题号猜押07 湖北省卷中考数学第22题（解答题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 湖北省卷中考数学第22题（解答题） 考点1 一次函数及其实际应用 1．（2026·湖北·一模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 3．（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 4．（2026·湖北·模拟预测）普及全民健身，赋能美好生活．某市为丰富群众的文化体育生活，推动健身运动在全市范围内广泛普及，决定为各社区安装健身器材．经考察，决定选购A，B两种型号的健身器材，其中，A型号健身器材每套比B型号健身器材少0.2万元，3套A型号健身器材和2套B型号健身器材共需5.4万元． (1)求A，B两种型号的健身器材每套各需多少万元？ (2)调查统计得知，全市需A，B两种型号的健身器材共100套，且B型号健身器材的套数不多于A型号健身器材套数的3倍． ①求A型号健身器材最少需买多少套？ ②该市用于此项目的计划资金为116万元，问此计划资金是否够用？ 5．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； (1)活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 考点2 二次函数及其实际应用 6．（2026·湖北孝感·一模）某市为响应“绿色、共享、惠民”的理念举办运动会，某文创企业推出一系列纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略． 【信息收集】 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）为：； ①试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等．为了尽量让利给顾客，求x的值； ②企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略，当时，求每日总利润w的最大值． 7．（2026·湖北随州·二模）项目式学习： 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2．汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 10 20 30 40 刹车距离 0 8 24 48 80 (1)【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速（单位：）为横坐标，以刹车距离（单位：m）为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的关于的函数表达式． (2)【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 8．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 9．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 10．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 11．（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 12．（2026·湖北黄冈·一模）综合与实践： 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5.4米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在中点处取点D，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 13．（2026·湖北·模拟预测）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 1．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 2．（2026·四川成都·一模）2025/2026四川省城市足球联赛的两个吉祥物“超哥”“超妹”——这对以大熊猫为原型、融合川剧变脸元素，承载着四川21个市（州）足球梦想的玩偶，深受广大市民的喜爱．某商店计划购进这两种吉祥物“超哥”“超妹”进行销售，已知购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元． (1)求这两种吉祥物的单价； (2)该商店计划购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍，将“超妹”吉祥物的售价定为35元/件，若要使“超哥”吉祥物的利润率不低于25%，则该商店最少可以获得多少利润？ 3．（2026·广西柳州·一模）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． (1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 5．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 7．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 8．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 9．（2026·陕西西安·模拟预测）随着我国科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，工作一段时间后乙机器人停工保养，保养结束后，乙继续和甲机器人一起工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人的工作时间（分钟）之间的函数关系如图． (1)m的值为___________； (2)求所在直线的函数表达式； (3)已知该快递公司当天分拣快递的总数为5450件，求乙机器人当天的工作时长． 10．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 11．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 12．（2026·河南平顶山·一模）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目 单价/（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 0 第4天 44 50 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图. (1)A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示） (2)求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本） (3)求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 13．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，完成销售任务． 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件． 情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元． 任务解决： (1)分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）． (2)当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元？ (3)每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大？最大利润是多少元？ 14．（2026·辽宁阜新·一模）【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ 16．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 17．（2026·四川成都·二模）某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 18．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）计算及解决实际问题： (1)计算：； (2)某汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的对应关系如图所示． ①求出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②汽车行驶时，求油箱中的剩余油量． 19．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 20．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 湖北省卷中考数学第22题（解答题） 考点1 一次函数及其实际应用 1．（2026·湖北·一模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 【答案】(1)购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元 (2)当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）①直接利用图象求解即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． 根据题意，得，解得． 答：购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． （2）解：设购买型芯片颗，则购买型芯片颗． 