题号猜押05 湖北武汉中考数学第20题（解答题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押05湖北武汉中考数学第20题（解答题） 押题预测 ●考点1半径与直径 1.(25-26九年级上湖北武汉·期末)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作O0交BC于点D, 过点D作DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F,连接BF, (1)求证：DE是OO的切线： (2)若BD=5,BF=6,求O0的半径. 【答案】(1)见解析 时 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等。 (1)连接OD,由等腰三角形的性质∠ODB=∠ABC,进而得LODB=LC,由平行线的判定及性质得 OD⊥DE,即可得证： (2)连接AD,根据直径所对的圆周角是直角，结合等腰三角形的性质得出BC=2BD=10,勾股定理求得 FC=8,进而设⊙O的半径为r,则AB=AC=2r,在Rt ABF中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 【详解】(1)证明：连接0D, 0D=0B, .∠ODB=∠ABC, .AB=AC, ∠C=LABC, .∠ODB=∠C, OD∥AC, 1/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE⊥AC于点E, OD⊥DE, :0D是00的半径，且DE1OD, .DE是⊙O的切线 (2)解：如图，连接AD, F :AB是直径， .∠ADB=∠AFB=90° AB=AC, .BD=DC=5 .BC=2BD=10 在Rt△BFC中，FC=VBC2-BF2=V102-62=8 设⊙0的半径为r,则AB=AC=2 .AF=FC-AC =8-2r 在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2 (2r2=(8-2r)2+62 25 解得：r= 8, 25 :.⊙0的半径为 8 2.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图：△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交 4C于点E,点F在4C的延长线上，∠CBF=)∠B4C B (I)求证：直线BF是⊙O的切线： (2)若FC=1,BF=3,求⊙O的半径， 2/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）证明见解析 (2)⊙0的半径是2 【分析】(1)由圆周角定理得∠ADB=90°，由已知和等腰三角形的性质得即∠ABF=90°，进而即可得解； (2)设AB=AC=x,利用勾股定理列方程，解方程即可. 【详解】(1)证明：如图，连接AD, B CE :AB是O0的直径， .∠ADB=90°， ∠BAD+∠ABD=90°， AB=AC, :∠DAB=∠CAB=∠BAC, :∠CBF=S∠BAC, 2 ∠CBF=∠DAB, .LCBF+∠ABD=90°，即∠ABF=90°， BF⊥AB, :AB为直径， :直线BF是OO的切线. (2)解：由(1)得BF⊥AB, ∠ABF=90°， 设AB=AC=x, :FC=1,BF=3, 六AF=x+1, 在RIAABF中， AF2=AB2+BF2, (x+1)2=32+x2, .x=4, 3/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴00的半径是2. 3.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图，已知ABC内接于O0,AC是O0的直径，D是AB的中点， 过点D作AB的平行线，分别交CB、CA的延长线于E、F. B (I)求证：EF是O0的切线； (2)若AF=4,EC=6,求⊙0的半径r. 【答案】(1)证明见解析 (2)r=4 【分析】(1)要证EF是⊙O的切线，只要连接OD,再证OD⊥EF即可： (2)设00半径为，则0A=0C=0D=r,0F=4+r,CF=4+2r,根据0D∥CE,得到5-OD CF CE' 即可求出O0的半径. 【详解】(1)证明：连接OD交AB于点G. “D是AB的中点，OD为半径， :AG=BG, :A0=0C, :OG是ABC的中位线， ·OG∥BC,即OD∥CE, 又：AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， :EF∥AB, :∠CEF=90°， :OD∥CE, 4/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0DE=90°， :OD⊥EF, :0D是00的半径， :EF是OO的切线 (2)解：设⊙0半径为r,则0A=0C=0D=r, :AF=4, 0F=4+r,CF=4+2r, :OD∥CE,EC=6, 8器80即6 OF OD :r2-r-12=0,解得r=4或r=-3(舍)， 则⊙0的半径r=4. 4.(25-26九年级下，湖北武汉·月考)如图，在△BCD中，∠C=90°，点A为边BD上一点，以AB为直径 的圆分别与BC,CD交于点F,E两点，且BE平分∠CBD, A (1)求证：CD为O0的切线： (2)若CB=6,CD=8,求⊙0的半径. 【答案】（①）见解析 片 【分析】(1)连接OE,根据圆周角定理可得∠D0E=2LDBE,进而可得∠D0E+LD=90°，则 ∠0ED=90°，即OE⊥CD: 2》设00的半径=，可△00△08C,可得%%，邮0再解方程即可一 106 【详解】(1)证明：连接OE, 5/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 由圆周角定理得∠DOE=2∠DBE, :BE平分LCBD, :ZCBD =2ZDBE ∠DOE=∠CBD, :∠C=90°， ∠CBD+∠D=90°， :∠D0E+∠D=90°， ∴.∠OED=90°，即OE⊥CD, 又OE为半径， ·CD为OO的切线； (2)解：：CB=6,CD=8,∠C=90°， :AB=BC2+CD2=10, 设00的半径r=x,则OB=OE=x,OD=10-x, 由(1)知OE⊥CD, 又∠C=90°， :BC⊥CD, ∴.OE|BC, △DOE∽△DBC, 0. OD OE 10-x- 即 106 15 解得x= 故00的半径为5 5.(2026湖北武汉模拟预测)如图，PA是00的切线，A为切点，AB是00的直径，C是00上的一 点，PA=PC=AB,连接PO,AC交于点D. 6/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B (1)求证：PC是⊙0的切线： (2)当AC=4时，求AB的长， 【答案】（①）见解析 (2)25 【分析】(1)如图，连接OC,先证出△POC≌△POA,得出∠PC0=∠PA0,进而即可得证； (2)根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用AAS证出△PAD≌△ABC得出BC=AD=2 ,再由勾股定理即可得出AB的长。 【详解】(1)证明：如图，连接0C, A PA是00的切线， PA⊥0A, ∠PA0=90°， OC=0A,PC=PA,OP=OP, △P0C≌△P0ASSS), ∠PC0=LPA0=90°， OC⊥CP, 又：点C在00上， PC是⊙O的切线： (2)解：△P0C≌△P0A, ∠AP0=∠CP0, 又：PA=PC,AC=4, :PD L AC,AD=DC=1AC=2, :∠PA0=90°， ·∠APD=90°-∠PAD=∠BAC, 7160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB是⊙O的直径，C是O0上的一点， :∠ACB=90°=∠PDA, 又：PA=AB, △PAD≌△ABC(AAS). .BC=AD=2 .在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=V42+22=2V5 一考点2角度与三角函数值 6. (25-26九年级上湖北武汉·期末)如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接0C,若EB=9, AE=1. D (I)求弦CD的长. (②)连接AC、BC,若∠A0C=20°，求LBAC的度数 【答案】()6 (2)80° 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键。 (1)根据垂径定理得到CE=DE,根据题意得到OE=4,在RtAOCE中，由勾股定理即可得到答案； (2)由圆周角定理可得∠B=∠40C,由直径所对的圆周角是直角可得∠4C8=90°，即可得解。 【详解】(1)解：：CD⊥AB, :CE DE, :EB=9,AE=1, AB=9+1=10, .0C=0A=5, 0E=5-1=4, 在Rta0CE中，CE=V0C2-0E2=V52-42=3, 8/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :CD=2CE=6; (2)解：如图，连接AC、BC, B.∠A0C=20°， 1 ∴.∠B= ∠AOC=10°， 2 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠BAC=90°-∠B=90°-10°=80°. 7.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D, 点O是边AB上一点，以点O为圆心OB长为半径作圆，⊙O经过点D. B (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (②)若B0=4,A0=5,求tan∠CBD的值. 【答案】(1)见解析 时 【分析】(1)连接0D,则得∠ODB=∠OBD,再由角平分线的性质易得OD∥BC,再由∠C=90°即可证 明结论成立； (2)由OD∥BC得 B8CAC,由此可求得BC,由勾股定理求得4C,从而求得CD,最后由正切 OAOD AD 函数定义即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接0D, 0B=0D, .∠ODB=∠OBD, :BD平分∠ABC, 9/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DBC=∠OBD, .∠DBC=∠ODB, OD∥BC, .∠AD0=∠C=90°， :0D是00的半径， :直线AC是⊙0的切线； D B (2)解：由(1)知，0D∥BC, △AOD∽△ABC, OA OD AD AB BC AC :0B=0D=4,AB=0A+0B=9, 54 BC' 6sc-9 在ABC中，∠C=90°，由勾股定理得4C=AB-BC_22 5 AD 9=27, 5 解得：AD=3, CD=AC-AD-12 tan∠CBD= CD 1 BC-3' 【点晴】连接半径是证明切线常用的方法， 考点3线段长 8.(25-26九年级下湖北武汉·月考)如图，PA与00相切于点A,OP交00于点C,AB10P于点D, 交OO于点B,连接AC、PB. 10/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：PB是O0的切线； ②若am∠40c=膏4C=5,R0的长 【答案】（①）见解析 a 【分析】(1)连接OB,根据三线合一的性质可得∠AOP=∠BOP,根据切线的性质可得出∠OAP=90°， 证明△AOP≌△BOP(SAS),得出∠OBP=90°，然后根据切线的判定即可得证； 2)根据an∠40C子可设4DE4,则0D=3,根据勾股定理求出C0=A0=5,进而求出CD=2k 在R1△ACD中，根据勾股定理得出(4+(2=(5，解出k-,即可求解. 【详解】(1)证明：连接OB, AB⊥0P,0A=0B, ∠A0P=∠BOP, :PA与⊙0相切， .∠0AP=90°， 0A=0B,∠A0P=∠B0P,0P=0P, :△AOP≌△BOP(SAS), .∠0AP=∠0BP=90°， 0B⊥0P, 又OB是半径， 11/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴PB是⊙O的切线； (2)解：：tan∠A0C=4 tan∠AOc=AD4 OD3' 设AD=4k,则OD=3k, .CO=AO=OD2+AD2=5k .CD=OC-OD=2k, 在Rt△ACD中，AC=√5，AD2+CD2=AC2 (42+(22=(N5, 解得k=(负值舍去)， ..OD= 3 9.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)已知：点D是ABC边BC上一点，以AD为直径作O0交AB、AC于 E、F点，连接EF,∠AFE=∠B,过A点作AH⊥EF于H. (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)若∠B=60°，AF=6,EF=8,求CF的长. 【答案】()证明见解析 g 【分析】(1)连接DE,证出LB+∠BDE=90°，∠AFE=∠ADE,则LADE+∠BDE=90°，即 ∠ADB=90°，由此即可得证： (2)连接DE,先解直角三角形可得AH,HF,HE,AE,AB的长，再证出△ABC∽aAFE,则可得AC的长， 最后根据CF=AC-AF求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接DE, 12/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H B D :AD为O0的直径， .∠AED=90°， ∠B+∠BDE=90°， :∠AFE=LB, ∠AFE+∠BDE=90°， 由圆周角定理得：∠AFE=∠ADE, ∠ADE+∠BDE=90°，即∠ADB=90°， AD⊥BC, 又：AD为O0的直径， :BC是⊙O的切线 (2)解：如图，连接DE, H 由(1)己得：∠AED=∠ADB=90°，∠ADE=∠AFE=∠B, :∠B=60°， ∠ADE=∠AFE=60°， :AH⊥EF,AF=6, .在Rt△AFH中，HF=AF.cos ZAFE=3,AH=AF·sin∠AFE=3N5, EF=8, ∴.HE=EF-HF=5, 在Rt△AEH中，AE=VAH2+HE2=2V1, 在RtAADE中，AD= AE 439 sin∠ADE3' 13/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在R△ABD中，AB=AD_83 sin B 3 在ABC和△AFE中， ∠B=∠AFE ∠BAC=∠FAE .△ABC∽△AFE, :4C、AB ，即C 8V13 =3· 2136 解得4C=104 :CF=AC-AF=104-6= 50 9 9 10.(2026湖北武汉.一模)如图，四边形ABCD内接于O0,E是CD延长线上一点，连接AC,BD,AD平分 ∠BDE. E (1)求证：AB=AC: (2)若BD是O0的直径，BD=I0,tan∠ADB=2,求BC的长. 【答案】(I)AB=AC (2)BC=8 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，等角对等边，解直角三角形的相关运算，正 确掌握相关性质内容是解题的关键， (1)先结合圆内接四边形对角互补以及邻补角互补得∠ADE=∠ABC,又因为AD平分∠BDE,以及圆周 角定理得∠ABC=LACB,即可得AB=AC. (2)结合BD是00的直径，BD=10,tan∠ADB=2,运用勾股定理列式得AD=2V5,AB=AC=4V5，由 )知∠ADB=∠ADE,得n ZAPE=S,os∠4ADE=;,然后在RIA ADT中，把AD=25代入 5 sin47-25D7-5 解得AT=4,DT=2,最后运用勾股定理列式计算，即可作答。 AD 5'AD 5 【详解】(1)解：：四边形ABCD内接于⊙O, 14/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC+∠ADC=180°， :∠ADE+∠ADC=180°， ∠ADE=∠ABC, :AD平分∠BDE, ·∠ADE=∠ADB, .∠ADB=∠ABC, AB=AB .∠ADB=∠ACB, ∠ABC=LACB, .AB=AC. (2)解：：BD是⊙0的直径， ∠BAD=∠DCB=90°， 则tan∠ADB= AB=2, AD 设AD=x, .AB=2x, 在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2, 则100=4x2+x2, 解得x=25(负值舍去)， :AD=25,AB=AC=2x2V5=4V5, 则sin∠ADB=4B-45_25,cos∠HDB=4D-25-5 BD105 BD 10 由(1)知∠ADB=∠ADE, ÷sin∠ADE=25 cos∠ADE=5 过点A作AT⊥CE,如图所示： B 15/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD5,cos∠ADE=D7、V5 故在R1△ADT中，sin∠ADE=AI=25 AD 5 :AD=25, .4T=4,DT=2, .CT=VAC2-AT2=V80-16=8, 则CD=CT-DT=8-2=6, 在Rt△BCD中，BC=VBD2-CD2=V100-36=8 11.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线， 交直线BC于D,CO的延长线交AB于E. D (I)求证：△ACE∽△ABC: (2)已知AE=8,BE=4,求AD的长. 【答案】（①）见解析 (2)12W3+12 【分析】(1)连接OA,根据圆周角定理可知∠A0C=90°，可得∠0AC=∠0CA=45°，又因为 ∠EAC=∠CAB,根据两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立； (2)根据相似三角形对应边成比例可得AC=4√6，过点A作AF⊥BC,过点E作EM⊥BC,根据相似三 角形对应边上的高之比等于相似比可以求出AF=BF=6√2，利用勾股定理可以求出CF=2√，根据相似 三角形对应边成比例可得EC=45+4,可以求出sin∠MCE=6,V5,根据同角的补角相等可证 4 sn∠D=6,5.4仁，从而可以求出AD的长度， 4 AD 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OA, :∠ABC=45°， .∠A0C=2∠ABC=90°， :0A=0C, .∠0AC=∠0CA=45°， 16/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠EAC=∠CAB, △ACE∽△ABC; D (2)解：如下图所示，过点A作AF⊥BC,过点E作EM⊥BC, '△ACE∽AABC, AE AC AC AB :AE=8,BE=4, .AB AE BE =12, 8 AC AC=12 .AC=4V6, .04-0C= AC=5x46=4N, 2 2 :△ACEn△ABC, AO AE 8 AFAC46' 4W58 AF46 .AF=6V2, .BF=AF=6√2， 在RtAAFC中，CF=VAC2-AF?=2√6， .BC=BF+CF=62+26, :∠ABC=45°， w=W号aG=25 .MC=BC-BM=6V2+2√6-22=4V2+2√6， :4C、EC AB BC' 17/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4V6 EC 12 6W2+26 EC=4V5+4, ∴sin∠MCE=EM-22=6-2 EC4V5+44 :AD是⊙O的切线， .OA⊥AD, .∠0AD=90°， ∠0AF+∠DAF=90°， 又：AF⊥BD, ∠AFD=90°， .∠D+∠DAF=90°， :∠D=∠OAF, ∠A0C=∠AFC=90°， :∠MCE=∠OAF, ∠D=∠MCE, sin∠D=sin∠MCE=V6-V2AF V6-√26W2 4 AD AD=12V5+12 D 考点4阴影部分面积 12.(25-26九年级上·湖北武汉期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB为O0的直径，点D为AC的 中点，BC与OO交于点E,连接DE. 18/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ○ E (I)求证：DE是O0的切线； (2)若sinC= ，CE=3,求阴影部分的面积 2 【答案】（①）见解析 .99 287 【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质和扇 形面积，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键。 (1)连接OE,AE,根据等边对等角，圆周角定理结合直角三角形的性质，推出∠OED=90°，即可证明； (2)解直角三角形，求出∠C=45°，易证ABC是等腰直角三角形，根据AB是O0的直径，推出4E⊥BC 得到AE=BE=CE=3,证明DE是ABC的中位线，得到DE∥AB,证明四边形AOED是正方形， ACDE是等腰直角三角形，求出DE=OE=35,∠A0E=90,根据阴影部分的面积=S方1oD-S1o:即 2 【详解】(1)证明：连接OE,AE, D 0A=0E, ∴.∠OAE=∠OEA, :AB是OO的直径， .LAEB=LAEC=90°， :点D是AC的中点， EAD=DE=CDAC© .∠DAE=∠DEA, ∠AEO+LAED=LDAE+LOAE=LBAC=90°， ∠0ED=90°， :OE是00的半径， DE是OO的切线； 19/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：simC=2 ∠C=45°， :∠BAC=90°， .ABC是等腰直角三角形， .AB=AC, :AB是OO的直径， AE⊥BC, .AE BE CE=3, :点D为AC的中点， DE是ABC的中位线， .DE∥AB, DE⊥AC, :四边形AOED是正方形，△CDE是等腰直角三角形， .DE-OE-CE-3 ,∠A0E=90°， 2 .阴影部分的面积 _3W232 90π× 3W2 2 99· =S正方形40ED一S院形4OE= π 22 360 28 13.(25-26九年级上湖北武汉·期末)如图，⊙0为ABC的外接圆，BC为O0的直径，且BC=8,四边 形ABCD为平行四边形，∠D=45°. (I)求证：AD是O0的切线： (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)24-4π 【分析】(1)连接OA,由题意易得AB=AC,则OA⊥BC,再由BC∥AD即可证明； (2)用梯形OADC的面积减去扇形OAC的面积即得阴影部分的面积. 20/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图，连接OA, :BC为O0的直径， ∠BAC=90°， :四边形ABCD是平行四边形，∠D=45°， ∠B=∠D=45°，BC∥AD, LC=∠B=45°， .AB=AC, :0B=0C, OA⊥BC, :BC∥AD, .OA⊥AD, :OA是00半径， AD是O0的切线： (2)解：：BC=8,OA⊥BC, 0A=0C)BC=4,LA0C=90→ :四边形ABCD是平行四边形， .AD BC=8, :S质影=S格形04Dc-S第形04G 1 90π×42 =-×4+8)×4- 2 360 =24-4π； 答：阴影部分的面积为24-4π. 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，切线的判定与性质， 求不规则图形的面积，证明切线是关键 14.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，点A,B,D在00上，BD是直径，点I是△ABD的内心， 连接Ⅱ，并延长交OO于点C,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E, 21/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (I)求证：CE是O0的切线： (2若BE=20,CE=4OB,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析： (2)42-9π. 【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得∠BAD=90°，又点I是△ABD的内心，即A平分∠BAD,所以 ∠BAC=45°，通过圆周角定理得∠BOC=90°，然后通过平行线的性质可得∠0CE=90°，最后通过切线的 判定方法即可求证： (2)过B作BF⊥CE于点F,则LBFE=LBFC=90°，证明四边形BOCF是正方形，所以BF=CF=OB ,由CE=40B,设OB=3x,则BF=CF=3x,CE=4x,EF=x,由勾股定理得BE:=BF2+EF:,即 3 (2O=(3x+x2,求得x=2,所以EF=2,BF=6,再由S影=S△e+SE方花0cP-S角影80c即可求解. 【详解】(1)证明：连接0C, D :BD是OO的直径， ∠BAD=90°， :点I是△ABD的内心， .A平分∠BAD, BAC=45°， ∴.∠B0C=2∠BAC=90°， :CE∥BD, ∴.∠0CE+∠B0C=180°， ∴∠0CE=90°， .OC⊥CE, 22/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0C是00的半径， :CE是OO的切线； (2)解：过B作BF⊥CE于点F,则LBFE=∠BFC=90°， A B D ∴∠BFC=∠0CF=LB0C=90°， :四边形BOCF是矩形， 0C=0B, :四边形BOCF是正方形， ∴BF=CF=OB, 由CE-音0B,设0B=3x:则8F=CF=3x,CE=4x, .EF=CE-CF =x, 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2=BF2+EF2, (210=(3x2+x2, x=2(负值已舍去)， EF=2,BF=6, S阴影=SAREF+S正方形BOCF-S扇形BOC =7×2×6+62 1 90m×6 2 360 =42-9π· 【点晴】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与 性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 15.(25-26九年级下，湖北武汉·月考)如图，AB是00的直径，点C,D是⊙0上位于直径AB异侧的两 点，且BC=BD,DE⊥BC,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE· 23/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E (I)求证：DE为O0的切线： (2)若LBDE=30°，BE=2,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2②)S影=8-4N5 3 【分析】(1)连接OD,先证明DE⊥OD,再根据OD为O0的半径，即可证明结论； (2)连接OC,OD,过点O作OF⊥BC于F,证明aOBD为等边三角形，得出OB=BD=OD=4,根据 BC=BD,得出∠B0C=∠BOD=60°，证明△OBC为等边三角形，得出0B=OC=BC=4,根据勾股定理 求0F=08-F:25,浆5xc-0r=分425=45,5-号，最后求 S用影=5a形0c-Soac-87-45】 3 【详解】(1)证明：连接0D,如图1所示： D C 图1 :0B=0D, .∠OBD=∠ODB, BD平分∠ABE, .∠OBD=∠EBD, ∠ODB=∠EBD, :DE⊥BC, ∠BDE+LEBD=90°， :∠BDE+LODB=90°，即DE⊥OD, 又：0D为00的半径， DE为O0的切线； 24/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：连接0C,0D,过点O作OF⊥BC于F,如图2所示： 图2 :DE⊥BC,∠BDE=30°， LEBD=60°， 在Rt△BDE中，BD=2BE=4, BD平分∠ABE, ∴.∠OBD=∠EBD=60°， OD =0B, .△OBD为等边三角形， ..OB=BD =OD =4, .∠B0D=60°， BC=BD, .∠B0C=∠BOD=60°， :0B=0C, ∴aOBC为等边三角形， .0B=0C=BC=4, OF⊥BC, BF=CF=号BC=2, 在Rt△OBF中，由勾股定理得：OF=VOB2-BF2=23, 5x-8C-0F=x4x25=45,Sax 60π×428元 360 3 ∴.S阴影=S扇形BOC-SAO8c _8r-45. 3 16.(25-26九年级下·湖北武汉·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D, 点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，OO恰好经过点D,交AB于点E. 25/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：直线AC是⊙0的切线； ②若点E为40的中点，8C-5,求阴影部分的面积。 【答案】（①）见解析 (2)33-元 2 【分析】(1)连接OD,由角平分线的定义得到LOBD=∠CBD,再由等边对等角得到∠ODB=LOBD, 则∠ODB=∠CBD,据此可证明OD∥BC,得到∠ODA=∠C=90°，由此可证明AC是⊙0的切线； (2)根据线段之间的关系证明0A=20D,解直角三角形可得∠A=30°，∠A0D=60°，则可求出0D=√5 ， 再根据S阴影=S△4OD-S扇形DoE列式计算即可. 【详解】(1)证明：连接OD,如图所示： D :BD是∠ABC的平分线， ∠OBD=LCBD, 0D=0B, ∴.∠ODB=∠OBD, ∠ODB=LCBD, .OD∥BC, .∠AD0=∠C=90°， OD⊥AC, 直线AC是⊙0的切线； (2)解：设⊙0的半径为R, 26/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴OD=OE=OB=R, :点E是A0的中点， .AE=OE=R, .AB=3R,OA=2R, 由(1)可知：OD⊥AC, OD R 1 在Rt△AOD中，sinA= A02R2’ ∠A=30°， ∠A0D=60°， c-5, .AB=2BC=33, R=5, 0D=√3,0A=2N3, AD=V0A2-0D2=3, m=AD.0D=x3x5=35, 2,S扇形EOp 60m×5)_元， 2 360 :阴影部分的面积为：S△4op-S扇形EOD= 33-元 2 通关特训 1.(2026江苏南通一模)如图，己知ABC内接于⊙O,AD是O0的直径，连接BD,CD,BC平分 ∠ABD,AD=6. D (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积. 27/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)32 好号 【分析】(1)由AD是O0的直径，可得∠ABD=∠ACD=90°，再由BC平分∠ABD,△ADC为等腰直角 三角形，由锐角三角函数求AC的长即可； (2)连接OC,用S扇形o4c减去S.o4c可求出阴影面积. 【详解】(1)解：：AD是O0的直径， :∠ABD=∠ACD=90°. B D :BC平分∠ABD, :∠ABC=∠CBD=45°. .∠CAD=∠CDA=45°. :△ADC为等腰直角三角形 4C=4D-sin45°=6xy2 2 =3V2; (2)连接OC,则LC0A=2LABC=90°. ·.S阴影=S扇形04c-S△o4C 90π×321 ×3×3 3602 99 42 2.（2026辽宁沈阳一模)如图，O0是ABC的外接圆，BD是O0的直径，∠BAC=45°，过点C作 CE∥BD交AB的延长线于点E. 28/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若BD=4,AB=2,求线段BE,CE和BC围成的阴影部分面积. 【答案】()见解析 212+23-3 3 【分析】(1)连接0C,利用平行线的性质证得0C⊥CE,即可得到CE是O0的切线： (2)连接AD,作BF⊥CE于点F,证得四边形OBFC是正方形，得到CF=BF=2,解直角三角形求得 ∠E=∠ABD=60°，在R1ABEF中，解直角三角形求得EF=25 ,再根据阴影部分面积 3 =SABCE+SABCO-S扇形Bco,列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接0C, :∠BAC=45°， .∠B0C=2∠BAC=90°， OC⊥BD, 'CE∥BD, 0C⊥CE,又0C是⊙0的半径， .CE是OO的切线； (2)解：连接AD,作BF⊥CE于点F, F D .BF⊥CE,OC⊥CE, 29/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OC∥BF, :CE∥BD, :.四边形OBFC是平行四边形， :BF⊥CE, 四边形OBFC是矩形， OB-OC=1BD=2, 2 .四边形OBFC是正方形， :CF=BF=2, :BD是OO的直径， .∠BAD=90°， :BD=4,AB=2, ·Cos∠ABD=AB1 BD2' .LABD=60°， :CE∥BD, ∠E=∠ABD=60°， 在Rt△BEF中，BF=2, ·EF= BF 23 tan60°- 3 1 1 SBCE=)×CE×BF= )25 2+ x2=6+2V5 2 3 3 :∠B0C=90°，0B=0C=2, 1 :.SABC0=×0C×0B=)×2×2=2,S扇形BC0= 90元×22 =π， 2 360 :阴影部分面积=SARCE+S△BCo-S第形Bco= 2+2-元=12+2V5-3r 6+2V3 3 3 3.(2026安徽阜阳一模)如图，在⊙0中，AB是直径，延长AB至点F,FC切O0于点C,且点C是 BE的中点，连接OC，E为AC上一点，连接AE,延长AE,FC交于点D. 30/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠D的度数： (2)若DE=1,OF=4,求00的半径 【答案】(1)90 (2)2 【分析】(1)如图，连接BE交OC于点M,根据FC切O0于点C,得出OC⊥DF,根据点C是BE的中 点，利用垂径定理得出OC⊥BE,则BE∥DF,根据AB是OO的直径，得出∠AEB=90°，即可得 ∠D=∠AEB=90°. (2)设半径为r,则OM=r-1,证明四边形DCME是矩形，得出CM=DE=1,垂径定理得出EM=BM, 结合A0=B0,得出OM是△ABE的中位线，即可得AE=20M=2r-2,则AD=2r-1.证明 F0CF40,有9%9，即可果解 【详解】(1)解：如图，分别连接EO、BE交OC于点M, :FC切⊙0于点C, .OC⊥DF, :点C是BE的中点， .CE CB, .OE=OB ∴.OC⊥BE, ∴.BE∥DF, :AB是OO的直径， .∠AEB=90°， ∠D=∠AEB=90°. D (2)解：设半径为r,则0M=r-1, :∠D=∠DEM=∠DCM=90°， 四边形DCME是矩形， .CM DE =1, 31/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :OC⊥BE, .EM =BM, EM=BM,AO=BO, OM是△ABE的中位线， AE=20M=2r-2, .AD AE +DE 2r-1. :∠AEB=∠0MB=90°， .OC∥AD, ·FOC FAD, OC OF AD AF 4 2r-7+4' 解得：r=2. 4.(2026湖北恩施一模)如图，O0是ABC的外接圆，BC是⊙0的直径，BD平分∠ABC交O0于点 D,交AC于点G,连接AD,过点D作DP∥AC交BC的延长线于点P. (I)求证：DP是O0的切线； (2)若00的半径为5，AB=6,求GD的长. 【答案】①)见解析： (2)5. 【分析】(1)连接0D,OD与AC交于点H,利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到 OD⊥AC,利用平行线的性质得到OD⊥DP,再利用圆的切线的判定定理解答即可； 2)利用垂径定理得到AH=CH=4C=4,利用三角形的中位线定理得到OH=)AB=3,0H∥AB,利 用相似三角形的判定与性质求得GH,再利用勾股定理解答即可得出结论， 【详解】(1)证明：如图，连接OD,交AC于点H, 32/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B :BC是直径， :∠BAC=90° BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠CBD, :∠D0C=2∠CBD, :ZABC ZDOC, :AB∥OD .∠0HC=∠BAC=90 DP∥AC, .∠0DP=∠0HC=90°， OD⊥DP. :0D为00的半径， DP是⊙O的切线： (2)解：：00的半径为5， BC=10,0D=5. :BC是⊙0的直径， ∠BAC=90°， AC=VBC2-AB2=V102-62=8. 由(1)知：OD⊥AC, Ah=CH=方4C=4, 0H=号AB=3, DH=0D-0H=5-3=2. 由(1)知OD∥AB, △DHG∽△BAG, HG DH2_1 AG AB 63' 33/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 GH-AG. AG+GH=AH=4, .GH=1. DG=DH2+GH2=22+1=5. 5.(2026江西萍乡一模)如图，AB为O0的直径，C为⊙0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延 长线上，且满足∠BCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交OO于点F. D B (I)求证：CE为o0的切线； (2)求证：BC2=AB.DF; (3)若AB=10,cos∠DAC=4, 求AF的长 【答案】（①）证明见解析 (②)证明见解析 (3)2.8 【分析】(1)连接0C,根据切线的判定证明即可； (2)连接OC,CF,证明△DAC∽△CAB,△DFC∽aCAB，证明即可； 可知LDAC=∠EAC,得到cos∠BAC=cos∠BAC=(,利用勾股定理和C2 可； 【详解】(1)证明：连接0C,则0A=OC, D .∠BAC=∠ACO, B :AB为O0的直径， .∠ACB=90°即∠AC0+∠0CB=90°， 34/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAC+∠0CB=90° 又：∠BCE=LBAC .LBCE+L0CB=90° .0C⊥CE ∴CE为OO的切线： (2)证明：连接CF,则0C=0A, D F ∴.∠BAC=∠OCA, E B :CD与⊙O相切于点C, :CD LOC, :AD⊥CD, ∴.AD‖OC,∠D=90 :∠DAC=∠0CA,∠ACB=∠D=90 .∠DAC=LEAC, DAC∽CAB, DC AC DA CB AB AC DC CB AC AB :四边形ABCF是⊙O的内接四边形， ·∠ABC+∠AFC=1809 :∠CFD+∠AFC=180°， .∠CFD=∠ABC, :∠ACB=∠D .△DFC∽△CAB, DC_DF AC CB CB DF AB CB .BC2=AB·DF; 35/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：(3)由(2)可知LDAC=∠EAC, .cos∠BAC=coS∠BAC=4 5 :AB为OO的直径：∠ACB=90 AC=AB·c0s∠BAC=8 :BC=AB2-AC2=6 .BC2=AB.DF .DF=3.6 ÷AC、DA ·ABAC .DA=6.4 AF=AD-DF=6.4-3.6=2.8: 6.(2026江苏徐州一模)如图，ABC内接于O0,AB是直径，切线PC切O0于C,交BA的延长线于 点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F; (1)求证：AF是O0的切线： (2)若AC=8,∠B=30°，求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析 2)325-32m 3 【分析】(1)连接0C,先根据切线的性质得到∠FC0=90°，再证明△C0F≌△∠A0F，,可得 ∠FA0=∠FC0=90°，即可根据切线的判定证明结论； (2)先求出LA0C=60°，0A=8,PC=8V3,再根据SPc0-Soac计算，即可得到答案. 【详解】(1)证明：连接0C, :PC与o0相切于C, ∴.∠FC0=90°， .OF∥BC, .∠B=∠AOF,∠OCB=∠COF, 36/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0B=0C, ∠B=∠OCB, ∠COF=∠AOF, .OC=0A,OF=OF, ∴.△COF≌△∠AOF(SAS), ∠FA0=∠FC0=90°， AF是OO的切线； (2)解：由(1)知，∠C0F=∠A0F=∠B, :∠B=30°， :LA0C=∠C0F+LA0F=2∠B=60°， :AB是直径， .∠ACB=90°， .AB=2AC=16, 0C=0A=8, 在Rt△PC0中，PC=OC,tan∠AOC=8xtan60°=85， 阴影部分的面积=5w一5ac-×8x8V5-608=325-3 360 3 7.(2026湖南张家界一模)如图，AB是⊙0的直径，AC,BC是O0的弦，过圆心O作BC的平行线 OD与过点C的切线交于点D,与AC交于点E (1)求证：AD是O0的切线： (2)如果∠B=2LCD0,OD=3,求CD的长； (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 37/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q36 2 ③)95-3r 8 【分析】(1)连接OC,可证得△C0D≌△A0D,从而LDAO=∠DC0,进一步得出结果； (2)可推出∠CD0-2,结合∠CD0+∠2=90：得出∠CD0=30,进而得出结果： 3》可结合)(2待∠3=∠2=2∠0C0=60,04=0c=0D多40=C0-3 ,从而求得 2 △AOD和扇形AOF的面积，进而得出结果. 【详解】(1)证明：如图，连接0C 0B=0C, 图1 ∠B=∠1， :BC∥OD, ∠B=∠3，∠1=∠2， ∠2=L3, :0C=0A,0D=0D, ·aCOD≌△10D(SAS), ∠DA0=∠DC0, :CD是⊙O的切线， .∠DC0=90°， ∠DA0=90°， OA⊥AD, “点A在⊙0上， AD是O0的切线： (2)解：如图1， 由(1)知：∠B=∠1=∠2， ∠B=2∠CD0, 38/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2cD02 :∠CD0+∠2=90° .∠CD0=30°， :∠DC0=90°， CD=0Dc0s∠CD0=3-cos30°=3V5 (3)解：如图1，设0D交⊙0于F, 由D2知，∠B=22LDC0=60,01=0C号0D=4D=C0X 5m04A0=x3x35-95 60°π× 3)2 22 28 2 3 S扇形AOF= -π 3609 9N5-3π .S阴影=SA0D-S扇形Aor= 8 8.(25-26九年级上江苏无锡期末)如图，PA是⊙0的切线，点A为切点.点B为⊙0上一点，射线PB ,AO交于点C,连接AB,点D在AB上，过点D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E. AD=BE,BD=AF. (1)求证：PB是O0的切线； ②若=2，mC=号，求00的半径 【答案】()证明见解析 ②36 5 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解直 角三角形 (1)通过证明三角形全等(HL)得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直， 从而判定直线为圆的切线； (2)利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性 质列出方程，求解圆的半径 39/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图，连接OB, P:DF⊥AB,DE⊥BP, ∠ADF=∠DEB=90°， 在Rt△BDE与Rt△AFD中， AD=BE BD=AF' Rt△BDE≌RtAAFD(HL), .∠DBE=∠FAD, PA是O0的切线，点A为切点， ∠CAP=90°， .∠CAB+∠PAB=90°， :0A=0B, LOAB=∠OBA, ∠OBA+∠ABE=90°， ∠0BE=90°， OB是⊙0的半径， PB是OO的切线。 (2)解：：∠CAP=90°，AP=2,sin∠C= AP 2 PC=3, AC=PC2-AP2=5, :∠CB0=∠CAP=90°，∠C=∠C, .△CBOm△CAP, OB OC AP PC B5-0B .2 3 40/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0B=2S U 即00的半径为25 9. (2026广西南宁，一模)如图，AB是⊙0的直径，点C在BA的延长线上，点D在OO上，连接CD, BD,AD,已知∠CDA=∠CBD. E D B (1)求证：CD是O0的切线： (2)过点B作OO的切线BE,BE与CD的延长线交于点E,若AC=1,CD=2,求BE的长， 【答案】（①）见解析 (2)BE=3 【分析】(1)根据直径所对的圆周角为90°，易证LAD0+∠BD0=90°，再证LCDA=LBD0,从而可证 OD⊥CE,最后根据切线的判定，即可求证： (2)先利用“AA”说明△CAD∽△ADB,从而可求CB=4,再根据切线的性质和切线长定理，可得 ∠CBE=90°，BE=DE,设BE=x,最后利用勾股定理，即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, AB是OO的直径， :∠ADB=90°，即∠AD0+∠BD0=90°， OD=OB ·LBDO=LCBD, :∠CDA=∠CBD, :.∠CDA=∠BDO, ·∠AD0+∠CDA=90°，即OD⊥CE, :0D是00的半径， 41/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD是OO的切线： (2)解：：∠CDA=∠CBD,∠C=∠C, ·△CADn△ADB, CA CD CD CB :AC=1,CD=2, 12 2CB·则CB=4, :BE是OO的切线，CD是OO的切线，BE与CD的延长线交于点E, ·LCBE=90°，BE=DE, 设BE=x,则DE=x,CE=x+2, 在Rt△CBE中，CE2=CB2+BE2, :(x+2)2=x2+42,解得x=3, BE=3. 10.(25-26九年级上广西南宁.期中)如图，AB是⊙0的直径，射线BC交00于点D,E是劣弧AD上 且AE=DE,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G· F G (1)证明：GF是O0的切线； (2)若AG=2,GE=4,求⊙0半径r. 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题 意灵活应用是解题关键， (1)连接OE,先证明∠ABE=∠CBE,再证明∠OEB=∠FBE,BF∥OE,进而证明OE⊥GE,即可证 明GF是⊙O的切线： (2)设⊙0的半径为，根据勾股定理得到r2+42=(2+r),解方程即可得到⊙O的半径为3. 【详解】(1)证明：如图，连接OE, 42/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D AE=DE, :∠ABE=LCBE, 0E=0B, ∴.∠OBE=LOEB, .∠OEB=∠FBE, BF∥OE, :EF⊥BC, ∠BFE=90°， ∴.∠BFE=∠0EG=90°， .OE⊥GE, :GF是O0的切线： (2)解：设⊙0的半径为r,AG=2,GE=4, :在Rt△G0E中，OE2+GE2=OG2, 2+42=(2+r）2, 解得r=3, 即00的半径为3. 11.(2026湖南益阳二模)如图，AB是⊙0的直径，C,D是00上的两点，连接AC,AD,且AC平分 ∠DAB,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E, B (1)证明：EC是⊙0的切线； (2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F,且∠DAB=70°，求∠BFC的度数. 43/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）见解析 (2)110° 【分析】(1)连接0C,根据角平分线的定义和等边对等角证明∠DAC=∠0CA,则AE∥OC,再证明 OC⊥EF,据此可证明结论： (2)根据平行线的性质得到∠BOC的度数，再由切线的性质得到∠OCF,∠OBF的度数，再根据四边形 的内角和为360度可得到答案 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, :AC平分∠DAB, .LDAC=∠BAC: :0A=0C, ∴∠0AC=∠0CA, ∠DAC=∠OCA, AE∥OC, :AE⊥EF, OC⊥EF, :0C是⊙0的半径， :EF是OO的切线； (2)解：由(1)得AE∥OC，EF是⊙0的切线 ∠DAB=70°， ∠BOC=∠DAB=70°， 由切线的性质可得∠OCF=∠OBF=90°， .∠BFC=360°-∠B0C-∠0CF-∠0BF=110° 12.(2026江苏南通一模)如图，点A,B,C在O0上，⊙0的半径为4，LBAC=30°，以AB,BC为 边作ABCD. 44/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0. C 图1 图2 (1)如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数； (2)如图2，当CD与O0相切时，求口ABCD与⊙0重叠部分（阴影部分）的面积. 【答案】(1)60° o 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余求得∠ABC，然后根据平行四边形 的对角相等即可解答； (2)连接OA、OC,OC交AB于点E,根据切线的性质定理和平行四边形的性质可得OC⊥AB,从而根 据垂径定理和圆周角定理可推出LAOC=60°，△OAE≌△CBE，进而推出阴影部分的面积等于扇形OAC的 面积，即可根据扇形面积公式求解。 【详解】(1)解：：AB经过圆心O,即AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， .∠BAC=30°， .∠ABC=90°-∠BAC=60°， :四边形ABCD是平行四边形， ∠D=∠ABC=60°： (2)解：如图2，连接OA、0C,0C交AB于点E, 0. 图2 :CD与O0相切， ∴.OC⊥CD, :四边形ABCD是平行四边形， .ABI CD,AD BC .OC⊥AB,∠OAE=∠CBE, 45/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE BE,AC=BC, ∠ABC=∠BAC=30°， ∠A0C=2∠ABC=60°， 在△OAE和△CBE中， ∠OAE=∠CBE AE=BE ∠AEO=∠BEC △OAE≌△CBE(ASA, .S.OAE=S.CBE :.阴影部分的面积等于扇形OAC的面积， :00的半径为4，∠A0C=60°， “扇形0AC的面积= 60元×428元 360 360 3 即阴影部分的面积为 3 13.(2026安徽合肥一模)如图，AB为⊙0的直径，过点A作⊙0的切线AM,点C是半圆AB上一点（不 与点A,B重合)，连接AC,过点C作CD⊥AB于点E,连接BD并延长交AM于点F. D M (I)求证：∠CAB=∠AFB. (2)若O0的半径为5，AC=8，,弦BD,BD组成的弓形阴影部分面积记为S,剩余阴影部分面积记为S, 求S2-S的值. 【答案】(1)见解析 回92空” 【分析】(1)由切线的性质可得AB⊥AM,结合题意可得CD∥AM,由平行线的性质可得∠BDC=∠AFB 46/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,再结合圆周角定理即可得证； (2)连接AD,根据勾股定理得到BD=6,根据圆周角定理及切线的性质证明△ABD∽△FAD,得到 8,求出DF= 8 DF 6 ，根据制补法计算甲可。 【详解】(1)证明：：AM是OO的切线，点A是切点， ∴.AB⊥AM, :CD⊥AB, CD∥AM, ∠BDC=∠AFB, :∠CAB=∠BDC, .LCAB=∠AFB; (2)解：连接AD, M :AB=10,AD=AC=8, :BD=AB2-AD2=6 :AB为⊙O的直径， ∠ADB=∠ADF=90°， .∠DAF+LDFA=90° 过点A作⊙O的切线AM, ∴.∠DAF+∠DAB=90° ∴∠DFA=∠DAB, .△ABD∽AFAD AD DF BD AD 47/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得DF=32 记弦AD，AD组成的弓形面积为S 则S2-S,=SA4Dr-S,-S =S。ADF-(S3+S) =SADF-(S车n-S.ADB) =SAADE+S△ADB-S羊圆 132 1 =X 23 8+号x6x8-1 x52 2 20025π 32 14.(2026山东临沂模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,点O在ABC的边AC上，以OC为半径 的O0与AB相交于点D,与BC相交于点E,EF为O0的直径，FD与AC相交于点G,∠F=45°. (I)求证：AB是O0的切线； (2)若AB=8,⊙0的半径为3，求FG的长. 【答案】()见解析 ②FG的长是9√ 7 【分析】(1)连接0D,由圆周角定理得∠D0E=2∠F=90°，由AB=AC得∠B=∠C,由0E=OC得 ∠OEC=∠C,，可得∠B=∠OEC,得AB∥EF,故可得AB是OO的切线： (2)分别求出OA=5,0F=0C=OD=3,DF=32,AD=4,由AD∥OF证明△AGD∽△0GF可得 DC=D-4即35-FG=4,从而可求出rG, FG OF 3' FG 3 【详解】(1)证明：连接0D, 48/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D LF=45°， B E .∠D0E=2∠F=90°， :AB=AC, :ZB ZC :0C=0E, .∠C=∠OEC, ∴.∠B=∠OEC, .ABOE, .∠ODA=∠DOE=90°， AB⊥OD于点D, :0D是00的半径， .AB是OO的切线； (2)解：AB=8, .AC=AB=8, ⊙0的半径为3， OA=5,0F=0C=0D=3, 由(1)知∠D0F=90°，∠AD0=90°， .DF=VOF2+0D2=√20F=3√2， AD=V0A2-0D2=V52-32=4, :AD∥OF, ∴△AGD∽△0GF, DG AD 4 FG OF3 即35-FG4 2=3 FG 49/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .FG=9 7 :FG的长是9 7 15.(2026安微二模)如图，AB是O0的直径，C为O0上一点，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的 延长线于点E,交AC于点F,CG是OO的切线交DE于点G. B (I)求证：CG=FG; (2)若AB=BE,CG=2,求AF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得LOCA=∠A,进而由余角性质得LGCF=∠AFD，即得 LGCF=∠CFG,即可求证： (2)利用余角性质得∠ECG=∠E,即得GE=CG=FG=2,得到EF=4,再证明△ABC≌△EBD(AAS), 得到BC=BD,即得AD=EC,最后证明△ADF≌△ECF(AAS)即可求解： 本题考查了等腰三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理等，熟练掌握知识点是解题的关键 【详解】(1)证明：如图，连接0C, B .0C=0A, .∠OCA=LA, :DE⊥AB, .LA+∠AFD=90°， :CG是⊙0的切线， .∠0CG=90°， 50/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0CA+∠GCF=90°， .ZGCF ZAFD 又：∠AFD=∠CFG, ∴.∠GCF=∠CFG, ..CG=FG: (2)解：由(1)知，∠GCF=LCFG,CG=FG, :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， ∠ECF=90°， :∠CFG+∠E=∠GCF+∠ECG=90°， :ZECG=ZE, ∴GE=CG=FG=2, EF=4, 「∠ACB=∠BDE=90° ∠B=∠B AB=EB :.△ABC≌△EBD(AAS), :BC=BD, .AD=EC, 又：∠ADF=∠ECF=90°，∠AFD=∠EFC, ·△ADF≌△ECF(AAS), 六AF=EF=4. 16.(2026安徽六安一模)如图，四边形ABCD内接于O0,AB为O0的直径，∠ABC=2LACD,过点 D作OO的切线，交BC的延长线于点E. (I)求证：AD=CD; 51/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若BC:DE=5:6,求tanZDCE的值. 【答案】(1)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识点， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， (1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合三角形内角和定理得出 LABC=LDAC+LDCA,结合题意可得LACD=∠CAD,即可得证； (2)连接OD交AC于点F,证明四边形DFCE是矩形，得出DE=CF,由垂径定理可得AF=CF,设 BC=10a,则DE=12a,AF=CF=DE=12a,AC=24a,证明0F为△ACB的中位线，得出 0F=BC=5a,由勾股定理可得AB=26a,从而可得0D=AB=13a,即可得出结果. 2 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是圆内接四边形， ∠ABC+LADC=180°， :∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， .∠ABC=∠DAC+∠DCA, '∠ABC=2∠ACD, .2∠ACD=∠CAD+∠ACD, .∠ACD=∠CAD, :AD=CD; (2)解：如图：连接0D交AC于点F, D AD=CD, :AD CD, .0D⊥AC, DE是OO的切线， OD⊥DE, :AB为O0的直径， 52/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACB=90°， ·四边形DFCE是矩形， :DE=CF, OD L AC, AF =CF, 由BC:DE=5:6,可设BC=10a,则DE=12a, .AF CF DE =12a, .AC 24a, :0A=0B, :OF为△ACB的中位线， :0F=BC=5a, 2 AB=AC2+BC2=26a, 0D=}AB=13a, 2 .CE DF=OD-OF=8a, ∴.tan∠DCE= DE 12a 3 CE8a2 17.(2026福建漳州一模)如图，aACD内接于O0,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得 ∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. (I)求证：DF是O0的切线； (2若CD=8CG,BE=3CE=3. 3 ①求DE的长； ②求00的半径. 【答案】()见解析 e0e45 【分析】(1)连接0D,证明∠0DF=90°，即可得出DF是O0的切线： 53/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①连接BD,证明BCE∽DBE,得出DE的长； ②通过勾股定理得出BG的长，再利用△ADG∽aCBG,得出AG的长，从而得出直径AB的长度，由此得出 00的半径 【详解】(1)证明：连接0D, B :∠ADF=∠ACD,∠AOD=2LACD, 2∠ADF=∠AOD, 设∠ADF=x,则∠AOD=2x, 0A=0D, ∠04D=∠0DA=180°-2x=90°-x. 2 ∴.∠0DF=∠0DA+∠ADF=90°-x+x=90°， :0D是圆的半径， .DF是OO的切线： (2)解：①连接BD, BE=3CE =3, .CE=1, :BE是切线， ∠ABE=90°=∠CBE+∠ABC, :∠ABC+∠BAC=90°，∠BAC=∠BDC, .∠CBE=∠BDC, ∠E=∠E, .BCE∽DBE, :配 BE CE 31 ÷DE-3 DE=9; 54/60 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②：DE=9, CD=DE-CE=8, CD-SCG. 3 .CG=3,DG=5, ..GE=CG+CE=4, 在Rt△BGE中，BG=VGE2-BE2=V42-32=V万， :∠BCG=∠DAG,∠BGC=∠DGA, .△4DGCBG, AG DG CG BG AG 5 3万 0气6. AB=4G+BG=15万+7=22V万， 7 7 00的￥径为号万 18. (2026湖北模拟预测)如图，AB为O0的直径，AC是⊙0的弦，过点C作O0的切线，OD⊥AB与 过点C的切线交于点D,与AC交于点E,AB的延长线与切线DC交于点F. Q E D (I)求证：DE=DC; (2)若点E为OD的中点，⊙0的半径为1，求BC,BF,CF围成的阴影部分的面积. 【答案】（①）见解析 ②31 26π 【分析】(1)利用切线的性质及垂直的定义，证明LCED=LDCE即可； (2)先证△CDE为等边三角形，得到∠F=30°，∠COF=60°，再利用三角形面积公式及扇形面积公式，结 合S阴影=S,ocr-S扇形o8c即可求解. 55/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：连接0C, OC⊥CD,则∠DCE+∠0CA=90°， B D :OD⊥AB, :∠0AE+LAE0=90°， 又0A=0C, .∠0AE=∠0CA, ∠DCE=∠AEO, 又∠CED=∠AEO, .∠CED=∠DCE, :DE =DC (2)解：：点E为0D的中点，0C⊥CD, :.CE=1OD=DE, 又：DE=DC, :a△CDE为等边三角形， .∠D=60°， 又OD⊥AB, :∠F=90°-60°=30°， ∠C0F=90°-30°=60°， ∴CF=tan∠COF.OC=tan60°=√3， S.ocr=CF.OC= 2 2 60 S扇形08c=360 2= =一元， 6 51 ∴.S阴影=S.oCr-S扇形oBc= 26 19.(2026山东临沂模拟预测)如图，ABC的外接圆为圆O,圆心O恰好为三角形一边AB的中点，点 D为圆上一点，且CD=BD,过点D作直线DE使∠CBD=∠BDE, 56/60 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)证明：DE为圆O切线 (②当圆O的半径为3，sim∠CBD=时，求BE的长. 【答案】（①）见解析 ag 【分析】(1)连接OD、OC,根据圆心角，弦，弧的关系可得∠COD=∠BOD,进而证明aCON≌aB0N ,从而得到∠ONC=∠ONB=90°；再根据平行的性质得到OD⊥DE,结合OD为半径，从而证明结论： (2)连接AD,根据等弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，结合锐角三角函数，求出BD的 值；再由(1)问中的条件证明△ONB∞aODE,利用相似比求出OE的长，最后根据BE=OE-OB即可求解. 【详解】(1)证明：连接OD、OC,设OD与BC交于点N, CD=BD, ∠COD=∠BOD, .OC=OB,ON=ON, .aCON≌△BON SAS, ∠0NC=∠0NB=90°， ∠CBD=∠BDE, BCI‖DE, .∠0DE=∠0NB=90°， OD⊥DE, :0D为半径， 57/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE为圆O的切线； (2)解：连接AD, CD=BD, ∠DAB=∠CBD, ÷sin∠C8D=sin∠DAB= ' :AB为直径， ∠ADB=90°，AB=2×3=6, 在RtABD中，sin∠BAD=BD=1 AB3' 9D-48-写6=2 由(1)知，OD⊥DE, 在RtABD中，sin∠CBD=DN=1 BD 3' DN-1BD-1x2-2 1 3 3 .ON OD-DN =3- 27 33 由(1)知，BC DE, △ONBm△ODE, ON OB ·Op0E 7 即：3=3， 3 OE 解得0E=27 :.BE=OE-OB= 1 【点晴】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，切线的判定，直径所对的圆周角是90度，同弧所对的圆周角 相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键， 58/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.(2026北京顺义一模)如图，AB是O0的直径，点C,D在O0上，BC=CD,连接AC,AD,BC, 过点B作OO的切线BE交AD的延长线于点E. B (I)求证：∠CBE=∠CAE; 2)延长BC交AE于点R,若DF=2,an∠CAE=,求EF的长 【答案】(1)见解析 ®9 【分析】()根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论： (2)连接BD,根据圆周角定理，得到∠ADB=90°，∠DBF=∠CAE,解直角三角形BDF,求出BD,BF的 长，进而求出BC,CF的长，解直角三角形ABC求出AB的长，求出AD的长，解直角三角形ABE,求出AE 的长，线段的和差关系求出EF的长即可 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线， ∠ACB=90°，∠ABE=90°， ∴.∠BAC=LCBE=90°-LABC, BC=CD, LBAC=∠CAE, .∠CBE=LCAE; (2)解：连接BD,则∠DBF=∠CAE, 片tan∠DBF=tan∠CAE=2' 1 :AB为直径， ∠ADB=90°， .∠BDF=180°-∠ADB=90°， tan 2DBF=DF、1 BD-2 .BD 2DF=4, 59/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF=BD2+DF2=25, :∠ACB=∠ACF=90°，∠BAC=∠CAE, ∠ABC=LAFC，tan∠BAC=tan∠CAE= 3 :AB AF, :.BC=CF=IBF-5, 在R△ABC中，am∠BAC=BC=, AC21 .AC=2BC=25, AF AB=AC2+BC2=5, .AD=AF-DF=3, :∠BDA=∠ABE=90°， ÷C0s∠BAD=AB=AD3 AE AB5 3B25 .EF=AE-AF= 3 5s10 25 1 B 60/60null