题号猜押09 湖北武汉中考数学第24题（解答题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押09 湖北武汉中考数学第24题（解答题） 考点1 求点的坐标 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，连接、，若，求点D的坐标； (3)如图3，直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M，作直线，交抛物线于点E、F，且与y轴交点坐标为，连交直线于点G，取中点N，连．若，求点M的坐标． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）抛物线与x轴负半轴、正半轴交于A、B，与y轴交于点． (1)当时，直接写出A点的坐标为________，B点的坐标为________； (2)如图1，若，求m的值； (3)如图2，在（1）的条件下，直线垂直于y轴交抛物线于M，N两点，，交于y轴上一点H，若，求M点的横坐标． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； (3)如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 5．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，且．      (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，交轴于点，点在线段上，连接、，，若面积为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过点作的平行线，交轴于点交轴于点，、在线段上，，，，求点的坐标． 考点2 定点问题 6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴负半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上，射线交抛物线于另一点，若，求出点的横坐标满足的范围； (3)如图2，将抛物线进行平移，使点为平移后的抛物线的顶点，点为平移后的抛物线第一象限上的一动点，已知点，，直线，分别交平移后的抛物线于另外的点，，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 考点3 定值问题 9．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）抛物线 交x轴于A、B两点，A在B的左边，交y轴于C点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)如图1，点E为第三象限内一点，过点E作轴交于D点，若，求点E的坐标； (3)如图2，A点向右平移3个单位至点F，过F，C，B三点的抛物线记为，点N为第一象限内上的点，连结，P为线段上一点，射线交于点M，若，点P的横坐标是否为定值？若是定值，求出P点横坐标，若不是，请说明理由． 10．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 考点4 最值与范围问题 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)直接写出______，______． (2)点在抛物线的对称轴右侧且在第一象限内的抛物线上，连接、，过点作交于，若，求点横坐标． (3)如图，过线段的中点作直线交抛物线于，两点（点在点左侧），直线与直线交于点，求的最小值． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点 C． (1)直接写出点A， B， C的坐标； (2)如图1，若P是直线下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，作y轴的平行线交线段于点 N，若，求点 P的横坐标； (3)如图2， 直线交抛物线于E、F两点，直线，分别交y轴于M、N两点，若 求O到直线距离的最大值． 14．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)将图中的抛物线轴左侧（含轴）部分图象沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分图象组成新的图象，如图，请直接写出抛物线的函数解析式； (3)点在图象上，其横坐标为． ①当的面积等于6时，求的值． ②点在图象上，其横坐标为，当图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化，请直接写出的取值范围． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过点、，已知B点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，求的最大值． 考点5 面积问题 16．（2026·湖北武汉·二模）抛物线与轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)已知，直线与抛物线交于点E，过D的另一条直线与抛物线交于，连接，分别交x轴于P，Q两点．若的值． 考点6 特殊四边形问题 17．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． (1)求，，三点的坐标； (2)线段的端点坐标分别是，，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围； (3)点与点关于点中心对称，过点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点．试说明轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 考点7 证平行 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点C，与轴交于点A、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点E，F，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点，点G的坐标为，直线交抛物线L于点K，H，直线与分别交抛物线L于点M，N，求证：． 考点8 证线段关系 19．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，为抛物线上一点，，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线顶点平移到，此时新抛物线交轴于，两点，，点在第四象限的抛物线上，过点作不平行轴的直线分别交直线，于两点．若直线与抛物线只有一个公共点，求证：． 考点9 探究类型 20．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． (1)求点的坐标； (2)如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； (3)如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 1．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，已知，抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将抛物线平移得到抛物线与直线在的范围内有公共点，求h的取值范围； (3)如图，直线与（1）中抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． 试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点P，使得总是平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·海南儋州·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)请证明：直线与抛物线一定有两个交点； (4)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 3．（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 4．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 5．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 6．（2026·四川南充·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：； (3)如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 9．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 10．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 11．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，交轴于点，记拋物线顶点为点． (1)求，的值及顶点的坐标； (2)连接，，平移直线交拋物线于点，交线段于点，若，求点的坐标； (3)过中点作直线交拋物线于E，F两点，试探究，拋物线上是否存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 13．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 14．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 15．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押09 湖北武汉中考数学第24题（解答题） 考点1 求点的坐标 1．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，连接、，若，求点D的坐标； (3)如图3，直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M，作直线，交抛物线于点E、F，且与y轴交点坐标为，连交直线于点G，取中点N，连．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点到抛物线，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接，则，，，利用勾股定理和三角形面积公式求出和的长，设点D的坐标为，其中，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）过点作轴交直线于点，连接，设直线的解析式为，其中，则，联立直线和抛物线的解析式，整理得，根据韦达定理得到，进而得到，设点M的坐标为，联立直线和抛物线的解析式，求出，则轴，则，得出，再根据三角形的面积公式列出关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：代入点得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴，， 如图2，作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，作交延长线于点，连接， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 设点D的坐标为，其中， 则，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或， 则， ∴点D的坐标为； （3）解：如图3，过点作轴交直线于点，连接， ∵直线与y轴交点坐标为， ∴设直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 当时，， ∴； 设点M的坐标为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得：， ∵直线l（不与y轴平行）与抛物线有且只有一个公共点M， ∴， 解得， 则， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）或， ∴点M的坐标为或． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）抛物线与x轴负半轴、正半轴交于A、B，与y轴交于点． (1)当时，直接写出A点的坐标为________，B点的坐标为________； (2)如图1，若，求m的值； (3)如图2，在（1）的条件下，直线垂直于y轴交抛物线于M，N两点，，交于y轴上一点H，若，求M点的横坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）令，再解方程即可； （2）利用因式分解求出点坐标，令得到点坐标，设点关于轴对称点为，再证，进而得到，利用勾股定理列式求解即可； （3）设，，则，直线的解析式为，联立，根据根与系数的关系得到，同理可得，进而可得，，结合，解出即可． 【详解】（1）解：，则， 令，即，解得， 故A点的坐标为，B点的坐标为； （2）解：令，即， 即，解得， ， ， 令，即， 设点关于轴对称点为，则，， ， 又， ， ， 又， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）解：，则， ∴对称轴为直线， 设，，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ，即， 设方程两个解为，则， 又，则，， 故点的横坐标， 设直线的解析式为， 同理可得点的横坐标， 故， ， 解得或， 即M点的横坐标为或． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； (3)如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】(1)，，； (2)和 (3) 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； （3）解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标1或2 (3)点的坐标为 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）求出直线的解析式，设点P的坐标为，则可得点D的坐标，从而由得到关于t的方程，解方程即可求解； （3）设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M，设，分别求出直线的解析式，则可求得点M、N的坐标及点E、F的横坐标，利用的面积比的面积大建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令， 解得：， ∴； 令，， ∴； 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵，点为直线上方的抛物线上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标1或2； （3）解：如图，设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 设， 设直线的解析式为， 得，解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得直线的解析式为， 当时，， 则， ∴； 当时，， 则； 当时，即， 解得：， 即点E的横坐标为， ∴； 当时，即， 解得：， 即点F的横坐标为； ∵的面积比的面积大， ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：， 由于，与点在轴的左侧不相符， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，面积问题等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 5．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，且．      (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，交轴于点，点在线段上，连接、，，若面积为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过点作的平行线，交轴于点交轴于点，、在线段上，，，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得到，根据得到，代入解析式求出，即可得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，交于点，利用，列出比例式，求用含的代数式表示，根据代入整理即可； （3）在（2）作图基础上，再过点作轴交直线于，过点作轴交x轴于、交直线于，过点作轴交直线于；延长，在延长线上取点，使；利用，列比例式，用含的代数式表示表示出，结合，求出，证，得到；设，则，点横坐标为，代入表达式得纵坐标，结合代入算出，根据、，得；设，则，设，推出：证，得到，计算出、、，最后根据点横坐标=点横坐标，点纵坐标=点纵坐标，计算即可得到点的坐标． 【详解】（1）， ， ， ， 把代入，得：， ， ， 抛物线的解析式为 （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，交于点，   轴，轴，，，点横坐标为， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）如图，在（2）作图基础上，再过点作轴交直线于，过点作轴交x轴于、交直线于，过点作轴交直线于；延长，在延长线上取点，使   点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，由（2）得， ，， ， ， 轴，轴，， ， ， ， ，， ， ， ，， , ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 设，则，， 点在第三象限的抛物线上， 点横坐标为，点纵坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，，点横坐标， ，，， ，， ， 设，则，设，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 轴，轴，轴，， ，，， ， ， ， ，， 又点横坐标，， 点横坐标点横坐标， 点纵坐标点纵坐标， 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，综合性强，结合勾股定理、相似三角形、三角函数知识点，熟练掌握运用知识点、数形结合、分析与推理证明是解题的关键． 考点2 定点问题 6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式； (2)延长交轴于，在上取点，使，可得，根据等角对等边可得，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程即可求出点的坐标； (3)设点的坐标是、点的坐标是，可得直线的解析式是，根据直线、、抛物线有公共交点，可得点的坐标是，从而可得，即直线的解析式是，根据解析式可知直线过定点． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 如下图所示，延长交轴于，在上取点，使， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 直线的解析式是， 联立， 解得：， 点的坐标是； （3）解：设点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是 联立 ， 直线与抛物线只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 直线的解析式是， 同理可得直线的解析式是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴负半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上，射线交抛物线于另一点，若，求出点的横坐标满足的范围； (3)如图2，将抛物线进行平移，使点为平移后的抛物线的顶点，点为平移后的抛物线第一象限上的一动点，已知点，，直线，分别交平移后的抛物线于另外的点，，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析，直线过定点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，即，再连接，由，推出，设，则，整理得到，解不等式即可求解； （3）求得平移后抛物线顶点为，解析式为，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立后，利用根与系数的关系求得，然后求得直线的解析式为，整理得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 代入抛物线得 ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，即， 连接， ∵， ∴，即， 设， ∴，即， 整理得， 解方程，得，， 设， 则其函数图象为： ∴不等式的解集为或； ∵, 即点的横坐标满足的范围为； （3）解：平移后抛物线顶点为，解析式为， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得和， 整理得和， 由根与系数的关系得和， 得⑤， 由④得代入⑤得， 整理得， ∵，， 同理直线的解析式为， ∴， ∴当时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求解析式，图象法解不等式，根与系数的关系，二次函数与定点问题等知识点． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)t的值为1 (3)见解析， 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象与性质； （1）根据平移求出解析式为，即可得到顶点M的坐标为； （2）过点M作于H，由M的，可得，再求出，根据为等边三角形，，得到，，代入解方程即可． （3）设：，联立与抛物线得①；②；由：，联立与抛物线得③，设为：，联立与抛物线得④，⑤，通过消元整理化简得，，当时，y恒等于，直线恒过定点． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为：， 顶点M的坐标为； （2）解：如图，过点M作于H， 由M的，可得， 又联立， ∴，， 解得，， ∴ ∵为等边三角形，， ∴，， ∴，即 解得，， ∵， ∴， 即t的值为1； （3）证明：由（2）可知， ∴的解析式为：， 如图，由：， 联立与抛物线得：， ∴， ∴①，②； 由：； 联立与抛物线得： ， ∴③，   设为：， 联立与抛物线得：， ， ∴④，⑤， ∴①②得：⑥， 由③得⑦， 将⑦代入⑥中， ∴， 化简得⑧， 将④⑤代入⑧中，得， 化简得， ∴； ∴当时，y恒等于， ∴直线恒过定点． 考点3 定值问题 9．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）抛物线 交x轴于A、B两点，A在B的左边，交y轴于C点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)如图1，点E为第三象限内一点，过点E作轴交于D点，若，求点E的坐标； (3)如图2，A点向右平移3个单位至点F，过F，C，B三点的抛物线记为，点N为第一象限内上的点，连结，P为线段上一点，射线交于点M，若，点P的横坐标是否为定值？若是定值，求出P点横坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点P的横坐标是定值，为 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）直线的解析式为，设点E的坐标为，则，过点C作轴交于点K，则点K的纵坐标为，根据，可得到，可证明，从而得到点K为的中点，即可求解； （3）证明为等腰直角三角形，即，再求出抛物线的解析式为，直线的解析式为，分别过点M，N作轴，轴，垂足分别为点G，H，设直线交x轴于点Q，设点，，可得到直线的解析式为，根据，可得，从而得到，可证明，均为等腰直角三角形，从而得到，，可得到，从而得到，点，再求出直线的解析式为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， 当时，， 解得：， ∴点； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为，则， 过点C作轴交于点K，则点K的纵坐标为， ∵轴， ∴，轴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点K为的中点， ∴， 解得：（舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：点P的横坐标是定值，为， 根据题意得：点，则， ∴为等腰直角三角形，即， 设抛物线的解析式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 同理直线的解析式为， 如图，分别过点M，N作轴，轴，垂足分别为点G，H，设直线交x轴于点Q， 设点，， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 根据题意得：， ∴， 即， ∴点， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标是定值，为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质，平行线的性质，两直线的交点等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 10．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，2 【分析】（1）利用抛物线对称轴和已知点，由对称性确定，再将两点坐标代入，解方程组求得，故抛物线解析式为； （2）过点作轴交轴于点，过点作于点，由和轴，得，又，故，由得相似比为3，即，设，则，由得由得，将两式联立消去，解得，进而求得． （3）由得M(2,0)，设，用待定系数法设直线为，将代入解得；联立与抛物线，由韦达定理，结合，求得2t-5代入抛物线得；再用待定系数法分别求直线和的解析式；设，令两直线在处的横坐标相等，即t-2，解得； 故为定值，为定值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 且过点， 由对称性，点的坐标为， 将和代入， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入得， , 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交轴于点，过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 消去，得， ， 点的坐标为； （3）解：是的中点， ， 设且， 设，将和代入得 ， 解关于的方程组， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线，消去得， 整理，得 ， 由韦达定理 ， ， 将代入，得 ， 设，将和代入得， ， 整理，得， ， ， 直线为， 设，将和代入得， ， ， 直线为； 设，将代入直线，得 ， ， 将代入直线，得 ， ， 整理，得， ， ， 的面积为定值2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、韦达定理的应用；解题的关键是第（2）问构造相似三角形实现线段比到坐标关系的转化，第（3）问通过待定系数法、韦达定理以及设使横坐标相等的方法完成定值的一般性证明，体现了数形结合思想和代数运算能力． 考点4 最值与范围问题 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)直接写出______，______． (2)点在抛物线的对称轴右侧且在第一象限内的抛物线上，连接、，过点作交于，若，求点横坐标． (3)如图，过线段的中点作直线交抛物线于，两点（点在点左侧），直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1)， (2)点横坐标为 (3) 【分析】（1）先求出，，再代入，解方程组求出、的值即可； （2）过点作轴于，过点作轴于，延长，交轴于，根据（1）中结论得出抛物线解析式为，即可求出，，根据直角三角形两锐角互余得出，利用三角函数求出，，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，根据，通过证明得出，，即可得出，代入，解关于的一元二次方程，求出符合题意的值即可； （3）先利用中点坐标公式求出，设，，可求出直线的解析式为，把代入可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立两解析式得出，设过点的直线的解析式为，把代入，得出当时，无论、取何值，恒成立，可得点在直线上运动，设，利用两点间距离公式得出，利用二次函数的性质即可得出的最小值． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：． （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，延长，交轴于， 由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为，， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴，即点横坐标为． （3）解：∵，，为中点， ∴， 设，，直线的解析式为， ∵点与点重合时，点与点重合，、不能构成直线， ∴，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 联立、的解析式得，， 解得：， ∴，即， 设过点的直线的解析式为， ∴， 整理得，， 比较系数得，， 解得：， ∴当时，无论、取何值，恒成立， ∴点在直线上运动， 设点， ∴， ∵在中，二次项系数， ∴时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题关键． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线 交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点 C． (1)直接写出点A， B， C的坐标； (2)如图1，若P是直线下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，作y轴的平行线交线段于点 N，若，求点 P的横坐标； (3)如图2， 直线交抛物线于E、F两点，直线，分别交y轴于M、N两点，若 求O到直线距离的最大值． 【答案】(1)，， (2)P点横坐标为或 (3) 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，求出点A、B、C的坐标即可； （2）先求出直线解析式为：，设，则，求出，，根据，列出关于t的方程，解方程即可得出答案； （3）设E、F两个点的横坐标分别为：，，求出，得出直线的解析式为，同理得出：直线的解析式为，直线的解析式为，求出，，根据，得出，得出，从而说明直线过定点， 即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∵A在B的右边， ∴，； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：． ∴直线解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， ∴设，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴P点横坐标为或； （3）解：设E、F两个点的横坐标分别为：，， 联立， 则， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为：， 联立， 则， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 令，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为： ， ∴直线过定点， ∴点O到直线距离的最大值为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 14．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)将图中的抛物线轴左侧（含轴）部分图象沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分图象组成新的图象，如图，请直接写出抛物线的函数解析式； (3)点在图象上，其横坐标为． ①当的面积等于6时，求的值． ②点在图象上，其横坐标为，当图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①的值为或0或2或；②的取值范围是或 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线即可解答； （2）根据图象沿轴翻折时得到的函数值与原函数值互为相反数，从而得到当时的解析式，结合当时与原抛物线解析式相同，即可解答； （3）①分和两种情况讨论，先根据解析式表示出点P的纵坐标，然后表示出的面积，得到关于m的方程，解方程即可； ②设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F，求得的坐标，然后根据当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意，据此列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意把代入抛物线，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，图象与的图象关于x轴对称， ∴， 当时，， ∴抛物线G的函数解析式为； （3）解：①（i）当时，此时点P的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， （ii）当时，此时点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∴当时，解得或（，舍去）， 当时，解得或（，舍去）， 综上，当的面积等于6时，的值为或0或2或； ②如图，设的顶点为D，交y轴于点M，过点D作轴，交图象G于点E，过点M作轴，交图象G于点F， ∵，令的，则， ∴，， ∴点E的纵坐标为4，点F的纵坐标为， ∴当时，解得或（舍去），即， 当时，解得或（舍去），即， ∵图象在、两点之间的部分（含、两个端点）所对应的函数的最大值与最小值不随的值变化而变化， ∴当点P在上时，点Q要在上，或者当点Q在上时，点P要在上，满足题意， ∴当点P在上，点Q在上时， 则， 解得； 当点Q在上，点P在上时， 则， 解得； 综上，的取值范围是或． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过点、，已知B点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，求的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)当为直角三角形时，点的坐标为或 (3)最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质进行求解； （3）构造相似三角形，表示出相关线段之间的数量关系，利用二次函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：将代入二次函数关系式得， ， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入二次函数关系式， 求得， ∴， 假设直线的解析式为， 将分别代入得， ， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：①当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③当时，点在以为直径的圆上， 由勾股定理得， ∴圆的半径为， 由②得，， 由勾股定理得， ∵， ∴以为直径的圆与抛物线无合适的交点， 即此种情况，点不存在，不符合题意； 综上，当为直角三角形时，p点的坐标为或； （3）解：如图，过作轴交于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 过E作轴交y轴于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴当时，的最大值为． 考点5 面积问题 16．（2026·湖北武汉·二模）抛物线与轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)已知，直线与抛物线交于点E，过D的另一条直线与抛物线交于，连接，分别交x轴于P，Q两点．若的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知，得出，根据点的横坐标为，得出，，从而表示出，即可求解． （3）先求直线解析式，从而确定点，再考虑直线经过定点，从而得出，再分别通过直线、确定、，从而得出面积比为． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得：． （2）解：由（1）可知， ， ∵点的横坐标为， ， ， ， ． （3）解：设直线解析式为：， 代入点、， 得，解得， 直线解析式为：， 令， 解得， 代入， 即点， 设点M、N横坐标分别为m、n，直线解析式为：， 代入点， 得， 即直线解析式为：， 联立， 化简得：， ，， 即， 设直线解析式为：， 代入点， 得， 即直线解析式为：， 令， 解得， 即， 直线解析式为：， 令， 解得， ， 同理，直线解析式为：， 令， 解得， ， 所以， 代入， ， 所以． 考点6 特殊四边形问题 17．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． (1)求，，三点的坐标； (2)线段的端点坐标分别是，，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围； (3)点与点关于点中心对称，过点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点．试说明轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 【答案】(1)，， (2)的取值范围为或或 (3)见解析 【分析】（1）令，求出，可得出点坐标，令，求出，，可得出点、坐标； （2）先求出直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得出，分方程有两个相等实数根、及三种情况，根据一元二次方程根的判别式，结合图像求解即可； （3）根据中心对称的性质得出，得出直线的解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式求出，，联立直线与抛物线解析式得出，根据平行四边形的性质得出对角线的中点坐标为，即可得出点在轴上，可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴，，． （2）解：∵时，， ∴与重合，不符合题意， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 如图所示： ①当方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有一个交点， ∴， 解得：； ②方程有两个解，但只有一个解在的的范围内， 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 综上所述：的取值范围为或或． （3）解：∵点与点关于点中心对称，， ∴， 设直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 设，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， ∵直线交抛物线于另一点，是此方程的解， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴对角线中点的横坐标为， ∴对角线的中点在轴上， ∴点也在轴上， ∴轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 考点7 证平行 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点C，与轴交于点A、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点E，F，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点，点G的坐标为，直线交抛物线L于点K，H，直线与分别交抛物线L于点M，N，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）理解题意，把代入，进行计算，即可作答． （2）先求出，整理得，得出直线过定点．