根据题意，得，解得， 设所需资金元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时值最小，（元）． 答：当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元． （3）解：①乙车的速度为， 当时，， 则甲车的速度为， 故答案为：． ②，当时，解得， ∴与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得或， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得， ∴当甲、乙两车相距时，的值为或或． 故答案为：或或． 2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【分析】（1）设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件列方程求解； （2）设购进甲种机器人y台，根据每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台列不等式组求解即可； （3）设总价为W万元，根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 3．（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元 (2)①一共有20种购买方案；②最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元 【分析】（1）每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意易得不等式组，进而求解即可； ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得易得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元． （2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个； 答：一共有20种购买方案． ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得： ， ∵，且， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元． 4．（2026·湖北·模拟预测）普及全民健身，赋能美好生活．某市为丰富群众的文化体育生活，推动健身运动在全市范围内广泛普及，决定为各社区安装健身器材．经考察，决定选购A，B两种型号的健身器材，其中，A型号健身器材每套比B型号健身器材少0.2万元，3套A型号健身器材和2套B型号健身器材共需5.4万元． (1)求A，B两种型号的健身器材每套各需多少万元？ (2)调查统计得知，全市需A，B两种型号的健身器材共100套，且B型号健身器材的套数不多于A型号健身器材套数的3倍． ①求A型号健身器材最少需买多少套？ ②该市用于此项目的计划资金为116万元，问此计划资金是否够用？ 【答案】(1)A型号每套1万元，B型号每套1.2万元． (2)①25套；②够用 【分析】（1）设A型号单价为万元，则B型号为万元，根据“3套套B共5.4万元”列一元一次方程，求解得A、B单价． （2）①设A型号买套，则B型号买套，根据“B型套数型套数的3倍”列一元一次不等式，求解得的最小值． ②先建立总费用关于的一次函数，结合的取值范围，利用一次函数单调性求出最大总费用，再与116万元比较，判断资金是否够用． 【详解】（1）解：设A型号健身器材每套万元，则B型号每套万元， 根据题意列方程：， 解得：， 则B型号单价为：（万元）， ∴A型号每套1万元，B型号每套1.2万元． （2）解：①设购买A型号套，则购买B型号套， 根据题意得：， 解得：， ∴A型号健身器材最少需买25套． ②设总费用为万元， 根据题意可得：， 由①知，且为正整数，即， ∴． ∵中，， ∴随的增大而减小． 当取最小值25时，取得最大值， 最大值为：， ∵， 即总费用的最大值为115万元，小于计划资金116万元． ∴此计划资金够用． 5．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； (1)活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 【答案】(1)①；②；③ (2)踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为 【分析】（1）①②③根据题意列代数式即可； （2）根据题意得出，确定n可以取12或13，然后分两种情况利用一次函数的性质求解确定最大值即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：高度； ②， ③歇脚台宽度； （2）解：由题意得 解得 ， ∵n为正整数， ∴n可以取12或13， 当时，      ， 此时， s随b的增大而减小，且 ， ∴当时，s取得最大值， ， 当时， ， 此时， 同理，当时，s取得最大值， ， ∵， ∴踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为． 考点2 二次函数及其实际应用 6．（2026·湖北孝感·一模）某市为响应“绿色、共享、惠民”的理念举办运动会，某文创企业推出一系列纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略． 【信息收集】 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）为：； ①试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等．为了尽量让利给顾客，求x的值； ②企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略，当时，求每日总利润w的最大值． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的每日总利润为4000元 (2)①x的值为40；②每日的最大利润w是4900元 【分析】（1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）①“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； ②根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的每日总利润为4000元． （2）解：①根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． ②， ， 当时，有最大值，最大值为． 每日的最大利润w是4900元． 7．（2026·湖北随州·二模）项目式学习： 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2．汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 10 20 30 40 刹车距离 0 8 24 48 80 (1)【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速（单位：）为横坐标，以刹车距离（单位：m）为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的关于的函数表达式． (2)【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【答案】(1)①图象见解析；② (2)汽车超速，见解析 【分析】（1）①通过描点、连线就可以得出函数的大致图象； ②由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）令，求得的值，对比即可 【详解】（1）解：①函数图象如图所示： ②由图象可得，函数图象经过原点， 设抛物线的表达式为 代入得， 解得 ∴函数表达式为： （2）解：由题意得，将代入得，， 整理得， 解得，（舍去） 而，而 ， 故汽车超速． 8．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，； (2)这两个位置之间的距离为； (3) 【分析】（1）对于抛物线，根据题意得到对称轴是直线，可求出的值．再根据抛物线与直线的交点坐标，代入直线方程求出值； （2）分别将高度值代入抛物线方程和直线方程求出对应的横坐标，然后计算横坐标差值得到水平距离． （3）先根据抛物线表达式求出特定点，直线与轴的交点的横坐标为，最后根据的范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度， ∴， 解得， ， 时，， ， 点在直线上， ， ； （2）解：，整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为； （3）解：当时，， ， 经过点， ∴， 解得， ∴直线为， ∴直线与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴， 时，． 9．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 【答案】(1) 每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为 (2) 当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元 【分析】（1）根据每千克饺子总重量为和原料总成本为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元，根据题意表示出单日总销量和每千克利润，得到总利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围，利用二次函数性质求解最大值即可； 【详解】（1） 解：设每千克饺子中肉馅含量为千克，饺子皮含量为千克， 根据题意列方程组得， 解得， 答：每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为； （2）解：设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元， 由题意得，饺子皮含量为千克，单日总销量为千克， 每千克饺子的成本为，每千克利润为元， 根据饺子皮含量要求得， 解得， 结合实际得， 总利润，整理得， ，二次函数开口向下，对称轴为， 又，对称轴在自变量取值范围右侧， 当时，取得最大值，代入计算得， 答：当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元． 10．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 11．（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 12．（2026·湖北黄冈·一模）综合与实践： 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5.4米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在中点处取点D，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 【答案】(1) (2)不可以，见解析 (3)（米） 【分析】（1），设抛物线的顶点式，再将点代入可得答案； （2），设点，再代入关系式求出x，比较可得答案； （3），先求出直线的关系式，再求出点C，D的纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线的顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为； （2）解：根据题意，设点，得， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方； （3）解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 13．（2026·湖北·模拟预测）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 【答案】【任务一】①见解析；②；【任务二】该司机是因为超速行驶导致了交通事故；【任务三】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键． 任务一：①通过描点、连线就可以得出函数的大致图象； ②由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； 任务二：令，求得的值，对比即可； 任务三：根据二次函数的性质可得汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，列不等式组即可解答． 【详解】［任务一］①解：根据描点作图即可得到下图： ②解：设抛物线解析式为 把代入得： ， 解得 ∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为； ［任务二］该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下： 在中，令得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故； ［任务三］解：∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴， 由题意得 ， 解得：． 1．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． (2)购买A品牌毽子100个，B品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 【分析】（1）设未知数建立二元一次方程组，利用题目给出的价格差和总价条件求解，核心是用方程思想将文字条件转化为代数关系，从而算出两种毽子的单价． （2）根据数量限制求出变量的取值范围，再构造一次函数表示总费用，利用一次函数的单调性，在变量的可行范围内找到使费用最低的购买方案． 【详解】（1）设A品牌毽子的单价为x元，B品牌毽子的单价为y元， 根据题意，得：，解得， 所以A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． （2）设购买A品牌毽子m个，总费用为w元， 根据题意得：，解得， ， ∵，w随m的增大而增大， ∴时，总费用最少， 此时，． 所以购买品牌毽子100个，品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 2．（2026·四川成都·一模）2025/2026四川省城市足球联赛的两个吉祥物“超哥”“超妹”——这对以大熊猫为原型、融合川剧变脸元素，承载着四川21个市（州）足球梦想的玩偶，深受广大市民的喜爱．某商店计划购进这两种吉祥物“超哥”“超妹”进行销售，已知购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元． (1)求这两种吉祥物的单价； (2)该商店计划购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍，将“超妹”吉祥物的售价定为35元/件，若要使“超哥”吉祥物的利润率不低于25%，则该商店最少可以获得多少利润？ 【答案】(1)“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个 (2)该商店最少可以获得760元利润 【分析】（1）首先，根据题意设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为元/个，购进“超妹”吉祥物的单价为元/个，然后，根据购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元，列出关于的方程组，解方程组即可； （2）首先，根据题意设购进“超哥”吉祥物的数量为个，则购进“超妹”吉祥物的数量为，再列出方程，解得，即，然后，根据题意再设“超哥”吉祥物的售价定为每件元，该商店获得的利润为元，得出，接着，由“超哥”吉祥物的利润率不低于，得出，最后，根据一次函数的图象与性质得出当时，，得出该商店最少可以获得760元的利润． 【详解】（1）解：设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为元/个，购进“超妹”吉祥物的单价为元/个， 由题意得：，解得． 答：“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个； （2）解：∵购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍， 设购进“超哥”吉祥物的数量为个，则购进“超妹”吉祥物的数量为， ，解得，即． 设“超哥”吉祥物的售价定为每个元，该商店获得的利润为元， ， “超哥”吉祥物的利润率不低于， ，解得． 又， 随的增大而增大， 当时，， 答：该商店最少可以获得760元的利润． 3．（2026·广西柳州·一模）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． (1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元 (2)购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元 【分析】（1）设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元，再根据题意建立方程组求解即可； （2）设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元，列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元． 根据题意，得， 解得， 答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元； （2）解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元． 根据题意，得， 随的增大而增大， ∴当时，， 答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 5．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 7．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 8．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）随着我国科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，工作一段时间后乙机器人停工保养，保养结束后，乙继续和甲机器人一起工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人的工作时间（分钟）之间的函数关系如图． (1)m的值为___________； (2)求所在直线的函数表达式； (3)已知该快递公司当天分拣快递的总数为5450件，求乙机器人当天的工作时长． 【答案】(1)3800 (2) (3)90分钟 【分析】（1）根据两台机器人的分拣速度不变即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）把代入（2）中所求解析式中即可求解． 【详解】（1）解：在前40分钟与第60分钟到第80分钟，两台机器人分拣的速度不变， 则， 解得； （2）解：由（1）知，， ∵直线过、两点， 设所在直线的函数关系式为， 将、代入得，解得． 所在直线的函数关系式为． （3）解：把代入得，     解得， ∴（分钟） 答：该快递公司当天分拣快递的总数为5450件时，乙机器人工作了分钟． 10．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 【答案】(1) (2)①；②最低身高的最大值为，最高身高的最大值为 (3)第2位 【分析】（1）由题可知点，，设该抛物线对应的函数解析式为，将点代入，求出，即可解答； （2）①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为，即可解答； ②把与分别代入，求出相应的y值，即可解答； （3）设10米场绳子所在抛物线解析式为，求出10米场绳子所在抛物线解析式为，推导出绳子高度满足 ，得到，解得，继而根据10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为：，即可解答． 【详解】（1）解：由题可知点，． 由题可知P为抛物线的顶点，故可设该抛物线对应的函数解析式为． 将点代入，得． 解得． ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为， ∴点M的坐标为； ②∵， ∴把代入，得， 则． ∵最低身高不高于， ∴8米场参赛选手最低身高的最大值为． 把代入，得， 则． ∵最高身高不高于， ∴8米场参赛选手最高身高的最大值为． （3）解：由题意，设10米场绳子所在抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴10米场绳子所在抛物线解析式为， 由题意，得， ∴绳子高度满足 ， 代入解析式得， 移项整理， 解得， 10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为： 满足条件且最靠左的位置为第2位． 11．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 【答案】(1)， ； (2) (3)且． 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为； （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故； （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故且． 12．（2026·河南平顶山·一模）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目 单价/（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 0 第4天 44 50 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图. (1)A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示） (2)求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本） (3)求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 【分析】（1）设第x天的单价，利用待定系数法求解； （2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可； （3）由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ； （2）解：由题意，得； （3）解：把，代入中，得 解得 关于的函数关系式为． ，， ． ，且（为正整数）， 当时，有最大值，最大值为4800． 第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 13．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，完成销售任务． 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件． 情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元． 任务解决： (1)分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）． (2)当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元？ (3)每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件 (2)每件衬衫下降元； (3)每件衬衫降价元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是元 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可； （3）设两店每天的总利润为元，得到，得到当时，有最大值，最大值为，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为：件 （2）解：根据题意得， 解得， 答：每件衬衫下降元； （3）解：设两店每天的总利润为元， 根据题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：每件衬衫降价元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是元． 14．（2026·辽宁阜新·一模）【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 【答案】(1) (2)能完成有效施药，见解析 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再与比较即可； （3）设出平移后的函数表达式，再代入点即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为 设解析式为： 把代入解析式， 解得 ； （2）解：能完成有效施药，理由如下： 当时，（米） 能完成有效施药． （3）解：水平向前平移米后， 设 把代入解析式， 解得，（舍）   值为． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ 【答案】(1) (2)喷头向上平移米，则可精准喷射到处 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点横坐标为8，点，设该水流所在抛物线表达式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意推出点坐标，设向上平移后的抛物线表达式为，将点坐标代入表达式求解，即可解题． 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点横坐标为8，点， 则设该水流所在抛物线表达式为， 将原点和分别代入， 得， 解得， 该抛物线表达式为； （2）解：（米）， 点坐标为， 设向上平移后的抛物线表达式为， 将代入得：， 解得， 则喷头向上平移米，则可精准喷射到处． 16．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 17．（2026·四川成都·二模）某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 【答案】(1) 甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人 (2) 函数表达式为（且为整数），最少租车费用为14400元 【分析】（1）根据题干给出的两种载客情况设未知数列方程组求解即可． （2）根据租车优惠规则表示出总费用，整理得到函数表达式，再根据二次函数的增减性，在给定区间内求出最小值即可． 【详解】（1）解：设甲型号观光车每辆载客人，乙型号观光车每辆载客人， 根据题意可得，解得， 答：甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人． （2）解：已知租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 则租车总费用， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 因为对称轴，且在对称轴右侧，随的增大而减小， 所以当时，有最小值． 把代入可得（元）． 答：与之间的函数表达式为， 当时，本次研学活动学校的最少租车费用为元． 18．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）计算及解决实际问题： (1)计算：； (2)某汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的对应关系如图所示． ①求出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②汽车行驶时，求油箱中的剩余油量． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算，再合并即可； （2）①由待定系数法求解即可；②把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①设与的函数解析式为， 代入点， 则 解得 ∴ 当时，，解得 ∴， ∴； ②当时，． 19．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】(1) (2)①（）；②见解析 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②画出图象如图所示． 20．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】(1) (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． (3) (4)当秒时，最优垂直距离为米． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由抛物线过和，最高点纵坐标不变20，设，利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． （2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3）解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． （4）解：由抛物线过和，最高点纵坐标不变20， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $