第九章 解三角形单元复习（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

第九章 解三角形单元复习 教学目标 1．理解并掌握正弦定理、余弦定理的内容与变形，能熟练进行边角互化。 2．会用正、余弦定理解三角形，判断三角形解的个数，正确求角求边。 3．掌握三角形面积公式，能灵活选用公式计算面积与相关量。 4．能将实际测量问题转化为三角形模型，用正余弦定理解决应用问题。 教学重难点 重点：正弦定理与余弦定理的运用、三角形边角计算、面积公式。 难点：已知两边及一对角判断解的个数、实际问题建模与方位角处理。 知识点1：正弦定理 1．正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的________的比相等 （2）符号语言:在中, 2．正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是________的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①________，________，________; ②; ③________ 3．判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ________ ________ ________ 解的个数 一解 ________ 一解 一解 无解 【即学即练】 1．在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 2．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 知识点2：余弦定理 1．余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． （2）符号语言:在中,________________， ________ 2．余弦定理的推论 在中,________________________ 3．利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及________，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的________，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三________一________），利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练】 3．在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 4．在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 知识点3：三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）________________； （3）是内切圆的半径)． 【即学即练】 5．在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 知识点4：正余弦定理的应用 1．实际应用问题中的专用名词与术语 1．基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说,基线越长,测量的精确度越高． 2．仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． 3．方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． 4．方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°． 2．解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 【即学即练】 7．如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（   ）． A．50 B． C．100 D． 8．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为 （    ）.    A． B． C．10 D． 题型01余弦定理解三角形 例1．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．12 D．28 变式1-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 变式1-2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（    ） A． B． C．10 D．40 题型02正弦定理解三角形 例2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 变式2-1．在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 变式2-2．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 题型03判断三角形解的个数 例3．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-1．已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-3．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 题型04正弦、余弦定理综合解三角形 例4．已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 变式4-1．在中，三个内角的对边分别是，若，则__________，__________. 变式4-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______． 变式4-3．在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： (1)的值； (2)的值； (3)边上的高． 题型05三角形面积公式及应用 例5．已知的内角所对边分别为，若，，. (1)求边长的值； (2)求的面积. 变式5-1．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 变式5-2．记的内角A、B、C的对边为a，b，c，已知. (1)求; (2)若的面积为，，求. 变式5-3．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 题型06求三角形外接圆半径 例6．已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 变式6-1．在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 变式6-2．已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 变式6-3．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 题型07边角互化 例7．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式7-1．已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 变式7-3．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型08判断三角形形状 例8．在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 变式8-1．在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式8-2．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 变式8-3．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 题型09求三角形周长的最值（范围） 例9．在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 变式9-1．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 变式9-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 变式9-3．中，角所对的边分别为，若 (1)求的值； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 题型10求三角形面积的最值（范围） 例10．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 变式10-1．在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 变式10-2．已知的内角所对的边分别为，若，且，则边长的最小值为________. 变式10-3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 题型11三角形中线问题 例11．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 变式11-1．已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________． 变式11-2．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)证明：； (2)若，边上中点为D，求的值. 变式11-3．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 题型12三角形角分线的问题 例12．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，求的长． 变式12-1．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 变式12-2．已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 变式12-3．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 题型13多三角形或四边形问题 例13．如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 变式13-1．记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式13-2．