题号猜押04 湖北武汉中考数学第16题（填空题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 湖北武汉中考数学第16题（填空题） 考点1 二次函数多结论问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）抛物线（a，b，c为常数）经过，，三点，与y轴的交点在负半轴．得到以下结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为t，若，则；④当，关于x的方程必有2个不相等的实数根．其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性，一元二次方程根的判别式等解答即可. 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）经过，，三点，与y轴的交点在负半轴． ∴，，，， ∴，， ∴是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 故①②正确； ∵， ∴直线过定点， ∵抛物线与直线的一个交点的横坐标为t， ∴1，是方程的两个根， ∴1，是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴方程变形为即， ∴ ， 当时，，此时方程没有实数根， 故④错误； 综上所述，正确的序号为：①②③． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间(不包括这两点)，对称轴为直线．判断下列结论是否正确：①；②；③；④关于的方程一定有两个不相等的实数根．正确结论：______． 【答案】①②③ 【分析】先求出与x轴的另一个交点，再用交点式写出解析式，得到，根据“与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）”得出a的取值范围，从而确定③正确，用a表示出可知，从而确定①正确；用a表示，再根据二次函数的增减性得出，从而确定②正确；将代入方程，用配方法得，再确定的取值范围的，的值可为正数、负数或零，从而确定④错误． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴与x轴的另一个交点为点， ∴二次函数解析式为：，即， ∴ ∵与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴， 解得：，故③正确； ∴，，即①正确； ∵， 又∵，， ∴随着的增大而增大， ∴， 即， ∴，即②正确； 方程，可化为， 配方得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值可为正数、负数或零， ∴不一定有两个不相等的实数根．即④错误； 正确的是①②③． 4．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，与其对应的函数值，有下列结论： … 0 1 2 … … … ①函数图象的顶点在第四象限内；②和是关于的方程的两个根；③若点，点在二次函数图象上，则；④；⑤方程有四个不相等的实数根，则，其中，正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【分析】根据表格信息，推导出，对称轴为直线，根据题干描述，推导出， 结合二次函数的图象和性质，得出函数图象的顶点坐标情况，判断结论①；由函数对称的性质，判断出结论②和③；由，结合，判断结论④；由有四个不相等的实数根，得出，即，结合，判断结论⑤． 【详解】解：观察表格，当时，， 即可得出， 又∵和时，对应函数值相同， 即点与点关于函数对称轴对称， 可得函数对称轴为直线， 故， ∴， 原函数表达式可为， 当时，函数， 化简得， 解得，即， 故函数开口向上，对称轴为直线， ∴其顶点坐标纵坐标一定小于， 故函数图象的顶点在第四象限内，结论①正确； ∵函数对称轴为直线， 故横坐标为的点关于直线对称的点横坐标为， 故和是关于的方程的两个根，结论②正确； 对于点，点， ∵函数开口向上，对称轴为直线， 明显点到对称轴的距离更远， 故，结论③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴，故结论④错误； 当时，函数， 若有四个不相等的实数根， 则有四个不相等的实数根， 则， ∴， 即， ∵， ∴无上限，故结论⑤错误； 综上，正确的结论是①②③． 5．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知二次函数（m为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点 ②若，则当时，y随x的增大而增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点 ④若，则关于x的方程有一个根大于且小于0； ⑤若，则关于x的不等式的解集是． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】 ①④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，逐一验证每个结论的正误即可． 【详解】解：对于①，当时，， 该函数图象经过点，故①正确； 对于②，当时，二次函数解析式为， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故②错误； 对于③，一元二次方程的判别式， 当时，，函数图象与轴有两个不同的公共点，当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故③错误； 对于④，解方程， 得，， ， ， 方程有一个根大于且小于，故④正确； 对于⑤，令，则，原不等式化为， 抛物线开口向下，方程的两根为，，且， 不等式的解集为 ， 又 ， 不等式的解集为 ，即， 解得，故⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 6．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列五个结论： ①该函数图象经过点；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若，则当时，y随x的增大而增大； ④若a为整数，且关于x的方程有两个整数解，则或2；⑤若关于x的方程有三个实数根，则．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】代入验证①，计算判别式判断②，求对称轴结合增减性判断③，求方程的根分析判断④，结合绝对值方程与抛物线交点情况分析判断⑤即可. 【详解】解：已知二次函数，，为常数， ①将代入函数解析式，得： ， 所以该函数图象经过点，故①正确； ②， 当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故②错误； ③因为， 故二次函数开口向上， 对称轴为直线， 当时，， 所以对称轴在轴的左侧， ∵二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧，随增大而增大， ∵在对称轴的右侧，因此当时，随增大而增大，故③正确； ④由①可知是方程的一个整数根，设另一根为，由根与系数的关系得： ， 因为为正整数，方程有两个整数解，所以为整数，即为整数， 所以正整数是的正约数，得或， 当时，，为整数，符合题意，当时，，为整数，符合题意，故④正确； ⑤方程等价于或， 因为抛物线开口向上，顶点的纵坐标为， 若方程有三个实数根，则与抛物线只有一个交点，即顶点纵坐标为， ∴， 整理得， 解得或，均满足，因此的值为或，故⑤错误； 综上，正确的有①③④ 7．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据与轴交点坐标及得出对称轴为直线，，，抛物线开口向下，即可判断，，可得出①②正确；利用平方差公式化简得出，可得③错误；根据对称轴得出有最大值，可判断④正确；把变形为，可得、是与的交点的横坐标，根据二次函数及一次函数的性质可得，得出⑤正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴， ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 考点2 函数新定义创新问题 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）对于实数，定义一种运算，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为时，自变量的值为或；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则或或．其中正确的结论是___________（填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】分情况求得关于的函数，再画出图象，再根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：对于函数， 当时，， 整理得，解得； 当时，， 整理得，解得或； 综上，， 函数的图象如下图， ①当时，，点在函数图象上，故①正确； ②由图象知，当函数值为时，自变量的值有三个， 当时，解得， 当时，解得或， ∴当函数值为时，自变量的值有三个，分别为或或，故②错误； ③由图象知，当时，函数有最小值为的最小值， 最小值为，故③正确； ④观察图象，直线与函数图象有唯一的公共点的情况存在很多种，比如当，时，故④错误； ⑤对于直线，当时，， 则直线一定过点，且点在函数的图象上， 若直线与函数图象有三个公共点，则它与有一个公共点，与有两个公共点， 结合函数图象，当直线经过点时，恰好有两个公共点， 此时， 解得， 此后直线绕点逆时针旋转，开始有三个公共点， 当直线与直线平行时，直线与函数图象只有两个公共点， 此时， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线与有一个公共点时，直线与函数图象只有两个公共点， 此时联立，整理得， 令，得， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线经过点时， 直线与函数图象只有两个公共点， 此时，解得， 则当时有三个公共点， 此后直线绕点继续逆时针旋转直至又过点时，都少于三个公共点， ∴在或或时，直线与函数图象有三个公共点，故⑤正确； 综上，正确的结论有①③⑤． 1．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 【答案】4个 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ①∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而减小，且， ∴，故①正确． ②∵，，， ∴，故②正确． ③∵当时，函数取得最大值， ∴， ∴，即，故③正确． ④∵当时，，且，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：． 2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 3．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线开口，对称轴判断的符号即可判断①，将代入解析式，结合函数图象即可判断②，根据抛物线与有交点判断③，将代入得出，进而判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可知， 因为抛物线对称轴是直线， 所以，即， 抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以，故，①正确； 因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为， 所以与x轴的一个交点坐标为，代入得， ，②正确； 由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确； 把代入得，，则，④正确； 当时，说明点离对称轴远， 因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 所以，⑤错误； 综上可知，正确的有①②③④． 4．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线（，，是常数，且）过和两点，且，下列四个结论中：①；②；③若关于的方程有实数根，则；④若抛物线过点，则．其中正确的结论是____________． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，逐一判断各结论即可． 【详解】解： 抛物线过和两点，， 抛物线对称轴为直线， ， ，即对称轴， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点为和，在两根之间， 时，， ，故①错误． 将代入得：，即， 在两根之间，开口向下， 时，， 将代入得：， ，故②正确． 抛物线可写为交点式， 方程可化为， 方程有实数根， ， 整理得：，即， ， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，故③错误． 抛物线过，代入得：， 联立，两式相加得，即， 由根与系数的关系，两根之积， ， ， ， 整理得， ，解得且， ∴，故④正确． 故正确的结论是②④． 5．（25-26九年级下·山东滨州·期中）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 6．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知抛物线，当时，，且，下列四个结论： ①；②； ③若，则； ④若，则直线与抛物线无交点． 其中结论正确的是________．（填写序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据时x的取值范围判断抛物线开口方向判断①，利用根与系数的关系推导b的符号判断②，根据x的取值范围判断对应函数值大小判断③，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式判断④，即可得到结论． 【详解】解：∵当时，的取值范围是，， ∴，①正确； 方程的两根为，， ∴， 整理得， ∵，，即， ∴，②错误； ∵， ∴， 已知当时，，且仅在端点和处， ∴，③正确； 当时，，， 整理得， 直线与抛物线交点满足， 整理得：， ∴， ∵， ∴，， ∴，则方程无实根， ∴直线与抛物线无交点，④正确． 7．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得， 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 8．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵对称轴为直线， ，即， ∴，故结论②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即，故结论③正确； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴到对称轴的距离分别为， ∴，故结论④错误． ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数（a为常数，且）． 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若关于x的方程有一个根大于0且小于，则； ⑤若，则关于x的方程的负实数根只有一个． 其中一定正确的是__________．（填写正确序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，通过代入点验证、计算对称轴、判别式和分析根的情况进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：，则方程的另一个根为， ∵关于的方程有一个根大于0且小于1，即， ∴，故④正确； 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线在轴的左侧， 考虑方程 ，即：或， 对于 ，即 ， 设其根为 和 ，根据根与系数的关系：，， 由于 ， ，说明一个根为正，一个根为负， 因此，方程 有一个负根。 对于 ，即：， 解得或， 由于 ， ，因此， 是一个非负根， 是一个负根； 综合以上分析，方程 的负实数根有两个，故⑤错误， 故答案为：①②④． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， 抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②正确； ③ 设抛物线的交点式为，展开得， 当时，，即， ， ， 不等式三边同除以，不等号方向改变，得，故③正确； ④ 是时的函数值， ，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④正确； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 11．（25-26九年级下·江苏常州·月考）对于二次函数，有下列说法： ①它的图象与轴有两个公共点； ②当时，随的增大而减小，则； ③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则； ④当时函数值与时函数值相同，则当时的函数值为2023． 上述说法中，正确的序号是______．（填上所有你认为正确的序号） 【答案】①④/④① 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可判断①，利用二次函数的对称性可判断②④，根据二次函数的平移得出新的抛物线解析式，随即可判断③，问题随之得解． 【详解】解：①∵， ∴二次函数的图象与x轴有两个公共点，说法①正确； ②∵当时，y随x的增大而减小， ∴，说法②错误； ③∵的图象向右平移3个单位后过原点， 且， ∴平移后的解析为：，且时，， 即：， 解得，说法③错误； ④∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的图象的对称轴为直线． 则， 即，原函数可化为， 当时， ，说法④正确． 综上所述：正确的说法有①④． 12．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 【答案】①⑤ 【分析】根据二次函数的图象与性质，函数的平移，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，逐一判断，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上， 点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 将，代入得， ， 二次函数为，， 、关于对称轴直线对称， ， 当、、共线时，最短， 设直线的解析式为，将、代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线对称轴上的一点， 点的横坐标是， 当时，， ，故②错误； 当时，， 若，则，此时， 若，则，此时，故③错误； 直线沿轴向上平移个单位后得到， 联立， 整理得到， 抛物线与直线只有一个公共点， ， 解得，故④错误； 点为抛物线上的一点（不与重合），， 点在轴的下方，且点关于轴的对称点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得（舍去）或， 点的横坐标为，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 13．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 14．（2026·黑龙江大庆·一模）我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的分函数为． 若是二次函数关于的分函数（其中为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是，最小值是，则的最大值为． 描述中正确的是______________(填序号） 【答案】②③ 【分析】当时，分当时，当时两种情况讨论，可判断①；根据和关于对称，结合图象可判断②；由题意可知，在上，且此时；在上，且此时；列方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由题意得， 当时，抛物线的开口向上，，有最小值， 当时，抛物线的开口向下，，随着的增大而减小，有最大值，无最小值， 故①错误； 当时，函数的图象如图1： 由图象可知函数的图象关于点对称， ∵点与点关于点对称， 若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上， 故②正确； 当时，函数的图象如图2： 时，的最大值是，最小值是，求的最大值， 在上，且此时， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 在上，且此时， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 的最大值为， 故③正确； 故答案为：②③． 15．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点是， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 则当时，， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点是， ∴当时，函数有最大值为， ∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间， ∴方程的两个根在和之间， ∴．故④正确； 综上：正确的是①④． 16．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确结论是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且． ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴， ∴关于x的一元二次方程的两个根是函数与的交点的横坐标，如图所示： 由图象可得， ∴若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于x的不等式的解集为或不是，故⑤错误． 17．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）根据“级变点”的定义列出方程，整理得，即可解答； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据点Q在反比例函数图象上，代入后推出，再根据两点间距离公式和配方法解出最值即可． 【详解】解：（1）∵点的“级变点”的坐标为， ∴，， ∵为常数，且， ∴将两边乘以k，得， ∴， ∴； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 18．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点；④（为常数，），不管为何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限；⑤若一次函数（）是“不动点函数”，则，应满足，；⑥若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，则，满足的关系式为以上结论中，正确的是______（填写序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】结合新定义“不动点函数”、“不动点”，转化为函数解析式与的交点问题，解方程进而进行判断，即可求解． 【详解】解：①对于，令，得，整理得，方程无解，因此不是“不动点函数”，故①错误． ②对于，令，得，解得，因此不动点为，故②错误． ③对于，对任意实数，当时，，因此函数有无数个不动点，是“不动点函数”，故③正确． ④对于，令，整理得， 当时，，，不动点为，在第三象限； 当时，函数化为，有无数不动点，这些点不一定在第三象限，存在不动点如在第一象限，因此不是所有不动点都在第三象限，故④错误． ⑤对于一次函数，令，整理得，当时，方程总有解，此时为任意实数，函数都是“不动点函数”；当时，，函数都是“不动点函数”；故⑤错误． ⑥对于抛物线，配方得，因此顶点坐标为， 因为顶点是不动点，因此顶点纵坐标等于横坐标，即， 整理得，故⑥正确． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题号猜押04湖北武汉中考数学第16题（填空题） 押题预测 一考点1二次函数多结论问题 1.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且(a≠0)的 对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2<m<3.有下 列结论： ①abc<0; ②9a-3b+c>0: 国子< 9 27 8: ④关于x的一元二次方程ax2+(b-1x+c-2=0必有两个不相等实根； ⑤若点Ax,),B(x2,y2,C(x,y3)在抛物线y=ax2+bx+c上，且n<x<n+1<x2<n+2<x3<n+3,当 4<乃<片时，则n的取值范围为一<n<0其中正确的是 (只用填序号即可) 1 2. (25-26九年级下·湖北武汉·月考)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过(-1,0)，(1,1)，(m,0)三 点，与y轴的交点在负半轴.得到以下结论：①0<m<1；②b=0.5;③抛物线与直线y=x-k+1的一个 交点的横坐标为t,若t≤-2，则k<0;④当a≥2，关于x的方程2ax2+x+2c+5=0必有2个不相等的实 数根.其中正确的是·（填写序号） 3.(25-26九年级下.湖北武汉·阶段检测)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0 ,与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.判断下列结论是否正确：① Qbc<0②4ac-b<4a3®3<a< 3:①关于x的方程ar2+bx+c-2=0一定有两个不相等的实数根.正 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 确结论： 4.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函 数值y的部分对应值如表：且当x=-二时，与其对应的函数值y>0,有下列结论： -2 -1 0 y=ax2+bx+c m -2 -2 ①函数图象的顶点在第四象限内；②-2和3是关于的方程ax2+bx+c=t的两个根；③若点(-8，乃)，点 3:⑤方程ar+br+d=k有四个不相等的实数根，则 20 (8,y2)在二次函数图象上，则>y2;④0<m+n< 0<5膏其中，正确的结论是 5.(25-26九年级下.湖北武汉·月考)己知二次函数y=mx2-（m+1x+1(m为常数，且m≠0).下列五 个结论： ①该函数图象经过点(1,0) ②若m=1,则当x>0时，y随x的增大而增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点 ④若m<-1,则关于x的方程mx2-(m+1)x+1=0有一个根大于-1且小于0： ⑤若m<-1,则关于x的不等式mx-(m+1x+1≥0的解集是-1≤x≤1. 其中正确的是 (填写序号). 6.(25-26九年级下·湖北武汉·期中)已知二次函数y=ax2+(a-2)x+2-2a(a为常数，且a>0),下列 五个结论： ①该函数图象经过点1,0)；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若a>2,则当x>0时，y随x的 增大而增大； ④若a为整数，且关于x的方程ax2+(a-2)x+2-2a=0有两个整数解，则a=1或2；⑤若关于x的方程 ax2+(a-2)x+2-20=2(有三个实数根，则a=2.其中正确的是 ·(填序号) 7.(2026湖北武汉一模)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，其中c>0)与x轴交于(-1,0)和 (3,0)两点，下列五个结论： 2/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①ab<0; ②c=-3a; ③若ax2-bx1=ax-bx2且x≠x2,则x+2=2; ④对任意实数x,不等式ax2+bx+c≤-4a恒成立； ⑤若一元二次方程ax2+(b-1)x+c=0两根为m,n(m<n),则m<-1<n<3. 其中正确的是（填写序号）· 考点2函数新定义创新问题 8.(25-26九年级下·湖北武汉·月考)对于实数a,b,定义一种运算F(a,b),当a≤b,则F(a,b=a,当 a>b,则F(a,b)=b.对于函数y=Fx+1,x2-2x+1,下列结论：①点(3,4)在函数图象上；②当函数值 为0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x>-1时，函数有最小值为0；④若直线y=x+b与函数图象有 唯一的公共点，则k=b=子：⑤若直线=(-2+1与函数图象有三个公共点，则0<<1或1<2或 2<k<3.其中正确的结论是 (填序号)· 通关特训 1.(25-26九年级上吉林长春·月考)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.有下列四个结论： ①若-3，，)，(2，y2)分别是抛物线上的两个点，则y>y2:②abc>0:③a-b2xax+b):④3b+2c<0.其 中正确的个数是 2.(2026广东梅州模拟预测)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,1，(m,0),(3,0),给出下列四 个结论：①abc>0;②4ac-b2<4a;③5a+2b+c<0;④a+b+c>0.其中正确的结论是（填序号） 3/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA 3 3.（25-26九年级下·山东青岛开学考试)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个 交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0;②4a-2b+c=0;③方程 ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；④5a+2c>0;⑤若(x,y)和x2,2)是抛物线上两点，则当 :->x-1时，>y2其中正确的是 y:x=1 4 3 2 4.(2026山东青岛一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a<0)过(-1,0)和(m,0)两点， 且3<m<4,下列四个结论中：①abc>0;②3a+c>0;③若关于x的方程ax+1)x-m=4有实数根， 则如。公s4:④若揽物线过点L4,则-1<a<-子其中正碗的结论是 5.(25-26九年级下山东滨州期中)已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图像如图所示，有下列5个结 论：①abc<0;②9a+3b+c<0;③2c<3b;④a+b>mam+b)(m≠1)；⑤若方程ax2+bx+6=1有四个 根，则这四个根的和为2.其中正确结论的个数为一· y x=1 6.(25-26九年级下·福建泉州期中)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，当y≥1时，-1≤x≤m,且 0<m<1,下列四个结论： ①a<0;②b>0; 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③若0<n<1,则a(n-1)2+b(n-1)+c>1; ④若a=-1,则直线y=2与抛物线y=ax2+br+c无交点. 其中结论正确的是 ·(填写序号) 7.（2026江西新余一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，顶点坐标为(1，n);与x轴的交 点为A(-1,0)和点B;与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）·①b2-4aC>0;②3a+c<0;③点 (-2,,（25都在抛物线上，则>%>为：国方程ar+br+e-m-1=0无实振：⑤≤m≤4.共 2 中正确结论是 8.(2026四川内江一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴 直线x2,下列结论：①abc<0;②4a+b=0;③9a+c<3b；④若点-3，、点B)日 2在该函数图象上，则<乃<：⑤4a+2b≤mam+b);其中结论正确的是 C (填写序号) 9.(25-26九年级上湖北武汉·期中)已知二次函数y=ax2+(3a-1)x-3(a为常数，且a≠0). 下列五个结论： ①该函数图象经过点(-3,0)： ②若a=1,则当x<-2时，y随x增大而减小： ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点： ④若关于x的方程ax2+(3a-1)x-3=0有一个根大于0且小于？，则a>2: 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ⑤若a>2,则关于x的方程ax2+(3a-1)x-3=3的负实数根只有一个. 其中一定正确的是 (填写正确序号). 10.（2026新疆乌鲁木齐.一模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,C为常数，a≠0)图像的顶点坐标 是(-1，n,且经过1,0，（0，m)两点，3<m<4.有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根； ②当x>-1时，y的值随x值的塔大而减小，®- 3<a<-l ④4a-2b+c>0;⑤对于任意实数t,总有t+1(at-a+b)≤0. 其中所有正确结论的序号是· 11.(25-26九年级下·江苏常州月考)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点： ②当x≤2时，y随x的增大而减小，则m=2; ③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m=1: ④当x=1时函数值与x=2024时函数值相同，则当x=2026时的函数值为2023. 上述说法中，正确的序号是 ·(填上所有你认为正确的序号) 12.（2026山东青岛一模)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标轴上B、C两点，且与x轴交 于A(-1,0),点C向右平移2个单位得到点D,点D也在抛物线上，下列结论正确的是 ①点B的坐标是(3,0： ②若点M是抛物线对称轴上的一点，当MA+MC最短时M的坐标为1,1)： ③若点(x,y,(x2,2在抛物线上，满足x+x2-2>0,则一定有片>2； ④连接BC,将直线BC沿y轴向上平移a个单位，当抛物线与直线BC只有一个公共点时，a=2: 9 ⑤若点P为抛物线上的一点(P不与C重合)，连接PB,当∠PB0=∠CB0时，点P的横坐标为-2. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.（2026辽宁沈阳一模)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为：x=-2,图象与x 轴的一个交点为1,0).将下列正确的结论填在横线上 (填序号) ①3h+c>0;②9= ②5=-：③方程ar+bx+c+4=0有两个不相等的实数解；④当am2+bm>a+b时，m的☐ 取值范围为m<-5或m>1. 14. (2026黑龙江大庆一模)我们称函数y= x≤m为函数y的m分函数（其中m为常数）·例如： -y(x>m) x+4x≤3) 对于关于的一次函数y=x+4的3分函数为y= -x-4(x>3) 若y是二次函数y=x2-2x-4关于x的m分函数（其中m为常数）·则下列结论中 ①当m≥1时，y的最小值为-5； ②当m=1时，若点P(a,b)(a≠0)在函数y的图象上，则点Q(2-a,-b)也在函数y的图象上： ③当m=-1时，若x≤x≤x,时，y的最大值是5，最小值是-1，则x2-x的最大值为√6+√10. 描述中正确的是 (填序号) 15.(2026山东青岛一模)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和 (-2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论： ①abc>0; ②3a+c>0; ③对于任意实数t,总有不等式at2+bt+c≤a+b+c; ④若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,2,则2<x1-x2<4. 其中正确的是 （只写序号). 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3F2-10 16.(2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点 -1,0,(x,0),且2<x<3.下列结论：①abc>0;②2a+c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n是关于 x的一元二次方程a(x+1)(x-x)+2c=0(a≠0)的两根，且m<n,则m<-1,n>2;⑤关于x的不等式 ar'+brx+cx>0(a≠0)的解集为0<x<.其中正确结论是 (填序号). VA 2/ 17.(2026江苏南通一模)定义：若实数，'满足=x+名)=+y(k为常数，且k0),则在 平面直角坐标系中称点(x',y)为点(x,)的“k级变点”.例如：(3,9)为(2,3)的3级变点”. (1)若点(x,y)的“k级变点”的坐标为(3,4)，则k的值为； (2)若点Q是点P的-3级变点”，且点0在函数y=-2(x<0)的图象上，则线段OP的最小值为 18.(2026九年级下·黑龙江大庆专题练习)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应 的函数值y。=m,那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点，例如：在函 数y=x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1，)为该函数图象上的一个不动点， 某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数y=+b(k≠0和二次函数y=ax2+bx+ca≠0)进行探究后，得 出下列结论：①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是 }0:®y=是“不动点函数”，且有无数个不动点：④y=I-x+21-4(为常数，11)，不管为 何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限；⑤若一次函数y=x+b(k≠0)是“不动点函数”， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则k,b应满足k=1,b=0;⑥若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，则b,C满 足的关系式为b=c-b2以上结论中，正确的是 (填写序号)· 9/9