9.2.2 向量的数乘课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.2.2　向量的数乘 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解向量数乘的定义及几何意义. 2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量. 3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　向量的数乘 1.一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘.它的长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|. (2)若a≠0,则当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反.特别地,当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0. 2.向量数乘λa的几何意义是:当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小. 知识点二　向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则 (1)结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 知识点三　向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是向量. 3.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 知识点四　向量共线定理 一般地,对于两个向量a(a≠0),b,有如下的向量共线定理:设a为非零向量,如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa. 名师点睛 定理的运用过程中要特别注意a≠0,特别地,若a=b=0,实数λ仍存在,但不唯一. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a=b,则3a>2b.(　　) (2)若向量共线,则点A,B,D必在同一直线上.(　　) (3)若点G为△ABC的重心,则=0.(　　) × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】向量的线性运算 例 1 [链接教材例2](1)(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n AB 解析 对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律,故A,B正确;对于C,若m=0,则不能推出a=b,故C错误;对于D,若a=0,则不能推出m=n,故D错误.故选AB. (2)化简下列各向量表达式. ①3(6a+b)-9; ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); ③. 解 ①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. ③原式=a-b)=a-b. 规律方法　向量的线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的线性运算类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 跟踪训练1 化简下列各式: (1)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b); (2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数). 解 (1)原式=a+(-)b=0. (2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b) =2ma-na-mb-ma+mb+na-nb =ma-nb. 【题型二】向量的共线定理及应用 角度1判断向量共线或三点共线 例 2 [链接教材习题9.2(2),T6]已知非零向量e1,e2不共线. (1)若a=e1-e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线. (2)若=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线. (1)解 ∵b=6a,∴a与b共线. (2)证明 =e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,共线, 又向量有公共点B,∴A,B,D三点共线. 规律方法　1.向量共线的判断(证明)是把两个向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线. 2.利用向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为证明两个向量共线.需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用b=λa(a≠0),还要说明向量a,b有公共点. 跟踪训练2 设点P是△ABC所在平面内的一点,=2,则(　　) A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线 C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确 A 解析 法一:=2,,即, 共线,又点P是的公共点,故P,A,C三点共线.故选A. 法二:如图,取AC的中点D,则=2,∴2=2, ∴点D和点P重合, ∴P,A,C三点共线.故选A. 角度2利用向量共线求参数 例 3 [链接教材练习,T2](1)设两个非零向量e1,e2不共线,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.是否存在实数k,使得A,B,D三点共线?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. (2)已知A,B,P三个不同的点共线,点O为点A,B,P所在直线外任意一点.若=x+y,求x+y的值. 解 (1)存在. 设存在k∈R,使得A,B,D三点共线, =(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,=2e1+ke2, 又∵A,B,D三点共线,=, ∴2e1+ke2=λ(-e1+4e2),解得k=-8, ∴存在k=-8,使得A,B,D三点共线. (2)由于A,B,P三点共线,则共线, 由向量共线定理可知,必存在实数λ使得=, 即=λ(),=(1-λ)+ 又=x+y,∴x+y=(1-λ)+, 即(x+λ-1)=(λ-y) 不共线,∴x+λ-1=0,λ-y=0. ∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1. 题后反思　1.利用向量共线求参数的值主要是利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数值. 2.若A,B,C三点共线,点O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y,且x+y=1. 跟踪训练3 (1)在△ABC中,点M在线段BC上,满足3=2+x,则实数x的值为　　　　.  1 解析∵3=2+x, , 当M在线段BC上时,根据向量共线定理,知存在实数λ,μ,使得=+,且λ+μ=1,=1,x=1. (2)设两个不共线的向量e1,e2,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线? 解 d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2. 因为e1与e2不共线,所以得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ. 【题型三】用已知向量表示未知向量 例 4 [链接教材例3]如图,在平行四边形ABCD中,F为BC的中点,=2. (1)试用表示; (2)若,证明:B,D,H三点共线. (1)解 因为=2,所以=-, 所以 因为F为BC的中点,所以=-, 所以=- (2)证明 由(1)知,)+(-)=-, 则=-=-), 即=-,所以, 因为有一个公共点B,所以B,D,H三点共线. 规律方法　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时,可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练4 (多选题)如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB上的中线,它们交于点G,则下列等式正确的是( 　　) A. B. C. D.=-2 ACD 解析 因为在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB上的中线,所以点G是△ABC的重心,所以=-=-2,所以A,C,D选项正确,B选项错误.故选ACD. $