根据，，得轴，，得，则，得，整理得，由根与系数的关系得，，整理，得k的值为； （3）理解题意，得平移后的抛物线的解析式为：，设，，，，求出直线的解析式，同理可得，直线的解析式为：，故，同理可得，直线的解析式为：，故，又因为直线的解析式为，得，，整理，故直线的解析式为：，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， ∵点在第一象限内的抛物线上， ∴， ∴（舍去），， ∴． 依题意，， 当时，， ∴直线过定点，在抛物线内部，无论k取何值必有两个交点． 如图，作直线，作于N，作于F， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴， ∴ 令， 整理得， 由根与系数的关系得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴k的值为； （3）解：由（1）得， 将抛物线平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点， ∴平移后的抛物线的解析式为：， ∵直线交抛物线L于点K，H，直线与分别交抛物线L于点M，N， ∴设，，，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，直线的解析式为：， ∵， 则， ∴， 同理可得，直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， 得，， ∴ ∴直线的解析式为：， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数，求一次函数的解析式，平移性质，二次函数的应用，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点8 证线段关系 19．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，为抛物线上一点，，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线顶点平移到，此时新抛物线交轴于，两点，，点在第四象限的抛物线上，过点作不平行轴的直线分别交直线，于两点．若直线与抛物线只有一个公共点，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出，可得，分两种情况：当点在x轴上方时，和当点在x轴下方时，先利用求出直线交轴的交点，再求出此交点与点所在直线的解析式，最后与抛物线联立即可求解； （3）设抛物线解析式为：，利用待定系数法可得， 再利用待定系数法可得：，，设P点坐标为：，Q点坐标为：，利用待定系数法可得，联立：，整理，根据直线与抛物线只有一个公共点，，可得方程的，可得，则有，再利用勾股定理可得，问题得证． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于两点， ∴抛物线解析式为； （2）解：连接， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点在x轴上方时，设此时为，直线交轴于点， ∴， ∴， 则， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 则直线的解析式为， 联立与， 得， 解得，（舍）， ∴； 当点在x轴下方时，设此时为，直线交轴于点， ∴， ∴， 则， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 则直线的解析式为， 联立与， 得， 解得，（舍）， ∴； 综上，或； （3）解：∵平移后抛物线的顶点为，且原抛物线为； ∴平移后的抛物线解析式为：， 当时，， 得，， ∴，， ∵，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 分别代入，，可求得，， 可得：，， 设P点坐标为：，Q点坐标为：， 设直线的解析式为， 代入，，得， 求得， 可得， 联立：， 整理， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴方程的， 化简得， 由，， 则， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 考点9 探究类型 20．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． (1)求点的坐标； (2)如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； (3)如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，二次函数的平移，一次函数与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系． （1）联立直线与抛物线解析式即可得出 （2）设，先求得点的坐标，根据，，根据勾股定理得出方程，解方程，即可求解； （3）根据抛物线的平移得出，根据直线与抛物线交于，两点，联立直线与抛物线，得出，设，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而求得的坐标，根据关于原点对称得出，进而用含的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：联立， 解得：（点的坐标）或， ∴； （2）解：对于抛物线， 当时，， 解得：， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， 整理得，， 解得：， 即点的横坐标为或； （3）解：∵将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上，则:， ∴向右平移1个单位，且， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴， 即， 设， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，得，则， 联立，得，则， ∵，且点在直线上， ∴关于原点对称， ∴， 即， ∵直线的解析式为过点， ∴， 同理可得，， 又∵过点，两点，则， ∴ ， ∴． 1．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，已知，抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将抛物线平移得到抛物线与直线在的范围内有公共点，求h的取值范围； (3)如图，直线与（1）中抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． 试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点P，使得总是平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合应用探究，难度较大． （1）运用待定系数法求抛物线解析式； （2）设在范围内的两个端点为M，N，求出M，N两点坐标，探究抛物线与线段只有一个交点，以及该抛物线刚好只过点时，对应的h值，从而求得h的取值范围； （3）设，，联立一次函数与抛物线解析式，运用韦达定理，得到，，设点，分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E，结合平分，证明，从而得到，即，最后化简整理求得，故存在定点，使平分． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴； （2）解：设在范围内的两个端点为M，N， 当，，当时，， ∴，， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动， 直至抛物线与线段只有一个交点为时， 与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与直线在的范围内有公共点； （3）解：存在．点P坐标为． 设，， 联立， 得：， 由韦达定理得，，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， 分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E， 则， 又平分，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 去分母并整理得，， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∴存在定点，使平分． 2．（2026·海南儋州·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)请证明：直线与抛物线一定有两个交点； (4)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）先求出，再将、代入列方程计算即可； （2），则抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，结合函数图象可得当时，y的取值范围； （3）联立，整理得，则，即可得到直线与抛物线一定有两个交点； （4）先求出，，设，，，，则，求出直线解析式为，与抛物线联立解得，同理求出直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， 即可得到，则，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且， ∴， 将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y最小为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：； （3）证明：联立 则 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定有两个交点； （4）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， 令， 解得或， ∴， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵连接，交对称轴于点M， ∴联立， 即， 解得， 同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， ∴， 整理得， ∴． 3．（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，定值为4 【分析】（1）先根据已知条件确定B、C的坐标，再利用正切的定义确定点A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设D，再说明，如图：过D作轴于E，利用正切的定义可得，整理后求解可得或，最后确定D点坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ． 设抛物线解析式为，代入， 得：，解得：． 该抛物线解析式为． （2）解：设D， ，， ． 如图：过D作轴于E， ．整理得：． ， ，解得：，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，或． （3）解：是定值，定值为4，理由如下： 如图：过P作轴于Q，设，且，则． ． ， ． ，即． ． ， ． ，即． ． ． 的值为常数4，故是定值． 4．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 5．（2026·甘肃白银·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设的面积为，的面积为，求的值； (3)如图2，是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，过抛物线的顶点作直线轴，是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出的值即可． （2）设，用待定系数法求出直线，直线的函数解析式，然后与抛物线的解析式联立成方程组，求出的坐标，最后用的代数表示出，的面积即可． （3）设直线为，把点的坐标代入该解析式，可求出，的等量关系，然后把直线与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出，的横坐标的和与积关于的代数式，然后作点关于直线的对称点，连接，，根据将军饮马模型，可知，再用的代数式表示，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由，可知点，， 设，直线为， 则，解得， ， 联立得 解得或， ， 设直线为， 则，解得， ， 联立得， 解得或， ， ， ． （3）解：由，可知抛物线的对称轴为直线，顶点，点， 设直线为，由， 得， ， ， 设，， 联立直线与抛物线得， 得， ∴ 根据根与系数的关系，可得，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，， 由题意得直线，则， ， 过点作于点，则， ，， 在中， ， 即当时，，此时， 故的最小值为． 6．（2026·四川南充·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：； (3)如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)定值3 【分析】（1）把代入列方程计算即可； （2）由，，可得，，则，再根据顶点，得到，则，证明，得到，最后根据，得到； （3）直线解析式为，则直线解析式为，设，，联立直线与抛物线根据根与系数关系得到，直线解析式为，联立直线与抛物线解析式得到； 同理由直线与抛物线交于，，可得，结合，得到，最后代入点P的横坐标计算即可． 【详解】（1）解：把代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴顶点， 连接， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：点P的横坐标为定值，理由如下： ∵， ∴设直线解析式为， 代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 设，， ∵直线与抛物线交于M、N两点， ∴联立得， ∴，， ∵， ∴设直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入解析式得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵直线与交于点， ∴联立，解得， ∵直线与抛物线交于，， 联立得，解得， ∴， 同理由直线与抛物线交于，，可得， ∵， ∴， 整理得 ∴， ∴点P的横坐标为定值． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2)①；②；③5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解； ③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可； 【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． ③如图，过点作，且， 连接， 设交轴为点． ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， ， 此时三点共线且轴， ∴点的坐标为与点重合，满足在线段上． ∴的最小值为5． 9．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 10．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 11．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，交轴于点，记拋物线顶点为点． (1)求，的值及顶点的坐标； (2)连接，，平移直线交拋物线于点，交线段于点，若，求点的坐标； (3)过中点作直线交拋物线于E，F两点，试探究，拋物线上是否存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，定点 【分析】（1）将点代入抛物线中，即可求解b，c的值，再将抛物线化为顶点式，由此可求解顶点坐标； （2）先由勾股定理求解的长度，由此可得的长度，求解直线与直线的函数解析式，设出点M的坐标，添加适当的辅助线，利用相似三角形的性质可得的长度，由此可表示出点N的坐标，再将点N的坐标代入直线中即可求解； （3）先设出点E的坐标，点F的坐标，点G的坐标，再由待定系数法求解直线的函数解析式，求解出中点H的坐标，将点H的坐标代入直线的函数解析式，再求解直线与直线的函数解析式，根据垂直求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于两点， 可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 即， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线为， 当时，可得：， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 可得：，解得： ∴直线的解析式为， 过点M作轴，过点N作，如图，则， ∵点M在拋物线上，设点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点，即点， ∵点N在直线上， ∴， 整理可得，，解得或， 当时，点；当时，点； （3）解：存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立，如图， ∵点E，点F，在抛物线上， 设点，点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点，点， ∴BD中点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，可得， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵，即， ∴， ∴， 由①②可得，， ∵点G为顶点，即与e和f无关， ∴， 由，可得， 由，可得或， ∴，即定点． 12．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A，点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，此时抛物线的解析式为 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得A、B两点坐标； （2）由、的长可求得，用t可表示出，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用t表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知，又，由（2）可知，，由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令，得，解得， 令，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵运动时间为t秒， ∴， ∵轴， ∴在中，，， 在中，，， ∴， ∴． （3）解：存在， ∵轴， ∴， ∵点G不能在抛物线的对称轴上， ∴， ∴当为直角三角形时，则有， 又∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， 解得， 即当t的值为秒时，为直角三角形， 此时， ∴点E的坐标为， ∵抛物线的顶点为A， ∴可设抛物线解析式为， 将点E的坐标代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． 13．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点P的坐标为 (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标． （2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论． （3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式． （4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点P的坐标为． （2）解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∵点与点是关于的对称点， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧， ∴当时，，， ∴，， 将点代入中，解得， 当时，，， ∴，． 将点代入中，解得， ∴． （4）解：点E的坐标为． 如解图，连接交x轴于点F， 过点E分别作于点G，轴于点H， ∴． ∵抛物线，的对称轴均为直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵抛物线， ∴． ∵当时，，解得，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在抛物线上， ∴， 整理可得． ∵， ∴， ∴， 整理可得，解得（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴点E的坐标是． 【点睛】解题关键：1．数形结合：第(2)、(3)问将几何变换（对称）和几何量（线段长）转化为代数运算（中点公式、解方程/不等式）． 2．方程思想（设参法）：第(4)问是典型难点，核心在于“设点求线”．通过设点 的坐标，利用（垂直、相似）转化线段关系，将线段用参数表示，最后代回解析式建立方程求解． 14．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出直线经过的定点，再由待定系数法求解抛物线表达式； （2）过分别作轴的平行线交直线分别于点，可得，那么，再由得到，然后设，则，即可求解； （3）先求出，直线，则，过点作交轴于点，求出，则直线，再求解直线，设，过点作轴交于点，根据的面积是面积的2倍，得到，解得，而点G在线段上，故，解得，那么的最大值为，此时，，此时点重合，过点作轴于点，过点作轴于点，通过解直角三角形求解点坐标，最后由两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，不论取何值，始终成立， 解得 ∴直线经过点 将点，，代入 则 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：过分别作轴的平行线交直线分别于点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 设，则， ∴ 把代入得， ∴ ∴， 解得， ∴或， 当点时，代入，则，解得 当点时，代入，则，解得， ∴或； （3）解：联立直线和抛物线 则 解得或 ∴ 同（2）可求直线 ∵轴， ∴把代入得， ∴ 过点作交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， 同理可求直线， ∵ ∴， ∴， 设直线 代入，则 解得 ∴直线 设，过点作轴交于点， ∴， ∴ ∵， 又∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∵点G在线段上， ∴ 整理得 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求； 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求或， ∴综上： ∴的最大值为， ∴此时， ∴此时点重合，过点作轴于点，过点作轴于点 ∴， ∴，， ∴， ， ∵过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴，， ∴ ∴， 而， ∴ ∴ ∴． 15．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为 (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为． （2）解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， ∵直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； （3）解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，    则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $