题号猜押05 湖北省卷中考数学第20题（解答题）（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押05湖北省卷中考数学第20题（解答题） 押题预测 考点1一次函数 1.(2026湖北襄阳一模)如图1，已知正比例函数y=x与一次函数y=-x+7的图象交于点A. B 图1 图2 (1)求点A的坐标； ②版轴上有一点P.0),过点P作维的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交函数？子x和y=-x+7的 图象于点8、C,选接0C,若BC-写01，米A08C的直只： (3)在(2)的条件下，如图2，若一次函数y=-x+7的图象与y轴交于点D,试判断四边形OCBD的形状， 并说明理由 2.(2026湖北模拟预测)研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长.某数 学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成 下面填空与证明， 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点A(0,4),B(6,4),在x轴上找一点C,使AC+BC的值最小： 1/20 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B 图1 (I)作法：作点A关于x轴的对称点A(),连接A'B与x轴的交点即为C( )；(填写坐标) (2)求法：由作法知：AC+CB=A'C+CB=A'B,A'B的长度是 (3)说理：CA'=CA的依据是 ,x轴上的点到A,B距离之和的最小值等于A'B的依据是 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律. 如图，已知光源位于点A(0,4),将x轴视为平面镜，在x轴上确定点D,使光线经过点D反射后恰好过点 E9,8); F D 主 图2 (4)应用：运用活动一的作法，可得D( );(填写坐标) (⑤)悟理：如图2，过点D作DF⊥x轴于点D,证明：∠EDF=∠ADF. ●考点2一次函数反比例函数综合 3.(2026湖北随州二模)》如图，反比例函数y=(k>0)的图象与一次函数y的图象交于A、B两点 3 (点A在第一象限)·若点A的横坐标为4. 2/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A ()求k的值及B点的坐标， ②根据图象，直接写出当>三x时，的取值范围。 x 4 4. (2026湖北黄石一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=+b和反比例函数y=4的图 象相交于点A1,m,B(n,-2). (I)直接写出点A、B的坐标： (2)求一次函数的解析式： 3)根据图象，直接写出不等式4<：+b<0的解集. 5.(25-26九年级上·湖北荆门期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合， 点B在y轴的正半轴上，点4在反比例函数y=《(k>0X>0)的图象上，点D的坐标为(4,3). o( ()求反比例函数的关系式： (②设点M在反比例函数图象上，连接MMD,若aM4D的面积是菱形ABCD面积的令，求点M的坐标。 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026湖北随州一模)如图，在直角坐标系中，直线=r+b与双曲线片，=(k≠0)分别相交于第二、 四象限内的A(m,4),B(6,n两点，与x轴相交于C点，与y轴交于D点，已知OC=3,an∠AC0 3 B (1)求y,y对应的函数表达式： (②)直接写出当x<0时，不等式ar+b>《的解集， 7.(2026湖北襄阳一模)如图，一次函数y=， -1的图象与反比例函数y=《的图象交于Aa,l, B(-2,b)两点. (①)求反比例函数的解析式： ②观察图象，直接写出不等式-1<兰的解袋。 8.(2026湖北黄冈一模)如图，一次函数y=-x+6与反比例函数y=(x>0)的图象交于点Am,3)和 B(3,1. D 4/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求一次函数的解析式和m值： (2当x>0时，请根据图象，直接写出关于x的不等式≤-x+b的解集； (3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,交反比例函数y=(x>0)的图象于点Q,连接 0P,0Q,若△PO0的面积为；，求点P的坐标. 9.(2026湖北荆州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为0，)，点A(m,3)在函数 y=k>0,x>0)的图象上，将线段AB向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度得到线段CD, 此时点C落在函数y=k的图象上，点D在x轴上. A B (1)点D坐标为 ,点C坐标为 (用含m的代数式表示)： (2)求k的值及直线AC的解析式. 10.(2026湖北荆州一模)如图，己知点A在反比例函数y=x>0)的图象上，点B在反比例函数 y=”(x<0)的图象上，AB经过原点0，且0B=20A. (1)过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N,则S4oM:SBov= 2)若反比例函数y=《(x>0)的图象过点A1,4).则m的值为 (3)在(2)的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P,使△ABP为以点A为直角顶点的直角三角形，若 不存在，请说明理由；若存在，求出P点的坐标 11.(2026湖北孝感.一模)例如：min-1,3=-1;min-1,-2=-2 5/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成下列任务（填空写最简结果） ay0minl（-5j',2- .②min-4,-4= (2)如图，已知反比例函数片=《和一次函数片=-2x+b的图象交于4B两点，结合图象，当-2<r<0时， min上，-2x+b-(x+1(x-3到-产求这两个函数的解析式， 12.(2026湖北襄阳一模)如图，一次函数y=ar-2的图象与反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图 象相交于A3,1,B两点. (①求一次函数y=ar-2和反比例函数y=的解析式； (2)直接写出ar-2<的解集 。考点3规律探究 13. (25-26九年级下·湖北十堰·月考)探索与表达规律 11 19 13 19 21 23 23 29 23 25 27 29 3133 35 31 33 35 37 39 25 27 29 37 39 41 4345 47 … 图1 图2 图3 (1)【回顾教材】教材3.5探索与表达规律的课后习题中有这样一个题目：将连续奇数1,3,5,7,9，…， 排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系： 6/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否 还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记Pm表示第m行第n个数，如P表示第2行第3个数是17. ①P4=; ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于296.若能，求出四个数中的最大 数；若不能，请说明理由 14.（2026湖北·模拟预测)月历中有很多奥秘，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2026 a b 年3月份的月历，用一个正方形任意框出四个数a,b,c,d对这四个数定义一种运算：Cd ad-bc.例 12 1112 如： =1×9-2×8=-7, 89 =11×19-12×18=-7. 1819 2026年3月 六 0 15 6 9 22 2324 25 2627 28 293031 ()请你用这个正方形再任意框出四个数，验算一下，看看是否也符合这个规律； (②)把框出的四个数中左上角的数记为n,请用含n的式子把这个规律表示出来： (3)请利用整式的运算对以上规律加以证明. 15.（2026湖北襄阳一模)综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数 计算进行探究活动.如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2 个点，…第n行有n个点. n+1个 ● n行 ● 图1 图2 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐.在探究 的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2）， 三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半.由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是 .图1中三角形点阵前n行的点数和是 (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3 个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了， 如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 16.(2026湖北黄石一模)如图，这是一张2026年1月的月历表.在此月历表上可以用一个正方形框任 意圈出4个数（如2,3,9,10）· 2026年1月 一二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 (1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为 ·(用含x的代数式表示) (②)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45.小颖认为小丽一定算错了.小颖的说法正 确吗？说明理由。 (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数. 17.(2026湖北黄石一模)将连续的奇数1,3,5,7，，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任 意框出5个数. 1357911 131517192123 252729313335 373941434547 495153555759 。。 。。。 。。 。。 。。。 。。。 (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由： (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17,29,41,53，.，则这一列数可以用代数式表示为12m+5 (m为正整数)，同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为 (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 18.（2026湖北宜昌模拟预测)把正整数1,2,3,4，排成如下一个数表. 8/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第第第第第第第第 12345 6 7 8 列列列列列列列列 第1行 1 23 45 67 8 第2行 910111213141516 第3行 1718 1920212223 24 第4行 25 26272829303132 (1)2026在第 行，第列： (②)第n行第3列的数是 (用含的代数式表示) (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏， 嘉嘉对淇淇说：“你从数表中桃一个数x,按如图所示的程序计算，只要你告诉 我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行.”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由. 输入x →+10→×5-10→÷5 输出y 19. (2026湖北黄冈·二模)某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若 干个正六边形组成，按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图 案有8个正六边形，. 8888888888 ① (1)按此规律，第6个图案中有 个正六边形；第n个图案中有 个正六边形；（用含n的代 数式表示) (②)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为667，求这两个图案分别是第几个图 案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第(a+1)个图案正六边形个数之和的 2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含α的代数式表示)；若不存在，请说明理由. 20.(2026湖北恩施一模)综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也 就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数， 十进制数一般不标注基数. 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了 下面的式子（规定当a≠0时，a°=1）：3721=3×103+7×102+2×10+1×10°. 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如，二进制数(1011)2，转换为十进制数为：1×23+0×22+1×2+1×2°=11. 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得 25=(11001)2. 2 25 余数低位 2 12 1 2 6 0 2 3 0 21 1 0 1 高位 此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）· 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数(101)2对应的十进制数是，十进制数13对应的二进制数为 (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用.十二进制使用0,1,2,3,4， 5,6,7,8,9,X,Y来计数.其中X代表10，Y代表11.请结合以上材料计算十进制数982对应的 十二进制数为 (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破 解公式为3，，当x为偶数时，破解公式为2x+3.则破解二进制明码110110，表示的密码为一· 2 21. （2026湖北孝感一模)实践与活动， 活动名称 进位制的认识与探究 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢 十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢n 背景材料 进一”就是n进制，n进制的基数为n.为了区分不同的进位制， 常在数的右下角表明基数，例如(1011，就是二进制数1011的 简单写法.十进制数一般不标注基数 十进制数：234=2×10☐+3×10F4×10◆，记作：234. 素材1 七进制数123)◆=1×70+2×703×7◆，记作：(123)，· 10/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十 进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应基数的 幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十 进制的数位有十个数码0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，满十 进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一.二进制 的四则运算规则如下：加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1， 素材2 1+1=102 减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0,102-1=1（同一数位不 够减时，向高一位借1当2) 解决问题： 任务1：探究不同进位制的数之间的转换： (1)将数131，转化成十进制数的值为多少？ (2)将数(243)，转化成十进制数的值为多少？ 任务2：探究进位制数的加法运算 (3)10110),+(11012=- 22.(2026湖北黄冈·模拟预测)在如图1所示的数表中，记Pm表示第m行第n个数，如P2.表示第2 行第3个数是9. 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Q b 19 20 21 22 23 24 d 图1 图2 (1)45= ； (2)若Pm=55,则m= (3)用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a,b,c,d. 11/20 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①d所表示的数为 (用含a的代数式表示)； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出α的值；若不能，请说明理由。 通关特训 5 1.(2026辽宁抚顺一模)如图，在平面直角坐标系中，直线：y=2x-。分别交x轴、y轴于点D,E, 2 、3 直线：y=-二x+b分别交x轴、y轴于点C,B(0,3). 12 B (I)求点A的坐标和△EAC的面积； ②若点F化，在线段B上，点G-1为在直线y=2x-3上，求-为的最大值。 2.(2026辽宁沈阳一模)如图，在平面直角坐标系中，直线=kx+b(k≠0)分别与x,y轴交于点 A4,0),B(0,2),直线y2=x-2分别与x,y轴交于点C,D,过直线AB上一点M作x轴的平行线，交直 线CD于点N, B (I)求直线AB的解析式： (2)若MN=2AC,求点M的坐标. 3.(2026山西三模)如图，直线1：y=kx+bk≠0)与x轴，y轴分别交于点C,B(0,,与反比例函数 y=6在第一象限内的图象交于点A(2,m). 12/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求m的值及直线1的函数表达式 ②老点P是反比例函数=兰第一象限内图象上的一点，且Sm子求点P的坐标。 4.(2026安微阜阳二模)如图，已知一次函数y=mx+n川(m≠0)的图象与反比例函数y=《(k≠0)的图象 交于A(1,a,B(-2,-1两点，与y轴交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴负半轴上的点，且OC=OD,求△ABD的面积. 5.(2026四川绵阳二模)如图，双曲线y=与直线AB:y=x+2的图象交于点A(a,3,点B,直线AB与 x轴交于点C,动点P在线段AC上，过点P分别作PN∥x轴，PM∥y轴交双曲线于点N,交x轴于点M, 连接MN. (1)求k的值及点B的坐标； (2)求S△Pww的最大值. 6.(2026河南周口一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)与一次函数 y=ax+ba≠0的图象相交于点A2,m）与点B(4,2. 13/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求一次函数和反比例函数的解析式. (2)根据图象，当x>0,ax+b>时，求x的取值范围。 (3)求AOB的面积. 7.(2026河南南阳一模)如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于 1 点A2,,点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D. B O (I)求反比例函数的表达式： (2)若BD=3,求点B的坐标； (3)反比例函数y=(x>0)的图象关于x轴对称的图象为y,直接写出射线0A绕点0顺时针旋转90°后与y 的交点坐标 8.2026四川南充一发)知图、直线y=+b与双通线y-<0交于4a》, B(-1,4)两点 B (1)求直线和双曲线的解析式： (2)点P在线段AB上，过P作PC⊥y轴，与双曲线交于D,若△POD的面积为3，求点P的坐标. 9.(2026河北保定二模)如图，直线4：y=4x+4交x轴于点A,交y轴于点B,已知点C(3,-. 14/20 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C (I)如图，过点C作直线马：y=c+b. ①用含k的代数式表示b: ②若直线☑与线段AB有交点（不包含A,B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交(，马于D,E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m,若DE=1,且k, m均为整数，求m的值. 10.(2026河南周口模拟预测)如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=”的图象相交于点 A4,6,Bn,2). B (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)将一次函数的图象沿y轴向下平移，使直线经过点C(-4,0),交y轴于点D.连接AD,BD,求△ABD的 面积； (③)请直接写出关于x的不等式：+b>”的解集。 11.(2026四川成都一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=心+2与反比例函数y=《的图象相交于 A(1,3,B(b,-1)两点，与y轴交于点C.点D,E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点D位于 点A右侧，点E位于A,D两点之间. 15/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求a,b和k的值： (2)当△ACD面积为3时，求点D的坐标； (3)将ADE沿着射线AB的方向平移后得到△A'D'E',当AE=DE时，是否存在△A'D'E'两顶点同时落在反 比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由. 12.(2026安徽·模拟预测)观察下列等式： 第1个等式：13+3×12+1+1=23；第2个等式：23+3×2+2+1=33； 第3个等式：33+3×32+3+1=4；第4个等式：43+3×42+4+1=53； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：： (②)写出你猜想的第n个等式（用含的式子表示），并证明. 13.(2026浙江金华.二模)若一个整式能表示成a2-b2(a,b都是整式)，则称这个式子为“平方差式”， 若a,b为整数，则称“平方差数”.如3=22-12：2a+1=(a+1)-a2等 (1)写出一个大于30且小于40的平方差数”. (2)已知T=x2-4y2+6x+8y+k（k是常数)是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由. 14.(2026广东江门一模)幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空. 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一： 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数. 16/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六 2 3 6 9 10 11 12 2 a 6 n n+2 14 15 16 17 18 19 20 d 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 20 n+16 图1 图2 图3 (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则α是-，b是_- (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是_，d是_； (注：用含n的代数式表示c和d.) 活动二： 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及 两条斜对角线上的三个数的和都相等. 2 3 4 17 2 e n+2 10 11 10 g n+16 1617 18 18 图4 图5 图6 (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是_，f是_； (4)若方框选取的数中最小的数是n,调整后，部分数的位置如图6所示，则g是_（用含n的代数式表示g). 15.(2026安微六安二模)观察以下等式： 第1个等式：1×3=42-13； 第2个等式：2×4=52-17； 第3个等式：3×5=62-21： 第4个等式：4×6=72-25： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含的式子表示，n为正整数），并证明. 16.（2026安徽阜阳二模)【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“口”表示)和 花卉（用“口”表示）组成图案. 17/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ☆☆ ☆☆☆☆★ 。。。希e 口口口 ■口 ▣ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为 (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为 (用含的式子表示)； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆. 17.(2026青海模拟预测)综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边 形的“顶点圆”.现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系. 图① 图② 图③ 图④ 探索任务： (①)任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为 (2)任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为 (3)任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和.请写出过程（提示：五边形各内角度 数分别记为n,n2，n,n°，n°，各顶点处扇形的面积分别记为S,S2,S,S4,S). (4)任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和 归纳： (⑤)推广到边形(n≥3)中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为 (用含的式子表 示)· 18.(2026安微模拟预测)【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：a=3=2×1+1,b=4=2×1×(1+1,c=5=2×1×1+1)+1: 18/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第2组：a=5=2×2+1,b=12=2×2×(2+1,c=13=2×2×2+1+1: 第3组：a=7=2×3+1,b=24=2×3×(3+1),c=25=2×3×(3+1)+1: 第4组：a=9=2×4+1,b=40=2×4×(4+1,c=41=2×4×4+1+1; (1)第7组勾股数是a=-,b=-,c=-; (2)若一个正整数m能表示成两个连续正整数的平方差，即m=n2-(n-1)2(n为大于1的正整数)，则称这 个正整数m为“和谐数”，试判断第7组勾股数中的最大数c是否为“和谐数”； (3)当n为正整数时，在第n组勾股数中，点(b,c在一条确定的直线上，这条直线的表达式是y=-· 19.(2026福建三明二模)阅读材料，回答问题 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为 m,竖直方向边长为n的网格矩形称为“m×n矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩 形2×3矩形“4×3矩形”.小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形 内部的一个点)的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究. L 小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： 图1 图2 图3 (kmxn表示m×n矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数) m m+n 2 1 3 2 2 3 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现kmxm与m+n之间满足等量关系：kmxm=②.记这个等量关系为“*”. 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点. 小江的观点是：在m×n矩形中，当正整数m,n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立. 小河的观点是：在m×n矩形中，当正整数m,n互质(m,n的公因数只有1)时，等量关系*一定成立. (1)①的内容是 ，②的内容是 19/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例： (3)m,n均为正整数，且m≥n，写出满足kmxm=6的所有数对(m,n). 20.(2026安徽芜湖·二模)综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图 形)的花卉展览架， 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为1，每个正方形花盆架中放置一盆盆景， 每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：1+2+3+…+n n(n+（n为正整数)· 2 】 (●X●X●X●X●X●X●X●XX ■T目 第1个展览架图 第2个展览架图 第3个展览架图 第4个展览架图 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3： 第2个展览架中花卉的盆数为2+3，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为5+6，盆景的盆数为10： 第4个展览架中花卉的盆数为9+10，盆景的盆数为15： 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： ()第5个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为 (②)第n(为正整数)个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长. 20/20 题号猜押05 湖北省卷中考数学第20题（解答题） 考点1 一次函数 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得，， ∴ ∴四边形是平行四边形． 2．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】(1)， (2)10 (3)轴对称的性质；两点之间，线段最短 (4) (5)见解析 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征求出的坐标，待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求解即可； （3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可； （4）待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （5）根据轴对称的性质得出，然后根据余角的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； （4）解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （5）证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 考点2 一次函数反比例函数综合 3．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 4．（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 5．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（）的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）设点的坐标为，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，而，如图1所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； ∴. （2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为， 设点的坐标为， 的面积是菱形面积的， ∴，        ∴或3， ∴点M的坐标为或． 6．（2026·湖北随州·一模）如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与轴相交于点，与轴交于点，已知，． (1)求，对应的函数表达式： (2)直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据，，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由函数的图象直接可以得出，当时，不等式的解集． 【详解】（1）解：设直线与y轴交于点D， 在中，，． ∴，即点， 把点，代入直线得， ，，解得，， ∴； 把，代入得，，， ∴，， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：由图象可知，当时，不等式的解集为． 7．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合． （1）先求出点A的坐标，再用待定系数法，即可得出反比例函数的解析式； （2）根据图象，找出一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由图可知，一次函数和反比例函数图象相交于点A、B， ∴的解集为或． 8．（2026·湖北黄冈·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时得解集为； （3）解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 9．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在函数的图象上，将线段向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度得到线段，此时点落在函数的图象上，点在轴上． (1)点坐标为________，点坐标为________（用含的代数式表示）； (2)求的值及直线的解析式． 【答案】(1)， (2)，直线的解析式为 【分析】（1）根据平移方式求出点的坐标即可； （2）根据题意得到，求出，，得到点坐标为，点坐标为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点的坐标为 ，即； 点的坐标为，即； （2）解：点与点都在函数图象上， ， ，， 点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为． 10．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 11．（2026·湖北孝感·一模）例如： 完成下列任务（填空写最简结果） (1)①_____．②_____． (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于两点，结合图象，当时，求这两个函数的解析式． 【答案】(1)①1；② (2)， 【分析】（1）根据零次幂及实数的大小比较可进行求解①②； （2）由图象可知当时，，，． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵，且， ∴， ∴； （2）解：由图象可知：当时，， ∴， ∵， ， ∴一次函数的解析式为， ∴当时，则有， ， ∴， 反比例函数的解析式为． 12．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，根据函数图象解不等式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求解； （2）联立函数解析式，求得点的坐标，可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 考点3 规律探究 13．（25-26九年级下·湖北十堰·月考）探索与表达规律 (1)【回顾教材】教材3.5探索与表达规律的课后习题中有这样一个题目：将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系：______； (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17． ①______； ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于296．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字形框中的五个数之和是中间数的5倍 (2)是，理由见解析 (3)①55；②不能，见解析 【分析】（1）设中间数为a,则十字形框中的其余四个数分别是，将五个数相加即可解答； （2）设中间数为b,则十字形框中的其余四个数分别是将五个数相加即可解答； （3）①观察图3，可得，将其再加上12，即可求出的值； ②假设T字形框中的四个数之和能等于296，设T字形框中的上行中间数为c,则其余三个数分别是，根据四个数之和等于296，可列出关于c的一元一次方程，解之可得出c的值，再结合71是第六行最后一个数进行判断即可解答． 【详解】（1）解：设中间数为a，则十字形框中的其余四个数分别是， ∴十字形框中的五个数之和为, ∴十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； （2）解：是，十字形框中的五个数之和是中间数的5倍，理由如下： 设中间数为，则十字形框中的其余四个数分别是，，，， ， 因此，十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； （3）①∵， ∴； ②T字形框中的四个数之和不能等于296，理由如下： 假设T字形框中的四个数之和能等于296，设T字形框中的上行中间数为c，则其余三个数分别是， 根据题意得：，解得：， ∵71是第六行最后一个数， ∴假设不成立，即T字形框中的四个数之和不能等于296． 14．（2026·湖北·模拟预测）月历中有很多奥秘，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年3月份的月历，用一个正方形任意框出四个数a，b，c，d，对这四个数定义一种运算||：．例如：，． (1)请你用这个正方形再任意框出四个数，验算一下，看看是否也符合这个规律； (2)把框出的四个数中左上角的数记为n，请用含n的式子把这个规律表示出来； (3)请利用整式的运算对以上规律加以证明． 【答案】(1)符合此规律，见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）根据材料提示，结合日历表当时，代入计算即可； （2）根据题意得到左上角的数记为n，则对应的数字依次为，结合材料即可列式； （3）根据整式的混合运算计算求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴符合题意这个规律； （2）解：框出的四个数中左上角的数记为n， ∴对应的数字依次为， ∴； （3）证明：根据（2）可知， ， ∴左边右边． 15．（2026·湖北襄阳·一模）综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】(1)36， (2)11人 【分析】（1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即，然后把代入计算即可； （2）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘石榴的总数为，根据这些石榴平均分配每人可得6个，可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为； 当时，， 即图1中三角形点阵前8行的点数和是36； （2）解：设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 16．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1) (2)小颖的说法正确，理由见解析 (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 17．（2026·湖北黄石·一模）将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 【答案】(1)十字框中的五个数之和是17的5倍，理由见解析 (2) (3)十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列 【分析】（1）求出5个数的和即可得出结论； （2）若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在5的基础上增加几个12；同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； （3）设中间的奇数是，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：十字框中的五个数之和是17的5倍，理由如下： ； （2）解：第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； 第五列的奇数，起始数为9，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； （3）解：设中间的奇数是，则中间数上面和下面的数分别为，前面和后面的数分别为，则这个数的和为 ， 依题意 解得：， ；则在第列； 答：十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列． 18．（2026·湖北宜昌·模拟预测）把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． (1)2026在第______行，第_____列； (2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)254，2 (2) (3)有道理，理由见解析 【分析】（1）从图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，从而可进一步得出答案； （2）由题意可知第n行第8列是，然后可以进一步推出答案； （3）按照程序写出代数式，再化简即可得出答案. 【详解】（1）解：由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数， ∵， ∴2026在第254行，第2列； （2）解：第n行第3列的数是：； （3）解：根据计算程序，可得：， 所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行， 所以嘉嘉说得有道理． 19．（2026·湖北黄冈·二模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成，按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，…．        (1)按此规律，第6个图案中有________个正六边形；第n个图案中有________个正六边形；（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为667，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17， (2)这两个图案分别是第111个图案与第112个图案 (3)存在， 【分析】（1）根据给出的图案，推出规律，进行求解即可； （2）设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第个图案，根据（1）中规律列出方程进行求解即可； （3）设符合条件的是第x个图案，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可得，第1个图案中正六边形的个数为：2； 第2个图案中正六边形的个数为：； 第3个图案中正六边形的个数为：； ， 第n个图案中正六边形的个数为； 则第6个图案中有个正六边形，第n个图案中有个正六边形； （2）解：设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第个图案， 由题意，， 解得，符合实际意义， ∴． 则这两个图案分别是第111个图案与第112个图案； （3）解：存在，设符合条件的是第x个图案． 第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍是， 则， ∴． ∴第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍． 20．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． 21．（2026·湖北孝感·一模）实践与活动． 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢n进一”就是n进制，n进制的基数为n．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数： ，记作：234． 七进制数 ，记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应基数的幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下：加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题： 任务1：探究不同进位制的数之间的转换： (1)将数转化成十进制数的值为多少？ (2)将数转化成十进制数的值为多少？ 任务2：探究进位制数的加法运算 (3) ． 【答案】(1)89 (2)129 (3) 【分析】（1）根据题意进行计算即可得解； （2）根据题意进行计算即可得解； （3）根据二进制的算法计算即可得解． 【详解】（1）解：， ∴数转换成十进制数的值为89； （2）解：， ∴数转换成十进制数的值为； （3）解：， ． 22．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在如图1所示的数表中，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是9． (1)________； (2)若，则________，________； (3)用图2所示的T字形框去框出数表中的4个数，这4个数由小到大依次记为a，b，c，d． ①d所表示的数为________（用含a的代数式表示）； ②T字形框中的四个数之和能否等于226？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)23 (2)10，1 (3)①；②不能，理由见解析 【分析】（1）根据表示第m行第n个数，即可解答； （2）根据规律可得是第行第个数，可得到m、n的值； （3）①根据规律可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加，即可解答；②由①得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个数，每一行，从左到右依次增加， ∵， ∴是第行第个数， ∴，； （3）解：①由表格可得每一行，从左到右依次增加，每一列，从上到下依次增加， 则， ∴； ②不能，理由如下： 由①得， 则， 解得， ∵，则是第行第个数，则第行最后一个数， ∴T字形框中的四个数之和不能等于226． 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； （2）对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 3．（2026·山西·三模）如图，直线与x轴，y轴分别交于点C，，与反比例函数在第一象限内的图象交于点． (1)求m的值及直线l的函数表达式． (2)若点P是反比例函数第一象限内图象上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由待定系数法求解函数表达式即可； （2）先求出点C的坐标为，则，设点P的坐标为，由求解，即可求解点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴ 将点，分别代入得， 解得 ∴直线l的函数表达式为． （2）解：当时，则，解得． ∴点C的坐标为． ∴． 设点P的坐标为， ∴． 解得． ∴． ∴点P的坐标为． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据即可求出点的坐标，根据点、、的坐标求出的长度和点到的距离，再利用三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把代入， 可得：， 点的坐标为， 把，代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：在一次函数中，当时，， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 轴，， 点到的距离为， ． 5．（2026·四川绵阳·二模）如图，双曲线与直线的图象交于点，点，直线与轴交于点，动点在线段上，过点分别作轴，轴交双曲线于点，交轴于点，连接． (1)求的值及点的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2 【分析】（1）先根据待定系数法求，继而得到双曲线的表达式，利用图像交点列出分式方程求解即可得点的坐标； （2）设点，先求出，再用三角形面积公式得到的函数，继而计算其最大值． 【详解】（1）解：点在上， ， ， ， 把代入双曲线，得 ， 双曲线的表达式：， 与的图象交于点， ， 解得， 经检验，两个根都满足题意， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 即． （2）解：设点， 轴，轴， ， 在上， ， 即， ， ， ， 即 ， ，对称轴， 当时，的最大值是2． 6．（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据图象，当，时，求x的取值范围． (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)的面积是6 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据图象可知，在和两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可求解； （3）先求出点，再求和，计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点， ，解得， 反比例函数的解析式为， 点在的图象上， ，则， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数与反比例函数的交点为和，由图象可知，在两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 当时，x的取值范围为； （3）解：当时，，则点， ，， ，， 则． 7．（2026·河南南阳·一模）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ 将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）设点，则点， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，舍）， ∴． （3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为， ∴ 设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为， 过作轴于K，过作轴于L，如图： 则，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 8．（2026·四川南充·一模）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 9．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 10．（2026·河南周口·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入求出的反比例函数解析式，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出，即可求出的面积； （3）数形结合求出答案即可. 【详解】（1）解：将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 11．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，根据，列方程即可解答； （3）根据点与点B重合，可得平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，分类讨论，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 12．（2026·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察等式的左边，第一个数字是与等式的序号相同的数的立方，第二个数字均为3，第三个数字是与等式的序号相同的数的平方，第四个数字与等式序号相同，第五个数字均为1，等式的右边为等式序号加1的立方，依此规律解答即可； （2）利用（1）中发现的规律可得结论，证明时通过运算说明左右两边相等即可． 【详解】（1）解：由规律可知，第5个等式为：． （2）解：猜想第个等式：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 原等式成立． 13．（2026·浙江金华·二模）若一个整式能表示成（都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若为整数，则称“平方差数”．如等． (1)写出一个大于30且小于40的“平方差数”． (2)已知（是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)如等，答案不唯一 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据定义，写出一个“平方差数”即可； （2）利用配方法对表达式进行整理，根据“平方差数”的定义得出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据“平方差数”的定义可得等，答案不唯一． （2）解：，理由如下： ∵，且T是“平方差式”， ，即． 14．（2026·广东江门·一模）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一： 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 ，b是 ； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 ，d是 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二： 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 ，f是 ； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 （用含n的代数式表示g）． 【答案】(1)， (2)， (3)11，3 (4) 【分析】（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：； （2）解：由图可知：； （3）解：由题意，得：，； （4）解：∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：． 15．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 16．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 17．（2026·青海·模拟预测）综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边形的“顶点圆”．现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系． 探索任务： (1)任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (2)任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (3)任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和．请写出过程（提示：五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，）． (4)任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和__________． 归纳： (5)推广到边形（）中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设，对应的阴影部分面积为， 根据三角形内角和，扇形面积公式求解即可． （2）仿照（1）求解即可． （3）仿照前面的求解解答即可． （4）仿照前面的求解解答即可． （5）仿照全面的求解解答即可． 【详解】（1）解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； （2）解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； （3）解：设五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得，由， 故 ． （4）解：设六边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． （5）解：设n边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． 18．（2026·安徽·模拟预测）【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … (1)第7组勾股数是 ， ， ； (2)若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数是否为“和谐数”； (3)当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 【答案】(1)15，112，113 (2)第7组勾股数中的最大数113是“和谐数” (3) 【分析】本题主要考查了勾股数的规律探究、新定义概念的理解与应用以及一次函数表达式的求解． （1）通过观察已知组的规律：第组勾股数中，，，（为组号），故可知当时对应的勾股数； （2）根据“和谐数”的定义去判定即可解答； （3）第组勾股数中，，，即，对应直线表达式为． 【详解】（1）解：第组，， ， ； （2）因为，根据“和谐数”的定义，故第7组勾股数中的最大数113是“和谐数”； （3）在第组中，，，即，故当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是． 19．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 【答案】(1)6； (2)小河的观点正确，小江的观点不正确，见解析 (3)，，，，， 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）通过构造矩形，即可作出正确判断； （3）按照，是否互质分类讨论，当，互质时，用上述规律列方程求解即可，当，不互质时，用公约数去约它们，转化为互质的情况讨论即可． 【详解】（1）如图： 所以①的内容为6； 观察表格数据规律可知： ②的内容为． （2）小河的观点正确，小江的观点不正确； 针对小江的观点，反例为矩形，如下图： ，而. （3）满足条件的所有数对为： ，，，，，， 理由如下： 当m，n互质时，矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为． 当m，n不互质时，设其最大公因数为p，则正整数，互质，故矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为，从而． 依题意，分成四类： 第一类，m，n互质，此时，即，共有，  ，  三种情形； 第二类，m，n的最大公约数为2，此时，则； 第三类，m，n的最大公约数为3，此时，则； 第四类，m，n的最大公约数为6，此时． 20．（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】(1)29，21 (2)， (3)66米 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【详解】（1）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． （2）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． （3）解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 2 / 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