题号猜押07 湖北武汉中考数学第22题（解答题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 湖北武汉中考数学第22题（解答题） 考点1 销售利润类 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某水产品专卖店经销一种成本为40元/千克的水产品，依据专卖店运营定价，该水产品的销售单价不低于50元/千克．为调研该水产品的市场销售行情，专卖店开展试销活动．设试销期间该水产品的售价为x元/千克（x为整数），每日销售量为y千克，每日销售利润为W元．市场调研发现每日销售量y与售价x之间满足一次函数关系，所得部分数据如下表所示： x（元/千克） 50 51 52 53 y（千克） 500 490 480 470 (1)直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每日可获得最大利润？ (3)该商店预计每日销售利润不低于8000元，直接写出售价x的取值范围． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校为培养学生“商品营销”意识，组织学生双休到花鸟市场进行市场调研． 调研内容  “温馨花木坊”销售的“九里香”盆栽批发价为60元/盆，一个月可销售200盆．已知该盆栽进价为50元/盆，当店主上涨批发价时，盆栽每月的销售利润会随之变化． 收集数据  记批发价上涨元（且为整数），利润为元，学生们记录部分数据如下： …… 1 2 4 7 8 …… …… 2090 2160 2240 2210 2160 …… 探索发现  借助计算机画图软件描点，连线，近似看作二次函数图像的一部分． 建立模型  直接写出与的函数解析式：_____（不要求写自变量取值范围） 模型应用  （1）_____元，“九里香”盆栽每月的销售利润最大，最大利润为_____元． （2）通过计算并说明：批发价每上涨1元，月销售量如何变化？ 模型拓展  为了回馈社会，“温馨花木坊”的店主决定：每销售一盆“九里香”盆栽，向公益组织捐赠元．若每月销售的最大利润为1960元，求的值． 考点2 几何轨迹类 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，某景区的音乐喷泉由间隔相等的喷泉组成，每个喷头喷出的水流形状相同，均可视为抛物线．以水平湖面所在直线为x轴，喷头所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，现测得喷出的水柱中，五组水平距离x（m）与相应的高度y（m）数据如下表： x（m） 0 1.2 2.4 3.6 4.8 y（m） 1.2 1.8 2.0 1.8 1.2 (1)根据上表数据，求该喷头水柱的抛物线解析式? (2)有一观光小船，其顶棚为矩形，顶棚各处离湖面高度均为，若小船从水柱正下方通过时，顶棚恰好接触到水柱，求该顶棚的宽度? (3)为方便游船从水柱下方通过，景区计划仅调节喷头高度（忽略喷头大小），要求游船从水柱正下方中间通过时，其顶棚任意一点到水柱的竖直距离均不小于．已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面高度为．问：喷头至少应该向上调节多少米? 6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）小磊和小明练习打网球，在一次击球过程中，小磊从点O正上方的A点将球击出，在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中y（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，网球被击出后在前方8米达到最大高度5米． (1)求的长度； (2)若小磊击球时距对方底线17米，当小明不回击球时，请判断此球是否出界，说明理由； (3)当两人相距16米时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为4，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为_______（直接写出结果）． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）一架无人机从地面起飞，其竖直高度h（米）与飞行时间t（秒）满足二次函数关系．已知：当时，；当时，无人机达到最大高度；最终落回地面．表演过程中，无人机水平方向始终以2米/秒匀速飞行．工作人员在比最大高度低12米的高度处水平放置两个圆环，无人机需穿过两圆环． (1)求h关于t的函数解析式； (2)求两个圆环之间的水平距离； (3)若将无人机移至高度为m米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落地点距离起飞点的水平距离不超过18米，求参数m的取值范围． 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这条抛物线解析式； (2)求入水点B距池边的距离； (3)在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 9．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）“武汉的六月火辣辣，街上的孩子们汗直流，吃冰激凌喝红茶，不如来把水枪打！”在听到这句顺口溜以后，某同学借此情境结合二次函数知识编制了一道题：小明和小亮打水仗，两人相距7米远，身高都是米．以水平线为x轴，小明的站立线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，点是小明水枪的喷水口，他的水枪喷出的水柱为抛物线． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)小亮反击时，为了喷到小明，他抬高手臂，使得水枪的喷水口坐标为，小亮水枪喷出的水柱为抛物线． ①如果过点，请通过计算说明小亮能否喷到小明； ②如果小亮能喷到小明，请直接写出b的取值范围为________． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数关系式； (2)在轨道距离地面 米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求 的距离； (3)现需要在轨道下坡段 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． (1)求中间大拱抛物线的解析式； (2)双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； (3)如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 14．