在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式13-3．（多选）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 题型14距离、高度测量问题 例14．白塔和乌塔被称为“榕城双塔”．白塔位于山西麓的定光寺塔，因通体白色而得名，唐天祐元年（904年）由闽王王审知创建，明嘉靖间重建，为七层八角砖塔．为了测量白塔的高度，高一某研究性学习小组设计了测量方案．如图，白塔垂直于水平面，他们选择了与白塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则白塔的高度约为（   ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 变式14-1．在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（    ） A． B． C． D． 变式14-2．盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 变式14-3．某景区为打造风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，在湖面所在平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点50米的点处建一凉亭，距离点70米的点处再建一凉亭，测得. (1)求的值； (2)求凉亭与凉亭之间的距离； (3)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 题型15角度测量问题 例15．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°） 变式15-1．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 变式15-2．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 变式15-3．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 题型16解三角形与向量的结合 例16．在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰（非等边）三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式16-1．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式16-2．如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（   ） A． B． C． D． 变式16-3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则_____. 一、单选题 1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．印度数学家婆罗摩笈多对凸四边形进行研究时，总结出如下结论：“若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大”．在凸四边形中，若，，则四边形面积取得最大值时角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．在中，，的角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．鼎湖峰位于浙江省，为了测量山高，某学生在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了80米到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则鼎湖峰的山高为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 三、填空题 11．记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 12．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 13．已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 四、解答题 14．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求的周长； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形单元复习 教学目标 1．理解并掌握正弦定理、余弦定理的内容与变形，能熟练进行边角互化。 2．会用正、余弦定理解三角形，判断三角形解的个数，正确求角求边。 3．掌握三角形面积公式，能灵活选用公式计算面积与相关量。 4．能将实际测量问题转化为三角形模型，用正余弦定理解决应用问题。 教学重难点 重点：正弦定理与余弦定理的运用、三角形边角计算、面积公式。 难点：已知两边及一对角判断解的个数、实际问题建模与方位角处理。 知识点1：正弦定理 1．正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2．正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①，，; ②; ③ 3．判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【即学即练】 1．在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理， 所以， 又，所以 所以或． 2．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得，，所以. 知识点2：余弦定理 1．余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． （2）符号语言:在中,， 2．余弦定理的推论 在中, 3．利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三边一角），利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练】 3．在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】在，，，， 则， 所以. 4．在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由余弦定理得：，又因为， 所以. 知识点3：三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径)． 【即学即练】 5．在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以的面积. 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由，可得， 又，， 所以的面积为. 故选：B 知识点4：正余弦定理的应用 1．实际应用问题中的专用名词与术语 1．基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说,基线越长,测量的精确度越高． 2．仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． 3．方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． 4．方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°． 2．解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 【即学即练】 7．如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（   ）． A．50 B． C．100 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，又， 由正弦定理得，． 8．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为 （    ）.    A． B． C．10 D． 【答案】B 【详解】由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，又， 所以（海里）． 题型01余弦定理解三角形 例1．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．12 D．28 【答案】A 【详解】由余弦定理，， 所以. 变式1-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 将已知条件代入，得， 即，化简得， 整理得，因式分解得，所以或， 因为三角形边长为正数，所以. 故选项C正确. 变式1-2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，可设，， 因，则最大内角为C， 由余弦定理，． 变式1-3．在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（    ） A． B． C．10 D．40 【答案】A 【详解】由是方程的两个根，所以， 由余弦定理得：， 所以. 题型02正弦定理解三角形 例2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 变式2-1．在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得 . 变式2-2．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 故选：B 变式2-3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 【答案】4 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 题型03判断三角形解的个数 例3．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 变式3-1．已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，， 由有两解，得， 即，解得，故的取值范围为. 变式3-2．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【详解】由正弦定理，. 选项A.，所以，所以，有两解，不符. 选项B.，，所以，只有1个解，符合. 选项C.，，无解，不符. 选项D.，，可能的为和； 若，则，不能构成三角形，仅一个解，符合. 变式3-3．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有两解 【答案】BC 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 因为，可得，则三角形有一解，故A错误； 对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确； 对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误. 题型04正弦、余弦定理综合解三角形 例4．已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，，， 所以， 又，所以； （2）由（1）知， 利用正弦定理可得； （3）由（1）知，， 由，可得，可得为锐角， 故， 可得. 变式4-1．在中，三个内角的对边分别是，若，则__________，__________. 【答案】 【详解】在中， ， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理， 则， 又因为，，则， 所以. 故答案为：；. 变式4-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______． 【答案】 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 因为，所以，所以 解得， 由，可得， 在中，由正弦定理可得， 所以. 故答案为：. 变式4-3．在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： (1)的值； (2)的值； (3)边上的高． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，得，解得． （2）由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （3）由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 题型05三角形面积公式及应用 例5．已知的内角所对边分别为，若，，. (1)求边长的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理得，即， 又,联立解得 故； （2）由（1）知的面积为 变式5-1．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 变式5-2．记的内角A、B、C的对边为a，b，c，已知. (1)求; (2)若的面积为，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由整理可得， 即，解得或（舍） 利用正弦定理可得， 所以； （2）由（1）可知当时，可得； 所以的面积为， 解得. 变式5-3．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 解得（舍去）， 所以， ， 故选：D． 题型06求三角形外接圆半径 例6．已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 【答案】/ 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. 变式6-1．在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】已知，即，因为，所以, 即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：， 即，解得. ，即， 根据正弦定理，解得，即. 变式6-2．已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________. 【答案】 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理，得，所以外接圆的面积为. 变式6-3．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 【答案】5 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. 题型07边角互化 例7．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 变式7-1．已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得 ， ， ，即 ， ，， ，， ． 变式7-2．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 【答案】2 【详解】由得， 所以，所以，所以. 变式7-3．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 题型08判断三角形形状 例8．在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 变式8-1．在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由，得： ， 展开整理得： ， 由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角： ， 又，所以 ， 代入展开得： ， 整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 变式8-2．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 变式8-3．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 【答案】等腰三角形 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 题型09求三角形周长的最值（范围） 例9．在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 变式9-1．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即. 又，，，，即. 又，，. 由余弦定理得. ，，有，，. 中，且，，， . 因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值. ，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值. 故面积取最大值时，. 变式9-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 【答案】16 【详解】，可得，，即，． 令，易知，则， 因此可得，，，， ，， 由正弦定理可得，，又， 的面积，当且仅当，即时，等号成立，因此面积的最大值为16． 变式9-3．中，角所对的边分别为，若 (1)求的值； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)2. (2)证明见解析 (3)6． 【分析】 【详解】（1）由正弦定理得 因为，所以，故 即， 由于不能为0，故，所以的值为2. （2）由余弦定理得 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． （3）因为，所以， 又，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，所以面积的最大值为6． 题型10求三角形面积的最值（范围） 例10．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由，根据余弦定理， 得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 因为，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为2. 故周长的最大值为. 变式10-1．在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】由正弦定理可得：， ∴， ∵， ∴． 方法一： 由余弦定理得， 即． ∵（当且仅当时取等号）， ∴， 解得（当且仅当时取等号）， ∴周长， ∴周长的最大值为． 方法二： 由，则， 根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当时，等号成立． 此时周长的最大值为． 变式10-2．已知的内角所对的边分别为，若，且，则边长的最小值为________. 【答案】 【详解】由，及正弦定理，得， 所以， 由，得. 由余弦定理及，得， 由均值不等式，得(当且仅当，即为正三角形时取等号)， 所以 解得，即. 变式10-3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． （2）由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 题型11三角形中线问题 例11．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 变式11-1．已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________． 【答案】4 【详解】由余弦定理得， 故，解得，结合得， 中线满足向量关系：， 则， ， ，化简得①， ， 代入①可得，解得或（舍去）， ． 变式11-2．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)证明：； (2)若，边上中点为D，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理可知，， 即，则（舍）或， 又，所以，即； （2）由条件可知， ，且， 中，，即， 中，. 变式11-3．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故； （2）由（1）及已知有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 题型12三角形角分线的问题 例12．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为 由正弦定理有： 所以 又因为 所以 所以 又因为，即 所以 因为， 所以. （2）因为为的角平分线，，即 所以， ， ， 又 所以 解得：. 变式12-1．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【详解】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 变式12-2．已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 因为平分，所以， 设，则，， 因为，所以，解得，即. 变式12-3．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 题型13多三角形或四边形问题 例13．如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________． 【答案】 【详解】在中，，所以. 由正弦定理得，，所以. 在中，由余弦定理得， 又，所以. 所以. 变式13-1．记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设，则， 在 中，得， 在中，得， 因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 故选：C.    变式13-2．在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，所以， 又因为，所以，所以为等腰直角三角形， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，可得， 因为， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以. 变式13-3．（多选）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 【答案】ABD 【详解】对于A 项，在中，由余弦定理得, 即， 在中, 由余弦定理得, 即 所以, 则，故,则，故A正确； 对于B项，因为， ， 所以，故B正确； 对于C项，因为，所以，故C错误； 对于D项，四边形的周长为，故D正确. 题型14距离、高度测量问题 例14．白塔和乌塔被称为“榕城双塔”．白塔位于山西麓的定光寺塔，因通体白色而得名，唐天祐元年（904年）由闽王王审知创建，明嘉靖间重建，为七层八角砖塔．为了测量白塔的高度，高一某研究性学习小组设计了测量方案．如图，白塔垂直于水平面，他们选择了与白塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则白塔的高度约为（   ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 【答案】A 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得，解得， 所以白塔的高度约为45米. 变式14-1．在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，，，， 易知，所以是等腰直角三角形，所以， ，故， 因此塔高为. 变式14-2．盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 变式14-3．某景区为打造风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，在湖面所在平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点50米的点处建一凉亭，距离点70米的点处再建一凉亭，测得. (1)求的值； (2)求凉亭与凉亭之间的距离； (3)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】(1) (2)40 (3)够用 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 则. （2）由（1）知，. 在中，已知米，米，设， 由余弦定理 ， 则 ，整理得，解得. （3）设，在中，由余弦定理， 化简得​，即. 在中，由余弦定理 ， . 总造价为： ，预算够用. 题型15角度测量问题 例15．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°） 【答案】28 【详解】由题意知为锐角， 因为E是的中点，横档与杆垂直，所以， 所以为等腰三角形，所以. 又，横档的长度为20，所以， 所以， 所以. 变式15-1．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 【答案】B 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 变式15-2．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 【答案】 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 变式15-3．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 题型16解三角形与向量的结合 例16．在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰（非等边）三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由，得，故． 由倍角公式， 化简得， 又由可得， 由余弦定理，代入， 化简得，即，故是等边三角形． 变式16-1．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，则，， 由题意知， 所以向量在向量上的投影向量为. 变式16-2．如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图 根据向量加法的平行四边形法则可设：， 则， ∴， 在△中，由正弦定理可得：， ∵且为锐角，则，解得， ∴. 变式16-3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则_____. 【答案】/ 【详解】由余弦定理知，得， 又因为，，所以， 因为向量在向量和上的投影向量的模相等， 所以， 所以为的平分线，故. 故答案为： 一、单选题 1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得. 所以. 2．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则内角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，而为三角形内角，所以. 4．在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 5．印度数学家婆罗摩笈多对凸四边形进行研究时，总结出如下结论：“若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大”．在凸四边形中，若，，则四边形面积取得最大值时角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据题意，四边形面积最大时，四个顶点共圆，因此对角互补，即， 故， 连接对角线，在和中分别对用余弦定理： 在中，, 在中，,， 联立上式得， 解得，即， 因为是凸四边形内角，，故. 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 7．在中，，的角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理： 代入已知条件可得 ，整理得：， 解得（负根舍去）. 由于是的角平分线，故，且， 代入面积公式得， 因为，则. 代入， 可得. 8．鼎湖峰位于浙江省，为了测量山高，某学生在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了80米到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则鼎湖峰的山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，，则， 设，在中，， 过B作，交AQ于D，如图所示， 在中，，， ， ， 则， ，，， 因为，所以， 则，则， 解得，则. 二、多选题 9．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 【答案】ABD 【分析】 【详解】解：选项，由，根据正弦定理可得， 在△ABC中，，所以，即， 化简得，所以， 又因为，所以，正确； 选项，由选项知，根据正弦定理，代入得，解得，正确； 选项，由，错误； 选项，由三角形内角和可知， 当时，则，此时三角形只有唯一解，不合题意； 当时，因为，，所以此时三角形为等边三角形，也只有唯一解，不合题意； 当时，无法构成三角形；时，三角形只有一个解，均不合题意， 因此，当c＝2，△ABC有两解时，即，正确. 三、填空题 11．记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【详解】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 12．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】/ 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 13．已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为， ，所以； 由于为锐角三角形且，因此， 又因为 所以， 因为，所以，所以， 则. 四、解答题 14．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． （2）， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求的周长； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)12 (2)存在， 【分析】 【详解】（1），， ， ，即， 或， ，，或， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又，， ，解得. ，，，的周长为； （2）存在，理由如下： 显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得， 由三角形三边关系可得，即，可得， 是正整数，故. 16．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析，面积为 【分析】 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 由余弦定理得，而为三角形内角， 故. （2），故， ，，， 故，， 故，所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 故，又，所以四边形是等腰梯形， ， ， 所以四边形的面积为 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． （2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $