题号猜押06 湖北省卷中考数学第21题（解答题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 湖北省卷中考数学第21题（解答题） 考点1 半径与直径 1．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）已知是上的点为的直径，延长到，连接， (1)求证：为的切线； (2)若，当时，求半径的长． 2．（2026·湖北十堰·一模）如图，已知，是的直径，，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求及的半径长． 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 4．（2026·湖北·模拟预测）如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，是的直径，弦于点，点是的中点，连接，，交于点，连接交直径于点，交于点． (1)求证：； (2)当点为中点，时，求的半径． 考点2 角度与三角函数值 6．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，点为上一点，为直径，，点为上一点，连接并延长交于点，在点作，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若点为中点，，求的值． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，的平分线交于点，点是边上一点，以点为圆心长为半径作圆，⊙经过点． (1)求证：直线是⊙的切线； (2)若，，求的值． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求弦的长． (2)连接、，若，求的度数． 考点3 线段、弧长 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 10．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，为上一点，为外一点，是的切线，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（2026·湖北恩施·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，交于点．连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 12．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 13．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）如图，为直角三角形，，直角边与半圆交于点，，平分，是半圆的直径． (1)求证：与半圆相切； (2)若，，求的长． 14．（2026·湖北黄石·一模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 15．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知：如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的长． 16．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧的长． 17．（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 18．（2026·湖北十堰·模拟预测）在数学实践课上，同学们利用圆形纸片开展折纸类探究活动： 如图，是的直径，将弦沿折叠后，点C恰好落在上的点D处，连接并延长交于点F，连接交于点G，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求和的长． 考点4 阴影部分面积 19．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，点是直径延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．（25-26九年级下·湖北荆州·月考）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 21．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求扇形的面积． 22．（2026·湖北·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，过点C作的切线，与过点C的切线交于点D，与交于点的延长线与切线交于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，的半径为1，求，围成的阴影部分的面积． 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，，是的两条弦，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2．（2025·宁夏银川·一模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 3．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C在上，是的切线，于点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的直径的长． 4．（2026·四川南充·一模）已知：如图，是的直径，点C在上，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 5．（2026·江西吉安·二模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 6．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 7．（2026·甘肃白银·二模）如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 8．（2026·四川达州·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 10．（2026·青海·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，平分交于点，过点作的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的长． 11．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 12．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 13．（2026·陕西·模拟预测）如图，内接于，是的直径，于点，过点作的切线交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)连接交于点，若，求的长． 14．（2026·山东聊城·一模）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 15．（2026·湖南永州·二模）如图，是的直径，点在上，连接，，过点作的切线，过点作的垂线交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 16．（2026·内蒙古包头·一模）如图，是的切线，为切点，以为顶点作，交于点，交于点，连接，交于点． (1)与有什么数量关系，请说明理由； (2)若的半径为，，，求的长． 17．（2026·江苏扬州·一模）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直径，是的切线，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，且． (1)求证：为中点； (2)若，，求的长度． 19．（2026·四川乐山·一模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 20．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押06湖北省卷中考数学第21题（解答题） 押题预测 ·考点1半径与直径 1.(25-26九年级上湖北荆门期末)己知A,B,C,D是O0上的点BD为O0的直径，延长BC到E,连接 DE,∠A=∠E (I)求证：DE为O0的切线； (2)若AC∥DE,当AB=5,AC=6时，求⊙0半径的长. 【答案】（①）见解析 暗 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确记忆相 关知识点是解题关键， 1)连接CD,根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠A,则LBDC=∠E,再根据直径所对的圆周角是 直角得LDBC+∠BDC=90°，则LDBC+LE=90°，BD⊥DE,然后根据切线的判定定理得到DE为OO的 切线： (2)连接OA,BD与AC交于H,先根据平行线的性质证明BD⊥AC,再根据垂径定理得AH=3,然后 根据勾股定理求出BH=4,最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】(1)证明：连接CD B :∠A=∠E,∠BDC=∠A, .ZBDC ZE 1/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD为OO直径， :∠BCD=90°， .∠DBC+∠BDC=90°， ∴.∠DBC+∠E=90°， ∠BDE=90°， .BD⊥DE, :0D为半径， DE为OO的切线； (2)解：连接OA,BD与AC交于H, C○ B :AC∥DE, ∴∠BHC=∠BDE=90°， BD⊥AC, :BD为⊙0直径，AC=6, AH=3, 在Rt△AHB中，AB=5, BH=AB2-AH2=4, 设00的半径为r,则0H=4-r, OH2+AH2=OA2, .(4-r)2+32=2, 25 解得：r= 8 00的半径为25 8 2.(2026湖北十堰一模)如图，已知，AB是O0的直径，BC⊥AB,BD⊥OC交⊙0于点D,CD的延 长线交BA的延长线于点E. 2/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：CD是00切线： (2)若BC=6,DE=4,求BE及O0的半径长. 【答案】(1)证明见解析 (2)BE=8;日0的半径长为3 【分析】(1)连接OD,可证OC是BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知CD=CB,所以可 得∠CDB=∠CBD,因为OD=OC,可证∠ODB=∠OBD,所以可得∠ODC=∠OBC=90°，从而可证CD是 ⊙0的切线； (2)在△EBC中利用勾股定理可以求出BE=8,在△ODE中利用勾股定理可以求出r的长度 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OD, :BC⊥AB, ∠CBA=90°， :BD⊥OC,OB=OD, OC平分BD, .CD=CB, .∠CDB=∠CBD, :0B=0D, .∠ODB=∠OBD, ∠0DC=∠0BC=90°， 又：点D在⊙0上， CD是⊙O的切线； (2)解：：BC=6,DE=4,CD=CB, 3/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE=10, 在△BCE中，由勾股定理得BE=√EC2-BC2=V102-62=8, 设00的半径为r, 在△ODE中，由勾股定理得OE2=OD2+DE2, (8-r）2=r2+42, 解得：r=3, :00的半径长为3. 3.(2026湖北黄冈模拟预测)如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E,P是 AB延长线上一点，且LBCP=LBCD, B 0 (1)求证：CP是⊙O的切线： (2)若AE=CD=8,求⊙O的半径. 【答案】()见解析 (2)5 【分析】(1)连接0C,证明CP⊥OC.然后由切线的判定方法可得结论； (2)00的半径为r,0E=8-,由垂径定理知CE=DE=CD=4再结合勾股定理进行列式 r2=42+(8-2,即可作答. 【详解】(1)证明：连接0C,则0C=04, P:∠0CA=∠A, D :AB是OO的直径，AB⊥CD, ∠ACB=∠AEC=90°， 4/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBCD=90°-∠ACD=∠A, .∠OCA=∠BCD, :∠BCP=∠BCD, .∠BCP=∠OCA, :∠0CP=LBCP+∠OCB=∠OCA+∠0CB=∠ACB=90°， :0C是00的半径，且CP⊥0C, ·CP是⊙O的切线. (2)解：设半径为r,则0E=AE-A0=8-r, :AB⊥CD,CD=8,AB是OO的直径， :.CE=DE=CD=4. 2 在Rt△C0E中，OC2=CE2+OE2, 即r2=42+(8-r, 解得：r=5, :⊙0的半径长为5. 4.(2026湖北模拟预测)如图，P是00外一点，P0与⊙0交于点B,A是⊙0上一点，∠0=2∠PAB ,AC⊥P0于点C. (1)求证：PA是O0的切线： Q法P9-号，8C=2,求00的￥径。 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】(1)延长AC交OO于点D,连接BD,根据圆周角定理，垂径定理，等弧对等弦，等边对等角推 出∠BAD=∠PAB,∠OBA=∠OAB,根据LBAD+LAB0=90°，进而得到∠PAB+∠OAB=90°，即可得证； (2)设⊙0的半径为r,则0A=OB=r,然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】(1)证明：延长AC交O0于点D,连接BD,则L0=2LADB, 5/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ∠0=2∠PAB, ∠PAB=∠ADB, :OB⊥AC, ∴AB=BD, .AB BD, ∠BAD=∠BDA, .∠BAD=∠PAB, 0A=0B, ∴.∠OBA=∠OAB, :∠BAD+∠AB0=90°， ∠PAB+∠0AB=90°，即∠0AP=90°， 0A⊥AP, 又：OA为半径， PA是⊙O的切线： ②)解：Pm-9,8C=2 PC=P8+8c-9 设00的半径为r,则0A=0B=r, 0C=0B-BC=r-2,0P=0B+BP=10+ r, 3 :∠OCA=∠OAP,∠O=∠O, △OCA∽△0AP, 0C_0A OA OP ..O42=OC.OP, 即=r-2+9） 解得r=5, 故00的半径为5. 6/65 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上湖北宜昌期末)如图，AB是O0的直径，弦CD1AB于点H,点C是AE的中点， 连接AE,BC,交于点G,连接DE交直径AB于点F,交BC于点I. H O D (I)求证：BC⊥DE; (2)当点G为BC中点，AE=2V10时，求⊙0的半径 【答案】()见解析 ②00的半径为3 2 【分析】(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系证明即可； (2)设⊙0的半径为R,0M=x,，利用勾股定理求得R2=10+x2,证明△MCG∽△MG0,求得 GM2=x(R-x),证明0G是△BAC的中位线，得到△OGM∽△CAM,求得GM= 10x (R-x) ，推出 72 10x R2=10+x2① (R-x) =x(R-x),得到方程组 10x=(R-②’解之即可. 【详解】(1)证明：：点C是AE的中点， AC=CE, ∠B=∠D, :CD⊥AB, .∠DHF=90°， :∠DFH=∠IFB, ∠BIF=∠DHF=90°， 即BC⊥DE; (2)解：连接AC,OC,OG,记0C交AE于点M, 7/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 设O0的半径为R,OM=x, .OA=OC=R,CM=R-x, “点C是AE的中点， .OM⊥AE, .O42= AE 2 +OM2,即R2=10+x2, :点G为BC中点， .0G⊥BC, .∠CMG=∠GM0=∠CG0=90°， ∴.∠MCG=90°-LCGM=∠MG0, ∴△MCG∽△MG0, GM CM 即GM2=OM×CM=xR-x, OM GM :点G为BC中点，点O为AB中点， :OG是△BAC的中位线， .0G∥AC, ∴.∠OGM=∠CAM,∠GOM=∠ACM, .△OGM∽△CAM, GM OM AM CM V10x ∴.GM= (R-x)' V10x 72 =x(R-x), （R-x) 10x=(R-x)3, 8/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 R2=10+x2① 联立得 10x=(R-x)3②' 由①得R-x)R+x=10, 设R-r=I,则R=n+x,R+x=10 M+2x=10, 2x=0-, u 将2吕代入2得5小 整理得u4+5u2-50=0,即(u2+10)u2-5)=0, :2+10>0, 2-5=0, u2=5,u=V5(负值已舍)， 2x=10-=10-5=5, -u= 5 2 :R=4+x, :R=5+5_35,即00的半径为35 2N 2 【点晴】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理， 配方法解方程组，正确作出辅助线解决问题是解题的关键. 考点2角度与三角函数值 6.(2026湖北荆州模拟预测)如图，点P为O0上一点，AB为直径，OP⊥AB,点C为OP上一点，连 接AC并延长交OO于点D,在D点作LEDC=LECD,交OP的延长线于点E. B 9165 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：ED为O0的切线： (2)若点C为OP中点，EP=2,求sin∠E的值. 【答案】(1)见解析 时 【分析】(1)连接0D,则0D=0A,证明∠ED0=90°，即可得证； (2)设PC=0C=x,则0P=0D=2x,E0=2+2x,在Rt△0DE,根据勾股定理建立方程求得OD,OE, 进而根据正弦的定义，即可求解 【详解】(1)证明：连接0D,则0D=0A. .∠OAD=∠ODA, :OP⊥AB, ∠CA0+∠AC0=90° 而LACO=LECD=∠EDC :∠ED0=∠EDC+∠AD0=∠CA0+∠AC0=90° 又点D为O0半径外端点 ED为OO的切线， (2)设PC=0C=x,则0P=0D=2x,E0=2+2x. :ZEDC ZECD, :EC=ED =2+x .∠ED0=90°， ·在Rt△0DE中，OE2=ED2+OD2 即(2x+2)2=(x+2)2+(2x)2, 解得：x=4(x=0不合题意，舍去) .0D=0P=8,0E=10 在tA0DE中，sin∠E=OD=4 0E5 10/65 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D, 点O是边AB上一点，以点O为圆心OB长为半径作圆，⊙O经过点D. D (I)求证：直线AC是o0的切线： (2)若B0=4,A0=5,求tan∠CBD的值. 【答案】()见解析 时 【分析】(1)连接OD,则得∠ODB=∠OBD,再由角平分线的性质易得OD∥BC,再由∠C=90°即可证 明结论成立； (2)由OD∥BC得 OA OD AD ,由此可求得BC,由勾股定理求得AC,从而求得CD,最后由正切 AB BC AC 函数定义即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接0D, :0B=0D, ∠ODB=∠OBD, :BD平分∠ABC, ∴.∠DBC=∠OBD, ∠DBC=∠ODB, ∴OD∥BC, ∠AD0=∠C=90°， :0D是⊙0的半径， “直线AC是⊙O的切线； D B 11/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知，OD∥BC, △AOD∽△ABC, 、OA OD AD AB BC AC 0B=0D=4,AB=0A+0B=9, 54 BC :c-的 在ABC中，LC=90°，由勾股定理得AC=VAB-BC=27 5 AD 9=27, 解得：AD=3, CD=AC-AD=12 5 tan∠CBD= CD 1 BC 3 【点晴】连接半径是证明切线常用的方法。 8.(25-26九年级上湖北武汉期末)如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接0C,若EB=9, AE=1. B D (I)求弦CD的长. (②)连接AC、BC,若∠A0C=20°，求∠BAC的度数. 【答案】(1)6 (2)80° 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键， (1)根据垂径定理得到CE=DE,根据题意得到OE=4,在RtAOCE中，由勾股定理即可得到答案； (2)由圆周角定理可得∠B=∠40C,由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，即可得解. 2 【详解】(1)解：：CD⊥AB, 12/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CE =DE, :EB=9,AE=1, AB=9+1=10, 0C=0A=5, 0E=5-1=4, 在Rta0CE中，CE=V0C2-0E2=V52-42=3, .CD=2CE=6: (2)解：如图，连接AC、BC, B.∠A0C=20°， 1 ∴.∠B= ∠AOC=10°， 2 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∠BAC=90°-∠B=90°-10°=80°. 摩考点3线段、孤长 9.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AC是O0直径， DE∥AB交BC的延长线于点E,CD恰好平分∠ACE, E (I)求证：DE是O0的切线； (2)若O0的半径为V10,BC=2,求DE的长 【答案】(1)见解析 (2)DE=3 13/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)连接OD,根据AC是O0直径，得出LABC=90°，进而证明OD∥BE,得出 ∠0DE=180°-∠DEB=90°，即可得证； (2)延长DO交AB于点F,根据勾股定理求得AB,根据矩形的性质得出DE=FB,根据DE=FB,即可 求解 【详解】(1)证明：如图，连接0D, B ○ :AC是⊙0直径， E D ·∠ABC=90°， :DE∥AB, ∠DEB=180°-∠ABC=90°， :0C=0D, :∠1=∠3， 又：CD平分∠ACE, .∠1=∠2， ∠2=∠3， OD∥BE, ∠0DE=180°-∠DEB=90°， 又：OD为半径， .DE为OO切线； (2)解：延长DO交AB于点F, :00的半径为V10,BC=2, ·在直角三角形ABC中， AB=AC:-BC2=20)-22=6. :∠ODE=∠DEB=∠B=90°， :四边形FBED为矩形， .DE=FB,∠DFB=90°，即OF⊥AB, 14/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :OF过圆心， :AF=FB=1AB=3, 2 .DE=3. 10.(2026湖北孝感一模)如图，AB是⊙0的直径，C为00上一点，P为00外一点，PC是⊙0的切 线，且∠0BP=90°，连接AC. B (1)求证：OP∥AC; (2)若OA=3,0P=5,求AC的长. 【答案】（①）证明过程见解析 哈 【分析】(1)连接OC，,BC,BC交OP于D,先证明PB=PC，,再证明OP⊥BC,根据垂直于同一条直 线的两直线平行即可得证： (2)先利用勾股定理求出BP,再根据等面积法求出BD,最后根据勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OC,BC,BC交OP于D. D P.∠0BP=90°， B OB⊥PB, OB是⊙0的半径， PB是OO的切线， PC是O0的切线， :PB=PC, :0C=0B, OP是BC的垂直平分线， 0P⊥BC. 15/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°，即AC⊥BC, OP∥AC. (2)由(1)OP垂直平分BC, A0=B0=3,0P=5,∠0BP=90°， BP=V0P2-0B2=V52-32=4, S.om-OB-OP=1OP.BD. 1 2 .BD= 0B·BP3×412 0P551 ∴.BC=2BD= 24 5 :AB是O0的直径， AB=20A=6,∠ACB=90°， 4C-aB-sc-6-学- 5 11.(2026湖北恩施一模)如图，O0是ABC的外接圆，BC是O0的直径，BD平分∠ABC交O0于点 D,交AC于点G.连接AD,过点D作DP∥AC交BC的延长线于点P. D (1)求证：DP是O0的切线： (2)若⊙0的半径为5，AB=6,求GD的长， 【答案】(1)见解析； (2)5. 【分析】(1)连接0D,OD与AC交于点H,利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到 OD上AC,利用平行线的性质得到OD⊥DP,再利用圆的切线的判定定理解答即可： (2)利用垂径定理得到AH=CH=4C=4,利用三角形的中位线定理得到OH=】AB=3,OH∥AB,利 用相似三角形的判定与性质求得GH，再利用勾股定理解答即可得出结论. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,交AC于点H, 16/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BC是直径， 0 :∠BAC=90° BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠CBD, :∠D0C=2∠CBD, :ZABC ZDOC, :AB∥OD .∠0HC=∠BAC=90 DP∥AC, .∠0DP=∠0HC=90°， OD⊥DP. :0D为00的半径， DP是⊙O的切线： (2)解：：00的半径为5， BC=10,0D=5. :BC是⊙0的直径， ∠BAC=90°， AC=VBC2-AB2=V102-62=8. 由(1)知：OD⊥AC, :Ah=CH=54C=4, 0H=号AB=3, DH=0D-0H=5-3=2. 由(1)知OD∥AB, △DHG∽△BAG, HG DH2_1 AG AB 63' 17/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 色GH三AG AG+GH=AH=4, .GH=1. DG=DH2+GH2=22+1=5. 12.(2026湖北孝感一模)如图，AB是⊙0的直径，∠ACB的平分线交O0于点D,过点D作DE∥AB交 CA的延长线于点E,连接AD. B B D 0 图1 图2 (1)如图1，求证：DE是O0的切线； (②)如图2，若∠CAB的平分线交CD于F,AD=6,求线段DF的长. 【答案】（①）见解析 (2)6 【分析】(1)连接OD,根据“弧，弦，圆心角的关系”得AD=BD,进而得出OD⊥AB,再根据平行线的 性质说明DO⊥DE,则此题可解； (2)根据角平分线的定义得LCAF=∠BAF,∠ACD=∠BCD=∠BAD,再根据三角形外角的性质说明 ∠DAF=∠DFA,然后根据“等角对等边”得出答案. 【详解】(1)证明：连接0D, :CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, :AD=BD' .OD⊥AB. :DE∥AB, .D0⊥DE, DE是OO的切线： 18/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B E D (2)解：：AF平分∠CAB,CD平分∠ACB, ∠CAF=∠BAF,∠ACD=∠BCD=∠BAD, 又：∠DAF=∠DAB+∠BAF,∠DFA=∠ACD+LCAF, ∴.∠DAF=∠DFA .DF AD, :AD=6, .DF=AD=6 C B D 13.(25-26九年级上湖北十堰月考)如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，直角边BC与半圆0交于 点E,OA⊥AC,BA平分∠CBD,BD是半圆O的直径. (1)求证：AC与半圆0相切： (2)若BD=12,BE=8,求AC的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)AC=2V5 【分析】(1)要证明AC与半圆O相切，需证明AC垂直于半圆0的半径：先推出OA川BC,结合角平分线 得到等角，进而推出OA=OB,最后利用切线的判定定理完成证明； (2)通过作辅助线OF⊥BE,利用垂径定理求出BF的长度，再用勾股定理计算OF的长度，最后证明四 边形OACF为矩形，由矩形对边相等得到AC=OF,从而求出AC的长. 19/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：OA1AC, .∠0AC=90°. :∠C=90°， .∠C+∠0AC=180°， .OA BC, ∠OAB=∠CBA, :BA平分∠CBD, ∠CBA=∠OBA, ∠OAB=∠OBA, ∴.0A=0B, “OA是半圆O的半径， AC与半圆0相切. (2)解：连接OE,过点O作OF⊥BE于点F,如图， 则BF=EF= 2x8=4, .BD=12, :.OB=IBD=6, 2 在Rta0BF中，由勾股定理得：0F=V0B2-BF2=V62-42=2√5， :0A⊥AC,∠C=90°，0F⊥BC, .∠0AC=∠C=∠0FC=90°， .四边形OACF是矩形， AC=0F=25. 14.(2026湖北黄石一模)如图，AB是O0的直径，C,D是O0上两点，∠ABD=2∠A,过C作 CE⊥DB交DB的延长线于E. 20/65 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若O0的半径为5，CE=4,求DB的长. 【答案】()见解析 (2)6 【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理，结合已知条件可通过内错角相等，两直线平行，证得DB∥OC 从而得到∠OCE+∠CED=180°，进而求得∠0CE=90°，即可证得结论： (2)连接OC,过点O作OF⊥BD于F,易证四边形OFEC是矩形，则CE=OF=4,然后根据勾股定理 求得BF,最后利用垂径定理即可解答。 【详解】(1)证明：如图，连接OC, 则∠C0B=2∠A, :∠ABD=2LA, ∠ABD=∠COB, DB∥OC, :CE⊥DB交DB的延长线于E, .LCED=90°， .∠0CE+LCED=180°， ∴.∠0CE=90°， .OC⊥CE, :0C为00半径， CE是o0的切线； 21/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图，连接OC,过点O作OF⊥BD于F, 则∠0FE=∠CEF=∠0CE=90°， .四边形OFEC是矩形， ∴.CE=0F=4, 在Rt△0FB中，OF2+BF2=OB2,0B=5, ·BF=VOB2-OF2=V52-42=3, OF⊥BD, DF=BF=DB-3 .DB=6. 【点晴】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定定理，矩形的判定与性质，垂径定理， 勾股定理，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键 15.(2026湖北鄂州模拟预测)己知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于D, E为AB上一点，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作⊙D (I)求证：AC是⊙D的切线： Q若9E=8,且m2C}求40的长。 【答案】(1)证明见解析 (2)65 【分析】(1)过点D作DF⊥AC于F,利用角平分线的性质证明DF=DB即可求证： 22/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)由RtABDE≌Rt△FDC(HL)得BE=FC=8,再根据正弦的定义及勾股定理可得DE=DC=I0,即得 BD=√DE?-BE2=6,即得到BC=BD+CD=16,同理得到AB=12,最后根据勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的性质，切线的判定，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键， 【详解】(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于F, ∠B=90°， DB⊥AB, 又：AD平分∠BAC, :DF DB, ∴AC是⊙D的切线： (2)解：在Rt△BDE和RtAFDC中， DE=DC BD =DF RtABDES≌RtAFDC(HL, .BE FC=8, m6(号 DF 3 CD-5' 设DF=3a,CD=5a, DF2+CF2=CD2, (3a)2+82=(5a)2, 解得a=2, .DE=DC=10, BD=VDE2-BE2=V102-82=6, 23/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴BC=BD+CD=6+10=16, 又：sin∠c=AB-3 AC5’ .同理可得AB=12, .AD=VAB2+BD2=V122+62=6V5. 16.(2026湖北随州一模)如图，已知ABC中，AB=AC，O是底边BC边的中点，腰AB与O0相切于 点D,⊙O分别交底边BC于F、G两点. B (1)求证：AC是00的切线； (2)若BD=2V5,BF=2,求优弧FGD的长. 【答案】(1)见解析 【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，弧长公式，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. (1)过O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD,证明A0平分∠BAC,再根据切线的性质定理得到 OD=OE,即可得到结论； (2)设⊙0的半径为r,则0D=r,OB=r+2,根据勾股定理求出解得r=2,即OD=2,得到 LBOD=60°，再利用弧长公式进行计算即可. 【详解】(1)解：过O作0E⊥AC于点E,连接OA,OD, :O是BC的中点，AB=AC, :A0平分∠BAC, :AB是OO的切线， .OD⊥AB, :OE⊥AC, 0D=0E, .OE是00的半径， AC是O0的切线； 24/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)设00的半径为r,则0D=r,0B=r+2, 在RtAB0D中，OD2+BD2=OB2, r2+25=(r+22, 解得r=2,即OD=2, 在RtsBOD中，tan∠BOD=BD =5, OD ∠B0D=60°， 优弧FGD的长=360-60)元2_10 180 3x. 17.(2026湖北黄石一模)在⊙0中，己知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB,且DE1CD.连 BE交CD于点N,点P在CD的延长线上，PN=PE. N D (I)求证：PE是⊙0的切线： (2)若CD=8,BF=2,求DE的长. 【答案】（①）见解析 (2)DE=6. 【分析】(1)连接OE,由等腰三角形的性质得出∠PEN=∠PNE=∠BNF，,∠OEB=∠OBE.证出 ∠OEB+∠PEN=90°，即PE⊥OE,即可得出结论； (2)连接CE,证CE为00的直径，由垂径定理得出CF=DF=CD=4,在R△0CF中，由匀最定要 求得⊙O的半径，再由勾股定理即可得出答案。 【详解】(1)证明：连接OE,如图1所示： 25/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D 图1 PN =PE, .∠PEN=∠PNE=∠BNF, 0E=0B, .ZOEB=ZOBE :AB⊥CD, ∠0BE+LBNF=90°， ∴.∠0EB+∠PEN=90°， 即∠0EP=90°， PE⊥OE, :OE是半径， PE是⊙O的切线： (2)解：连接CE,如图2所示： A E N/D B 图2 :DE∥AB,AB⊥CD, .∠EDC=90°， :CE为o0的直径 AB⊥CD, 1 .CF=DF=CD=4, 2 26/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设⊙0的半径为x, 0F=x-2, 在Rt△0CF中，由勾股定理，得：CF2+OF2=OC2, 42+(x-2=x2, 解得x=5, .CE=2x=10. ÷DE=VCE2-CD2=V102-82=6. 18.(2026湖北十堰模拟预测)在数学实践课上，同学们利用圆形纸片开展折纸类探究活动： 如图，AB是OO的直径，将弦CD沿AB折叠后，点C恰好落在OO上的点D处，连接DO并延长交OO于 点F,连接AF交CD于点G,且CG=AG. E (I)试判断AC与DF的位置关系，并说明理由. (2)若AB=12,求AC和GD的长 【答案】()见解析 (2)AC=6,GD=4V5 【分析】(1)根据CG=AG得到∠CAG=∠ACG,再根据圆周角定理得出LAFD=LACD,进而得到 LAFD=∠CAG,即可求证； (2)由题意可得OD=OA=AB=6,DF=12,证明aACE≌0DE(ASA),得到 AC=OD=6,AB=OE=OA=3,进而得到CD=65,再证明a4 CGDFG,推出DG=2CG,则 DG=2DC=4. 【详解】(1)解：：CG=AG, .∠CAG=∠ACG, ∠AFD=LACD, ∠AFD=∠CAG, 27/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC∥DF: (2)解：：AB=12, :0D=0A=AB=6,DF=12, 2 由折叠的性质CD⊥AB, :CE=DE, :AC∥DF, ∠ACE=∠ODE, 在△ACE和aODE中， ∠ACE=∠ODE CE=DE ∠AEC=∠OED=90° ∴.△ACE≌aODE(ASA, :AC=0D=6,AE=0E=0A=3, 根据勾股定理可得：CE=√AC2-AE2=3√5， 则CD=6V3, :∠ACG=∠GFD,∠CAG=∠GDF, △ACG∽△DFG, AG AC 6 1 DG DF 122 .CG=AG, AG 1 DG2即DG=2CG, ÷GD=2Dc=4W5. 3 。考点4阴焙部分面积 19.(2026湖北襄阳一模)如图，ABC内接于⊙O,点E是直径AD延长线上一点，∠EBD=∠BAE. 28/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：BE是⊙O的切线： (2)若∠C=2LE,AB=2√5，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析； 2图中阴影部分的面积为2√5-2π 3 【分析】)连接OB,结合0B=0D推得∠OBD+∠B0D=90,再结合∠BHE=B0D, ∠EBD=∠BAE,即可证∠OBE=LOBD+∠EBD=90°； (2)结合圆周角定理得∠C=∠0DB,再结合外角性质推得∠EBD=∠E=30°，∠BOD=60°， 由等角对等边得BE=AB=2√5，利用解直角三角形的计算求出OB，最后由S阴影=S.oBE-S扇形OD即可得解. 【详解】(1)证明：连接OB, :0B=0D, D 分 ∠OBD=LODB, :∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°， ·∠OBD+1∠BOD=90°， :∠BAE=∠BOD,∠EBD=∠BAE, ∠OBE=∠OBD+∠EBD=90°， OB⊥BE, :OB是⊙O的半径， .BE是⊙O的切线； (2)解：B=B ∠C=∠0DB, 29/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ODB=∠EBD+∠E,∠C=2∠E, 2∠E=∠EBD+∠E,即∠E=∠EBD, ∠ODB=2∠EBD=2∠E, :∠OBD=∠ODB,∠OBD+∠EBD=90°， :.2LEBD+∠EBD=90°， LEBD=∠E=30°，∠0BD=∠ODB=60°， .∠B0D=60°， '∠EBD=∠BAE, ∠E=∠BAE, :BE AB=23, :OB=BEtan∠E=2N5×5-2, 3 5e=5am-5as0m-2x25.60x2=25-2 1 360 20.(25-26九年级下·湖北荆州月考)如图，己知等腰ABC,AB=AC,以AB为直径作O0交BC于点 D,过D作DF⊥AC于点E,交BA延长线于点F, D (1)求证：DF是OO的切线： (②)若AB=8，,CD=4√3，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）· 【答案】（①）证明见解析； 2)6v3 3 【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质证明AC∥OD,进而可以得到结论： (2)连接OD,AD,推出∠ADB=90°，根据等腰三角形三线合一，推出CD=DB=4V5,再运用解直角 三角形性质求出∠B=∠C=30°，通过圆周角定理求出∠DOA=60°，根据解直角三角形性质分别求出CE、 DE,然后根据三角形面积公式和中线性质、扇形面积公式分别求出S。ABC、S.cDS.DoBS形4Op,最后根 30/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 据S阴影=S。MBc-ScED-S.DoB-S扇形4OD代入求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, D :等腰ABC,AB=AC, ∠B=∠C, :0B=0D, ∠B=∠ODB, ∠ODB=LC, .AC∥0D, :DF⊥AC, OD⊥DF, :0D是00的半径， DF是OO的切线： (2)解：如图，连接0D,AD, D :AB为直径，AB=8, .∠ADB=90°，0D=A0=0B=4, :等腰ABC,AB=AC, ∠B=∠C,CD=DB=4V3, :在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=8,DB=4V3, 31/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cosB =DB 3 AB 2 .∠B=∠C=30°， AD=AD .∠D0A=2LB=60°， ∴.△AOD为等边三角形， AD=4, S.-AD.B-x4x485 Sw 60°.2_8元 2 360°3 CD=DB,AO=OB, 5-25m=165,3m-.m=45, :DF1AC,∠C=30°，CD=4V5, .CE=cosC.CD=6,DE=sinC.CD=23, .5.m-CE:DE-x6x2/5-6J3, 2 .S阴影=S.HBC-SCED-S.DoB-S扇形A0D =16W5-6V5-4V5.8 =6v5-8π 3 21.(25-26九年级下·湖北鄂州期中)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的0交BC于点D,过 点D作DE⊥AC,垂足为点E,延长CA交OO于点F. F D (I)求证：DE是O0的切线： (2)若AF=4,∠C=30°，求扇形0AD的面积， 【答案】()见解析 8 【分析】(1)证明OD川AC,进而得到OD⊥DE,即可得证； (2)连接0F,证明aOAF是等边三角形，得到0A=AF=4,圆周角定理得到LA0D=2LB=60°，根据 32/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 扇形的面积公式进行计算即可。 【详解】(1)证明：：OD=OB, ∠OBD=∠ODB, AB=AC, :ZB=ZC, :Z0DB=ZC 0D∥AC. :DE⊥AC, OD⊥DE. :0D是00的半径， DE是OO的切线： (2)解：连接0F. AB=AC, ∠B=∠C=30°， ∠0AF=∠B+∠C=60°. :0A=0F, △OAF是等边三角形， ∴0A=AF=4. :∠A0D=2∠B=60°. :S高形0AD 60m:428 360 A 22.(2026湖北模拟预测)如图，AB为00的直径，AC是⊙0的弦，过点C作00的切线，OD⊥AB与 过点C的切线交于点D,与AC交于点E,AB的延长线与切线DC交于点F 33/65 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：DE=DC; (2)若点E为OD的中点，⊙0的半径为1，求BC,BF,CF围成的阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 ②31 6n 【分析】(1)利用切线的性质及垂直的定义，证明∠CED=∠DCE即可； (2)先证△CDE为等边三角形，得到∠F=30°，∠COF=60°，再利用三角形面积公式及扇形面积公式，结 合S阴影=S,ocr-S鬼形OBc即可求解. 【详解】(1)证明：连接0C, .0C⊥CD,则∠DCE+∠0CA=90°， B E D :OD⊥AB, ∴∠0AE+∠AE0=90°， 又0A=0C, ∠0AE=∠0CA, .∠DCE=∠AEO, 又LCED=LAEO, :ZCED ZDCE, :.DE=DC (2)解：：点E为0D的中点，OC⊥CD, .CE-OD-DE. 又：DE=DC, 34/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △CDE为等边三角形， :∠D=60°， 又OD⊥AB, ∠F=90°-60°=30°， :∠C0F=90°-30°=60°， CF=tan∠COF.OC=tan60°=√3， S.ocr-cF.oc-v3 2 =602=, S扇形08c=360 6 √51 .S阴影=S.oCr-S扇形OBc= 26 通关特训 1.(2026安徽阜阳一模)如图，AB,CD是⊙0的两条弦，AD=BC. 6 (I)求证：AB=CD; (2)若AB⊥CD,AD=6,求O0的半径. 【答案】（①）见解析 (2)00的半径为3√2 【分析】(1)根据题意得到AD=BC,即可得到AD+AC=BC+AC,证明CD=AB,即可证明结论： (2)连接AC,AO,D0,根据圆周角定理得到∠EAD=∠ECB,证明△EAD≌△ECB,得到△EAC是等 腰直角三角形，在△A0D中，OA+OD2=AD2,即r2+2=6,即可得到答案. 【详解】(1)证明：：AD=BC, ..AD=BC. 35/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD+AC=BC+AC, :.CD=AB, AB=CD; (2)解：如图，令AB,CD的交点为E,连接AC,A0,D0, :AB⊥CD, .∠AED=∠CEB=90°， D BD=BD' .∠BAD=∠BCD, 在△EAD和△ECB中， I∠AED=∠CEB ∠EAD=∠ECB AD=BC .△EAD≌△ECB(AAS), ∴EA=EC, 又：AB⊥CD, :△EAC是等腰直角三角形， ∠ACD=45°， ∠A0D=2∠ACD=90°， 设⊙O的半径为r. 在△A0D中，OA2+OD2=AD2,即2+r2=62, 解得r=3√2， :00的半径为3√2. 2.(2025宁夏银川一模)如图，在△ABC的边BC上取一点0，以O为圆心，OC为半径画00与边AB相 切于点D,若AC=AD. 36/65 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D B (1)求证：AC是00的切线； (2)若AB=15,BC=9,求00的半径. 【答案】（①）见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确 作出辅助线是解题的关键， (1)连接0D,证明△AOC≌△A0D(SSS)得到LAC0=∠AD0,由切线的性质可得LAD0=90°=∠AC0, 由此即可证明AC是⊙O的切线； (2)勾最定理求得AC=12,进而可得amB=,设00的半径为4x,解R△0DB求出BD=3x,0B=5x ,则BC=OC+OB=9x,即可求解. 【详解】(1)证明：连接0D, y 在△AOC和△AOD中， OC=OD AD=AC, A0=A0 △A0C≌△A0D(SSS), :ZACO ZADO, 又：AD是OO的切线，点D是切点， .OD⊥AD,即LAD0=90°=∠AC0, :0C是半径， AC是O0的切线； 37/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：：AC是⊙0的切线 ∠ACB=90° 在Rt△ABC中，AB=15,BC=9 ·AC=VAB2-BC2=12, 在RIA ABC中，anB=AC4 BC3' 在RA0DB中，anB=OD_4 BD=3' 设⊙0的半径为4x, 3 .BD=二OD=3x, 4 ÷0B=VBD2+0D2=5x, .BC=0C+0B=9x, .BC=9 x=1. ⊙0的半径为4. 3.(2026河南周口一模)如图，AB是O0的直径，点C在⊙0上，CD是⊙0的切线，AD⊥CD于点D B D (I)求证：AC平分∠DAB; (②)若AD=4,AC=5,求00的直径AB的长. 【答案】(1)见解析 ©明 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质证OC川AD,得∠CAD=∠0AC即可解答； (2证aADC64CB,得4D=4C,根据AB=4C计算即可。 AC AB AD 【详解】(1)证明：连接0C, 38/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D :CD是O0的切线， .0C⊥CD :AD⊥CD, .∴.OC‖AD, ∴.∠OCA=∠CAD, 0A=0C, .∠0CA=∠0AC, :LCAD=∠OAC,即AC平分∠DAB (2)解：连接CB, B :AB是OO的直径，AD⊥CD, ∠ACB=90°， 由(1)得∠CAD=∠OAC, △ADC∽△ACB, AD AC AC AB :AD=4,AC=5, ·AB=AC25 4.(2026四川南充一模)己知：如图，AB是O0的直径，点C在00上，AC=2BC,∠CAD=60°. 39/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A D (1)试判断直线AD与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)当AB=4时，求图中阴影部分的面积。 【答案】()直线AD与O0相切，理由见解析 @5-5 【分析】(1)由直径所对的圆周角等于90度得出∠ACB=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，再由弧与角的关 系得出ABC=2LBAC,进而可求出∠BAC=30°，再结合已知条件进一步即可得出答案。 (2)过点O作0E⊥AC于E,连接0C,由圆周角定理得出∠A0C=2∠ABC=120°， 通过解直角三角形求出AC,由三线合一得出OE,最后根据S阴影=S扇形o4c-So4C求解即可. 【详解】(1)解：直线AD与o0相切，理由如下： :AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， ∠ABC+∠BAC=90°， .AC=2BC, .∠ABC=2∠BAC. 2LBAC+∠BAC=90°，即3∠BAC=90°， ·∠BAC=30°. ∠CAD=60°， LBAD=LBAC+∠CAD=90°， OA⊥AD. :OA是半径， AD是OO的切线. (2)解：过点O作0E1AC于E,连接0C, 40/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :∠BAC=30°，∠ACB=90° D .∠ABC=60°， ∠A0C=2∠ABC=120°. :在Rt△ABC中，AB=4, AC=AB.sint60°=2V3. :OE⊥AC, 1 ..AE=-AC=3, 0E=V0A2-AE2=1 ∴.S阴影=S扇形OAC-S△OAc 120元×2-×25x1=4r-5. 3602 3 5.(2026江西吉安二模)如图，己知ABC内接于O0,点D在0C的延长线上，∠B=∠D=30°. (1)求证：AD是O0的切线. (②)若OD⊥AB,AD=4√3，求阴影部分的面积. 【答案】（①）证明见解析 a1g-85 【分析】(1)连接OA,根据圆周角定理求出∠C0A=60°，即可得∠0AD=90°，则此题可证： (2)连接OB,先说明△AOC是等边三角形，进而得出四边形ACB0是菱形，再解直角三角形求出OA=4 ，即可得OC=4，然后根据勾股定理求出AE=25,可得AB=4V5,最后根据S阴影=S扇影04B-S菱形4C80得出 答案， 41/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：连接OA, B :∠B=30°， ∠C0A=2∠B=60°. :∠D=30°， ∠0AD=90°， .OA⊥AD. :OA是00的半径， ·AD是O0的切线： (2)解：连接OB, OD⊥AB, AE=BE,AC=BC,即AC=BC. :OA=OC,∠AOC=60°， :.△AOC是等边三角形， ..OA=AC, ..0A=0B=AC=BC, :四边形ACB0是菱形，则OC=20E, 在RtaA0D中，AD=4V3,∠AOC=60°， 即vg4 tan60°=4D OA 解得0A=4, ∴0C=4,即0E=2. 在Rt△A0E中，AE=V0A2-0E2=2√3， 42/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AB=2AE=43, .S阴影=S扇形OB-S要形ACB0 12004-45x4--s6 360 6.(2026广东佛山一模)如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D. B (1)求证：BC与0A相切； (2若AB=10,si血B=2,求阴影部分的面积。 【答案】(1)见解析 (2)25V5-25 【分析】(1)推导出AD1BC,AD是0A的半径，则BC与OA相切，即可解答； (2)先求出AD=)AB=5,LB=30°，得到BD=4Bc0s30°=10x5-5N5,继而推导出 2 8C=2BD=105,∠B4C=180°-∠C-∠B=120°，再根据S影=Sc-Se5=255-25,即可解答 3 【详解】(1)证明：：AB=AC,点D是BC的中点 AD⊥BC :OA以点A为圆心，且过点D :AD是⊙A的半径 :.BC与OA相切； (2)解：在R△ABD中，AB=10,sinB= sinB=AD 1 AB 2 4D=54B=5,∠B=30, BD=AB-c0s30°=10x 2 =55 :点D是BC的中点 ÷BC=2BD=10V3, AB=AC ∠C=LB=30°， 43/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=180°-∠C-∠B=120°， *S..mwc=BC.AD-x10x5=25 2 2 S形= 120r×52_25元 360 3 5a影-5c-Sa形=25V5-25 答：阴影部分的面积为25√5-25 7.(2026甘肃白银·二模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D是边BC上一点，以CD为直 径作半圆O,与AC交于AC的中点E,连接BE, D (I)求证：BE是半圆O的切线. (②)若BE=25,求图中阴影部分的面积.（结果保留） 【答案】()见解析 回2w5-号 【分析】(1)连接OE,DE,根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论. (2)根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OE,DE, E :∠ABC=90°，∠A=60°，E是AC的中点， BE=AE=CB=4C,∠C=30, .LA=∠ABE=60°， :0E=0C, .∠0EC=∠C=30°， 44/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠AEB=180°-60°-60°=60°， ∴.∠BE0=180°-∠AEB-∠0EC=90°， OE⊥BE, :OE是00的半径， BE是OO的切线； (2)解：由(1)知LD0E=∠0EC+∠C=60°，∠BE0=90°， ∴.∠0BE=30°， 0B=20E, 设半圆O的半径为R, R2+(25=(2R2 解得R=2(负值不合题意，舍去)， 网影富分的面积=5e-5aa×25x2-602=25- 360 3 8.(2026四川达州一模)如图，己知ABC内接于⊙0，AB是O0的直径，∠CAB的平分线交BC于点 D,交⊙O于点E,连接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延长线于点F. (I)求证：EF是O0的切线； (2)若BF=4,EF=8,求BC的长， 【答案】()证明见解析 (2)BC=48 5 【分析】(1)连接OE,先证明∠BEF=∠AE0,再根据直径所对的圆周角是直角，得到 LAE0+LOEB=90°，可进一步证明∠OEF=90°，即可根据切线的判定证明结论； (2)设⊙O的半径为r,先根据勾股定理列方程求得r=6,再证明△ACB∽a0EF,即可列方程求解答案， 【详解】(1)证明：连接OE, :AE平分∠CAB, :ZCAE ZEAB, :0A=0E, 45/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAB=∠AEO, ZBEF ZCAE, .∠BEF=∠AEO, :AB是OO的直径， ∠AEB=90°， ∠AE0+∠0EB=90°， .∠BEF+∠OEB=90°， 即∠0EF=90°， .EF是OO的切线； C E (2)解：设00的半径为r, 则0B=OE=r, 在Rt△OEF中，OE2+EF2=OF2, r2+82=(r+4)2, 解得r=6, 0B=6, AB=12,0F=6+4=10, 由(1)知∠CAE=∠EAB=∠AEO, :ZCAO=ZCAE ZEAB=ZAEO+ZEAB=ZEOF, AB是O0的直径， ∠C=90°， ∠0EF=90°， ∴.∠C=0EF=90°， .△ACBn△OEF, BC AB FE OF BC 12 810 46/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得BC=4 9.(25-26九年级下·江苏无锡期中)如图，CD是ABC的高，以AB为直径作O0交CB的延长线于点E ,连接DE,DE=CD. (I)求证：DE是OO的切线； (2)若CD=4,BD=2,求ABC的面积. 【答案】（①）见解析 (2)12 【分析】(1)连接OE.证明∠DBC=∠OBE=∠OEB,由题意知LCDB=90°，推出 LDEO=∠DEB+∠OEB=90°，即DE⊥OE,即可证明； (2)由题意知：DE=CD=4,BD=2,设0A=0B=0E=r,则0D=2+r,由(1)知∠DE0=90°，利 用勾股定理半径，推出AB=6,即可求解， 【详解】(1)证明：连接OE, DE=DC, ∠DCB=∠DEB. :OB=OE,∠DBC=∠OBE, ∴∠DBC=∠OBE=LOEB. :CD是ABC的高， .∠CDB=90°. .∠DCB+∠DBC=90° ∠DCB+∠0EB=90°. 47/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠DE0=∠DEB+∠OEB=90°，即DE⊥OE, 又：OE是00的半径， DE是OO的切线： (2)解：由题意知：DE=CD=4,BD=2, 设0A=0B=0E=r,则0D=2+r, 由(1)知∠DE0=90°， .在Rt0ED中，DE2+OE2=OD2, 即42+r2=(2+r)2, 解得r=3. AB=6. ：4C的面积S=方BCD6x4=12, 10.(2026青海模拟预测)如图，AB是O0的直径，D为圆上一点，AC平分∠DAB交00于点C,过 C点作CE⊥AD的延长线于点E. (1)求证：CE为O0的切线； (2)己知AB=8,AE=6,求AC的长。 【答案】(1)见解析 (245 【分析】(1)连接0C,由角平分线的定义和等边对等角推出LDAC=L0CA,则可证明AD∥OC,进而 可证明CE⊥OC,则可证明CE是⊙O的切线： (2)连接BC,证明△AEC∽△ACB,利用相似三角形的性质列出比例式求解即可. 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, 48/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B :AC平分∠DAB, .LDAC=∠0AC, :0A=0C, .L0AC=∠0CA, .∠DAC=∠OCA, .AD∥0C, :CE⊥AD, .CE⊥OC, :0C是00的半径， CE是O0的切线； (2)解：如图所示，连接BC, :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， :AC平分∠DAB, ÷∠DAC=∠BAC, :CE⊥AD, .∠AEC=90°=∠ACB, △AEC∽△ACB, AEAC AC AB 49/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=8,AE=6, 6AC AC 8 AC=45 11.(2026上海崇明·二模)如图，已知O0是ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，AC为⊙0的弦，且 AC=8,点D为AC的中点，连接OD,交AC于点E,DE=2, (1)求00的半径： (②)连接BE,求cos∠BE0的值 【答案】(1)5 2)3v3 13 【分析】（)根据垂径定理得到0D14C,4E=-CE=号4C=4,设04=0D=7,则 OE=OD-DE=r-2,利用勾股定理求出r=5,即可得到答案： (2)证明OE∥BC,得到LBEO=∠CBE,求出BC=6,BE=2V3,即可求得答案. 【详解】(1)解：：点D为AC的中点， :0D⊥AC,AE=CE=4C=4, 设0A=0D=r,则0E=0D-DE=r-2, OA2=OE2+AE2, r2=（r-22+42, 解得r=5, :00的半径为5： (2)解：如图，由1)得04=0B=5,∠AE0=90°，CE=4C=4, 50/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B AB=10, :AB是OO的直径， ∠C=90°， .∠AEO=∠C, ∴.OE‖BC, :ZBEO=ZCBE 在Rt△ACB中，BC=√AB2-AC2=6, :BE =CE2+BC2=213 .Cos∠BEO=cos∠CBE= BC 6 313 BE2W1313 12.(2026辽宁铁岭三模)如图，点0在ABC的边BC上，经过点A、C的⊙0与BC相交于点D,点E 在OO上，且DE=CE,AE与BC相交于点F,BA=BF. (I)求证：AB是O0的切线： (2)若点D是BF的中点，求sinB的值. 【答案】(1)见解析 oma-号 【分析】(1)连接OE,OA,证明∠BA0=90°，即可得证： (2)设BD=2a,半径为r,则AB=BF=4a,OB=r+2a,在RtAOAB中，勾股定理求出r=3a,再利用 正弦的定义，进行求解即可 【详解】(1)证明：如图1，连接OE,OA, 51/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、O D F C DE CE, E OE⊥CD, .∠C0E=∠D0E=90°， :∠EF0+∠0FE=90°， :0E=0A, ∠OAF=LOEF, ·AB=BF, .∠BFA=∠BAF :∠OFE=∠BFA, ∠BAF+∠0AF=90°， ∠BA0=90°， AB⊥A0, :0A是00的半径， :AB是⊙O的切线 (2)解：设BD=2a,半径为r,则AB=BF=4a,OB=r+2a, 在Rt△OAB中，∠OAB=90°， ∴.OB2=OA2+AB2, .(r+2a2=r2+(4a)2, r=3a, 0A=3a,0B=5a, 在RtAOAB中，∠OAB=90°， sinB=OA3a 3 OB 5a 5 13.(2026陕西模拟预测)如图，ABC内接于0，AB是⊙0的直径，0E⊥AC于点E,过点A作 OO的切线交OE的延长线于点D,且AB=AD, 52/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D (I)求证：AE=BC; (2)连接BD交O0于点F,若AC=4,求DF的长， 【答案】()证明见解析 (2)v1o 【分析】(1)利用AB是⊙0的直径和AD是⊙O的切线，推出∠BAC+∠CAD=90°∠CAD=∠ABC,证明 △DAE≌AABC,则求证可得： (2)连接AF,证明点F是BD的中点，利用勾股定理得到AB=2√5，再求DF的长， 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径，OE⊥AC, ∠ACB=LAED=90°， :AD是⊙0的切线，∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠BAC+∠ABC=90°， .∠CAD=∠ABC. 在△DAE和ABC中， LDAE=LABC,∠AED=∠BCA,AD=BA, △DAE≌△4BC(AAS, .AE=BC. (2)解：连接AF, :AB是O0的直径， ∠AFB=∠AFD=90°，即AF⊥BD, AB=AD, 点F是BD的中点，则BF=DF, 53/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC⊥0D,AC=4, .BC=AE=CE=2, AB=AC2+BC2=25, 则AD=2V5, :∠BAD=90°，AB=AD, .BD=V2AD=210, 六DF=BD=10 14.(2026山东聊城一模)如图，点O为圆心，AB为半圆的直径，在⊙0上取一点C,延长AB至点D, 连接DC,∠I=∠2，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. E D B (1)求证：DE是OO的切线： (2)若BD=4,O0的半径为6，求AE的长. 【答案】()见解析 (2)12 【分析】(1)连接0C,等边对等角，得到∠1=∠0CB,圆周角定理得到∠ACB=90°，进而得到 ∠0CA+L0CB=90°，推出∠0CE=90°，即可得证； (2)勾股定理求出CD的长，进而求出tanD的值，解Rt△DAE,即可得出结果 【详解】(1)证明：连接0C,则0C=0B, ∠1=∠0CB, ∠1=∠2， ∠2=∠0CB, :AB为半圆的直径， .∠ACB=90°， ∴∠0CA+∠0CB=90°， ∴.∠0CA+∠2=90°，即∠0CE=90°， 54/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..OC L DE :0C为半径， DE是O0的切线： E D (2)解：：00的半径为6， 0C=0A=0B=6,AB=12, .OD=OB+BD=10,AD BD+AB=16, .OC L DE CD=V0D2-0C2=8, tanD=OC、3 CD-4' :AE⊥AD, “tanD=E、3 AD4' 点4AE=3AD=12. 15.(2026湖南永州二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC,BC,过点C作⊙0的切 线I,过点A作I的垂线交1于点D· B (I)求证：AC平分∠DAB; (2)若AD=3,CD=4,求BC的长. 【答案】(1)见解析 日c=号 【分析】(1)连接OC,由切线的性质，可得OC⊥1，结合已知可得0C∥AD,可得∠OCA=∠DAC, 55/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 等边对等角，等量代换，可得∠0OAC=∠DAC,即可证得结论： (2)用勾股定理解RtAADC,即可得AC的长，证明△ADC∽△ACB,进一步求解即可. 【详解】(1)证明：如图.连接0C, 1为⊙0的切线，0C为00的半径， B 0C11, AD⊥I, 0C∥AD, :∠DAC=∠AC0, :0A=0C, .∠CA0=∠AC0, :∠DAC=LCA0, AC平分∠DAB: (2)解：：AB是O0的直径， .∠ACB=90°， :AD⊥1， ∠ADC=∠ACB=90°， :AD=3,CD=4, ·在RtAADC中， 根据勾股定理，得AC=√AD2+CD2=5, 由(1)可知，∠DAC=∠CAB, .△ADC∽△ACB, AD CD ,34 AC BC 2,即BC' 20 .BC= 3 16.(2026内蒙古包头一模)如图，AB是00的切线，E为切点，以0为顶点作∠C0D,交⊙0于点C, 交AB于点D,连接CE,交OD于点F, 56/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E (1)L0CF与LCED有什么数量关系，请说明理由； (2若00的半径为2,4C0D=90°，cosC-25 ,求0D的长. 【答案】(I)LOCF+LCED=90°，理由见解析 ao0-月 【分析】(1)连接OE,由OC=OE得到∠0CF=∠OEF,根据切线的性质得到L0EF+∠CED=90°，即 可求解： (2)由题意可推出，∠CF0+∠0CF=90°， 0c_25 得到CF=√5，根据勾股定理求出0F=1,证明 CF 5 LEFD=∠CED得到DE=DF,设DE=DF=x,则OD=1+x,根据勾股定理列方程求出x,即可求解. 【详解】(1)解：∠0CF+∠CED=90°，理由如下： 如图，连接OE, OC=OE, :∠0CF=LOEF, :AB是⊙O的切线，E为切点， ·∠0ED=90°，即L0EF+∠CED=90°， ·L0CF+∠CED=90°； 2)解：：∠C0D=90,cosC=25 :LCF0+∠0CF=90°， 0C25 ,即225 CE 5 CE 5 iCF=5, 0F=CF2-0C2=5-22=1, 57/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠OEF+∠CED=90°，∠0CF=∠0EF,∠CF0+L0CF=90°， ·LCFO=LCED, :∠CFO=∠EFD, .∠EFD=∠CED, :DE =DF, 设DE=DF=x,则OD=OF+DF=1+x, 由勾股定理得0E2+DE2=0D2,即22+x2=(x+12, 解得x=3 35 .OD=1+x=1+ 221 17.(2026江苏扬州一模)如图1，AD为⊙0的弦，AB经过圆心0交O0于点C,AD=BD,若OA=3 ,CD长为π. D D 0 E 图1 图2 (1)试判断直线BD与OO的位置关系，并说明理由： (②)如图2，在原有条件下，若AE=EC,连接AE,求AB-AE的长. 【答案】(I)直线BD与⊙O相切，理由见解析 2)9-32 【分析】(1)连接0D,由OA=OD,AD=BD,推出LAD0=∠B,根据弧长公式可得∠COD=n=60°， 利用三角形的外角性质可得∠AD0=∠B=30°，即可判断； (2)连接OE,根据含30°的直角三角形的性质可求出OB=6,进而得到AB=9,由AE=EC可得 ∠AOE=LCOE=90°，根据勾股定理求出AE,即可求解 【详解】(1)解：直线BD与⊙0相切，理由如下： 如图，连接OD, 58/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B OA=OD,AD=BD, 图1 :∠A=∠AD0,∠A=∠B, .∠ADO=∠B, :0A=3, 00的半径为3， :CD长为π， 3nπ “π= 180 :∠C0D=n=60°， :∠A+∠AD0=∠COD, :∠A=∠AD0=∠B=1∠C0D=30, :∠0DB=180°-∠AD0-∠B=90°， OD⊥BD, :0D为00的半径， :直线BD与OO相切； (2)如图，连接OE, D B E 图2 由(1)得0A=0D=0C=3,∠0DB=90°，∠C0D=60°， :∠B=30°， 0B=20D=6, AB=0A+0B=3+6=9, 59/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE=EC, ·LA0E=LC0E=90°， :0A=0E=3, ·AE=V0A2+0E2=3V2, ·AB-AE=9-3V2. 18.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为O0直径，CB是O0的切线，连接AC交⊙0于点D,点E在 AD上，连接EO并延长交CB于点F,且∠A=∠F, B (I)求证：E为AD中点： (2)若BF=6,BC=4,求AD的长度. 【答案】()见解析 (2)6 【分析】(1)根据切线的性质可得：∠OBF=90°，从而得到OE⊥AD，再由垂径定理解答即可； ②连接B0,证明：C0Bn.CEP,可符2号设0E=,测BD=2x,EP-5r,OF:4,悵据 ∠DBC=∠P,可得c0s∠DBC=c0s∠F,从而得到2=6，进而得到BD=2N5,OF=45,然后在 44x Rt△OBF和Rt△ADB中，利用勾股定理解答即可. 【详解】(1)证明：：AB为⊙0直径，CB是OO的切线， ∠0BF=90°. :∠A=∠F,LAOE=LFOB, 180°-∠A0E-∠A=180°-∠F0B-∠F, ·∠AE0=∠OBF=90°，即OE⊥AD, AE=DE,即E为AD中点； (2)解：如图，连接BD, 60/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 :0A=0B,AE=DE, OEBD,OE∥BD △CDB∽△CEF,LDBC=∠F, BD CB EF CF :BF=6,BC=4, BD4 2 EF4+65' 设OE=x,则BD=2x,EF=5x, 0F=4x, :AB为O0直径， LADB=90°， ∠BDC=90°， 由(1)得：∠0BF=90°， :∠DBC=∠F, :cos LDBC=cos∠F, 肥8部甲 44x 解得x=√， BD=25,0F=4V5, 在Rt△08F中，0B=V0F2-BF-V45°-62=2W5, .AB=20B=4V5, 在R△ADB中，AD=VAB2-BD2=45-2=6 19.(2026四川乐山一模)如图，AB是⊙0的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C,过 点B作直线BD交CE的延长线于点D,且DB=DE. 61/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：BD是⊙O的切线； (2)若AB=12,BD=5,求O0的半径 【答案】()见解析 贤 【分析】(I)由DB=DE得到∠DBE=∠DEB,再利用角的互余关系和对顶角证明LOBA+LDBE=90°， 再由OB为半径，则切线可证： (2)过点D作DF⊥AB于点F,由己知求出EF=3,DF=4,再证明△AEO∽△DFE再求OO的半径即可 【详解】(1)证明：“DB=DE, ∠DBE=∠DEB, :∠DEB=∠AEC, .∠DBE=∠AEC. 又：EC⊥0A, :∠A+LAEC=90°. :0A=0B, :∠A=∠OBA. .∠0BA+∠AEC=90°. ∠0BA+∠DBE=90°. ∠0BD=90°. 又OB为半径， BD是⊙的切线， (2)解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F, 连接OE, 62/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :E是AB的中点， D :AE=BE=6,OE⊥AB, 又：DB=DE,DF⊥AB, .EF-T8E-3. :BD=DE=5, :.DF =BD2-EF2=4, :∠DEB=∠AEC,∠ACE=∠DFE=90°， ∠A=∠EDF. :在△AEO和△DFE中， ∴∠A=∠EDF,∠AEO=LDFE=90°. :△AE0n△DFE. AE DF AO DE 64 A05 得40=15 20.(2026山东临沂模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,点O在ABC的边AC上，以0C为半径 的OO与AB相交于点D,与BC相交于点E,EF为OO的直径，FD与AC相交于点G,∠F=45°. G B (1)求证：AB是O0的切线： (2)若AB=8,⊙0的半径为3，求FG的长. 63/65 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）见解析 ②FG的长是9V2 【分析】(1)连接0D,由圆周角定理得∠D0E=2∠F=90°，由AB=AC得∠B=∠C,，由OE=OC得 LOEC=LC,可得∠B=LOEC,得AB∥EF,故可得AB是OO的切线； (2)分别求出OA=5,0F=0C=0D=3,DF=3√2，AD=4,由AD∥OF证明△AGD∽△0GF可得 DC=4D-4,即3V5-FC_4,从而可求出FG. FG OF 3 【详解】(1)证明：连接0D, D ∠F=45°， B .∠D0E=2LF=90°， AB=AC, .∠B=∠C. :0C=0E, :∠C=L0EC, .∴.∠B=∠OEC, .ABOE, ∴.∠ODA=∠DOE=90°， .AB⊥OD于点D, :0D是⊙0的半径， AB是OO的切线； (2)解：AB=8, .AC=AB=8, :⊙0的半径为3， .OA=5,0F=0C=0D=3, 由(1)知∠D0F=90°，∠AD0=90°， 64/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DF=VOF2+0D2=√20F=3v2, AD=V0A2-0D2=V52-32=4, :AD∥OF, △AGD∽a0GF, DG AD 4 FG OF 3 即3N2-FG4 FG 3 ·FG=9 7 FG的长是9V2 7 65/65