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 考点3 实践探究类 15．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 1．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 2．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 3．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A，落地点为B，且 其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到的距离为20米． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)某建筑物的主视图为矩形（如图），其中点C、D在x轴正半轴上，米，米，建筑物一侧距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由． 5．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 6．（2026·贵州遵义·一模）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 7．（2026·山西·三模）综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． (3)如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 8．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 9．（2026·福建宁德·一模）某电商有一款热销智力玩具，进价为50元/件，售价为80元/件，每月可售出100件．电商计划对该商品进行提价销售，他利用“豆包”对该商品提价后的利润进行预测，“豆包”借助大数据分析，判断涨价额在一定范围内变化时，该商品月销售量与涨价额成一次函数关系，并据此建立涨价额与月利润的二次函数模型如下图． (1)求月利润与涨价额之间的函数关系式，并直接写出常数项的实际意义； (2)若提价后月利润不低于提价前的月利润，根据图象直接写出涨价额的取值范围； (3)求这个模型中，该智力玩具的售价每上涨1元，月销售量减少多少件？ 10．（2026·四川成都·二模）某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售． (1)A、B型汽车的定价分别为多少万元？ (2)在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？ 11．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 12．（2026·河南周口·模拟预测）问题情境：无人机执行航拍任务时的水平飞行与下落轨迹可看作抛物线．某款无人机从地面点起飞，沿抛物线轨迹水平飞行并降落至地面点，其飞行轨迹的最高点距地面80米，起飞点与落地点的水平距离为200米． 数学建模：如图，以地面所在直线为轴，起飞点点为原点，过点与地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，无人机的飞行轨迹为抛物线． 问题： (1)请直接写出该抛物线的顶点坐标，并求出抛物线的函数表达式； (2)若无人机从点先竖直上升100米到点后再沿抛物线的轨迹飞行，落地点为（点在轴的正半轴上），求起飞点与落地点的水平距离的长； (3)实验表明：该无人机在飞过建筑物时，与建筑物上表面的竖直距离不少于5米才能保证航拍安全．地面上有一长方体建筑物，其底面为矩形，长60米，宽忽略不计，建筑物高度为70米，无人机从距离建筑物左侧100米的地面处起飞，判断无人机能否安全飞过该建筑物，并说明理由． 13．（2026·河北沧州·二模）6月8日是世界海洋日．某地海洋馆举办了“守护蔚蓝”公益展演．如图．在海豚钻圈表演中．海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在直线为轴．垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：）与距离起跳点的水平距离（单位：）之间满足函数关系式．海豚落入水面的点的坐标为．经测量．海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演过程中，海豚运动路线所在抛物线的解析式； (2)饲养员将直径为的圆如图放置，轴，点的坐标为． ①海豚穿过时与圆的交点为，求点的坐标； ②若使海豚恰好穿过圆的中点，求出需要将圆向下平移的距离； (3)为增加观赏性、在（2）的基础上．饲养员又准备了一个与圆相同的圆，并把以同样高度放置在圆的右侧．且与海豚起跳点的水平距离不超过．若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过圆时，直接写出的取值范围． 14．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 15．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 湖北武汉中考数学第22题（解答题） 考点1 销售利润类 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某水产品专卖店经销一种成本为40元/千克的水产品，依据专卖店运营定价，该水产品的销售单价不低于50元/千克．为调研该水产品的市场销售行情，专卖店开展试销活动．设试销期间该水产品的售价为x元/千克（x为整数），每日销售量为y千克，每日销售利润为W元．市场调研发现每日销售量y与售价x之间满足一次函数关系，所得部分数据如下表所示： x（元/千克） 50 51 52 53 y（千克） 500 490 480 470 (1)直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每日可获得最大利润？ (3)该商店预计每日销售利润不低于8000元，直接写出售价x的取值范围． 【答案】(1)（，x为整数） (2)当销售价定为70元/千克时，每天获得最大利润9000元 (3)售价x取值范围为：（x为整数） 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数关系式或一元二次方程． （1）根据待定系数法即可求出答案； （2）根据每日利润每千克的利润销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将时，，时，代入得， 解得， ∴与的函数解析式为（，x为整数）； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标， 又∵，x为整数， ∴当时，最大， 答：当销售价定为70元/千克时，每天获得最大利润9000元； （3）解：当时：， 解得，或， ∵， ∴当时，， ∴x的取值范围为（x为整数）． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 【答案】(1)元/件或元/件 (2)当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）根据每天获得元的利润，可列方程，解方程即可求出销售单价； （2）设每天的销售利润为元，，根据二次函数的性质要知当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）当或时，销售利润均为元，销售单价为时的销量小于销售单价为元时的销量，当时，需要赠送的展示盒多，所以当时销售利润最小，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 答：当销售单价为元/件或元/件时，每天获得元的利润； （2）解：设每天的销售利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意可得：当或时， 可得：， 一次函数中， 随的增大而减小， 当时，最大，即最小， 根据题意可得：， 解得：． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校为培养学生“商品营销”意识，组织学生双休到花鸟市场进行市场调研． 调研内容  “温馨花木坊”销售的“九里香”盆栽批发价为60元/盆，一个月可销售200盆．已知该盆栽进价为50元/盆，当店主上涨批发价时，盆栽每月的销售利润会随之变化． 收集数据  记批发价上涨元（且为整数），利润为元，学生们记录部分数据如下： …… 1 2 4 7 8 …… …… 2090 2160 2240 2210 2160 …… 探索发现  借助计算机画图软件描点，连线，近似看作二次函数图像的一部分． 建立模型  直接写出与的函数解析式：_____（不要求写自变量取值范围） 模型应用  （1）_____元，“九里香”盆栽每月的销售利润最大，最大利润为_____元． （2）通过计算并说明：批发价每上涨1元，月销售量如何变化？ 模型拓展  为了回馈社会，“温馨花木坊”的店主决定：每销售一盆“九里香”盆栽，向公益组织捐赠元．若每月销售的最大利润为1960元，求的值． 【答案】建立模型：；模型应用：（1）5，；（2）批发价每上涨1元，月销售量减少10盆；模型拓展： 【分析】本题考查了二次函数的应用． 建立模型：利用待定系数法求解即可； 模型应用：（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）二次函数整理得，据此可知：批发价每上涨1元，月销售量减少10盆； 模型拓展：由题意得，利用二次函数的性质列式求解即可． 【详解】解：建立模型： ∵，， ∴对称轴为直线， ∴设，代入数据、， 得， 解得， ∴与的函数解析式为； 模型应用： （1）∵，， ∴当元，“九里香”盆栽每月的销售利润最大，最大利润为元， 故答案为：5，； （2）∵， ∴批发价每上涨1元，月销售量减少10盆； 模型拓展： 由题意得 ， ∵，∴最大值为， 解得或， 当时，利润最大时对应的，不满足的条件，故舍去； ∴的值为2． 考点2 几何轨迹类 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，某景区的音乐喷泉由间隔相等的喷泉组成，每个喷头喷出的水流形状相同，均可视为抛物线．以水平湖面所在直线为x轴，喷头所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，现测得喷出的水柱中，五组水平距离x（m）与相应的高度y（m）数据如下表： x（m） 0 1.2 2.4 3.6 4.8 y（m） 1.2 1.8 2.0 1.8 1.2 (1)根据上表数据，求该喷头水柱的抛物线解析式? (2)有一观光小船，其顶棚为矩形，顶棚各处离湖面高度均为，若小船从水柱正下方通过时，顶棚恰好接触到水柱，求该顶棚的宽度? (3)为方便游船从水柱下方通过，景区计划仅调节喷头高度（忽略喷头大小），要求游船从水柱正下方中间通过时，其顶棚任意一点到水柱的竖直距离均不小于．已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面高度为．问：喷头至少应该向上调节多少米? 【答案】(1) (2)米 (3)0.2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握运用待定系数求函数解析式、二次函数图像的平移、由二次函数值求自变量的值，将实际问题转化成二次函数问题，是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点，，， 设函数解析式为：， 则有， 解得 ， ∴函数解析式为：． （2）解：令， 则有， 解得， ∴该观光小船顶棚的宽度为． （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动n米才能符合要求， 则调节后的喷头喷出的抛物线形状水流的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴， 解得：， ∴喷头高度至少向上调节0.2米， ∴公园应将喷头高度至少向上调节0.2米才能符合要求． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）小磊和小明练习打网球，在一次击球过程中，小磊从点O正上方的A点将球击出，在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中y（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，网球被击出后在前方8米达到最大高度5米． (1)求的长度； (2)若小磊击球时距对方底线17米，当小明不回击球时，请判断此球是否出界，说明理由； (3)当两人相距16米时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为4，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为_______（直接写出结果）． 【答案】(1)1.8米 (2)出界，见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解题意，建立二次函数模型是解题的关键； （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式即可求解得到抛物线解析式，从而求得； （2）令（1）中函数式的值为0，即可判断； （3）先确定新函数经过的点，代入得到参数关系，再根据x为4时，纵坐标y大于等于1.8列不等式，求解得p的范围． 【详解】（1）解：∵网球被击出后在前方8米达到最大高度5米， ∴的顶点坐标为， 则， 当时，， 即， ∴； 答：的长度为米； （2）解：球会越界； 理由如下： 令， 解得：（舍去）， 由于， 当小明不击球时，球会越界； （3）解：当时，， 则经过点，则有， 即， 即， ∵x为4时，纵坐标y大于等于1.8， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）一架无人机从地面起飞，其竖直高度h（米）与飞行时间t（秒）满足二次函数关系．已知：当时，；当时，无人机达到最大高度；最终落回地面．表演过程中，无人机水平方向始终以2米/秒匀速飞行．工作人员在比最大高度低12米的高度处水平放置两个圆环，无人机需穿过两圆环． (1)求h关于t的函数解析式； (2)求两个圆环之间的水平距离； (3)若将无人机移至高度为m米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落地点距离起飞点的水平距离不超过18米，求参数m的取值范围． 【答案】(1) (2)两个圆环之间的水平距离为米 (3) 【分析】（1）设h关于t的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出顶点坐标为，然后得到圆环的纵坐标为，然后代入求解即可； （3）新的飞行路线为，将将代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：设h关于t的函数解析式为 根据题意得， 解得 ∴h关于t的函数解析式为； （2）解：∵h关于t的函数解析式为 ∴当时， ∴顶点坐标为 ∵工作人员在比最大高度低12米的高度处水平放置两个圆环， ∴圆环的纵坐标为 将代入得， 解得 ∴（米） ∴两个圆环之间的水平距离为米． （3）解：∵将无人机移至高度为m米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同， ∴新的飞行路线为 （秒） 将代入得， 解得 ∴m的取值范围为． 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，此时距离点O的水平距离为，运动员在距水面高度为5米前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这条抛物线解析式； (2)求入水点B距池边的距离； (3)在某次跳水中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)会失误；理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件得到二次函数的图象是解题的关键． （1）根据题意，设抛物线顶点式为，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意求出点B的纵坐标为，将代入抛物线解析式，据此求出入水点B距池边的距离即可； （3）运动员此时横坐标为，将代入抛物线解析式得到，此时运动员距水面高度为，据此判断是否会发生失误． 【详解】（1）解：根据题意得：原点是起跳点，抛物线顶点（最高处）距水面米，跳台原点距水面10米，因此顶点纵坐标为， 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得， 因此，这条抛物线解析式为； （2）解：根据题意得：点B的纵坐标为， 当时，， 解得或（舍去）， 因此，入水点B距池边的距离为米； （3）解：已知运动员调整姿势时距池边水平距离为米， 因此运动员此时横坐标为， 将代入抛物线解析式得：， 此时运动员距水面高度为， 即调整姿势时距水面高度已经低于5米， 因此，此次跳水会失误． 9．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 【答案】(1) (2)球可以过网且不出界，见解析 (3) 【分析】（1）顶点坐标为，可设解析式为，再将点C坐标代入即可； （2）由解得的解析式，求得时y的值，时，y的值； （3）设解析式为，将点C坐标代入上式，再求出h的范围． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得，， 解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ∴球可以过网且不出界； （3）解：设解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴解析式为， 由题意可知当时，， 解得， 当时， 解得， ∴． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据函数值求自变量的值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的函数值，列出方程求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）当时，， 解得或， ∴小亮拦截沙包成功的运动范围为在距离小明6到7米的地方，即； （3）当时，， ∴抛物线， 当时，， 解得； ∵抛物线的， ∴抛物线的顶点坐标为最高点， 此时横坐标为， 解得； 综上，k的取值范围为． 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）“武汉的六月火辣辣，街上的孩子们汗直流，吃冰激凌喝红茶，不如来把水枪打！”在听到这句顺口溜以后，某同学借此情境结合二次函数知识编制了一道题：小明和小亮打水仗，两人相距7米远，身高都是米．以水平线为x轴，小明的站立线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，点是小明水枪的喷水口，他的水枪喷出的水柱为抛物线． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)小亮反击时，为了喷到小明，他抬高手臂，使得水枪的喷水口坐标为，小亮水枪喷出的水柱为抛物线． ①如果过点，请通过计算说明小亮能否喷到小明； ②如果小亮能喷到小明，请直接写出b的取值范围为________． 【答案】(1)能喷到小亮 (2)①不能喷到小明；② 【分析】（1）将代入，求出，再求当时，，由，即可判断； （2）① 将和代入，求出，当时，得，即可判断； ②将代入，得，由时，会喷到小明，得，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 因此， 当时，， ∵，水柱高度在小亮身高范围内， ∴小明能喷到小亮； （2）解：①将和代入， 得， 解得， 因此， 小明站立位置为，将代入得， ∴小亮不能喷到小明； ②将代入， 得， 化简得， ∵时，会喷到小明， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数关系式； (2)在轨道距离地面 米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求 的距离； (3)现需要在轨道下坡段 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 【答案】(1) (2)13米 (3)时，支架最短，为12米，最低造价为600000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可． （2）令，求出x，从而求出，即可求解． （3）设，则，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ， 将 代入得，， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴米． （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴时，支架最短，为12米， 此时，最低造价为元． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． (1)求中间大拱抛物线的解析式； (2)双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； (3)如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 【答案】(1)中间大拱抛物线的解析式为 (2)铁丝的长为米 (3)的长为24米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，由题意得点F的坐标为，代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式； （2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得的长； （3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵米， ∴点F的坐标为， 此点代入抛物线解析式中得：， 解得：， ∴中间大拱抛物线的解析式为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴（米）， 即铁丝的长为米； （3）解：在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12， ， 解得：， ∴， ∴， ∵大拱顶点到的距离为4，且大拱、小拱的形状相同， ∴每个小拱底部宽为3米， ∴（米）； 答：的长为24米． 14．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)当时，求和的长； (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1) (2)米，米 (3)米 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点F的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为n，得到，代入，求得n的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：坐标系如图所示， 由题意得，，． 则抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为，将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ， ． ，． ∵点在抛物线上， ，解得或（舍去）． 米，米； （3）解：如图，设，， 四边形为矩形，且点E和F在抛物线上， ， ． 矩形所需的木质框架总长度， 当，矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5． 此时， ． 设正方形和正方形的边长为n，则，，将代入， 得， 整理得， 解得或 (舍去)． ． 封闭区域内木质框架的总长度米． 即封闭区域内木质框架的总长度为米． 考点3 实践探究类 15．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】(1) (2)48米 (3)该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由见解析 【分析】（1）将点代入即可得函数解析式，再利用增减性求出的取值范围即可； （2）求出这个二次函数的最大值即可； （3）求出从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴当时，随的增大而增大， ∵刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止， ∴关于的函数解析式为． （2）解：∵对于二次函数，当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为48， ∴该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是48米． （3）解：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由如下： 从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 【答案】 (1)① (1)② (2) (为正整数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质． (1)①食堂开放个服务窗口分钟时，排队人数与的函数关系式为； ②当时，可得方程，解方程可得第分钟时不再有人排队； (2)开放服务窗口为个时，可得：，因为在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，可知抛物线的对称轴为，解不等式可得的取值范围． 【详解】(1)①解：食堂开放个服务窗口分钟， 食堂就餐人数为， 已买到餐的人数为人， ； ②解：当时， 可得：， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：第分钟不再有同学排队就餐； (2)解：开放服务窗口为个，则第分钟时已买到餐的人数为人， 排队人数为， 整理得：， 需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少， ， 解得：(为正整数)． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； (3)能满足要求，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）根据平均每条通道每分钟可安检人数安检通道数量时间，可得已入场人数，再根据排队人数现场总人数已入场人数，可得到排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）将（1）所得关系式化为顶点式，求最大值即可； （3）由题意可知，开通7条安检通道，进而求出此时排队人数w与安检时间x的函数关系式，再根据二次函数的增减性，得到当时，随的增加而减小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平均每条通道每分钟可安检6人， 当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为； 由题意可知，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：，且排队人数现场总人数已入场人数 则排队人数w与安检时间x的函数关系式为， 故答案为：；； （2）解：， ，， 当时，有最大值为， 即排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； （3）解：由题意可知，开通7条安检通道， 已入场人数为， 排队人数w， 对称轴为直线， ， 当时，随的增加而减小， 即安检开始9分钟后，排队人数开始减少， 能满足演出主办方要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少． 1．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 2．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 【答案】(1) (2)供暖设备所占的面积为 【分析】（1）由题意得点，点，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出，点P的纵坐标为1.1，点M的横坐标为，然后把和分别代入解析式求出，，得出，．然后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为． ∴点， ∵大棚的跨径， ∴点． 设蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点E到保温墙的距离为，， ∴，点P的纵坐标为1.1． ∵， ∴点M的横坐标为， 当时，； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ，． ∴供暖设备所占的面积为． 3．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不在观赏区安全范围内 【分析】（1）利用顶点式设抛物线方程，代入已知点求出系数； （2）根据平移规律写出新抛物线方程，求出落地点后，算出安全区域距离，与比较即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A，落地点为B，且 其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到的距离为20米． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)某建筑物的主视图为矩形（如图），其中点C、D在x轴正半轴上，米，米，建筑物一侧距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)本次飞行符合条件；理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）分别求出和时的函数值，然后分别求出与点E、点F的竖直距离，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点A的坐标为代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：本次飞行符合条件；理由如下： 把代入得： ， 此时无人机与点F的竖直距离为（米） 把代入得： ， 此时无人机与点E的竖直距离为（米） ∵， ∴本次飞行符合条件． 5．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，； (2)这两个位置之间的距离为； (3) 【分析】（1）对于抛物线，根据题意得到对称轴是直线，可求出的值．再根据抛物线与直线的交点坐标，代入直线方程求出值； （2）分别将高度值代入抛物线方程和直线方程求出对应的横坐标，然后计算横坐标差值得到水平距离． （3）先根据抛物线表达式求出特定点，直线与轴的交点的横坐标为，最后根据的范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度， ∴， 解得， ， 时，， ， 点在直线上， ， ； （2）解：，整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为； （3）解：当时，， ， 经过点， ∴， 解得， ∴直线为， ∴直线与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴， 时，． 6．（2026·贵州遵义·一模）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 【答案】(1)； (2)绳子不能过他的头顶；理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过． （3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点， ， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； （2）解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶． 理由如下：， ∵， ∴当时，， ∴绳子不能过他的头顶； （3）解：当时，， 解得或； 当时，， 解得或， 所以两人之间最远相距或． 7．（2026·山西·三模）综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． (3)如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得到顶点坐标，设抛物线顶点式，根据待定系数法求解即可； （2）由题意得到平移后的表达式，令，解一元二次方程求解即可； （3）由（2）中得到的表达式，令求出值，根据题意即可确定范围． 【详解】（1）解：由题意知该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得抛物线向上平移个单位长度， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，（负值，舍去）， ∴弹射点与落地点的水平距离的长为； （3）解：由（2）知，抛物线的函数表达式为， 当时，， ∵弹力球要越过障碍物， ∴， 答：障碍物高度的取值范围为． 8．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 【答案】(1)， ； (2) (3)且． 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为； （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故； （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故且． 9．（2026·福建宁德·一模）某电商有一款热销智力玩具，进价为50元/件，售价为80元/件，每月可售出100件．电商计划对该商品进行提价销售，他利用“豆包”对该商品提价后的利润进行预测，“豆包”借助大数据分析，判断涨价额在一定范围内变化时，该商品月销售量与涨价额成一次函数关系，并据此建立涨价额与月利润的二次函数模型如下图． (1)求月利润与涨价额之间的函数关系式，并直接写出常数项的实际意义； (2)若提价后月利润不低于提价前的月利润，根据图象直接写出涨价额的取值范围； (3)求这个模型中，该智力玩具的售价每上涨1元，月销售量减少多少件？ 【答案】(1)；常数项的实际意义为按原价销售时，月利润为3000元 (2) (3)售价每涨1元，销售量减少2件 【分析】（1）观察图象可知二次函数的顶点坐标，因此设顶点式求解即可； （2）由条件可知提价前的月利润为3000元，要保证提价后月利润不低于3000元，图象上纵坐标不小于3000时对应的横坐标的取值范围即为涨价的范围； （3）由于商品月销售量与涨价额成一次函数关系，则一次函数关系式中一次项系数即为月销售量减少的件数，据此求解即可． 【详解】（1）解：依题意可设． 二次函数图象经过点， ，解得． ，即， 常数项． 当时，， 常数项的实际意义为按原价销售时，月利润为3000元； （2）解：观察图象可得当时，月利润不低于原利润； （3）解：设该商品售价每涨1元，销售量减少件， 则涨价元时，商品的销售利润． 当时，， ． 解得． 答：售价每涨1元，销售量减少2件． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用．能够准确把握函数中的变量、图象的坐标、实际意义的量三者之间的对应关系是解题的关键． 10．（2026·四川成都·二模）某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型在这两个月均按定价进行销售． (1)A、B型汽车的定价分别为多少万元？ (2)在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型车的月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元 (2) B型车售价定为18万元时月利润最大，最大利润为64万元 【分析】（1）利用销售额=销量×定价，构建二元一次方程组，解方程组即可； （2）设售价或降价为自变量，构建月利润与售价或降价的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：设A型汽车的定价为x万元，B型汽车的定价为y万元， 由题意，得， 解得， ∴A型汽车定价为12万元，B型汽车定价为20万元； （2）解：设降价m万元，月利润为w万元， 则由题意，得， ∵， ∴当时，w最大，最大值为（万元）， 此时售价为（万元）． 11．（2026·湖北咸宁·模拟预测）某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：，售价：元，原料成本：肉馅30元，饺子皮5元． (1)若每千克饺子的原料成本为17.5元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？ (2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加（同时饺子皮含量相应减少），单日销量可增加，为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？ 【答案】(1) 每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为 (2) 当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元 【分析】（1）根据每千克饺子总重量为和原料总成本为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元，根据题意表示出单日总销量和每千克利润，得到总利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围，利用二次函数性质求解最大值即可； 【详解】（1） 解：设每千克饺子中肉馅含量为千克，饺子皮含量为千克， 根据题意列方程组得， 解得， 答：每千克饺子中肉馅含量为，饺子皮含量为； （2）解：设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为元， 由题意得，饺子皮含量为千克，单日总销量为千克， 每千克饺子的成本为，每千克利润为元， 根据饺子皮含量要求得， 解得， 结合实际得， 总利润，整理得， ，二次函数开口向下，对称轴为， 又，对称轴在自变量取值范围右侧， 当时，取得最大值，代入计算得， 答：当每千克饺子的肉馅含量增加时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为元． 12．（2026·河南周口·模拟预测）问题情境：无人机执行航拍任务时的水平飞行与下落轨迹可看作抛物线．某款无人机从地面点起飞，沿抛物线轨迹水平飞行并降落至地面点，其飞行轨迹的最高点距地面80米，起飞点与落地点的水平距离为200米． 数学建模：如图，以地面所在直线为轴，起飞点点为原点，过点与地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，无人机的飞行轨迹为抛物线． 问题： (1)请直接写出该抛物线的顶点坐标，并求出抛物线的函数表达式； (2)若无人机从点先竖直上升100米到点后再沿抛物线的轨迹飞行，落地点为（点在轴的正半轴上），求起飞点与落地点的水平距离的长； (3)实验表明：该无人机在飞过建筑物时，与建筑物上表面的竖直距离不少于5米才能保证航拍安全．地面上有一长方体建筑物，其底面为矩形，长60米，宽忽略不计，建筑物高度为70米，无人机从距离建筑物左侧100米的地面处起飞，判断无人机能否安全飞过该建筑物，并说明理由． 【答案】(1) (2) 米 (3)无人机不能安全飞过该建筑物． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式， （1） 利用对称性确定顶点，设顶点式方程，代入已知点求系数； （2）原抛物线整体上移单位，解新方程与地面（）的交点； （3） 计算建筑物范围内无人机最低高度（处），对比安全阈值米． 【详解】（1）解：根据题意得，起飞点A的坐标为，落地点的坐标为 ．飞行轨迹的最高点距地面80米，对称轴为 ． ∴抛物线的顶点坐标为 (100,80)． 设抛物线的函数表达式为顶点式： ．得： 解得：， ∴抛物线的函数表达式为： （2）解：无人机从A点竖直上升100米到点C，则点C的坐标为 ． 如图： 新的飞行轨迹是沿原抛物线轨迹， ， 无人机落地时，高度 ，即 ， 解得 ， ． 因为落地点D在x轴的正半轴上，所以取 ． 即落地点D的坐标为 ． 起飞点与落地点的水平距离的长为 米． （3）解：不能安全飞过该建筑物．理由如下： 根据题意，无人机从距离建筑物左侧100米处起飞，建筑物长60米．以起飞点为原点建立坐标系，则建筑物在坐标系中位置，如图：；，， ． 建筑物高度为70米，为保证航拍安全，无人机与建筑物上表面的竖直距离不少于5米，即当时，无人机的高度 必须满足 米． 无人机的飞行轨迹方程为 ，该抛物线的对称轴为 ，开口向下．当时，函数 随增大而减小， 当 时，无人机的高度最低． 米 无人机飞过建筑物时的最低高度为51.2米． 因为 ，所以无人机不能保证与建筑物上表面有至少5米的安全距离． 故，无人机不能安全飞过该建筑物． 13．（2026·河北沧州·二模）6月8日是世界海洋日．某地海洋馆举办了“守护蔚蓝”公益展演．如图．在海豚钻圈表演中．海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在直线为轴．垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：）与距离起跳点的水平距离（单位：）之间满足函数关系式．海豚落入水面的点的坐标为．经测量．海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演过程中，海豚运动路线所在抛物线的解析式； (2)饲养员将直径为的圆如图放置，轴，点的坐标为． ①海豚穿过时与圆的交点为，求点的坐标； ②若使海豚恰好穿过圆的中点，求出需要将圆向下平移的距离； (3)为增加观赏性、在（2）的基础上．饲养员又准备了一个与圆相同的圆，并把以同样高度放置在圆的右侧．且与海豚起跳点的水平距离不超过．若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过圆时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①点的坐标为；②需要将圆向下平移 (3) 【详解】（1）解：由题意得，抛物线过，， 且海豚这次表演的最高点距离水面， 抛物线顶点为，则， ，解得， ， 答：海豚运动路线所在抛物线的解析式为； （2）解：①点的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ， 答：点的坐标为； ②由①知的中心坐标为，， 答：要使海豚恰好穿过圆的中点，则需要将圆向下平移； （3）解：抛物线对称轴为直线， 由题可知在对称轴左侧， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， ， 答：的取值范围为． 14．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 【答案】(1) (2)①；②最低身高的最大值为，最高身高的最大值为 (3)第2位 【分析】（1）由题可知点，，设该抛物线对应的函数解析式为，将点代入，求出，即可解答； （2）①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为，即可解答； ②把与分别代入，求出相应的y值，即可解答； （3）设10米场绳子所在抛物线解析式为，求出10米场绳子所在抛物线解析式为，推导出绳子高度满足 ，得到，解得，继而根据10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为：，即可解答． 【详解】（1）解：由题可知点，． 由题可知P为抛物线的顶点，故可设该抛物线对应的函数解析式为． 将点代入，得． 解得． ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为， ∴点M的坐标为； ②∵， ∴把代入，得， 则． ∵最低身高不高于， ∴8米场参赛选手最低身高的最大值为． 把代入，得， 则． ∵最高身高不高于， ∴8米场参赛选手最高身高的最大值为． （3）解：由题意，设10米场绳子所在抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴10米场绳子所在抛物线解析式为， 由题意，得， ∴绳子高度满足 ， 代入解析式得， 移项整理， 解得， 10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为： 满足条件且最靠左的位置为第2位． 15．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】(1) (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． (3) (4)当秒时，最优垂直距离为米． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由抛物线过和，最高点纵坐标不变20，设，利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． （2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3）解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． （4）解：由抛物线过和，最高点纵坐标不变20， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $