题号猜押08 湖北武汉中考数学第23题（解答题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押08湖北武汉中考数学第23题（解答题） 押题预测 考点1旋转类几何综合 1.(25-26九年级上湖北武汉·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点A逆时针旋转 a(0°<a<I80)得到ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E. 1) 2 (3) (I)如图(1)，若BC的延长线交DE于点F.求证：FC=FE; (2)连接BD,EC. ①如图(2)，延长EC交BD于点G,求证：点G是BD的中点： ②如图C3》，C与BD、D分别交于点C,K.若ADBC,瓷-行·请直接写 KC的值， BD 【答案】（①）证明见解析 20证明见解新；②C的值为} BD 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性 质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键。 (1)连接AF,证明△ACF≌△AEF即可得结论： (2)①过点D作DH∥BC交CG延长线于点H,证明△BGC≌aDGH即可得结论； ②过点E作EM⊥AD于点M,过点B作BN⊥AD交DA的延长线于点N,由题意设AC=8a,BC=I5a, 由勾股定理计算出AB,证明△AME∽△ACB,可得EM,AM的长，再证明△AKC∽△MKE,可得AK的 长，可求得CK的长，再证明四边形ANBC是矩形，可得BN,AN,DN的长，从而求得BD的长，进而可 得结论。 【详解】(1)证明：如图，连接AF, 1/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 由旋转可得，AC=AE,∠ACB=∠E=90°， LACF=∠E=90°， 在Rt△ACF和Rt△AEF中， AF=AF AC=AE' :Rt△ACF≌RtAAEF(HL), CF=EF. (2)①证明：如图，过点D作DH∥BC交CG延长线于点H, B H----G :DH∥BC, ∠H=∠BCG, 由旋转可得，AC=AE,LACB=LAED=90°，DE=BC, LACE=LAEC,LACE+LBCG=LAEC+LGED=90°， LBCG=∠GED, ∠H=LGED, .DH DE, :DH=BC, 在△BGC和△DGH中， ∠BGC=∠DGH ∠BCG=∠H, DH=BC .△BGC≌△DGH(AAS, 2/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DG=BG, :点G是BD的中点， ②如图，过点E作EM⊥AD于点M,过点B作BN⊥AD交DA的延长线于点N, KM :在Rt△ABC中，LACB=90°， AC 8 BC-15 设AC=8a,BC=15a,则AB=VAC2+BC2=17a, 由旋转可得，AE=AC=8a,∠BAC=∠EAD,AD=AB=17a, :EM⊥AD, .∠AME=∠ACB=90°， △AME∽△ACB, 指兴是脚品微兴 17a15a8a ÷EM=120 a,AMs 64 a, 17 :AD∥BC, ∴∠CAK=∠ACB=90°， ∠CAK=∠EMK=90°， :∠AKC=∠EKM, △AKC∽aMKE, 8a AK MEMK,即120= AC AK 64 17a170-AK .AK =2a, 在RtAAKC中，由勾股定理得，CK=√AC2+AK2=2V17a, :BN⊥AD交DA的延长线于点N,∠NAC=180°-∠DAC=90°，∠ACB=90°， .四边形ANBC是矩形， .BN =AC=8a,AN BC =15a, 3/144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DN AD AN =32a, 在Rt△BDN中，由勾股定理得，BD=√BN2+DN2=87a, KC 2v17a 1 BD 817a4 2.(25-26九年级上湖北武汉·期末)已知等边ABC,点E在边AC上， 问题背景(1)如图1，点D在边AB上，AD=CE,线段CD、BE交于点F,求证：∠BFD=60°： 问题探究(2)如图2，将图1中线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AD',点G为BC边上的点，且 8C=3CG,连接D'G交BE于H点，LBHG=60,求B的值. 问题延伸(3)如图3，点D在直线AB上，且AD=CE,点M,N分别为AE、CD的中点，若 EN⊥MN,直接写出SABCD:S△MwE=一· E F D D B A D B 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2) 3 (3)12:1或24：1 【分析】(I)利用SAS证明△ACD≌△CBE,求得∠ACD=∠CBE,即可得到∠BFD=60°； (2)在BC上截取BQ=CE,连接AQ,交BE于点P,证明四边形ADGQ是平行四边形，求得AD'=GQ, 推出BQ=GQ=CG,据此求解即可； (3)分两种情况讨论，①当点D在点A右侧时，延长EN到点P,使EN=PN,连接AP、DP,证明 aENC≌PND(SAS,)得到∠ECY=∠PDN,DP=EC,求得∠PAC=∠PAD∠BAC=30=∠APD,据 此求解即可；②当点D在点A左侧时，同理求解即可. 【详解】(1)证明：在等边三角形ABC中，AC=BC,∠A=∠ACB=60°， 在△ACD和△CBE中， AD=CE ∠A=∠BCE, AC=BC 4/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ACD≌△CBE(SAS), ∠ACD=∠CBE, ∠BFD=∠BCF+∠CBE=LCBF+∠ACD=LACB=60°； (2)解：如图，在BC上截取BQ=CE,连接AQ,交BE于点P, H D 图2 由(1)方法可证△BAQ≌aCBE(SAS), 得到∠APE=60°，BQ=CE, :∠BHG=60°， ∠APE=∠BHG, D'G∥A0, :∠DAD'+∠ABC=120+60°=180°， AD'∥BC, :四边形ADGQ是平行四边形， .AD'=GO, AD'=AD=CE=BO, .BO=GO=AD, BC=3CG, ..BO=GO=CG, .AB BC=3AD, AD 1 AB3 (3)解：①当点D在点A右侧时， 如图，延长EN到点P,使EN=PN,连接AP、DP, 5/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E P - D 图3 :EN=NP,即N为EP中点， :M为AE中点， :MN∥AP,MN=AP, 2 .∠EPA=∠ENM=90°， :CN=DN,∠CNE=∠DNP, .△ENC≌aPND(SAS, .LECV=∠PDN,DP=EC, DP∥AC, ∠APD=∠PAC, CE =AD, .DP=AD, ∠PAD=∠APD, :∠PAC=∠PAD=∠BAC=30°=∠APD, 设AD=1,则AP=√5， .MN-14P- 2 在Rt△MNE中，∠EMN=∠CAP=30°， :.EN-MN=1. 1 3 2 5ee号MN,EN=5, 8 :EP=2EN=1, :AE =2PE=2, .AC=AE +CE=3, 6/144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2V S.8CD=S.A0C=x 3 34 *3”35 2 3N3.V3 S.BCD S.MNE =12:1: 2·8 ②当点D在点A左侧时， 图4 同0可得s= 8 sc=3W5, 3 5.c.3: -=24:1, P 综上所述，S△BCD:S△MNE=12:1或24：1. 【点晴】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性 质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 3.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋转O (0°<a<90°)，得到线段CD,连接AD、BD. D 图1 图2 图3 (1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转，则∠ADB的度数为； (②)将线段CA绕点C顺时针旋转a, ①如图2，求∠ADB的度数： ②如图3，若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE,用等式表示线段 AD、CE、BE之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)135°， 7/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①LADB=45°；②√2CE=2BE-AD.证明见解析 【分析】(1)由旋转的性质可得，CD=CA=CB,∠ACD=a,则∠BCD=90°-a,由等腰三角形的性质 相1n0_180°-0=90°&，∠BDC=2=45°+2，即可求解： 2 (2)①由旋转的性质可得：CD=CA=CB,LACD=Q,由等腰三角形的性质求得∠ADC,∠BDC,即可 求解；②如图，过点C作CG∥BD,交EB的延长线于点G,根据题意可得，CE垂直平分BD,得到 BE=DE,∠EFB=90°，由①知，∠ADB=45°，从而得到LEBD=∠EDB=45°，再由BD∥CG得到 LECG=LEFB=90°，LG=LEBD=45°，得到EC=CG,EG=VEC2+CG2=√2EC,由题意可得 △ACE≌△BCG,根据线段和差关系，得到EG=2EB-AD,即可求解 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋转(0°<a<90°)， CD=CA=CB,∠ACD=&, .∠BCD=90°-a, CD=CA,CD=CB, ∠4Dc.1809-a=90°- 2 号，∠BDC-180-90-a-454g 2 2 :∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°-&+45°+g=135°， 2 (2)解：①由旋转的性质可得：CD=CA=CB,∠ACD=a, .∠BCD=90°+a, CD=CA,CD=CB, ∠ADC=1809a=90-g,∠BDC=180°-(90+a=450-g 2 2 2， ∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°- 345°+=45°， 2 ②√2CE=2BE-AD. 证明：如图所示，过点C作CG∥BD,交EB的延长线于点G, 8/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BC=CD,CE平分∠BCD, :.CE垂直平分BD, ∴BE=DE,∠EFB=90°， 由①知，∠ADB=45°， ∠EBD=∠EDB=45°， .∠FEB=45°， :BD∥CG, ∴.LECG=∠EFB=90°，LG=LEBD=45°， EC=CG,EG=EC2+CG2=2EC, :∠ACE=90°-∠ECB,∠BCG=90°-∠ECB, .ZACE ZBCG, 在△ACE和△BCG中， EC=CG ∠ACE=∠BCG, AC=BC .△ACE≌aBCG(SAS), .AE=BG, EG=EB+BG=EB AE EB+ED-AD =2EB-AD ·√2CE=2BE-AD. 4.(25-26九年级上湖北武汉·期末)已知RtAABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D为直线BC上一点. C(D)B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D与点C重合，点E为AB上一点，将线段ED绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF,连 接AF,直接写出AF与BE的关系： (2)如图2，点D在BC的延长线上，E为∠ABC的角平分线上一点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得 到线段DF,连接AF,若AF∥BC,求证：AF=√2CD; (3)如图3，点D在BC边上，点E在直线AB左侧，连接BE,∠DBE=75°，将线段DE绕点D顺时针旋转 9/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 90°后得到线段DF,连接AF若BE=5,CD=2√2，则线段AF的长为 (直接写出结果). 【答案】(I)AF=BE,AF⊥BE (②)见解析 3)√21 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角 形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键 (1)利用旋转的性质，通过SAS证明全等即可找到线段关系； (2)作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； (3)作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：由旋转的性质，得ED=FD,∠EDF=90°， :∠EDB+∠ADE=∠ADB=90°，∠FDA+∠ADE=∠EDF=90°， ∴∠EDB=∠FDA, 又DA=DB, △BDE≌△ADF(SAS）, AF=BE,∠FAD=∠B, .∠B+∠BAD=180°-∠ADB=90°， .∠FAD+∠BAD=∠BAF=90°， AF⊥BE, 故答案为：AF=BE,AF⊥BE; (2)证明：如图，过点D作DM⊥AF,过点E作EN⊥BC, M F B .AF‖BC, ∴.∠CAF=∠ACB=90°， .四边形ACDM是矩形， ∴∠MDC=90°，CA=DM,AM=CD, 由旋转的性质，得LEDF=90°，DE=DF, 10/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠EDN+∠EDM=∠MDC=90°，∠FDM+∠EDM=∠EDF=90°， .∠EDN=∠FDM, 又∠END=∠FMD=90°， △END≌△FDM(AAS), .EN FM,DN =DM 如图，延长NE,与AB交于点H,过点E作EG⊥AB于点G, G B :CA=CB,∠ACB=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=45°， 又∠BNH=90°， ∴.△BNH是等腰直角三角形， ∴∠EHB=45°，BN=HN, 又∠EGH=90°， ∴△EGH是等腰直角三角形， EG=HG,EH=EG2+HG2=2EG, :BE是∠ABC的角平分线，EG⊥AB,EN⊥BC, .EN =EG, .BN HN EN +EH =EN+2EN =2+1 EN &Ew万av=5-BN=M, BN+NC=BC,CD+NC=DN=DM AC=BC, :BN=CD, .AF=AM+FM CD+(2-1)CD=2CD: (3)解：如图，过点D作DM⊥BC于点M,过点M作MN⊥AC于点N,连接FM,过点A作AG⊥FM 于点G, 11/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 同(2)理可知，△BDM和aAMN是等腰直角三角形，四边形DMNC是矩形， BD=MD,AN=MN=CD=2√2，∠BMD=∠DBM=45°， AM=AN2+MN2=4, 由旋转的性质，可知∠EDF=90°，DE=DF, :∠BDE+LEDM=∠BDM=90°，∠MDF+LEDM=∠EDF=90°， ∠BDE=∠MDF, △BDE≌△MDF(SAS), .FM=EB=5,∠DMF=LDBE=75°， .∠AMG=180°-∠BMD-∠DMF=60°， ∴∠MAG=90°-∠AMG=30°， MGM2 4G-G-25 .FG=FM-MG=3, AF=AG2+FG2=21. 5.(25-26九年级上湖北武汉·期中)RtAABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在△ABC内. 动手操作：如图1，将△CDB绕点C顺时针旋转90°，使点D的对应点为E,画出旋转后的对应三角形： D 图1 图2 实践运用：如图2，连CD,将CD绕点C逆时针旋转90°得线段CE,连BE,射线AD交BE于点F,连 CF,若BF=1,AC=5,求CF的长. 【答案】动手操作：画图见解析；实践运用：CF=3√2 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质，熟练掌握 旋转的性质是解题的关键。 12/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； 实践运用：过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N,证得△ECB≌aDCA,再证明aCNE≌aCMD, 从而证得四边形CMFV是正方形，设正方形的边长为x,利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： D 图1 实践运用： 过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N, :将CD绕点C逆时针旋转90°得线段CE, 图2 CE=CD,∠DCE=∠ACB=90°， .LDCE-∠BCD=∠ACB-LBCD,即∠BCE=∠ACD, CE=CD,CB=CA, △ECB≌DCA(SAS, .LE=∠ADC, :∠ADC+∠FDC=180°， :∠FDC+∠E=180°， :∠DCE+∠EFD=360°-180°=180°， ∠EFD=90°， :CN⊥BE,CM⊥AD, :.∠CNE=∠CMD=∠AMC=LBNC=90°， :CE CD,ZE ZADC, △CNE≌CMD(AAS), .CN =CM, 13/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠MFN=∠CNF=∠CMF=90°， ·四边形CMFN是正方形， :设CM=CN=NF=MF=x, :AC=BC=5,∠ACB=90°， ,AB=5V2, :∠AFB=90°，BF=1, :.4F=VAB2-BF-(5)-1=7. 在Rt△AMC中，AM2+CM2=AC2, 即(7-x2+x2=52, 解得x=3或x=4, 当x=3时， 在RtABCN中，BN=BF+FN=1+3=4,CN=3,BC=5, 满足BN2+CW2=BC2,即42+32=52， 则x=3符合题意， 当x=4时， 在RtABCN中，BN=1+4=5、CN=4、BC=5, 由于BW2+CW2=52+42=41≠25=BC2, 则x=4不符合题意，故舍去， :CN NF=3, CF=√2CN=3V2 6.(25-26九年级上湖北武汉·月考)(1)【问题背景】如图1，点D是等边△ABC内一点，连接AD、 CD,将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE,连接BE、DE,求证：BE=CD; (2)【尝试应用】如图2，点D是等腰直角△ABC内一点，AB=AC,∠BAC=90°，连接AD、BD、CD ,若AD=√3，CD=1,BD=√7，求△BCD面积： (3)【拓展创新】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为平面内一点，且∠ADB=60 ·品子上接与用答的为 14/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析；(2) 2:(3)或2亚 1 13 31 【分析】(1)先利用SAS证得△EAB≌△DAC，进而可得证； (2)将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ATB,连接DT.证明∠BTD=90°，推出∠ADC=∠ATB=135°， 再证明C,D,T共线，然后利用三角形面积公式计算即可； (3)分两种情形：当点D在AB的上方时，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AT,连接 DT,CT,CD,设BD=2m,则AD=AT=3m.想办法求出AC,CD,可得结论.当点D在AB的下方时， 将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AT,连接DT,CT,CD,设BD=2m,则AD=AT=3m,过点D作 DH⊥TC交TC的延长线于点H.想办法求出AC,CD,可得结论. 【详解】(1)证明：：等边△ABC, ∠BAC=60°，AB=AC, :将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE, .AD=AE,LEAD=60°， .∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60°， ∠EAB=LDAC, 又：AB=AC,AD=AE, △EAB≌△DAC(SAS), ∴BD=CD; (2)解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ATB,连接DT, AT=AD=V3,∠DAT=90°，CD=BT=1, .DT=√2AD=√6，∠ATD=LADT=45°， CD=BT=1,BD=√万， 15/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD2=BT2+DT2, ∠BTD=90°， .∠ATB=∠ADC=135°， :.∠ADT+∠ADC=180°， C,D,T共线， .5.oC 2 (3)解：①当点D在AB的上方时，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AT,连接DT,CT,CD,过 A点作AM⊥DT于M,设BD=2m,则AD=AT=3m· C:∠DAT=∠BAC=120°， LBAD=∠CAT, 在△BAD和△CAT中， AD=AT ∠BAD=∠CAT, AB=AC △BAD≌△CAT(SAS）, ∴.BD=CT=2m,∠ADB=∠ATC=60°， 过点B作BH⊥AD于点H.则DH=号BD=m,BH=√5m, :AH AD DH =3m-m=2m, :AB=AC=AH2+BH2 =(2m)+(3m)2=7m, :AD=AT=3m,∠DAT=120°，AM⊥DT, ∴∠ADT=∠ATD=30°，4M=AD= 3 2 m,DM=MT, 2 DM =VADAM3m 2m, :DT =3V3m, :∠ATC=60°， 16/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠DTC=90°， .:.CD=JDT2+CT2=(33m)+(2m)2=3im, AC_√7m_V217 CD 31m 31 ②当点D在AB的下方时，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AT,连接DT,CT,CD,过A点作 AM⊥DT于M,设BD=2m,则AD=AT=3m,过点D作DH⊥TC交TC的延长线于点H. B C 同理可证△BAD≌△CAT(SAS),AB=AC=√7m, H LATC=LADB=60°， :∠ATD=∠ADT=30°， ∠DTH=30°， AD=AT=3m,∠DAT=120°，AM⊥DT, ∠ADT=∠ATD=30,AM=AD=3m m,DM=MT, 2 2 ÷DM=VAD-AM=3N5m, 2m, DT=3√3m, :DH=1DT= 1 -m, 2 2 :.TH=V3DH=2m 9 ·C1=TH-CT=2n-2m=3, 2， c0=Dr+a-mr+n=-a 33 AC 17m 191 CD 13m 13 综上所述， 4C的值为或2亚 CD 13 31 17/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 或27 131 31 【点晴】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直 角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三 角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题. 7.(2026湖北武汉模拟预测)【探究发现】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不 与端点重合)，连接BE,作点D关于BE的对称点D,DD的延长线与BC的延长线交于点F,连接 BD',D'E. A E D B B 图1 图2 图3 (I)小明探究发现：当点E在CD上移动时，BE与DF的数量关系为_；BE与DF的位置关系为_ (②)【类比迁移】如图2，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE,作点D关于BE的对称点 D,DD的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD,CD,DE,当CD'⊥DF时. ①求证△BCE∽△DCF; ②若AB=6,BC=9,求CD'的长 (3)【拓展应用】如图3，己知四边形ABCD为菱形，AD=5,AC=6,点F为线段BD上一动点，将线段 AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF=EF, 直接写出OF的长。 【答案】(I)BE=DF,BE⊥DF 20见解析；②310 国ar-名或or-} P 【分析】(1)延长BE交DD于H,根据对称可得BH⊥DF,然后证明∠EBC=∠EDH,推出 △BCE≌△DCF(ASA),从而得到BE=DF; (2)①延长BE交DD'于H,同(1)可证BH⊥DF,∠EBC=∠EDH,即可证明；②先判断出BE∥CD', 再根据平行线分线段成比例，得到DE=CE=3,下一步通过△BCE∽△DCF,求得CF,最后通过勾股定理 18/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 和S.=CD:CF-DP-CD 2 求得答案； 2 (3)以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E,①当点E在CD上时，延长AF 交DE于点G,同(1)①可得，∠GDF=∠OAF,再证明∠OAF=LODA,通过tan∠OAF=tan Z0DA即 可得出答案；②当点E在BC上时，延长AF交DE于点G,先证明△AGD≌△BOA(AAS),得到 AG=BO,DG=AO,再证明△F0A≌△FGD(AAS,得到0F=FG,然后设OF=x,根据DF2=GF2+DG 列方程求得答案。 【详解】(1)解：延长BE交DD'于H, D E B C 图1 :四边形ABCD是正方形， :BC=CD,∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°， :D关于BE的对称点为D, .BD=BD',DE =D'E, ·BE是DD'的垂直平分线， BH⊥DF,即BE⊥DF, :∠BHD=∠BCD=90°，∠DEH=∠BEC, .180°-∠BCD-∠BEC=180°-∠BHD-∠DEH, ∠EBC=LEDH, 又∠BCD=∠DCF=90°，BC=DC, △BCE≌△DCF(ASA), :BE DF, 综上，BE=DF,BE⊥DF; (2)解：①延长BE交DD'于H, 19/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图2 :D关于BE的对称点为D, .BD=BD',DE D'E, BE是DD'的垂直平分线， BH⊥DF,DH=D'H, :四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， .∠DCF=90°， ∠BHD=∠BCD=90,∠DEH=∠BEC, 180°-∠BCD-∠BEC=180°-∠BHD-∠DEH, .∠EBC=LEDH, 又∠BCD=∠DCF, .△BCE∽△DCF: ②BH⊥DF,CD'⊥DF, BE∥CD', DE_DH=1, CE D'H :四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=9, .CD=AB=6, .DE=CE=3, :△BCE∽△DCF, BC CE DC CF 93 ·6CF CF=2, DF=VCD2+CF2=√62+22=20， 20/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD.CF DF.CD' S.CDF= 2 2 .CD'=CD.CF 6×23√10 DE 2105； (3)解：以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E, ①当点E在CD上时，延长AF交DE于点G, B DF=EF,AD=AE, .AG垂直平分DE, 同(1)可得，∠GDF=∠0AF, :四边形ABCD为菱形，AD=5,AC=6, AC⊥BD,AO=CO=3,∠ODC=∠ODA, L0AF=L0DA,0D=√AD2-A02=V52-32=4, ∴.tan ZOAF=tan∠ODA, 05-40,5=2 AO DO ”34 0r- ②当点E在BC上时，延长AF交DE于点G, B DF=EF,AD=AE, 21/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、.AG垂直平分DE, .∠AGD=90°， 在ADE中，AD=AE,∠AGD=90°， 2DMG=∠E4G=<DAc, :四边形ABCD为菱形，AD=5,AC=6,AD∥BC, :AB=AD=5,∠DAE=∠AEB,∠ABD=∠CBD=∠ABC, 2 .AD=AE AB, ∴.∠AEB=∠ABE, ∠ABE=∠DAE, LABE--ZDAE,即L4B0=乙DA6 2 「∠AGD=∠BOA=90° 在△AGD和△BOA中， ∠DAG=∠ABO AD=BA .△AGD≌△B0AAAS), ..AG=BO=4,DG=A0=3, :∠AOF=∠DGF=90°，∠DFG=∠AFO, aFOA≌△FGD(AAS, ..OF =FG, 设0F=FG=x,则DF=0D-0F=4-x, 在Rt△DFG中，由勾股定理得：DF2=GF2+DG, (4-x2=x2+32, 7 3即OF 7 9 综上，OF=。或OF= 8 4 8.(2026湖北武汉模拟预测)在矩形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，∠EOF=90°，将∠E0F绕 点O旋转，OE,OF分别与边AB,BC相交于E,F,连接EF,BC=k·AB(k为常数)· 22/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，若k=1,求证：OE=0F; (2)如图2，若k≠1，探究线段OE,0F之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，k=√2，AB=4. ①若LACB=∠FOC,求OE的长： ②若BE=BF,请直接写出OF的长. 【答案】()见解析 (2)OE=kOF,理由见解析： 3)①3；②4√5-2√6 【分析】(1)根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌aOFC(AAS)即可得到 OE=OF,从而得出结论即可； 2过0作OW1于以，作o1C于N.明△0Ew“e0,则8=-8兴，进-步可R 答案 (3)①过点O作0H⊥BC于点H,则∠0HF=90°，设0F=CF=x,则HF=2√2-x,利用勾股定理求 出OP=CF=3V5,即可得到答案；②过0作OP1BC于P,作OQ1AB于Q,证明A0PFs00E,则 2 OFOP√2 0E-00-2 ，设BE=BF=m,则EF2=2m2,设0F=y,则OE=2y,得到y2=m,求出 m=6√2-6，即可求出答案. 【详解】(1)解：若k=1,则BC=AB,即四边形ABCD为正方形， a0B-8D,0c=4C,8D=AC,∠AB0-∠46c,∠Bc0∠BcD,∠48C=∠BcD=90, 2 ∠B0C=90°， .0B=0C,∠0BE=∠0CF=45°， :LE0B+∠B0F=LE0F=90°， ∠C0F+∠B0F=∠B0C=90°， 23/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EOB=∠FOC, ∴.△OEB≌△DFC(ASA, ..OE =OF; (2)解： 0E=k, OF 理由：过O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N, D M之 F ∠ABC=90°， ∴.四边形OMBN是矩形 ∠MON=90°，OM=BN,ON=BM, ∠2+∠E0N=90°， .∠1+∠E0N=∠E0F=90°， ∠1=∠2， ∠0ME=∠0NF=90°， .△0EM∽△OFN, OE OM OF ON 在矩形ABCD中，OB=OC=OA, :ON⊥BC,OM⊥AB, :BN=BC.BM-74B. 1 :OM=BN=IBC,ON=BM=1AB, -BC ON LAB BC=k. AB OE OM =k, OF ON ∴.OE=kOF; (3)解：①过点O作0H⊥BC于点H,则L0HF=90°， 24/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D HF 图3 :k=√2，AB=4. .BC=kAB=42, :四边形ABCD是矩形， .04-0C-4C OB-OD-BD.Z48C-90.AC-BD 2 0B=0C, :BH=CH=1BC=22, 2 0m=48=2, :∠ACB=∠FOC, ..OF =CF, 设0F=CF=x,则HF=CH-CF=2√2-x, 在Rt△0HF中，OH2+HF2=OF2, 则2+(22-x}=x2, 解得x=32 0F=CF=3 2 E=k=2, OF ∴OE=V20F=3; ②如图，过0作0P⊥BC于P,作OQ⊥AB于Q, A D E B FP :k=√2，AB=4. .BC=kAB=42, :四边形ABCD是矩形， 25/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=CD=4,AD=BC=4V2,∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，OA=OB=C0=OD, ∠OPB=∠OQB=∠ABC=90°， 四边形OPBQ是矩形. .OP∥AB,OQ∥BC,LP00=90°， 4g.A0-1CP-oC-1, =1. OB OCBP A0 .AO=BO,CP=BP, O2,OP是ABC中位线， 0p=)AB=2,00=)Bc=22 :∠POF+∠QOF=∠QOE+∠QOF=90°， .∠POF=∠QOE, :∠OPF=∠OQE=90°， .△OPFAOOE, OF OP PF2√2 OE0Q QE222 设BE=BF=m,则EF2=BE2+BF2=m2+m2=2m2, 设0F=√2y,则OE=2y, EF2=0E2+0F2=(2y2+N2y=6y2, 6y2=2m2, 1 y2=5m2, 3 BP=CP=IBC=22, .FP=BP-BF=2√2-m, 在Rt△0PF中，OP2+PF2=OF2, 则2+(22-m=(2y, 又由y=m得到m2-122m+36=0, 解得m1=6V2+6,m2=6V2-6, :m1=6V2+6>4, 26/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “不合题意，舍去， m=6√2-6， :y=m, 3 -9-965--26-5 :0F=V2y=V226-2V5=45-26 ·考点2面积类几何综合 9.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD, ∠ABC=2∠BCD=2∠a. A D MD 图① 图② 图③ (I)求证：BD2=AD·BC. (②)若点M,N分别在AD,CD上，连接BN,BM,MN,且∠BND+∠BMD=180°. ①若∠a=30°（如图②），求证：CN=√5MD ②若∠a=45°，以BM为边作正方形BMNE,NE交BC于点F(如图③)，当AB=6,MD=4时，直接写 出△FEC的面积是 【答案】(1)见解析 2)0见解析：②16 【分析】(I)利用等边对等角可得∠ABD=∠ADB,再由AD∥BC可得∠ADB=∠DBC,进而得 LABD=∠DBC，,再说明LADB=∠ABD=LDBC=LDCB,易证△ABD∽△DBC,再利用相似三角形的性质 即可证明结论； (2)①如图2：连接BD,BN,再证明aBMD∽△BNC,由相似三角形的性质得到比例式，设AB=AD=x, 利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可求得BD=CD=√3x,进而表示出BC,代入比例式即可证 明结论；②如图3：连接BD,由AD与MD求出AM的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出BC与CD ,过E作EH⊥BC于H,利用AAS得出△BAM≌△HBE,求出EH与BH的长，由aHBE∽△EHF可得CF的 长，再由EH的长，利用三角形面积公式求出△FEC的面积即可. 27/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AB=AD, ∠ABD=∠ADB, :AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC, :ZABD ZDBC, :∠ABC=2∠BCD, ∠ADB=∠ABD=LDBC=∠DCB, .△ABD∽△DBC,BD=CD, BD AB BC 即BD2=AB·BC=AD·BC. BD (2)解：①如图2：连接BD,BN, A MD B F 图2 由∠a=30°并结合(1)可得：∠ADB=∠BCN=30°， ∠BND+∠BMD=180°，∠BND+∠BNC=180°， .∠BNC=∠BMD, △BMD∽aBNC, CN BC MD BD 设48=0，如图2：过点4作4E上BD于E,则4E=B 2t, BE =AB2-AE2 3 2 :BD CD=2BE =3x, 如图2：过点D作DF⊥BC于F,同理可得：BC=√5BD=3x, A MD B F 图2 CN BC=3x=3, ÷MDBD5x 28/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CN=3MD ②如图3，连接BD, M 图3 :AD II BC,∠ABC=2∠a=90°， LA=∠ABC=90°， AB=AD=6,MD=4, AM=2,BD=6√2， .CD=BD=62, .∠DBC=∠DCB=∠a=45°， ∴.∠BDC=90°， ·BC=V√2BD=12, 如图，过点E作EH⊥BC于H, 则LHBE+∠BEH=90°， :四边形MNEB为正方形， :BM=BE,∠MBE=∠BEN=90°， LABC-LMBC=LMBE-∠MBC,∠BEH+∠HEF=90°， ∴.∠ABM=∠HBE,∠EBH=∠HEF, 在△BAM和△BHE中， ∠A=∠BHE ∠ABM=∠HBE, BM=BE :.△BAM≌△BHE(AAS), .EH=AM=2,BH=BA=6, .CH=6, :∠BHE=∠EHF=9O°，∠EBH=∠HEF, 29/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△BHE∽△EHF, BH EH EH HF 62 2 HF ,解得：HF=2 CF=CH-HF=6-2=16 33 116 :.S.FEC =CF.EH=x 2 0216 23 3 10.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=3√2，∠ACB=90°， 点D是AB的中点，在ABC外取一点E,使DE=AD,连接DE,AE,BE. D D D B 图1 图2 备用图 (I)求证：AE⊥BE. (2)如图2，若点E在直线AB下方，且∠ABE=30°，求CE的长. (3)若点E在直线AB下方，AE:AB=1:3,直接写出△ACE的面积. 【答案】（①）见解析 236-3V2 2 (3)2√2-1 【分析】(1)可证明DE=DA=BD,则由等边对等角和三角形内角和定理可证明LDEA+LDEB=90°， 即∠AEB=90°，据此可证明结论； (2)过点C作CF⊥CE交BE于点F,设AC交BE于点J.可证明aCAE≌aCBF,得到CE=CF,AE=BF 由勾股定理可得EF=√2CE,AB=6,则可推出BF=AE=3,BE=3V3,据此求出EF的长即可得到答 案： (3)当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于点G,CF⊥CE交BE于点F,利用勾股定理求出 BE的长，进而求出EF的长，由三线合一定理和直角三角形的性质求出CG的长，再根据全等三角形的性质 和三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)证明：：点D是AB中点， .AD=BD 30/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE=AD, :DE DA=BD, LDBE=∠DEB,∠DEA=LDAE, :∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，即∠DBE+∠DEB+∠DAE+∠DEA=180°， 2LDEA+2∠DEB=180°， .∠DEA+∠DEB=90°， .∠AEB=90°， AE⊥BE. (2)解：如图2中，过点C作CF⊥CE交BE于点F,设AC交BE于点J. D 图2 ∴LECF=90°=LACB, :∠ECF-∠ACF=∠ACB-ACF, .LACE=∠BCF, :∠AEJ=LBCJ=90°，∠AJE=∠BJC, 180°-∠AEJ-∠AJE=180°-∠BCJ-∠BJC, ∠CAE=∠CBF, 又：CB=CA, ACAE≌CBF(ASA), :CE =CF,AE=BF, :EF=CF2+CE2=2CE; 在R1△4BC中，由勾股定理得AB=VAC2+BC=3+32列=6， 在Rt△ABE中，∠ABE=30°，∠AEB=90°， 4=方48=3 .BE=AB2-AE2=33, 31/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BF=AE =3, EF=BE-BF=3√5-3， CE=EF-35-336-32 √2√2 2 (3)解：如图3中，当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于点G,CF⊥CE交BE于点F, D G B 图3 由(2)可知，△CAE≌△CBF,CE=CF,AB=6, AE=BF,SAACE=S△BCF, AE:AB =1:3, ∴.AE=BF=2, BE=VAB2-AE2=V62-22=4√2； :EF BE -BF=42-2: CE=CF,CG⊥BE, EG-FG-EF. cG=f=22-1, 5e-5a-8-cG-x2x25-=25-1. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直 角三角形的性质，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 11.(25-26九年级上湖北武汉·月考)在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC, ED,EB,△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC. 图1 图2 图3 32/144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，求∠DAE的度数： (2)如图2，在BC上取点F使得AB=AF,求证：√2AE+BF=AD; (3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=√2时，求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1)45° (2)见解析 (3)3+2√2 【分析】(1)设∠ECB=x,可求出LBCD=90°+x,由平行四边形的性质可得出LADC=90°-x, LABE=90°-2x,由AB=EB得出LBAE=45°+x,进一步可得出结论： (2)在AD上截取DG=BF,连接EG,CG,证明四边形AFCG是平行四边形，得到AF‖CG, AF=CG, ∠GCB=∠AFB,证明△ABE≌△GCE(SAS),再证明△AEG为等腰直角三角形，得AG=√2AE,从而可得出 结论： (3)过点E作PQ⊥AD交于点P,交BC于点Q,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交BD于点K,分 别求出P?、BC的长，根据平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】(1)解：设∠ECB=x, .EB=EC, .∠EBC=∠ECB=x, :△ECD为等腰直角三角形， ∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°， ∴.∠BCD=90°+x,EC=CD, .EB=CD=AB, :四边形ABCD是平行四边形， .∠ADC=∠ABC=180°-∠BCD=180°-90°+x)=90°-x, ∠ABE=90°-x-x=90°-2x, AB=EB, ∠BAE=180°-∠ABE_180°-90°-2=45+x, 2 2 :∠BAD=∠BCD=90°+x, .LDAE=∠BAD-LBAE=90°+x-45°+x=45°； 33/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：如图，在AD上截取DG=BF,连接EG,CG; G D .AD BC, 图2 .AD-DG BC BF AG CF. AD‖BC, “四边形AFCG是平行四边形， ∴.AF IICG,AF=CG, .∠GCB=∠AFB, AB=AF, AB=GC,∠ABC=∠AFB, .∠GCB=∠ABC, :BE CE, :ZEBC ZECB, :LABC-LEBC=LGCB-LECB,即LABE=∠GCE, △ABE≌△GCE SAS), :AE EG, :LGAE=LAGE=45°， :△AEG是等腰直角三角形， .AG=2AE, AD CF BF =AG BF, .2AE+BF AD (3)解：过点E作PQ⊥AD交于点P,交BC于点Q,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交BD于点K P Q 图3 :∠CED=45°， 34/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEC=135°， .LEBC=LECB=22.5°， ∠ABF=∠AFB=67.5°， 即∠BAF=45°， :∠ABF=∠ADC,∠CBD=∠ADB, LABK=∠EDC=45°， 即∠AKB=90°设AK=BK=x, AB=BE=√2x, :KE=(2-x, 在RtAAKE中，AK2+KE2=AE2, AE=2, x+(5-x2=(2解得r=2+2 2 :S=B1xAE=K×BE, 2 BH=AKxBE22 AE 2 2 :BH⊥AE,AB=EB, .∠EBH=∠ABH=22.5°， 、∠EBQ=∠EBH, 又：EQ⊥BC, ∠BQE=∠BHE=90°， 又：BE=BE, :.△BHE≌△BQE(AAS), 0=H-4E-9 ,B0=BH=2+2 2 ·BC=2BQ=2+V2, AE=2, PE=1, PO-PE+QE-14 2 351144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :S.ABCD=(2+2)x1+ 3+2√2. 【点晴】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股 定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键. 一考点3锐角三角函数值类几何综合 12.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)已知ABC和BDE都是直角三角形，LBAC=LBDE=90°， BA=K·AC,BD=kED,连接AD、CE, 图1 图2 图3 (I)如图1，当k=1时，求证：△ABD~△CBE: (2)如图2，当点E刚好落在AC上，且BE平分∠ABC,求证：AD=AE: (3)如图3，延长CE交AD于点G,连BG,直接写出sin∠DGB的值： (用含有k的式子表示) 【答案】（①）证明见解析 (2)证明见解析 k ③)R+1 【分析】(1)当k=1时，先由BA=AC、BD=ED且LBAC=∠BDE=90°推出△ABC和△BDE均为等腰直 BA BD 1 角三角形，得到对应边成比例8CBE万且∠4BC=∠D8E=45,两边同时减去公共角∠1BE得 LABD=∠CBE,最后用两边成比例且夹角相等证得△ABD∽△CBE; (2)先由BA_BD-k且夹角均为直角证A4BC∽ADBE得∠C=∠BED,利用三角形外角定理由 AC ED LAEB=∠C+∠EBC=∠AED+∠BED代换得∠AED=∠EBC,再由第一次相似的边比例和夹角关系证第二 次旋转相似△ABD∽△CBE得∠BAD=∠C,利用三角形内角和加对顶角相等，由 ∠ADF=180°-∠BAD-LAFD、LABE=180°-∠C-LBFC代换得∠ADF=∠ABE,结合BE平分∠ABC得 ∠ABE=LEBC,进而推出∠ADF=∠AED,最后用等角对等边证得AD=AE; (3)先同前两步证旋转相似△ABD∽aCBE得∠GAB=∠GCB,由同侧等角判定点B、G、A、C四点共圆， 得∠GBA=∠GCA,利用三角形外角定理将∠DGB拆为LGAB+∠GBA、∠ACB拆为LGCB+∠GCA,对应 角等量代换得∠DGB=LACB,最后在RtAABC中由勾股定理求出BC,求得sinZACB,即得sin/DGB, 36/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：k=1, .BA=AC,BD ED, .∠BAC=∠BDE=90°， ∴△ABC和△BDE均为等腰直角三角形， BA BD 1 :.LABC-ZDBE=4S BC BE :LABC-LABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE, △ABD∽△CBE; (2)证明：：BA=k·AC,BD=k·ED, BA_BD=k. AC ED :∠BAC=∠BDE=90°， ∴△ABCn△DBE, ,∠C=LBED, :∠AEB=∠C+∠EBC=∠AED+∠BED, .∠AED=LEBC, '△ABC∽△DBE, AB CB DBEB'∠ABC=LDBE, ∠ABC-∠ABE=LDBE-∠ABE,即LABD=∠CBE, △BAD∽△BCE, ∠BAD=∠C, :在△ADF中，∠ADF=I80°-∠BAD-∠AFD, 在△BCF中，∠ABE=180°-LC-LBFC, LAFD=∠BFC, ∠ADF=∠ABE, :BE平分LABC, :∠ABE=LEBC, ∠ADF=∠AED, .AD=AE (3)解：BA=k·AC,BD=k·ED, 37/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BA BD AC ED k ∠BAC=∠BDE=90°， △ABC∽△DBE, AB CB DBEB'∠ABC=LDBE, ∠ABC-LABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE, △BAD∽△BCE, .LBAD=∠BCE,即∠GAB=∠GCB, 点B、G、A、C四点共圆， ∠GBA=LGCA, :∠DGB=∠GAB+∠GBA,∠ACB=∠GCB+∠GCA, ∠DGB=∠ACB, 在RtAABC中，BA=k·AC, BC=BA2+AC2=(kAC)2+AC2=k2+1AC. “sin∠ACB=BA、 kAC BC k2+1AC k2+1 .sin/DGB sinLACB= Vk2+1 13.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是BC上一点， △ABC∽△ADE,连接CE E G ■ B D B D F 图① 图② 图③ (I)基础问题：如图①，求证：△ABD~△ACE(温馨提示：用“两边夹角法”证明)· (2)问题探究：如图②，若AB=2,BC=3,当点D移动到使AE∥BC时，求BD的长度； (3)问题拓展：如图③，作EF⊥BC交BC的延长线于点F,若AB=6,EF=4,且点D为BC的中点，请 直接写出tan∠DAC的值是 【答案】（①）见解析 38/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)3 5 【分析】()由△48Ca△4DE,得出∠84C=∠D4E,伦伦，可得∠B4D=∠CAE,即可证明： (2)由(1)可知LBAD=LCAE,结合AE∥BC,证明∠BAD=LACB,再证明△BAD∽△BCA,得出 厨是 BD BA 即可求解； (3)由△ABD-A4CE,得∠ACE=LABD=90°，AC=8,再证明△ABCD△CFE,得出 CE BD AC AB BC CE CF EF 可注8D:CF,设8D=C0:CF=,利用铝S,求出得x=25,再求出 tan∠EDF= EF.45 DF45=3 可得∠EDF=30°，则可得DE=2EF=8,作CH⊥DE于点H,求出 tan∠CEH,再由∠CAD=∠CEH,即可求解. 【详解】(1)证明：：△ABC∽△ADE, .∠BAC=∠DAE, AB AC AD AE 六∠BAC-LCAD=LDAE-LCAD,=D AC AE' .∠BAD=∠CAE, △ABD~△ACE; (2)解：由(1)可知LBAD=∠CAE, :AE∥BC, ∠CAE=∠ACB, .∠BAD=∠ACB, ∠B=∠B, .△BAD∽△BCA, BD BA BA BC ·BD=AB」 4 BC=3 (3)解：由(1)知，aABD~aACE, :.ZACE=ZABD=90, AC=AB CE BD :LACE=90°=LABD, .LBAC+LACB=LACB+∠ECF=90°， 391144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ECF=LBAC, :∠ABC=∠CFE=90°， △ABC∽△CFE, AC-AB BC CECF EF AB AB BD CF :BD=CF, :D为BC的中点， 设BD=CD=CF=x, AB BC 解得x=2V5(负值舍去)， :BD=CD=CF=23, .DF=4V3, tan∠EDF= EF 4√5 DF 433' ∠EDF=30°， .DE=2EF=8, 作CH⊥DE于点H,则CH=!CD=5, B D :DH=3CH=3,EH DE-DH=5, tan∠CEH= CH 3 EH 5 :∠ADG=∠ECG=90°，∠AGD=∠EGC, .∠DAC=LCEH, ian∠DAC-tam∠CEH=5 40/144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点4比值类几何综合 14.(2026湖北武汉一模)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边CD,BC上的点，且DE=CF,连接 AE,DF交于点G. (2) (I)如图(1)，求证：AE⊥DF; (2)连接CG. ①如图(2)，若CG平分∠EGF,求证：CE=DE; ②如图(3》，连接BG,若FG平分∠BGC,直接写出DE的值. CE 【答案】()见详解 2)0见详解②DE 51 CE 2 【分析】(1)结合正方形的性质，证明△ADE≌△DCF(SAS),再进行角的等量代换，即可作答. (2)①由(1)得AE⊥DF,且结合正方形的性质，得出∠EGF+∠FCE=180°，故G,F,C,E四点共圆，再 运用圆周角定理得∠CFE=∠CGE=45°，故△FCE是等腰直角三角形，结合DE=CF,故CE=DE; ②设GD=a,AG=b(0<a<b),结合正方形的性质证明△ADG≌△BAH(AAS),再得出四边形BHGI是矩形， G1=BH=b,BI=GH=b-a,同理证明△ADG≌△CJ(AAS),即JG=JD-GD=b-a,因为FG平分 ∠BGC,得a∠6G1=<CG,再把数值代入引名整理得。2-3加+6=0，运用公式法解行 .得代入是。计氧，即可作答 2 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AD=DC,LADC=LC=90°， ∴∠DAE+LDEA=90°， DE=CF, :.△ADE≌ADCF(SAS), ∠DAE=∠CDF, 则∠CDF+∠DEA=90°， 41/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DGE=90°， 即AE⊥DF: (2)解：①由(1)得AE⊥DF, 即∠EGF=90° :CG平分∠EGF, .∠CGE=45° :四边形ABCD是正方形， ∠FCE=90°， :∠EGF+∠FCE=180°， G,F,C,E四点共圆，如图所示： 】 B CECE, ∴LCFE=LCGE=45°， ∠FCE=90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， :CF =CE, .DE=CF, .CE=DE; ②设GD=a,AG=b(0<a<b), 过点C作CJ⊥DF,过点B作BH⊥AE,过点B作BI⊥DF的延长线，如图所示： :四边形ABCD是正方形， ÷AD=AB,∠BAD=90° .∠BAH+∠DAG=90° 由(1)得AE⊥DF, :BH⊥AE, .∠AGD=∠AHB=90°， 则∠ADG+∠DAG=90°， 42/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADG=∠BAH, .△ADG≌△BAH(AAS), .BH=AG=b,AH=GD a, .GH AG-AH =b-a, :∠BHG=∠HGI=LBIG=90°， :.四边形BHGI是矩形， .GI=BH =b,BI=GH =b-a, 同理证明△ADG≌△DCJ(AAS), .JD=AG=b,CJ=DG=a, 则JG=JD-GD=b-a, :FG平分∠BGC, ∠BGI=∠CGJ, 则tanZBGI=tan/CGJ, :tan∠BGl= BI CJ ,tan∠CGJ= GI GI BI CJ GI GJ' b-a a b b-a ab=(b-a)2, 整理得a2-3ba+b2=0, △=(-3b)2-4x1×b2=9b2-4b2=5b2, 则a=--30)±v583b±V56 2 则=边5.B+6(含去)·6-边-®.B- 2 2 2 2 与①同理得G,F,C,E四点共圆，如图所示： 43/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF=CF .∠FCE=LCGJ .tan ZFCE=tan∠CGJ, :tan∠BGl=tan∠CGJ 则CF、B CE GI DE =CF, (3-5)b :DE b-a b- (3-55-1· 2-=1- CE b 6 2 2 【点晴】本题考查了正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，四点共圆，全等三角形的判定与性质， 等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 15.(25-26九年级下湖北武汉·月考)在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中， 点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O,点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE,通过证明 △DAQ≌△ABE,再证四边形DQFG为平行四边形，从而证出AE=FG. D G A D A M O D E A F B B 图1 图2 图3 图4 (I)【学以致用】如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,折痕BF与AE交于点H,点F在AD上，若DE=5,求AH的长； ②【类比探究】如图3，在知形ABCD中，g-将知形ABCD沿GP折叠，使点A落在BC边上的点D 处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O,试探究GF与AE之间的数量关系，并 说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点M、N分别在边AD、BC上，沿着直线 44/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MN折叠矩形ABCD,点A、B分别落在点P、F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作 MH⊥BC于点H,连接BF交MN于点O.若DF=DC,则折叠后MQ长为 3 60 【答案】(1 139 GF 3 E4,理由见解析： (2) 03 10 【分析】(I)根据正方形和折叠的性质证明△ABF≌△DAE(ASA),得到AF=DE=5,利用勾股定理求出 BF=13,再利用等面积法求解即可： (2)过点D作DK∥GF交AB于点K,根据折叠与矩形的性质，推出△DAK∽△ABE,则 DK ADBC3 ,再证明四边形DKFG是平行四边形，则DK=GF,即可得解： AE AB AB 4 3)同(2)理可得， MN AB ,求出MN=3√5，再结合四边形ABHM是矩形，利用勾股定理求出 BF BC NH=3,设BN=FN=x,则CN=8-x,利用勾股定理列方程，求出BN=FN=5,则PM=AM=BH=2 ,从而可证△PMQ≌△DFQ(AAS),设MQ=FQ=y,再利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】(1)解：：正方形纸片ABCD的边长为12， .AB=AD=12,∠BAD=∠D=90°， ∠BAE+∠DAE=90°， 由折叠的性质可知，BF⊥AE, ∠AHB=90°， ∠ABF+∠BAE=90°， ∠ABF=∠DAE, 在△ABF和△DAE中， ∠FAB=∠EDA AB=DA ∠ABF=∠DAE △ABF≌△DAE(ASA, ∴.AF=DE=5, :在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=13, 45/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S书AB-AF-7 BF-AF AH=AB.AF=12×560 BF1313 2)解：GF-3 AE 理由如下 如图，过点D作DK∥GF交AB于点K, B 由折叠的性质可知，FG⊥AE, DK⊥AE, ∠ADK+∠DAE=90°， :在矩形A8CD中， BC3 LDAB=∠B=90°，AD=BC,AB∥CD, ∠DAE+∠BAE=90°， .∠ADK=∠BAE, 又：∠DAK=∠ABE=90°， △DAKn△ABE, DK AD BC 3 AE AB AB4' DK∥GF,DG∥KF, :四边形DKFG是平行四边形， :DK =GF GF 3 AE4 (3)解：在矩形ABCD中，AB=6,BC=8, :AB=CD=6,AD=BC=8,∠D=∠A=∠C=∠ABC=90°， DF=IDC, 3 .DF=2,CF=4, 46/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△BCF中，BF=VBC+CF2=45, 同(2)理可得， MN AB BF BC MN 6 458 .MW=3V5, :∠A=∠ABH=∠MHB=90°， ·四边形ABHM是矩形， :AB MH =6,AM=BH, 在RteMHN中，NH=VMN2-MH2=3, 由折叠的性质可知，∠A=∠P=90°，AM=PM,BN=FN, 设BN=FN=x,则CN=8-x, 在RtACFN中，CN2+CF2=FW2, (8-x)2+42=x2, 解得：x=5,即BN=FN=5, .PM AM =BH =BN-NH =2, :PM=DF 在aPMQ和△DFQ中， ∠PQM=∠DQF ∠P=∠D PM=DF △PMQ≌ADFO(AAS), ..MO=FO, 设MQ=FQ=y,则DQ=AD-AM-MQ=8-2-y=6-y, 在RtADFO中，DF2+DQ2=FQ, .22+(6-y)2=y2, 解得：y10 3,即折叠后4⑨长为0 16.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)口ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE交AF于点M. 47/144 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)若∠AME=∠B. ①如图1，当ABCD是正方形时，求证：AE=BF: ②如图2，口ABCD中，4B=2,BC=3,求 的值； E 如图3，当ABCD是菱形，E为BA的中点，乙4WE+(B=I80°，若，=，直接写出 DE 【答案】0)①见解析：② @号 【分析】(I)①根据正方形的性质得到△DAE≌△ABF即可证明AE=BF; ②通过两次相似三角形得到对应的边成比例即可得到仁的比值： DE (2)延长DE交CB的延长线于点H,过点A作AG⊥BC于点G,先证明△ADE≌△BHE,再证明 △AMD∽△FMH,然后证明△ABF∽△HMF,接下来进行分类，点G在点F的左侧或右侧，用勾股定理 求解得出AG,进而求得tan∠B=√3，再解直角三角形得出DE的长，即可求解. 【详解】(1)①证明：：四边形ABCD是正方形， :AB=AD,∠BAD=∠B=90°， ∠AME=∠B=90°， :BAF AED 90, 又：∠ADE+∠AED=90°， ·∠BAF=∠ADE, 在△DAE与△ABF中， [∠BAF=∠ADE ∠BAD=∠B=90°， AD=AB .△DAE≌△ABF(ASA), 48/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE BF; ②解：：∠EAM=∠FAB,∠AME=∠B .△AME∽△ABF, AFAB,即AF=BAE AE AM AM 在△DAM与△DEA中， .ADII BC,:ZB+Z BAF +2 DAF =180 在△AEM中，∠AME+∠BAF+∠AEM=180°， ∠AME=∠B, :.∠DAF=∠AEM 又：∠ADE=∠ADE, △DAM∽△DEA AD AM DE AE 即DE=AD·AE AM :四边形ABCD是平行四边形，BC=3 .AD =BC=3, AB·AE AF AM AB·AE AM AB2 DE AD AE AM AD·AEAD3 AM (2)如图，延长DE交CB的延长线于点H,过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DN⊥BC于点N, A ☑D 5 N B 在菱形ABCD中，AB=AD=BC,AD∥BC, BF 1 CF2 设BF=x,CF=2x, BC=BF+CF=3x,AB=AD=3x, AE =BE, 49/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 AE BE-4B=3 ADIl BC, .∠1=∠H :E为BA的中点， .AE BE, ∠1=∠H 在AADE与△BHE中， ∠4=∠3， AE=BE △ADE≌△BHE(AAS), .AD=BH =3x,HF =HB+BF=4x,DE =HE AD 3x 3 FH4x4' :∠I=∠H,∠AMD=∠FMH, △AMD∽△FMH, AM AD 3 FM-FH=4' 设AM=3y,则FM=4y,AF=AM+FM=7y, :∠AME+∠ABC=180°，∠HBE+∠ABC=180°， ∠AME=∠HBE, ∠AME+∠2+∠4=180°，∠HBE+∠H+∠3=180°，∠4=∠3， ∠2=∠H 又：∠5=∠5， :△ABF∽△HMF AF BF HF MF .HF.BF=AF.MF即4x·x=7y.4y, 7x,y=-V7x(舍)， F=7x -x=7x, 7 设FG=a, 当点G在点F的左侧时，BG=BF-FG=x-a, 50/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtaABG中，AG2=AB2-BG=(3x2-(x-a2=8x2+2ax-a2, 在RtaAFG中，AG2=AF2-FG2=(V7x-a2=7x2-a2, .8x2+2ar-a2=7x2-a2, 即2ax=-x2,不符合题意，舍去： 当点G在点F的右侧时，BG=BF+FG=x+a, 在RtaABG中，AG2=AB2-BG=(3x)2-(x+a2=8x2-2ax-a2, 在RtaAFG中，AG2=AF2-FG2=(V7x-a2=7x2-a2, .8x2-2ax-a2=7x2-a2, 即2ax=x2, :x≠0 q-zx :AD∥BC,AG⊥BC,DN⊥BC ∴.∠DAG=∠AGN=∠N=90° :.四边形AGND是矩形， DN-AG- 2 :AB∥CD ∴.∠ABG=LDCN 3W &tan∠DCN=tan∠ABG=4C -x 2 BG 3 -=5 3 在RtaHDN中，CN= DN 2x3 tan DCN 315 .HN=HB+BC+CN=3x+3x+x= 2 DH =HNP DN 51/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE=-DH 3v万 2 ， 2 AF7x 2 DE 37 3. -x 2 17.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次 连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”. E E G 图1 图2 (I)【初步感知】如图1，四边形ABCD为矩形，△BEF为其“中直三角形”，其中LBEF=90°，若BC=6, 求AB的长；小轩同学由题月中所给三个“垂直”的条件，发现△ABE∽△DEF,从而轻松解决了这个问题： 小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你 参考这两个同学的方法解决这个问题.你得出AB= (②)【深入探究】如图2，△CEF为平行四边形ABCD的中直三角形”，其中∠CFE=90°，连接AC交EF于 点G,AG=1,FGV5,求AB的长； (3)【拓展延伸】在ABC中，∠A=90°，3AB=4AC,以ABC为中直三角形的平行四边形的一组邻边的 长记为m,n,其中m>n,请直接写出”的值. n 【答案】(I)AB=3√2 回B6 8)m=75或2面 【分析】(I)通过△ABE∽△DEF,得出AB的长度； (2)延长FE、CB交于点M,延长EF、CD交于点N,通过相似得出CG,EG长度，再利用勾股定理得 出CN的长度，从而得出AB的长： (3)分两种情况构造以ABC为中直三角形的平行四边形，通过作垂线构造相似三角形，设未知数表示线 段长度，结合3AB=4AC的条件建立方程，求出平行四边形邻边m,的比值， 【详解】(1)解：：∠BEF=90°， .∠AEB+∠DEF=90°， .∠AEB+∠ABE=90°， 52/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠DEF=∠ABE. :四边形ABCD为矩形， ∠A=∠D=90°，AB=CD,BC=AD, ∴.△ABE∽△DEF, AB AE DE DF :△BEF为其“中直三角形”， E,F分别为AD,CD的中点， AD =BC=6, AE=ED-7AD=3. :2DF、3 3 DF 2DF2=9,解得DF=32 2 4B=2DF=2x 2 =3√2： (2)解：如图所示，延长FE、CB交于点M,延长EF、CD交于点N, D M B :△CEF为平行四边形ABCD的中直三角形”， :AB∥CD,AD∥BC,AE=BE,AF=DF :∠M=∠AFE,∠MBE=∠FAE,∠N=∠AEF,∠FDN=∠FAE, :.△BEM≌△4EF(AAS),△AEF≌△DNF(AAS), :BM=AF=DF,BE=AE DN,ME=EF =FN. :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,BC=AD,AB=CD, .CM=BC+BM=AD+BM=3AF,CN=CD+DN=AB+DN=3DN. :AD∥BC, ∴△AGF∽aCGM, AG FG AF 1 CG MG CM3 53/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AG=1,FG5, CG=3,GM=35. GM=ME+EG=EF +EG=EG+FG+EG=2EG+FG=2EG+5, 3V5=2EG+V5, EG=5, ME EF FN =25. 在R△CFG中，由勾股定理得CF=VCG2-FG=32-(5=2, 在Rt△CFN中，由勾股定理得CN=VCF2+FW=V22+2W5=26 DN-AE-4B.CD-AB. cv=m+N=AB+48-4,即48=Cv-号x26-45, 3 (3)解：①如图所示，ABC为平行四边形CDFE的中直三角形，作BH⊥DF,交DF的延长线于点H, 作CG⊥DF于G, H F G D ∠H=∠CGD=90°，BF=BE,AF=AD, :四边形CDFE是平行四边形， BF∥CD,EF=CD, ∴∠D=∠BFH, .ACDG△BFH, DG CG_CD_CD=EF=2 、.FH BH BF1 1 EF 2 设FH=x,BH=y,则DG=2x,CG=2y, BH⊥DF,CG⊥DF,∠BAC=90°， ∠H=∠CGA=90°，∠BAH=90°-∠CAG=∠ACG, .△ACG∽△BAH. 54/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3AB=4AC, AG CG AC3 BH AH AB4' 8 AG=BH=y,AH=CG= 4 3 3 AF-A-FH-xAD-DGG 3 AF=AD, 3 “3-x=2x+y, 23 36少， .AD= 3)-x= 82373 - y= 36 36 y, BF=BH2+FH2 =2+x2= 23)2 5V73 -V, 36 36 7 m 2AD AD 36 √73 n 2BF BE 5V73 5 36 -y ②如图所示，作CH⊥DF,交DF的延长线于点H,作BG⊥DF于G, D B 设FH=x,CH=y, 由①得DG=2x,BG=2y,△ABG∽△CAH, AG BG AB 4 CH-AH-AC-3' 、G2ACH=3,2G3、 3 4 3， 3 LF=AH-FHAD=4G+DG-+2 AF AD, 3 4 y=18x, 4 D=3y+2x= 2118x+2x=26x, 551144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CF=FH2+CH2=+y=+(18x)2=53x m 26x2V13 n513r5 综上所述，m-√或23 n 5 5 【点晴】掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，构建全等三角形和相似三角形， 并进行分类讨论的解题方法是解题的关键 考点5最值类几何综合 18.（25-26九年级下·湖北武汉·月考)解答下列各题： D 图1 图2 图3 (I)问题背景：如图1，在ABC中，∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB; (2)学以致用：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BC于点D,BE=2EF,AB=2√5，BF=3V2, 求证：∠AFC=∠ABC; (3)拓展提高：如图3，在ABC中，∠C=30°，D为BC中点，连接AD,点E为射线AD上一动点，且 ∠ADB=∠ABE,BC=2,直接写出CE的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 (3)万-V5 【分析】本题综合性较强，尤其是第三问较难，前两问主要考查相似的判定，第三问考查轨迹与最值，以 及相似的性质与判定综合，熟练掌握上述知识点是解题的关键， (1)根据两组对应角相等，得到△CAD∽△BAC,从而AC2=AD·AB; (2)根据所给数据，围绕公共点B,得出A-BF, 从而证明出△ABE∽△FBA,结合垂直条件推导出的 BE AB YBAD=LACD,结合△ABEO△FBA的件质，得出△AGCO△BGP,从而得到C=,再结合“对顶角 相等”的性质，得出△AGB∽△CGF,从而∠AFC=LABC; 56/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)分别以AB和AD为对应边，构造△NAB∽△MAD,取BD、AB、AD的中点P、F、G,结合△ANB与 △AMD为直角三角形的条件，得出△NFP≌△PGM,从而得出NP=PM,且为定值，由此确定点N轨迹， 再考虑点N与点E的关系，证出∠NBE=I20°，结合△BQE∽△BPW,△ABE∽△ADB,得到BE=2BN, 故确定点E轨迹为将点N轨迹绕点B顺时针旋转120°并放大两倍后的轨迹，最后结合三角形三边关系确定 最小值的位置，利用勾股定理计算即可求出CE最小值为√万-√5， 【详解】(1)证明：：∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC, △CAD∽△BAC, AC AB AD AC .AC2=AD.AB. (2)证明：：∠BAC=90°，AE⊥BC, :∠BAD+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°， .∠BAD=∠ACD, AB=23,BE =2EF,BF=32, 肱20，是99%-当 AB BF BE AB ∠ABE=∠FBA, .△ABE∽△FBA, .∠AFB=∠BAD, ∴∠AFB=∠ACD, 如图，设AF与BC交于点G, ·∠AGC=∠BGF, :△AGC∽△BGF, AG BG GC GF' .∠AGB=∠CGF, 57/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △4GBACGF, ∠AFC=∠ABC. (3)解：如图，过点D作DM⊥AC于点M,过点A在AB上方作AN⊥BN且满足∠NAB=∠MAD,分别 取BD、AB、AD的中点P、F、G,连接NP、NF、FP、GP、GM、MP、NE,在BC下方取点Q, 使得上PN=∠08E,且E0连接PD、QE、CB、Ce,过点Q作Qs⊥BC于点S, NB PB E :∠AMD=∠ANB,∠NAB=∠MAD, .△NABn△MAD, ∠NBA=∠MDA, AD DM AB BN' :点P、F、G分别为BD、AB、AD中点， CAD,PGAB,PG∥AB,PFA :△ANB与△AMD为直角三角形， :.AG=GM,AF=FN, PG-4D=NF,PF-4D=GM,∠NPB=2∠N48,∠NGD=2∠4D, :PG∥AB,PF∥AD, .∠BAD=∠PGD,∠BAD=∠BFP, :∠NFB=2∠NAB,∠MGD=2∠MAD,∠NAB=∠MAD, .∠NFB=∠MGD, ∠NFP=∠PGM, 在△NFP与△PGM中， NF=PG ∠NFP=∠PGM, FP=GM .△NFP≌△PGM(SAS, :NP=PM, 58/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACB=30°，DM⊥AC, :∠MDC=60°， 1 DM=CD,DP=BD,CD=BD, 2 2 :DM =DP, ∠MPD=30°=∠MCP, :PM =MC, 在RtADMC中，DM2+MC2=DC2, 得e号 :∠ADB=∠ABE, ∠NBA+∠ABE=∠MDA+∠ADB=120°， ∠NBE=120°， :LPBN=LQBE,且BEBO” NB PB △BQE∽△BPN, :∠QBE+LEBD=∠P8N+∠EBD=LN8E=I20°，PRBN, QEBE '∠BAD=∠EAB,∠ADB=∠ABE, ,.△ABE∽△ADB, BEAB BD AD AB BN AD DM' BE-BN BD-DM' BEOE BD BN PN DM =2, :.QE 2PN =2PM =3,BO 2BP=1, :QS⊥BC,∠SB0=180°-120°=60°， ∠S0B=30°， :SB=)B0=2' 1 2 .SC=SB+BC=5 在Rt△QSC中，Q+SC2=QC2, 591144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得QC=√万， 在△QCE中，CE+QE≥QC, CE≥QC-QE=万-5， 当且仅当点Q、C、E三点共线时，CE取得最小值为√7-√3： 19.(25-26九年级上湖北武汉·月考)【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学 在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图①，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E是AC上一点，连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F. (1)求证：OE=OF; 【尝试探究】(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB的延长线于点M,交DB的延长线 于点F,其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【拓展延伸】(3)若AB=2,点E在线段AC上（不与端点A,C重合）运动，请你直接写出CM的最小值. M ① ② 【答案】(1)见解析：(2)成立，见解析：(3)√5-1 【分析】(1)根据正方形的性质可得LAOF=∠B0E=90°、A0=OB,结合AM⊥BE,利用ASA的判定 方法证得△AOF≌△BOE,从而得出结论； (2)易得∠AOF=∠B0E=90°、A0=OB,，结合AM⊥BE,利用AAS的判定方法证得△AOF≌△BOE, 从而得出结论； (3)易得OE=OF,利用SAS的判定方法证得△AOF≌△BOE,进而得到△ABM是直角三角形，取AB中 点H,连接HM、CH、CM,根据直角三角形的性质得到HM=)AB,再利用勾股定理求得CH=5, 最后利用三角形三边关系进行求解即可. 【详解】(1)证明：：正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .∠A0F=∠B0E=90°、AO=0B, 60/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠0BE+L0EB=90°， :AM⊥BE, :∠0AF+L0EB=90°， .∠OAF=∠OBE, 在△AOF和△BOE中， I∠OAF=∠OBE OA=OB ∠AOF=∠BOE △AOF≌△BOE(ASA, :.OF=0E; (2)解：结论“OE=OF”成立，理由如下： :正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, :LA0F=∠B0E=90°、A0=0B, :AM⊥BE, ·∠BMF=∠B0E=90°， :∠MBF=∠OBE, ∠F=∠E, 在△AOF和△BOE中， ∠F=∠E ∠AOF=∠BOE OA=OB △AOF≌△B0EAAS), :.OF=0E; (3)解：如图： 61/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 当点E在线段AC上时，同(1)可得OE=OF, 在正方形ABCD中，∠AOF=∠B0E=90°、AO=OB, 在△AOF和△B0E中， OE=OF ∠AOF=∠BOE OA=OB △AOF≌△BOE(SAS), ∠AFO=LBEO, :∠AF0+∠OFM=180°， :∠BE0+∠0FM=180°， ∠FME=90°， .∠AMB=90°， △ABM是直角三角形， 取AB中点H,连接HM、CH、CM, HM=AB=×2=1、CH=V2+P=5, 在aCMH中，根据三边关系可得CM≥CH-HM=√5-1， CM的最小值为√5-1. 【点晴】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理，熟练掌握相 关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键 20.(25-26九年级下湖北武汉·月考)探究平行线间的线段关系 62/144 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)【问题背景】如图1，线段AD,BC交于点O且AB∥CD,E、F分别在AB,CD上且EF经过点O,求 证：Dr BE CF (2)【尝试应用】如图2，在ABC中，点D、E在边BC上且BD:DE:EC=3:4:5,M、G、N分别是线段 EA、DA、B1的延长线上的点且G在线段AMN上，已知MN∥4C,求 的值 GN (3)【拓展创新】如图3，菱形ABCD中，∠B=60°，M是BC的中点，E在边AD上，F在DA的延长线上且 AF=3AE,连接CF,EM交于点G,连接DG,直接写 GD的最小值 【答案】()见详解 .16 05 @,g 【分析】(1)证明△AEO∽△DFO,△BEO∽aCFO根据相似三角形的性质即可求解； 《2)证明△4EC∽△HEB，△ADCBFD,很据相似三角形的性质可知证，表据第一问结论即可求解 (3)连接AM,AG,AC,延长AG交BC于H,证明ABC为等边三角形，可得∠AMB=90°，设 AB=BC=CE=AD=2m,可知AM=V5m,MH=?m,当GD上AH时，取最小值，证明△AGD6MHA 4 ,GD=43m即可求解. > 【详解】(1)证明：：AB∥CD, :∠A=∠D,∠AEO=∠OFD, △AEO∽△DF0, AE EO DF FO :AB∥CD, ∴.∠B=∠C,∠BEO=∠OFC, .△BEOACFO, BE EO CFFO 63/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE BE DF CF AE DF BE CF (2)解：过点B作BH∥AC,延长AD,AE交BH于点F,H, H ∴AC∥MN∥BH, ∠C=∠HBE,∠CAE=∠H, .△AEC∽△HEB, BD:DE:EC=3:4:5, CE 5 CD 9 =3, BE7'BD3 CE AC 5 BE HB 7 AC. :AC∥BH, ∠C=∠HBE,∠CAD=∠BFD, ∴△ADC∽△FBD, CD AC =3, BD BE .AC =3BF 号0=3BF, BF 5 BH21' HF 16 BF=5 由(1)的结论可知： MG HF 16 (3)解：连接AM,AG,AC,延长AG交BC于H, 64/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D MH :菱形ABCD中，∠B=60°， :BA=BC, :△ABC为等边三角形， :M是BC的中点， :AM⊥BC,即∠AMB=90° 设AB=BC=CD=AD=2m, :∠B=60°， .AM=AB.sin60°=√3m, :AF=3AE,AD∥BC, “由(1)的结论可知： MH-AE1 HC AF3' ÷Mh=CM=BC=m, 1 4 8 4 7 :AH =MH2+AM2 =m, 4 根据题意可知，点G在AH上运动， 当GD最小时，则GD值最小， BC :当GD⊥AH时，GD取最小值，如图， FAE G MH :∠AGD=∠HMA=90°，∠DAG=∠MHA, ∴△AGD∽△MHA, AD GD ”AHAM 651144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2m GD 7 3m o0-6, .j6. G 45 BC 2m 通关特训 1.(2026河南信阳一模)点E在边长4的正方形ABCD内部运动，且EA=EB,对角线AC与BE或DE相 交于点F. D B 图1 图2 (1)如图1，当LABE=30°时，S4BE= ；S。ADE= SAABE= ；SAADE ②如图2，当。ABE为等边三角形附，求匹的值，并写出计算过程， S△ADE (3)正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,当OE=1时，请直接写 S△4BE的值. SAADE 【答案】06,4,5 3 (②)3-√5，过程见解析 5 【分析】(I)过点E作EK1AB于点K,解直角三角形求得AK=BK=2,EK=2N 3 ,再利用三角形面 积公式求解即可； (2)过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥AB于点H.设BH=a,则FH=√3a,利用勾股定理列 式计算求得a=2√5-2，再利用三角形面积公式求解即可； (3)分两种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可； 【详解】(I)解：过点E作EK⊥AB于点K, 66/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B K EA=EB, AK=BK=14B-2, :∠ABE=30°， EK=BK.tan30°=25 3 1425_4V5 S.4BE=x4x 2 33 SAADE2 ×4×2=4; 4v5 SAMBE =3= SAADE 4 3 (2)解：过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥AB于点H. D G E B 在正方形ABCD中，AB=AD=4,∠DAB=90°. :△ABE为等边三角形， AE=AB=BC=4,∠EAB=LEBA=60°. ∴∠EAG=∠DAB-∠EAB=30°. 在Ra4EG中，BG=4=2, :S=AD·EG=5×4×2=4 在RtA BFH中，∠BFH=90°-∠FBH=30°， 设BH=a,则FH=√3a, :AB=BC,∠ABC=90°， .∠BAC=∠ACB=45, 67/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△AFH中，∠AFH=90°-∠FAH=45°=∠FAH, AH FH=3a. AH +HB=AB, V5a+a=4,即a=2V3-2, FH=√5a=6-2V5, Sw4B-FH=x4x6-2=12-45. SE=12-45=3-5, SAADE 4 (3)解：由(1)和(2)知，S△ADe=4. EA=EB, :点E始终在AB的垂直平分线上， 过点E作EM⊥AB于点M,则EM经过点O,EM垂直平分AB, 在正方形48CD中，04=08,4M=8M=4B=2=0M, 如图1，当点E在点O上方时，过点F作FN⊥AB于点N, MN 图1 EM=E0+OM=3,tan∠EBM= EM FN3 BM BN 2 设BN=2m,则FN=3m, 在等腰Rt△AFN中，AN=FN=3m· AN +BN AB .3m+2m=4, 4 12 m=5,FN=3m= 5 1 12 ×4× SA4E=25=6 SAADE 45 68/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2，当点E在点O下方时，过点E作EP⊥AD于点P,EP=2· RM 图2 .OE=1, .EM =OM-OE =1=AP. DP=AD-AP=3. 过点F作FQ⊥AD于点Q, tan∠ADE= P-F≌_2 DP DO 3 设FQ=2n=AQ,则DQ=3n. DO+AO=AD, ∴.3n+2n=4, 过点F作FR⊥AB于点R,则四边形ARFQ是正方形， :.FR=FO=5 8 8 5=4 SAADE 1 ×4×2 2 6 综上， S△4BE的值为；或 4 SAADE 2.(2026山西太原·二模)综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索 小组利用这个基本图形进行了探究活动.探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在 特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究.如图1，在ABC中，∠B=90°，AB=BC=4,分 别取AB,AC的中点D,E,作ADE. 69/144 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC,可知： BD CE (2)猜想探究：如图2所示，将ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的长度 存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明 (3)结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长 (4)延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D,E.作 BDE,将BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.当边AB正好经过DE的中点时，直接写出CE的长. 【省109 (②)CE=√2BD,见详解 (3)CE=2V6 495 10 【分析】(1)根据勾股定理结合LABC=90°，AB=BC=4,求出AC=4√2，根据点D和点E分别为 AB,AC的中点，得出BD=2,CE=2√2，即可求解； （2)根据中点的定义得0-号4E=4C,进面脊出是名。再求山m∠81C=把号通 AC 2 过证明aABD~△ACE,即可得出结论： (3)根据题意推出当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE,根据勾股定理可得BD=VAB2-AD2=2√万，根 据(2)可得BD=V ,即可求解； CE 2 (4)令AB,DE相交于点Q,过点E作EG⊥BC于点G,根据直角三角形斜边中线的性质得出 B0=D0=)DE,则∠QBD=∠QDB,根据相似三角形的性质得出∠QDB=∠CAB,进而推出 EBG,则sin∠CAB=sin∠EBG={,cos∠CAB=cos 5,求出 EG=BE.sin∠EBG9BG=BE·cos∠EBG,则CG=BC-BG=9 102 一子即可解答。 【详解】(1)解：∠ABC=90°，AB=BC=4, 70/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=V42+42=42, :点D和点E分别为AB,AC的中点， :AD=BD=1AB=2,4E-CE=14C=2 2 2 BD2√2 CE 222 (2)解：猜想CE=√2BD,证明如下： :点D和点E为分别为AB,AC的中点， 由图1可知，4D-方48，AE=方4C AD AE AB AC 即DAB AE AC' ∠ABC=90,AB=BC=4, :ZBAC=45, COS∠BAC= AB2 AC 2 根据旋转的性质可得：∠BAD=LCAE, △ABD∽△ACE, BD AB2 CE AC 2 CE=√2BD, (3)解：由图1可知点D和点E为分别为AB,AC中点， DE∥BC,AD=AB=2, △ABC∽△ADE, ∠ADE=∠ABC=90°， :如图3，当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE, 根据勾股定理可得：BD=√AB2-AD2=2√5， 由(2)可得：D=2 CE 2 2√5V2 CE 2 解得：CE=2V6; 71/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)解：令AB,DE相交于点Q,过点E作EG⊥BC于点G, Q E B G 限据题意可得：EC3 2.BD= AB=2, BE BD BC AB' △DBE∽△ABC, ∠ABC=90°，AB=4,BC=3, AC=AB2+BC2=5, .sin∠CAB= BC 3 AC 5 cos∠CAB=AB、4 AC 5' :边AB经过DE的中点，∠DBE=∠ABC=90°， BO=DO-I DE .∠QBD=∠QDB, :△DBEn△ABC, ∴.∠QDB=∠CAB, ∴.∠QBD=∠CAB, 根据旋转的性质可得∠QBD=∠EBG, ∴.∠CAB=∠EBG, sn∠C1B=sm∠E8G-号cas∠CB=cos∠EBG-4 EG=BE.sin∠EBG= 9 ,BG=BE.cos∠EBG=6, 10 CG=BC-BG=3-6_9 55' CE=EG+CG95 10 3.(2026辽宁葫芦岛模拟预测)ABC中，AB=AC,，∠BAC=90°，△DAE≌△ABC,0为CE中点，连 72/144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 接BE,OD B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在BA的延长线上时，求证：BE=2OD,，BE⊥OD; (2)如图2，△DAE绕点A旋转到图中位置，求证：BE=2OD,BE⊥OD; (3)若AB=8,△DAE(A、D、E顺时针排列)绕点A旋转，当∠CBE=90°时，直接写出aODE的面积. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 (3)16-8√5或16+85 【分析】(I)设AC、BE交于点F,BE,OD交于点G,可证明四边形ABCE是平行四边形，得到 BE=2EF,CE=AB,4P=CF=4C,再证明四边形4CED是正方形，得到∠4CE=∠CED=90,证明 △CEF≌△ED0(SAS),可得0D=EF,∠CEF=∠ED0,则BE=2OD;可证明∠OGE=90°，则可证明 OD⊥BE; (2)延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT,则CT=2OD,OD∥CT;证明aBAE≌aCAT(SAS), 得到BE=CT,∠AEB=∠ATC,则BE=2CT;延长EB,TC交于点Q,证明∠EQT=90°，可得BE⊥CT ,则BE⊥OD; (3)分点E在BC下方和点E在BC上方这两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)证明：如图所示，设AC、BE交于点F,BE,OD交于点G, A :△DAE≌△ABC, ∠DAE=∠ABC,AE=BC,∠ADE=∠BAC=90,AD=AB,DE=AC, .AE∥BC, 四边形ABCE是平行四边形， 73/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE=2EF,CE-AB,AF=CF=1 又：AB=AC, .AB=AC=AD =DE CE, 四边形ACED是菱形， 又：∠ADE=90°， “菱形ACED是正方形， LACE=LCED=90°， :0为CE中点， :OE=1CE=1AC, 2 2 ∴OE=CF, △CEF≌aEDO(SAS, OD=EF,∠CEF=∠EDO, ∴BE=2OD; :∠ED0+∠E0D=90°， .CEF+∠E0D=90°， .∠0GE=180°-∠CEF+∠E0D)=90°， OD⊥BE: (2)证明：如图所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, :O为CE中点，DT=DE, OD是△ECT的中位线， ∴CT=20D,0D∥CT; :△DAE≌△ABC, :AB=AD,AC=DE,∠ADE=∠BAC=90°， ∠ADT=180°-∠ADE=90°； AB=AC, .AB AD DE AC DT, ∴△ADE,△ADT都是等腰直角三角形， .∠DAE=∠DEA=45°=∠DAT, 74/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAT=∠DAE+∠DAT=90°=∠BAC, :.∠BAC-∠EAC=∠EAT-∠EAC,EAT是等腰直角三角形 ∠BAE=∠CAT,AE=AT, △BAE≌△CAT(SAS), .BE=CT,∠AEB=∠ATC, .BE=2CT 如图所示，延长EB,TC交于点Q, 0. T :∠AET+∠ATE=90°， .∠AET+∠ATC+∠CTE=90°， ∴∠AET+∠AEB+∠CTE=90°， .∠BET+∠CTE=90°， .∠EQT=180°-（∠BET+∠CTE)=90°， BE⊥CT, BE⊥OD: (3)解：如图3-1所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, 由(2)可得CT⊥BE,OD∥CT,CT=20D,AT=AE :∠CBE=90°， BE⊥BC, BC∥CT,即B、C、T三点共线： 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8, BC=AB2+AC2=82, :△DAE≌△ABC, AT AE BC=82; 如图3所示，过点4作4M1sC于点M,则AM=CM=C=45, 751144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 02 图3-1 :TM=VAT2-AM2=4√6， .BE CT =TM-CM=46-42, Sm-CT-BE=X46-4)x46-4)=64-325, :0D∥CT, ∴△ODE∽△CTE, -- .SAon=Scn=16-83; 如图3-2所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, :O为CE中点，DT=DE, .OD是△ECT的中位线， .CT=20D,OD∥CT: :△DAE≌△ABC, :AB=AD,AC=DE,∠ADE=∠BAC=90°， ∠ADT=180°-∠ADE=90°； .AB=AC, .AB AD DE=AC DT, .△ADE,△ADT都是等腰直角三角形， :∠DAE=∠DEA=45°=∠DAT, ∴.∠EAT=∠DAE+∠DAT=90°=∠BAC, ∠BAC+∠TAB=∠EAT+∠TAB,EAT是等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAT,AE=AT, .△BAE≌△CAT(SAS, 761144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AEB=∠ATC,CT=BE, 设直线CT,BE交于点Q, :∠AET+∠ATE=90°， ∴∠AEB+∠BET+∠ATE=90°， ∠ATC+∠BET+∠ATE=90°， .∠BET+∠CTE=90°， ∠EQT=180°-∠BET+∠CTE)=90°， BE⊥CT, ∠CBE=90°， BC⊥BE, BC∥CT,即B、C、T三点共线， :点B与点Q重合； 如图3-2所示，过点A作AM⊥BC于点M,则AM=CM=BC=4N2, D ! T B(O M 图3-2 同理可得AT=AE=8√2， TM=√AT2-AM2=4√6， .BE=CT=TM+CM=4V6+4√2， 5ceCT-BE=x46+4x6+4)=64+325: :0D∥CT, ∴.△ODEm△CTE, S.- S.CTE j- 771144 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 SAODE=SAcm=16+83 综上所述，△0DE的面积为16-83或16+8√3. 4.(25-26九年级下，辽宁沈阳·开学考试)已知ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是边BC上一点，连 接AD,将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点为E. 图1 图2 图3 (I)如图1，当AE∥BC时，求证：四边形ABDE为菱形； (2)连接EC,直线EC与直线AD交于点F. ①如图2，在(1)的条件下，求证：AF=EF; ②如图3，若BC=8,AC=5,当DE所在直线与AB所在直线垂直时，请直接写出 BD 的值 EF 【答案】()见解析 2②0见解析；②35 10 【分析】(1)由翻折结合AE‖BC可得∠BAD=∠EDA,进而得到AB|DE,再结合BA=EA,即可论证； (2)①先证明∠B=∠EAC,再证明∠ABC=∠ACE-180-∠EAC,∠BAF=∠ADB=∠BAD=180,∠B 2 2 可得LAEC=∠EAF,即可论证结论； ②延长EC到M,使CM=EF,连接AM,设BD=x,根据翻折及勾股定理可得BD=),OD=4-x= 3 AD=J0+0D:= W5 ,再通过论证△4CF≌△AEM,得到∠B=∠F,从而ADB6AEF,得到 3V5 BD-AD235 EF AE 5 10 【详解】(I)证明：由翻折可知：∠BAD=∠EAD,∠BDA=∠EDA,BA=EA, :AEI‖BC, ∠EAD=∠BDA, .∠BAD=∠EDA, :ABII DE, :.四边形ABDE是平行四边形， 78/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BA=EA, oABDE为菱形； (2)①证明：：AB=AC, ∴.∠B=∠ACB, AEll BC, .∠ACB=∠EAC, ∠B=∠EAC, :菱形ABDE中AB=BD=AE, .AE=AC,AB =BD, ∠MC-4CE=180,E1C,∠DB=∠4D-130-∠B 2 2 .∠AEC=∠ADB, :AE‖BD, ∠ADB=∠EAF, .ZAEC ZEAF, .AF =EF ②设DE⊥AB于点H,AE交BC于点O, ∠BHD=90°， :△ABD沿AD所在直线翻折得到△AED, ∠B=∠AED,AE=AB=5,DE=BD, ∠BDH=∠EDO, 180°-∠B-∠BDH=180°-∠AED-∠EDO, ∴∠DOE=∠BHD=90°， A0⊥BC, .AB=AC=5, B0=BC=x8=4, 1 2 2 A0=√AB2-B02=3, .OE=AE-A0=2, 设BD=x, 在RIADOE中， 79/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE2 =OD2+OE2, x2=(4-x)2+22, 解得：x 2 BD=50D=4-x-7 AD=V40+0D=13 3) 3V5 延长EC到M,使CM=EF,连接AM, .EF +EC CM +EC, .FC=ME, AB=AE,AB=AC, .AE=AC, LAEC=∠ACE, .△ACF≌△AEM(SAS), ∴∠M=∠F,∠FAC=∠MAE, ∴.∠EAF=LCAM, :∠BAD=∠EAF=∠CAM, .LBAD+LEAF+LCAO=LEAF+∠CAM+∠CAO, 即：LBAC=∠FAM, :∠B=180°-∠BAC,∠F=1809-∠FAM, 2 2 ∠B=∠F, :∠BAD=∠EAF, ∴△ADB∽△AEF, 35 :BD AD 235 EF AE 5 10 A H B D E 5. (2026河南周口一模)如图，已知四边形ABCD是边长为a的菱形，E为AD上异于点A,D的一动点， 80/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点F在CD上，△DEF是等边三角形，G为BE的中点，连接AG并延长，与BC交于点H,连接AF. (I)证明：FG垂直平分AH. ②随着和点E位置的改变，S+5的值是香变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 S菱形ABCD (3)当a=3+√5时，若S四边形GHcr=2S.4BG,直接写出DE的长. 【答案】(1)见解析 包5+S匹的值不随a和点E位置的变化而变化，号 S菱形ABCD (3)2 【分析】(1)首先证明△AEG≌△HBG,可得BH=EA,HG=AG,连接HF,再证明△HCF≌△FEA,可得 HF=AF,利用等腰三角形三线合一即可证明； (2)首先证明△ADF≌aACH,可得S4CH=S4DF,则S4BH+S4DF=SHBH+S.AHC=S。ABC,由菱形可得 心时产片不随a和aB位置的变化面安现 (3)连接BF,HF,先证明△CBF≌△ABE,可得SABCF=SABE,再由G为BE的中点，可得 S.BCr=S.ABE=2S.ABG,由S西边形GHCF=2S。ABG,则S西拉形cPGH=S.BCP,从而S△Br=S△GHr,可得BEHF，再 证明△ABE~△CFH,可得AE2=AD·DE,即AD2-3AD·DE+DE2=0,即可求解. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， AD∥BC, .ZAEG ZHBG, :G为BE的中点， .EG=BG, 在△AEG和△HBG中， [∠AEG=∠HBG EG=BG ∠AGE=∠HGB 81/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△AEG≌HBG(ASA), :BH=EA,HG=AG, :△EDF为等边三角形， .∠D=LDEF=60°，DE=EF=DF, ∴.∠AEF=180°-∠DEF=120°， :四边形ABCD为菱形， AB=BC=CD=AD,∠BCD=180°-∠D=120° BC-BH=AD-AE,AD-DE=CD-DF,∠AEF=∠BCD, .HC=DE=EF,CF=AE, 如图，连接HF, H 在△HCF和△FEA中， HC=FE ∠HCF=∠FEA, CF=EA △HCF≌△FEA(SAS), .HF=AF, .HG=AG, FG⊥AH, .GF垂直平分AH. (2)解： Sm+S,0匹的值不随a和点E位置的变化而变化. S菱形ABCD 由(1)可知，AD=CD,HC=FD,∠D=60°，∠BCD=120°， .△ADC是等边三角形， .'AD=AC, :四边形ABCD为菱形， 82/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ∠4CH=2∠BCD=60°， ∠ACH=∠D, 在△ADF与△ACH中， AD=AC ∠D=∠ACH, DF=CH △ADF≌△ACH(SAS), S.ACH =S.ADF, S.ABH+S4DF=S。ABH+S。AHc=S.ABC, :四边形ABCD为菱形， 1 S.4ABc=)S菱形HBcD, 2 S.ABC=1 S菱形ABCD S复形BCD2· (3)解：如图，连接BF,HF, 由(1)可知CF=AE,∠BCD=120°， :四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC,∠BAD=∠BCD=120°， 在CBF和△ABE中， BC=BA ∠BCF=∠BAE, CF=AE .△CBF≌△ABE(SAS), S△BCF=SAABE, :G为BE的中点， 83/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S.AGE=S.ABG S。BCF=S。ABE=2S。ABG, :S西边形GHCF=2S.4BG, S西边形cFGH=S.BCF, .S图边形cFGH-S.cFH=S.Bcr-S.cPH, .S△BHr=S△GHF, :△BHF与△GHF都可以看作以HF为底，点G在BE上， .BEllHF, ∠EBH=∠FHC, :四边形ABCD为菱形， .AD I BC, ∠AEB=∠EBH, ∴：∠AEB=∠FHC, :∠HCF=∠BAE .△ABE~△CFH, AB AE CF CH AB=AD,CF=AE,CH=ED, AD AE AE DE ，即AE2=AD·DE, (AD-DE=ADDE,即AD2-3AD·DE+DE2=0, :AD=3+5, :DE2-33+V5DE+(3+V5)=0, 解得DE=7+3√5>3+√5（舍去）或DE=2, DE=2. 6.(2026重庆模拟预测)点D为等边ABC内一个动点（含边界），连接AD,BD,CD,点E在线段 BD上，连接AE,CE,其中∠DAE=30°. 84/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠CAD=∠ABE,求∠AED的度数； ②如图2，若点E是BD的中点，且4B1CE,求证：CE=5(4E+CD: 3 (3)如图3，若点D是AC的中点，点P为△EBC内一点，连接PE,PB,PC.当PE+√PB+2PC的值最小 时，请直接写出凭的值。 【答案】()30° (②)过程见解析 号 【分析】(1)由等边三角形的性质可得LBAC=60°，则∠BAE+∠CAD=∠BAC-∠DAE=30°，结合 LCAD=∠ABE可得∠BAE+∠ABE=30°，根据三角形外角的性质可得∠AED=∠BAE+∠ABE=30°： (2)延长CE至点F,使得CE=EF,连接AF、BF,延长EA至点G,使得AG=CD,连接CG,设 ∠CAD=a,则∠CAE=30°+a,∠BAE=30°-a.容易证明△AEC≌△AEF(SAS),则AC=AF=AB, ∠CAE=∠FAE=30°+a,进而得到∠BAF=2a,∠ABF=90°-a,进一步可证明 ∠CAG=∠CBF=150°-a,容易证明△CDE≌aFBE(SAS),则CD=BF=AG,进而证明 △ACG≌△BCF(SAS),则LACG=LBCF,结合等量代换可得LECG=LACB=60°，利用三角函数可得 CE-5EGE+CD): 3 3 (3)将△CPB绕点C逆时针旋转90°，并放大到V倍，得到△CP'B',连接PP'、EB',因此PB'=V3PB, P℃=V3PC,由勾股定理可得PP'=2PC·根据线段公理，PE+V3PB+2PC=PE+PP'+PB'≥EB', 当E、P、P、B四点共线时，PE+√5PB+2PC取得最小值.利用三角函数容易判断∠CPP'=60°， ∠CP'P=30°，从而得到∠CPE=120°，∠CPB=150°，∠EPB=90°，根据等边三角形的性质容易判断点E 是ABC的外心，因此A-BE-CE-5BC,∠BEC=120°，将ABPE绕点E逆时针旋转120°，得到 3 △CHE,连接PH,则∠EPH=∠EHP=30°，进而得到LCHP=60°，LCPH=90°，因此PC=V3PH.容 85/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易证明△BEC∽△PEH,则=BC=5,因此PC=3PE. 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， LBAC=60°， :∠DAE=30°， ∴.∠BAE+∠CAD=∠BAC-∠DAE=30°， :∠CAD=∠ABE, ∠BAE+∠ABE=30°， :∠AED是△ABE的外角， .∠AED=∠BAE+∠ABE=30°； (2)证明：如图，延长CE至点F,使得CE=EF,连接AF、BF,延长EA至点G,使得AG=CD,连 接CG,设∠CAD=a, G F B ∠DAE=30°， :.∠CAE=∠DAE+∠CAD=30°+a, :ABC是等边三角形， AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∠BAE=∠BAC-∠CAE=30°-a, :AE⊥CE, ÷∠AEC=∠AEF=90°， 在△AEC和△AEF中， AE=AE ∠AEC=∠AEF, CE=EF :.△AEC≌△AEF(SAS), 86/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴AC=AF,∠CAE=∠FAE=30°+a, .AB=AF,∠BAF=∠FAE-∠BAE=2a, :∠ABr=∠AFB=180°-∠BAF=90°-a, 2 .∠CBF=∠ABF+∠ABC=150°-a, :∠CAG=180°-∠CAE=150°-a, LCAG=∠CBF, :点E是BD的中点， .:DE BE, 在△CDE和△FBE中， CE=EF ∠CED=∠FEB, DE=BE :△CDE≌△FBE(SAS), :CD=BF, AG=CD, .AG=BF, 在△ACG和BCF中， AC=BC ∠CAG=∠CBF, AG=BF ·.△ACG≌△BCF(SAS), ÷LACG=LBCF, :∠ACE+∠BCF=∠ACB=60°， ·.∠ECG=∠ACE+∠ACG=60°， 在RtCEG中，CE= EG EG tan∠ECG tan 60= EG 3 .EG AE AG AE +CD, CE=AE+CD奶 (3)解：如图，将△CPB绕点C逆时针旋转90°，并放大到√5倍，得到△CP'B',连接PP'、EB',设 AC=6a, 87/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E ! 根据题意，△CPB∽△CPB',∠PCP'=∠BCB'=90°， PC PB' PC PB =5,∠CPB=LCPB', ·PB'=V3PB,PC=V3PC, 在RtACPP'中，PP'=VPC2+PC2=2PC, ∴PE+V3PB+2PC=PE+PP'+PB'≥EB', :当E、P、P、B四点共线时，PE+√PB+2PC取得最小值， 如图，E、P、P、B四点共线， E ! : 在RtACPP'中，tan∠CPp'= ℃=3， PC .∠CPP'=60°， .∠CPE=180°-∠CPP'=120°，∠CPB'=∠CPP'+∠PCP'=150°， ∠CPB=∠CPB', 88/144 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CPB=150°， ∠EPB=360°-∠CPE-∠CPB=90°， :ABC是等边三角形， 又点D为AC的中点， :BD14C,A0=m=24C=a,∠AaD=∠CBD=ABC=30, 2 在R1aADE中，DB=AD,tan∠DAE=3a×tan30°=V5a,AE=AD 3a cos∠DAE-c0s30° =2W3a, 在RIAABD中，BD= AD 3a =3V3a, tan∠ABD tan30° BE BD DE 2v3a, :BD垂直平分AC, AB CE 23a BE, ∠CBD=LBCE=30°， ∴.∠BEC=180°-∠CBD-∠BCE=120°， 如图，将△BPE绕点E逆时针旋转120°，得到△CHE,连接PH, D B 由旋转的性质可得，∠PEH=120°，PE=EH,∠BPE=∠CHE=90°， ·.∠EPH=∠EHP= 180°-∠PEH =30°， 2 ∴.∠CHP=∠CHE-∠EHP=60°，∠CPH=∠CPE-∠EPH=9O°， 在RtACPH中，PC=PH·tan∠CHP=PH·tan60°=V3PH, :∠PEH=∠BEC,∠EPH=∠CBD, .△BEC∽△PEH, PH PE BC CE PH BC 6a PE= BE =3, 2v3a .PH=3PE 89/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PC =3PH 3PE, PE 1 PC 3 7.(2026辽宁沈阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A对应点D 落在边AB上，连接BE, B 图1 图2 (I)如图1，求证：△BCE∽△ACD; (2)如图1，当AB=√5，BC=2时，求BE的长； (3)如图2，求证：AC=CF; (4)如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交 于点H.当AB=I0,BG=12时，直接写出HE:HD的值. 【答案】（①）见解析 ②BE=4V5 5 (3)见解析 号 【分析】I)根据旋转可得AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCB,则C-CP, CBCE,即可证明 △BCE∽△ACD: C2)求出AC=1,an∠A=BC=2,过D作DH1AC,则an∠A=D日=2，即DH=2AH,在△CDH中 AC AH 勾定理求出4H-子则DH=21H-号在40m中购服定思求出0，根据△BCE0AACD,得山 BE BC AD AC 即可求出BE=45 5 (3)设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE,根据等腰三角形的性质和三角形内角和 理即可得出ZCDA=LA80-090°a,∠CEB=∠CBE380-90°女，根据L4CBE900 2 2 得出∠BCF=90°，∠DCB=90°-a,∠ECF=90°-Q,即可得∠DCB=∠ECF,根据GF∥AB,得出 LF+LA=I80°，即可得LCDB=LF,证明△BCD≌△ECF,得出CD=CF,结合CD=AC,得出 90/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=CF: ②证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB=GF=10,AF=BG=12,∠G=∠A,由(3)得 )=4C=CF=6,在Rt△ABC中，勾股定理得出BC=8,则∠ADC=∠CEB=90°& ∠ADC+∠CDB=180°，证明∠FEB=90,∠BEG=90,则sin∠G=BE=4, BG5,求出BE=48 证出点C, D,B,E四点共圆，根据圆周角定理得出LBED=∠BCD,证明△BEH∽△DCH,得出 DH CH CD 6 5 BH-EHBE48-8.DH=5x,BH =8x,CH=5y,EH=8y,BC=BH+CH=8x+5y=80 5 根据旋转可得DE=AB=10则DE=DH+EH=5x+8y=10②，联立①②求出x,y,再根据即可求解. 【详解】(I)证明：：将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上， .AC=CD,CB=CE,ZACD=BCE, AC CD CB-CE' △BCE∽△ACD; (2)解：：AB=√5，BC=2,∠ACB=90°， AC=√AB2-BC2=1, :an∠A=BC=2, AC 过D作DH⊥AC,如图， AHC :an∠A=Dg=2, AH ∴DH=2AH, 在△CDH中，由勾股定理得CH2+DH=CD2, 即(1-AH)2+2AH)2=1P, 解得：AH=，AH=0(舍去) :DH=2AH- 5 91/144 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在RtADH中，AH2+DH2=AD2, 4D-A+DHE25 :△BCE∽△ACD, BE BC AD AC BE 2 即251， 5 BE=4 (3)证明：设旋转角为a,则LACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE, 82 CDA-ZA-0-e90女，∠CBB=∠CBE80r-090°女 2 2 :∠ACB=90°， .∠BCF=90°，∠DCB=90°-a, ∴.LECF=90°-a, .∠DCB=LECF, GF∥AB, ∠F+∠A=180°， .∠CDA+∠CDB=180°， .AC=CD, ∠CDA=LA, LCDB=∠F, :LDCB=∠ECF,∠CDB=LF,CB=CE, .△BCD≌△ECF(AAS), .CD=CF, CD=AC, .AC=CF; (4)解：：GF∥AB,BG∥AF, 四边形ABGF是平行四边形， AF=BG,AB=GF,∠G=∠A, AB=10,BG=12,AC=AF, 92/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 AC-7AF- 0=6, BC=VAB2-AC2=V102-62=8, .CD=AC=CF=6, sin∠G=sin∠A=BC-4 AB 5' :△CBD≌△CEF, .∠CBD=LCEF, :GF∥AB, ·LFEB+∠ABE=180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD=180°， 即2∠CEF+∠CEB)=2∠FEB=180°， .∠FEB=90°，则∠BEG=90°， sin∠G=BE-4 三一 BG 5 即B距4 1251 8版-袋 1 由(3)可得，∠ADC=∠CEB=90°- 2a,∠4DC+LCDB=180°， ∴.∠CEB+∠CDB=180°， 点C,D,B,E四点共圆， .∠BED=∠BCD, :∠BEH=LHCD,∠BHE=∠DHC, .△BEHn△DCH, DH CH CD 65 ·BH EH BE-488, 5 DH =5x,BH =8x,CH=5y,EH=8y, 则BC=BH+CH=8x+5y=8①， 根据旋转可得DE=AB=10, .DE=DH+EH=5x+8y=10②， 14 40 联立①②可得，x= 39’y 39 93/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40 HE 8x 3932 HD 14 5× 39 8.(2026江苏泰州一模)点O为矩形ABCD的边AD上一点，BC=√3AB=3AO,将矩形ABCD绕点O逆 时针旋转a角(0°<<180)得到矩形A'B'C'D'. B B D D D D' D 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点B落在BC边上时，a=; 2如图2，当点B、C、在同一直线上时，求C的值， OA (3)当∠B'A'C=30°时，过O作OE⊥CA',垂足为E,过E、A、B三点的圆与边BC的另一个交点为F, 直接写出BF的值。 OA 【答案】(1)60° 2V6 【分析】(1)过点O作OG⊥BB'于点G,连接OB,OB,设AO=x,则BC=3x,AB=√3x;由勾股定理 得OB=2x,由旋转的性质可得OB'=OB=2x,证明四边形ABG0是矩形，得到BG=OA=x,则可证明 OB'=OB=BB',进而证明△BOB'是等边三角形，据此可得答案； (2)设AO=x,则BC=3x,AB=√5x;由矩形的性质可得 ∠A=∠D=90°，CD=AB=√3x,AD=BC=3x,则0D=AD-A0=2x,利用勾股定理求出OC=√7x, 则CA'=VOC2-A'02=√6x,据此可得答案； (3)分图3-1和图3-2两种情况，求出CE,A'C的长，证明三角形相似，利用相似三角形的性质推出CF的 长，进而求出BF的长即可得到答案. 94/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OG⊥BB于点G,连接OB,OB, B G B a D' 设AO=x, BC=3AB=3A0, .BC=3x,AB=3x :四边形ABCD是矩形， ∠A=∠ABC=90°， 在RtAAOB中，由勾股定理得0B=VOA2+AB2=2x, 由旋转的性质可得0B'=OB=2x, OG⊥BB', BB'=2BG,∠0GB=90°， .四边形ABGO是矩形， .BG=0A=x, .BB'=2BG =2x, ∴.OB'=OB=BB', △BOB'是等边三角形， ∠B0B′=60° .a=60°； (2)解：如图所示，连接0C, 95/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B D A D 图2 设AO=x, BC=3AB=3A0, .BC=3x,AB=3x: :四边形ABCD是矩形， ∠A=∠D=90°，CD=AB=V3x,AD=BC=3x, ∴.0D=AD-A0=2x, 在RtaC0D中，由勾股定理得0C=VCD2+OD2=√万x; 由旋转的性质可得A'0=A0=x,∠A'=∠A=90°， 在Rt△A'0C中，由勾股定理得CA'=VOC2-A'02=√6x, :C4-6r=V6; OA x (3)解：如图3-1所示，连接0C,EF, B D 图3-1 设AO=x, BC=3AB=3A0, 96/144 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC=3x,AB=3x :四边形ABCD是矩形， ∠A=90°，CD=AB=V3x,AD=BC=3x, ..OD=AD-A0=2x, 在RtaC0D中，由勾股定理得0C=VCD2+OD2=√万x: 由旋转的性质可得A'0=A0=x,LB'A'D'=LA=90°， :OE⊥CA', ∠0EC=∠0EA'=90°， ,∠B'A'C=30°， .