(2026山东临沂·二模)如图①，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作 DE∥BC交AC于点E. 图① 图② 图③ 图④ (I)求证：BD=√2CE; (②)在同一平面内，将ADE绕公共顶点A逆时针旋转，连接BD,CE. ①如图②，当点D在ABC内部时，判断(1)中的结论是否仍然成立？ ②如图③，当ED⊥BD时，设线段CE交BD于点F,连接AF,判断四边形AFDE的形状，并说明理由： ③如图④，当点D在ABC内部时，设射线BD与线段CE交于点G,且CG=2EG,若BC=4,求线段CE的 长 【答案】（①）见解析 ②0(1)中的结论仍然成立：②四边形AFDE是正方形，理由见解析：③5 5 【分析】(1D先证明AE=DE,设4B=2a,求出AC=BC=2AB=2a,4D=BD=a, 2 AE-DE= 2a,CE=AC-AB=2。 a,即可证明； 2 (2)①由旋转的性质易证∠C4E=LB4D,限据△AED,aABC都是等腰直角三角形，得到4E=4C-2 AD AB 2 即可证明ACE4BD,推出D-4-V万，即可得出结论：②四边形AFDE是正方形，设CE,AD交点 CE AC G,同理①得△ACE∽△ABD,证明CE⊥DA,△DEF是等腰直角三角形，易证四边形AFDE是平行四边形， 再根据∠EDF=90°，AE=DE,即可得出结论；③同理①得△ACE∽△ABD,设EG=x,CG=2x,易证 A,B,C,G四点共圆，取AB中点为O,则⊙O为四边形ABCG的外接圆，连接AG,在BD上取点H,使得 BH=2DH,连接OH,设AC,BG交点为Q,过点H分别作AB,AD的垂线，交AB于点N,交AD延长线 于点M,连接0D交AH于点K,则LAGB=90°，求出AC=BC=4,AB=V2BC=42,AD=AB=2V2 2 ，AE=DE=Y5AD=2,OA=OB=22,根据AACB0AABD,证明A4 GE&AHD,AAHG是等腰直角 三角形，求出S4OH=S.AHD,易证AH平分LDA0,即LDAH=∠O4H,再证明△DAH≌aOAH(SAS),得 到∠BH0=90°，利用勾股定理即可求解 【详解】(1)证明：：等腰直角ABC中，∠ACB=90°， .∠A=∠B=45°， 99/121 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE∥BC, .∠AED=∠ACB=90°， ∠ADE=45°， :AE DE, 设AB=2a, .AC=BC= AB-2a :点D是AB的中点， :AD BD =a, AE=DE= 20, CE=AC-AE= 20, BD a CE2】 =V ,即BD=√2CE; 2 (2)解：①(1)中的结论仍然成立， :∠EAD=∠CAB=45°， ∠EAC+LCAD=∠CAD+∠BAD=45°， ∠EAC=∠BAD, :△AED,△ABC都是等腰直角三角形， E-4C-2 AD AB 2 △ACE∽aABD, BD AB =√2， CE AC :BD=2CE ②四边形AFDE是正方形，理由如下： 设CE,AD交点G, B 同理①得AACE∽△ABD, .∠ACE=LABD, 100/121命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押08湖北省卷中考数学第23题（解答题） 押题预测 。考点1旋转类几何综合 1.(2026湖北荆州一模)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AB至A,使AB=AB,过点A作 A'C'⊥CB交CB的延长线于点C 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABC≌△ABC; (②)若BC=5,AC=3,将图1中的△A'BC'绕点B逆时针旋转到如图2，当AC'∥BC时，请求出CC'的长； (3)如图3，将图1中的△A'BC'绕点B逆时针旋转，连接AA'交直线CC'于点D,求证：AD=A'D. 2.(2026湖北襄阳一模)ABC中，∠ABC=90°，将ABC绕点A旋转得到ADE,连接CE、BD. H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABD~△ACE; (2)如图2，BD交AC于点N,点N为AC的中点，AB=3,BC=4,求线段CE的长： (3)如图3，点N为AC的中点，延长ED分别交AC、BC于H、F. ①求证：BD∥AB,②当CE=时，直接写出N的值. BF 2 AN 3.(2026湖北模拟预测)如图1，已知Rt△ABC,AB=AC,∠BAC=90°.点D,E分别在AB,AC上， AD=AE,连接DE,将ADE绕点A顺时针旋转∠a(O°<a<90),连接BD,CE. 1/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D D B 图1 图2 图3 (1)求证：BD=CE; Q如图2，当CE的延长线经过点D,若AD-子5，B-片5，家CE的长： (3)如图3，当CE的延长线经过AB的中点F,与BD交于点G,AD=AB,求tan∠BCG的值 2 4.(2026湖北一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，将ABC绕点A逆时 针方向旋转，得到△AEF(点B的对应点为点E,点C的对应点为点F)· D G 图1 图2 图3 (I)在图1中，连接BE,CF,求证：△ABE∽aACF; (②)如图2，当点F落在AD的延长线上时，延长FE交BC于点G,求GE的长； (3)如图3，当点E落在矩形的对角线BD上时，延长FE交AC于点H. ①求证：AD平分LFAC; ②直接写 AH的值， A 5.(25-26九年级下·湖北鄂州期中)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C逆时针旋转，得到 △DEC,旋转角为B(0°<B<90),点A的对应点D落在ABC内部，连接AD、BE, B B G E 图(1) 图(2) 图(3) 2/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图(1)，求证：BE⊥AD (2)如图(2)，若直线AD与BE交于点F,线段DE的中点为O,连接OF.当AC=2,且BE=2AD时， 求OF的长 (3)如图(3)，直线DA与BE、BC交于点F、M,过点E作AF的平行线交直线AC于点N,过点F作AC 的平行线交直线NE于点G,且BC=k·MC,DE与BC交于点H. OC的值（用含k的式子表示）· AC ②当-时，若k=2,请直接写 的值。 FG9 HE ◆考点2翻折类几何综合 6.(2026湖北孝感.一模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点 F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. G G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CEQ∽△FEP: (2)如图2，当CE=BE时，点P在BC延长线上，若CG=3,QG=5,求QD的长； 图如图3，当CE=2BE时，点P在BC边上，若号-直接写出C的雅 DG 7.(2026湖北荆州模拟预测)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE, 点C的对称点F落在口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF交AB边 于点M· A D A M G H B 图1 G 图2 (I)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长； 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，当BE=2CE时，点H在BC边上.若 子卓婆号出的雀。 AM 3 8.(2026湖北咸宁，模拟预测)如图1，在正方形ABCD边BC上有一动点E,连接AE,将aABE沿AE折 叠，点B的对应点为点B,连接EB'并延长交线段CD于点F,连接AF,过点B作BG⊥AB,垂足为点G B G E 图1 图2 (1)①求证：△ECF∽△AGB'; ②求证：△ADF≌△AB'F; (2)如图2，若正方形边长为m. ①求△CEF周长； ②填空：若BE= 则△AB'G的周长为 9.(2026湖北随州一模)如图，M、N分别是菱形ABCD的AB、CD边上一点，将四边形BCNM沿MN 折叠得四边形MNFE,EF经过点A(注：折叠后EM∥NF)· G 图1 图2 图3 (I)若点F在菱形ABCD内部，延长NF交AD于点G,求证：△AEM∽△GDN; 2若AB=5,tanB=音AE=AM,求BM的长： 6)当2∠E+∠EHD=270°且amB=4时. 3 ①求证：FN⊥CD; ②直接写出 CN 的值. DN 考点3求线段长 10.(2026湖北襄阳一模)探究：【证法回顾】 4/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)证明：三角形中位线定理. 已知：DE是ABC的中位线，求证：DE∥BC,DE=BC, 证明：添加辅助线，如图1，在ABC中，延长DE(点D、E分别是AB、AC的中点)至点F,使得 EF=DE,连接CF.请继续完成证明过程； 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点G、F分别为AB、CD边上的点，若 AG=2,DF=3,LGEF=90°，求GF的长； 【拓展研究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=105,∠D=120°，点E为AD的中点，点G、F分别为AB、CD边上 的点，若AG=2√2，DF=2,∠GEF=90°，求GF的长 11.(2026湖北黄冈·模拟预测)在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=12,AB=8,BC>AD ,∠ADC的平分线交边BC于点E,点F在线段DE上，射线CF与四边形ABCD的边AD或边AB交于点G. A G B 图1 图2 (1)如图1，求证DC=EC; (2)如图2，若点G在边AD上，连接BG,当AG=4,且LBGC=90°，求∠DEC的度数； (3)当F是DE中点，且AG=3时，求CD的长. 12.(2026湖北模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，AB=12,O为对角线的交点，E是边CD上一动 点(E不与C,D重合). 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E E2 3 图1 图2 (I)当CE=2DE时，OE的长是 (2)探究CE2+DE2与OE存在怎样的数量关系，并说明理由： (3)如图2，E,E,是边CD上两点，DE,=3,∠E,OE2=45°，求OE2的长. 13.（2026湖北黄冈·二模)解决下列问题 【问题初探】 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,延长BE交于 DF于点H.求证：BE=DF,BE⊥DF. 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边的中点，F为BC延长线上一点，BE⊥DF, 垂足为H,求CF的长. 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG,延 长DG和BC相交于点F.当CE=2DE时，求FG的长， D 图1 图2 图3 14.(2026湖北孝感一模)【问题背景】 如图I,在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.我们可以证明： △AED∽△BFE.(不需要证明) 6/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A E B 图1 图2 图3 (I)【尝试应用】如图2，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED∽△BFE; ②若E为AB的中点，AB=10,AD=6,求BF的长 (2)【拓展探究】如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点 A、B重合)，连接CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，直接写出BE的长. 15.(2026湖北十堰模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为 射线BP上的一点（点E与点B不重合）. 图① 图② 备用图 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，求LPBC并说明线段BP与线段AC的位置关系： (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且LAEP=30°，LPEC=60°，探究线段BE与线段EC的 数量关系，并说明理由； (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 。考点4比值类几何综合 16.(2026湖北鄂州模拟预测)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q, 图1 图2 (1)【特例感知】 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; (2)【问题探究】 在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： (3)【拓展延伸】 如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上，试判断CQ与PF的数量关系，并说明理由 17.(25-26九年级下·湖北鄂州期中)某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的 平行四边形进行了如下探究： 图1 图2 图3 (I)如图1，已知正方形ABCD,点F是边CD上的一个动点（不与点C,D重合），点E在BF上，满足 AE=AB,延长DE交BC于点P,求∠BED的度数； (②)如图2，在上述条件下，连接CE,已知CE⊥BF. ①求tan CBE的值； ②若正方形ABCD的边长为6，求BP的长： (3)如图3，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,点F是边CD的中点，点E在BF上，且AE=AB,连接DE并 延长交BC于点P,求PE的值， DE 18.(2026湖北黄冈一模)初中几何模型有时候是解决几何问题的“金钥匙”，它能提供高效且精准的解题 思路和方法.几何模型在学习中确实包含识别、理解、运用、构建等不同层次，这些层次反映了从基础感 知到高级应用的认知过程. D 图1 图2 图3 (1)【特例感知】 如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上，F是AD的中点且∠EFC=90°，求证：△DFC∽△AEF; 8/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)【类比探究】 如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=∠EFC=60°，点E,F分别在AB,AD上，求证：EF·CD=AF·CF 小兵同学证法是：先在AD的延长线上取一点H,使得∠CHD=60°，连接CH,. 请完成小兵同学的作图，并完成证明. (3)【拓展延伸】 明瓣厚·，S=07=7学中明9P晋“多酒中阳OP署9 19.(2026湖北襄阳·二模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 (I)【特例感知】如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ: (2)【问题探究】在(1)的条件下，若CG=3,G0=5,求DQ的长： (3)【拓展延伸】如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上. ①试判断CO与PF的数量关系，并说明理由， ®生8是子立接号出C9能 通关特训 1.(2026广东河源·模拟预测)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如 AD 图，在·ABCD中，AN为BC边上的高， =m,点M在AD边上，且BA=BM,点E是线段AM上任 AN 意一点，连接BE,将△ABE沿BE翻折得△FBE. F A EM(F) D M D M 图1 图2 备用图 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①问题解决：如图1，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则 AN -_ (2)问题探究：如图2，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM,求∠ABE的度数，并求出此 时m的最小值； (3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD,且AE=MD,请直接写出m的值. 2.(2026甘肃陇南一模)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在CD边上，连接AE,BE,过点 B作BF⊥AE于点F,∠AED=2∠FBE,AE=CD. 图1 图2 图3 (1)求证：四边形ABCD为平行四边形： (2)①如图2，当AB1BC时，请直接写出AF和DE之间的数量关系： ②如图3，当AB=BC时，试判断AF和DE之间的数量关系，并写出证明过程， 3.(2026甘肃平凉·一模)解答下列各题： B 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点E在线段AB上，点G在CB的延长线上，连接AG、CE.判 断线段AG与线段CE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，连接AG、CE.判断线段AG与线段CE之间的数量关系， 并说明理由； (3)如图3，若四边形ABCD与四边形BEFG都为菱形，且∠GBE=∠ABC=60°，连接AG、CE,猜想线段 AG与线段CE的数量关系及AG与线段CE所在直线所夹锐角的度数，并说明理由 4.(2026甘肃定西·一模)如图1，已知正方形ABCD,E是边BC上的一个动点（不与点B,C重合），连接 AE,点B关于直线AE的对称点为点F,连接EF并延长交CD于点G,连接AG,AF. 10/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D G E 图1 图2 图3 (I)写出DG与FG的数量关系，并说明理由 (②)如图2，连接CF,若CF∥AG,请探究线段BE与DG之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，过点G作GH⊥AE于点H,连接BH,请写出线段BH与CG的数量关系，并说明理由. 5.(2026内蒙古锡林郭勒一模)结合图形，解答下列各题： G B G 图① 图② (I)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交 CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG. (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到 △BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求DH的长： (3)在(2)的条件下求AE的长. 6.（2026河南许昌一模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. A M B B B E 图1 图2 备用图 (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 (2)【深入探究】 11/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折得到 △AME,将CDF沿CF翻折得到aCNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形AMCN的 形状，并给出证明， (3)【拓展应用】 在(2)的条件下，若AB=I0,BC=I2,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出BE的长. 7.(2026江苏淮安一模)【问题情境】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形AB,C,D与正 方形ABCD的边长相等，在正方形A,B,C,D,绕点O转动过程中，AB与OA,交于点E,BC与OC,交于点F, 记两个正方形重叠部分的面积为S. A E B B C 图1 图2 (①)【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形A,B,C,D,绕点O转动过程中，两个正方形重叠部分的面积S 是一个定值.设两个正方形的边长为m,请你写出这个定值并证明 (②)【问题解决】在图1中，若AE=1,CF=3,求C,F的长， (3)【深入探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且∠EPF=90°，PC=3PA ,将∠EPF绕点P旋转，旋转过程中，∠EPF的两边分别与AB和BC交于点E,F.在∠EPF的旋转过程中， 求PE与PF存在怎样的数量关系， 8.（2026江西宜春一模)综合与实践. 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动.如图，在ABC中， ∠ABC=90°，A'为斜边AC的中点，△AB'C'≌△ABC,A'C'与AC所在的直线重合，将aA'B'C'绕点A旋转得 到△A'0D. 12/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A' 图1 图2 图3 操作发现： (I)如图1，顺时针旋转一定角度，记AD和A'O分别与BC交于点E,F,当A'D⊥AC时，猜想EF和AF的 数量关系为 ,并证明你的猜想； (②)如图2，继续旋转一定角度，当线段AD经过点B时，连接BO,若LA=60°时，试判断四边形AA'0B的 形状，并证明你的结论； (3)实践探究： 在整个旋转过程中，当边OD在AC下方，AB=6,BC=8时，设线段A'O与直线BC交于点G,直线BC交 射线DO于点H,连接AH, ①如图3，若△A'OD的直角边A'O恰好与AC垂直，请求出AH的长： ②若aA'OD的直角边OD恰好与AC垂直，请直接写出AH的长。 9.(2026山西晋中.一模)综合与探究： 【问题情境】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点B按逆时针方向旋 转得到△BC'D',C,D两点旋转后的对应点分别为C,D,旋转角为a(0<a<180). 0 (C)A 5 D 图1 图2 图3 (I)【操作验证】如图1，当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边三角形 (②)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，C'D'∥BD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED的形状， 并说明理由。 (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC'与AB重合时，连接CD',若AB=3,BD=2,请你直接写 出线段CD'的长 10.(2026湖南株洲一模)在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原 13/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所 得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度O,记为O(k,),如果是顺时针旋转一个角度O,则Θ记 为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比， O叫做旋转角. D 图1 图2 图3 (1)填空： ①如图1，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ADE,这个旋 转相似变换记为A(，一）； ②如图2，ABC是边长为2cm的等边三角形，∠BAC=60°，将它作旋转相似变换A√2,90），得到ADE ,则线段BD的长为 cm. (2)如图3，ABC经过B(k,a)得到△EBD,又将ABC经过C(k2,-B)得到△FDC,连接AE,AF,求证： AE=DF. 11.(2026广东深圳一模)如图1为正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. D D E G E 图1 图2 图3 (I)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的 关系，并说明理由： (3[应用]：在(2)问的情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE I AB,且AB=√5，AE=1,求DG的 长 12.(2026四川成都二模)如图，在ABCD中，∠ABC=120°，边CD绕点C顺时针旋转a度至CE 14/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (0°<a<120),连接BE、AC、BE分别交CD、AC于点F、G. B 备用图 (I)【特例感知】当a=60°时，证明：AC=BE; ②)【问题探究】在(1)的条件下，若DF=DC,AD=4,求EF的长度； )【拓展延】若C=B,DF=DC,当∠E=∠C4D时，求BD5的值。（用合m、的代数式表 示) 13.(2026辽宁铁岭·三模)【探究】 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D在边AB上，连接CD,过点A作 AF⊥CD于点E,交边BC于点F. ①求证：∠CAF=LADC; ②如图2，点F为边BC的中点，求二的值， CD 【应用】 (2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6.点D在边AB上，点F在边BC上，连接FD, 过点B作BE⊥AB交FD的延长线于点E,若BE=BA,∠ACB=2∠BFD,求BD的长， 14.(2026湖北十堰模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为 射线BP上的一点（点E与点B不重合）· D 图① 图② 备用图 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，求∠PBC并说明线段BP与线段AC的位置关系； 15/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且LAEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的 数量关系，并说明理由； (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 15.(2026重庆秀山一模)如图，在ABC中，AC=BC. 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ACB=60°，将AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD,连接AD,BD,求∠ADB的度数； (2)如图2，若LACB=90°，将AC绕点C顺时针旋转α(0°<a<90)得到线段CD,连接AD,BD,点E是 AD的中点，连接CE交BD于点F,用等式表示线段CF,BF,DF之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若LACB=120,将AC绕点C旋转得到线段CD,连接BD,当BD取最大值时，在直线BC上 取一点M,连接AM,将△MAB沿AM翻折到ABC所在的平面内，得到△MAN，连接DN.当DN取最 小值时，直接写出、的值) 16.(2026山东临沂二模)如图①，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作 DE∥BC交AC于点E. 图① 图② 图③ 图④ (I)求证：BD=√2CE; (②)在同一平面内，将ADE绕公共顶点A逆时针旋转，连接BD,CE· ①如图②，当点D在ABC内部时，判断(1)中的结论是否仍然成立？ ②如图③，当ED⊥BD时，设线段CE交BD于点F,连接AF,判断四边形AFDE的形状，并说明理由： ③如图④，当点D在ABC内部时，设射线BD与线段CE交于点G,且CG=2EG,若BC=4,求线段CE的 长 17.(2026四川成都二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且AE=DE,连接DE并 延长，交BC于点F,点G在DF上，连接AG,CG,且∠AGD=2∠ADF,GH平分∠AGD交AD于点H, 16/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交AC于点P,连接EH. H D B (I)【初步感知】求证：△AGH≌△EDH; (2)【深入探究】若E为AC中点，且AB=6,BC=8,求GH的长； ()【拓展延伸】若DF为∠ADC的平分线，且EH:4G=2:3,求FC 的值， DXG 18.（2026四川成都.一模)在平行四边形ABCD中，LBAD=a,点E为直线AD上一点，将△ABE沿直线 BE翻折得到△FBE. F D B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当u=90°时，点F恰好落在四边形ABCD的对角线BD上，连接AF,求证：AF·DE=BE·DF; ②如图2，当a=90°，BC=24B时，点F恰好落在边CD上，连接CE,与r交于点G,求 的值； 13 BG (3)如图3，当sia=0.6,AB=8,BC=5时，在翻折过程中，请探究C,D,F三点能否构成直角三角形， 若能，请直接写出AE的值，若不能，请说明理由. 19.(2026江苏南通模拟预测)“鹿鸣博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究.已知 矩形ABCD,点E、F分别是AB、CD边上的动点 D M F E 图① 图② 图③ (I)若四边形ABCD是正方形，如图①，将四边形BCFE沿EF翻折，点B,C的对应点分别为M、N.点M 恰好是AD的中点。 ①若AD=8,求AE的长度； 17/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若MN与CD的交点为G,连接EG,试说明AE+DG=EG; (2)若AB=2√3，AD=2,如图②，且AE=CF,将四边形BCFE沿EF翻折，点B、C的对应点分别为 B、C',当点E从点A运动至点B的过程中，点B的运动路径长为一； (3)若四边形ABCD是正方形，AD=8,如图③，连接DE交AC于点M,以DE为直径作圆，该圆与AC交 于点A和点N,将△EMN沿EN翻折，若点M的对应点M'刚好落在BC边上，求此时AE的长度. 20.(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<a<360). A D C B 图1 图2 备用图 备用图 ()【初步感知】如图1，连接AE,CD,将三角形纸片BDE绕点B旋转，求E 的值； CD (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长； (③)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由。 18/18