∠D'A'C=∠B'A'D'-∠B'A'C=60°， ∠A'0E=30°， 1 E=240=2, OE=4O-4E3 x, CE-0C-OE- 5 .CA'=CE A'E =3x; 由题意得，A“、E、F、B这四点共圆， ∠CA'B+∠BFE=180°， ∠CFE+∠BFE=180°， ∴∠CA'B=∠CFE, 又：∠ACB=∠FCE, ∴△A'CBn△FCE, 3x3x A”会一中之 CF=5 , .BF=BC-CF= t, 2x1; BF=2= OA x 2 97/144 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3-2所示，连接0C,A'E, 、B D 图3-2 设AO=x, BC=3AB=3A0, :BC=3x,AB=3x; :四边形ABCD是矩形， .A=90,CD=AB=3x,AD=BC=3x, ..OD=AD-A0=2x, 在RtaC0D中，由勾股定理得0C=√CD2+0D2=√7x: 由旋转的性质可得A'0=A0=x,∠B'A'D'=∠A=90°， OE⊥CA', .∴.∠0EC=90°， :∠B'A'C=30°， ∴∠0A'E=180°-90°-30°=60°， ∠A'0E=30°， 1 . A'E=4O=- OE-404E 2t, CE=0c2-OE2=3x」 2 .CA'=CE-A'E =2x 由题意得，A∥、E、F、B这四点共圆， 98/144 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CEB+∠A'FB=180°， :∠CFA'+∠A'FB=180°， ∴∠CEB=∠CFA', 又：∠A'CF=∠BCE, △A'CF∽△BCE, AC_CF 2x CF 3=元，即3。x， 4 3t, .BF=BC-CF= 、BF-3 x 4； OA x3 综上所述， BE OA 的值为}或号 3 9 (2026河南周口·模拟预测)探究与实践： 【初步探究】 D D B E 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADB=90°，∠A=60°，则∠CBD= AD 的值 BD 为 【问题解决】 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点，且CD⊥DE,求 二的做 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45,AD=12,E为线段AB上一动点，且 CD⊥DE,连接CE,将△CDE沿CE翻折，得到△CFE,连接BF,若BF=4,请直接写出BDE的面积. 【答案】(1)60°， √3 3 99/144 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)1 (3)24或48 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质， 正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键 (1)由直角三角形两锐角互余可得LABD=30°，∠CBD=60°，进而可得4D =tan∠ABD=tan30°= 6 BD 3 即可求解； (2)根据等腰直角三角形的性质可证△ADE≌aBDC(ASA),得到AE=BC,即可求解； (3)如图，过点D作DP⊥AB于点P,由(2)知，AD=BD=6,△ADE≌aBDC(ASA),即得 BP=DP=5BD=3N2,CD:DE,进而由折叠可得四边形CDEP为正方形，连接DF,则DE-Y5DF, 2 2 ∠EDF=∠BDP=45°，分两种情况：①当点D的对应点F在AB的上方时：②当点D的对应点F在AB的 下方时，分别画出图形解答即可求解， 【详解】(1)解：：LA=60°，∠ADB=90°， ∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°， ∴∠CBD=90°-∠ABD=90°-30°=60°， :∠ABD=30°，∠ADB=90°， BD=tan∠ABD=tan30=V5 A 故答案为：60,5， 3 (2)证明：∠ADB=90°，∠A=45°， ∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°， ∠CBD=LABC-LABD=90°-45°=45°，∠A=∠ABD, ∠A=∠CBD,AD=BD, :CD⊥DE, CDE 90, :LBDC+LBDE=90°， :∠ADE+∠BDE=90°， ∴.∠ADE=∠BDC, :△ADE≌△BDC(ASA), :AE =BC, 100/144 题号猜押08 湖北武汉中考数学第23题（解答题） 考点1 旋转类几何综合 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E． (1)如图（1），若的延长线交于点F．求证：； (2)连接，． ①如图（2），延长交于点G，求证：点G是的中点； ②如图（3），与，分别交于点G，K．若，，请直接写出的值． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知等边，点在边上． 问题背景  （1）如图1，点在边上，，线段、交于点，求证：； 问题探究  （2）如图2，将图1中线段绕点逆时针旋转得到，点为边上的点，且，连接交于点，，求的值． 问题延伸  （3）如图3，点在直线上，且，点，分别为、的中点，若，直接写出_____．    3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在中，，将线段绕点C旋转（），得到线段，连接． (1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为______； (2)将线段绕点C顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； (2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； (3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）（1）【问题背景】如图1，点D是等边内一点，连接、，将绕点A 顺时针旋转 得到，连接、，求证：； （2）【尝试应用】如图2，点D是等腰直角内一点，，，连接、、，若 ，，，求面积； （3）【拓展创新】如图3，在等腰中，，，点D为平面内一点，且 ，，直接写出 的值为 ． 同理可证，， ， ， ， 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）【探究发现】如图1，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点的延长线与的延长线交于点，连接． (1)小明探究发现：当点在上移动时，与的数量关系为 ；与的位置关系为 ． (2)【类比迁移】如图2，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点的延长线与的延长线交于点，连接，当时． ①求证； ②若，求的长． (3)【拓展应用】如图3，已知四边形为菱形，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，直接写出的长． 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，． ①若，求的长； ②若，请直接写出的长． 考点2 面积类几何综合 9．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图①，在梯形中，，，． (1)求证：． (2)若点M，N分别在上，连接，且． ①若（如图②），求证:． ②若，以为边作正方形，交于点F（如图③），当，时，直接写出的面积是______． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，是等腰直角三角形，，，点D是的中点，在外取一点E，使，连接． (1)求证：． (2)如图2，若点E在直线下方，且，求的长． (3)若点E在直线下方，，直接写出的面积． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 考点3 锐角三角函数值类几何综合 12．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知和都是直角三角形，，，，连接、． (1)如图1，当时，求证：∽； (2)如图2，当点刚好落在上，且平分，求证：； (3)如图3，延长交于点，连，直接写出的值：______．（用含有k的式子表示） 13．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，D是上一点，，连接． (1)基础问题：如图①，求证：（温馨提示：用“两边夹角法”证明）． (2)问题探究：如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； (3)问题拓展：如图③，作交的延长线于点F，若，，且点D为的中点，请直接写出的值是________． 考点4 比值类几何综合 14．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 15．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，于点，点、分别在边、上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，求的长； (2)【类比探究】如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，沿着直线折叠矩形，点、分别落在点、处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，则折叠后长为_______． 16．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）中，点分别在边上，交于点． (1)若． ①如图1，当是正方形时，求证：； ②如图2，中，，求的值； (2)如图3，当是菱形时，为的中点，，若，直接写出的值=___________． 17．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． (1)【初步感知】如图1，四边形为矩形，为其“中直三角形”，其中，若，求的长；小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．你得出__________； (2)【深入探究】如图2，为平行四边形的“中直三角形”，其中，连接交于点，，，求的长； (3)【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，，其中，请直接写出的值． 考点5 最值类几何综合 18．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）解答下列各题： (1)问题背景：如图1，在中，，求证：； (2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：； (3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图①，已知正方形的对角线，相交于点O，E是上一点，连接，过点A作，垂足为M，交于点F． （1）求证：； 【尝试探究】（2）如图②，若点E在的延长线上，交的延长线于点 M，交的延长线于点 F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若，点E在线段上(不与端点A，C重合)运动，请你直接写出 的最小值． 20．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）探究平行线间的线段关系 (1)【问题背景】如图1，线段，交于点O且，E、F分别在上且经过点O，求证：； (2)【尝试应用】如图2，在中，点D、E在边BC上且，M、G、N分别是线段的延长线上的点且G在线段上，已知，求的值． (3)【拓展创新】如图3，菱形中，，M是的中点，E在边上，F在的延长线上且，连接，交于点G，连接，直接写出的最小值______． 1．（2026·河南信阳·一模）点E在边长4的正方形内部运动，且，对角线与或相交于点F． (1)如图1，当时，________；________；_________； (2)如图2，当为等边三角形时，求的值，并写出计算过程； (3)正方形的对角线与相交于点O，当时，请直接写出的值． 2．（2026·山西太原·二模）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动．探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究．如图1，在中，，，分别取的中点，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (4)延伸思考：如图4，在中，，，分别取的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 3．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 4．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． (1)如图，当时，求证：四边形为菱形； (2)连接，直线与直线交于点． ①如图，在（1）的条件下，求证：； ②如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值_______． 5．（2026·河南周口·一模）如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． (1)证明：垂直平分． (2)随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． (3)当时，若，直接写出的长． 6．（2026·重庆·模拟预测）点为等边内一个动点（含边界），连接，，，点在线段上，连接，，其中． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，且，求证：； (3)如图3，若点是的中点，点为内一点，连接，，．当的值最小时，请直接写出的值． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当，时，求的长； (3)如图2，求证：； (4)如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点H．当，时，直接写出的值． 8．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 9．（2026·河南周口·模拟预测）探究与实践： 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，若，则___________，的值为___________． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 10．（2026·江苏南通·模拟预测）综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； (3)当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 12．（2026·重庆万州·一模）在中，． (1)如图，若，，求度数； (2)如图，点为上一点，，连接，点为的中点，连接，当时，用等式表示线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图，当，，点在内，，点在直线上运动，将绕点顺时针转60°得到，连接，当最小时，直接写出最小值． 13．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 14．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边的中点，点是线段上的动点．将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上，连接． 数学思考： (1)求证：四边形为矩形． 深入探究： (2)如图2，过点作，交于点，设线段与线段交于点， ①猜想线段之间的数量关系，并说明理由． ②连接．若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 15．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 16．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 17．（2026·重庆大渡口·二模）在中，． (1)如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： (2)如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 18．（2026·安徽·二模）综合与实践 (1)【问题提出】如图1，，都是等边三角形，连接，，将绕点A旋转，使点D，E，C在同一直线上，求的度数； (2)【问题探究】，都是直角三角形，，连接，，将绕点A旋转，使点D，E，C在同一直线上，如图2，若，求证：； (3)【问题解决】有一块五边形的葡萄园，如图3所示．已知米，米，，，．为了方便游客到园中采摘葡萄，现要修一条由，，连接而成的步行通道，其中点M，N分别在边，上．直接写出的最小值．（路面宽度忽略不计） 19．（2025·重庆·模拟预测）在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接，求证：； (3)如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 20．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $