列举法求概率、游戏公平性问题、由频率估计概率问题复习讲义-2026 年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

列举法求概率、游戏公平性问题、由频率估计概率问题复习讲义 列举法求概率、游戏公平性问题、由频率估计概率问题复习讲义 考点目录 列举法求概率 游戏公平性问题 由频率估计概率问题 知识点解析 考点一 列举法求概率 解题原理 1. 满足古典概型：基本事件有限、每个事件等可能发生。 1. 概率核心公式： 1. 列举本质：把所有基本事件不重不漏一一列出，再统计有利事件个数。 解题思路 1. 判断是否为等可能有限事件； 1. 用枚举法、列表法、树状图列出全部基本事件； 1. 数出总事件数、符合题意的事件数； 1. 代入公式求概率，约分化简。 考点二 游戏公平性问题 解题原理 1. 游戏公平判定标准：双方获胜概率相等则公平，不相等则不公平。 1. 本质仍是古典概型求概率，分别算出两方获胜概率再比较大小。 解题思路 1. 用列表或树状图列举所有等可能结果； 1. 分别计算甲方获胜概率、乙方获胜概率； 1. 比较两个概率： · 相等：游戏公平； · 不相等：游戏不公平； 1. 若不公平，可修改规则使双方概率相等，给出公平方案。 考点三 由频率估计概率 解题原理 1. 大数定律：试验次数越多，事件发生的频率越稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。 1. 频率是统计值，概率是理论值；用稳定后的频率近似当作概率。 1. 可用估计出的概率，预测大量试验下事件发生次数。 解题思路 1. 观察表格/折线图中频率变化趋势； 1. 找到频率稳定趋近的数值，作为事件概率估计值； 1. 利用： 进行估算； 1. 理解：频率会波动，概率是固定不变的理论值。 真题速递 1．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 4．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 6．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图或列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 考点一 列举法求概率 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·三模）习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲．某中学围绕这三个成语开展学习活动，将其分别写在三张不透明的卡片上，卡片背面完全相同（如图）．将三张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． (1)从中随机抽取一张，抽到“．万马奔腾”的概率是________； (2)从中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的成语恰好相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行求解； （2）利用画树状图求概率． 【详解】（1）解：等可能出现的情况有3种，符合题意的情况有1种， ∴抽到“．万马奔腾”的概率是； （2）解：画树状图如下： 等可能出现的情况有9种，符合题意的情况有3种， ∴两次抽到的成语恰好相同的概率是． 例2．（25-26九年级下·湖南·期中）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； (3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1)500名 (2)30600名 (3) 【分析】（1）利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量； （2）利用“样本估计总体”进行计算即可； （3）根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生； （2）解：类的人数为：（名）， 名， 答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名； （3）解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， 恰好选中甲和乙的概率为． 例3．（2026·山东济宁·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)8.5， (2)图见解析， (3)甲 (4) 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； （2）解：补全频数直方图如图， ； （3）解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； （4）解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 【变式训练】 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）当下人工智能飞速发展，为引导学生合理用好AI，自律学习，深耕自我成长，某校八年级举办主题为《理性拥抱AI，自律成就少年》的演讲比赛．经过初赛，小明和小华两位好朋友分别代表自己的班级晋级到决赛．赛前他们到年级进行抽签，年级准备了五个外观完全相同的信封，里面分别装着标有出场顺序1，2，3，4，5的纸条．小明先从五个信封中随机抽取一个，小华再从剩下的信封中随机抽取一个． (1)小明第一个出场的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小华两人恰好相邻出场的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为简单的古典概型，直接利用概率公式计算； （2）为不放回抽样的概率问题，通过列表列出所有等可能结果，再找出符合条件的结果，利用概率公式求解． 【详解】（1）解：共有5种等可能的出场顺序，其中小明抽到“1号（第一个出场）”的情况只有1 种，根据概率公式小明第一个出场的概率是． （2）解：列表如下（列代表小明抽到的序号，行代表小华抽到的序号）， 小华小明 1 2 3 4 5 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 共有20种等可能出现的结果，其中小明和小华相邻出场的结果有8种，所以P（小明和小华相邻出场）． 变式2．（2022·江西赣州·模拟预测）中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． (1)张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 【答案】(1)随机；不可能； (2)树状图见解析； 【分析】（1）根据事件发生的可能性判定事件类型，利用棋子“仕”数量棋子总数，直接计算第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率； （2）通过树状图列出不放回摸棋全部等可能结果，用符合条件的结果数÷所有总结果数，求出两次都摸到“兵”的概率即可． 【详解】（1）解：∵棋子中存在“兵”， ∴第一次摸到“兵”可能发生、也可能不发生，是随机事件； ∵枚棋子里没有“相”， ∴摸到“相”一定不会发生，是不可能事件； ∵总共有枚棋子，“仕”仅有枚， ∴第一次摸到“仕”的概率：； （2）解：根据题意，可画出如下的树状图： 由树状图得，共有种等可能结果，其中两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的结果有种， ∴两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为：． 变式3．（2026·江苏连云港·一模）为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的计算，解题思路为先确定所有等可能结果的总数，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算得到结果． （1）直接分类数出结果计算概率， （2）通过画树状图列举所有等可能结果，再计算两人同组的概率． 【详解】（1）解：一共有4种等可能的分组结果，其中属于球类运动项目的结果有3种． 因此小明恰好被分到球类运动项目的概率为． （2）解：画树状图如图， ∴所有等可能的结果共有16种，其中小明和小虎被分到同一组的结果有4种． 因此他俩明天被分到同一组的概率为． 考点二 游戏公平性问题 【例题分析】 例1．（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． (1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； (2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)公平 【分析】（1）利用简单事件的概率公式直接计算即可； （2）将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图，则可得在两人摸到的棋子中的所有等可能的结果，以及两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果、汉字没有“士”的结果，再利用概率公式计算他们各自获胜的概率，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：∵李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子共有4种等可能的结果，其中，摸到的棋子正面上的汉字是“马”的结果有2种， ∴李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为． （2）解：将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图如下： 由图可知，在两人摸到的棋子中，共有12种等可能的结果，其中，两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果有6种，汉字没有“士”的结果也有6种， 则李颖胜的概率为，张彤胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对双方公平． 例2．（2026·江西赣州·一模）小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：两人同时出一次手势为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同则为平局． (1)请列表或画树状图说明这个游戏是否公平； (2)直接写出两次游戏都是小红获胜的概率． 【答案】(1)公平 (2) 【分析】（1）列表根据概率公式分别求小红和小明胜的概率，若两人胜的概率相同，则游戏公平； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次游戏中都是小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：用列表法得出所有可能的结果如下： 小明小红 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 根据表格可知共有9种等可能的结果， （小红获胜），（小明获胜）． （小红获胜）（小明获胜）， 这个游戏是公平的； （2）解：画出树状图如下： 两次游戏共有9种等可能的结果，其中两次游戏都是小红获胜的结果只有1种， （小红两次游戏获胜）． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在STEM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是_____． (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）利用表格列举所有情况，根据概率公式求出小远和小智分享对应的科学知识的概率，比较即可． 【详解】（1）解：乙口袋有三张卡片，其中属于化学变化的有D、E共两种， ∴抽到的是化学变化的概率是； （2）解：不公平，理由如下： 根据题意，列表如下： 乙                  甲 A B C D E 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种， 其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有1种，两次抽出的卡片均为化学变化的情况有2种， ∴小远分享对应的科学知识的概率，小智分享对应的科学知识的概率． ∵， ∴不公平． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级下·江苏南京·月考）班委为班级联欢会设计了一个“比9点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，将这四张卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，甲同学先从中随机抽一张，然后乙同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于9，则乙同学胜，否则甲同学胜． (1)求甲同学抽到数字3的概率； (2)请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，见解析 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）利用树状图求出概率，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：∵四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6， ∴甲同学抽到数字3的概率为； （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人的卡片上的数字之和大于9的结果有4种，两人的卡片上的数字之和不大于9的结果有8种， ∴乙同学胜的概率，甲同学胜的概率， ∵， ∴乙同学胜的概率≠甲同学胜的概率， ∴这个游戏不公平． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式计算，即可求解． （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案，运用列表法求得各自获胜的概率是解题的关键． 【详解】（1）解：∵盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字． ∴指针指向的概率为 （2）解：游戏公平，理由， 将盘上数字的扇形平分成两个圆心角为的扇形，则列表如下，          共有种等可能的结果，其中积为偶数的结果有种，积为奇数的结果有种． ∴小明胜的概率，小春胜的概率， ∵， ∴游戏公平． 变式3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数，接着利用概率公式计算出小明胜的概率和小颖胜的概率，然后比较两概率的大小即可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是； 故答案为：； （2）解：只有C、D出自同一本名著， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数为2， 所以小明胜的概率， 所以小颖胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平． 考点三 由频率估计概率问题 【例题分析】 例1．（2026·贵州·一模）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用频率估算概率的方法即可求解． 【详解】解：依题意，将摸出黑色小球的频率绘制成的统计图．得出摸到黑球的频率在附近波动， ∴估计摸到黑球的概率为． 例2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，据此得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在 ∴摸到红球的概率为 由题意得，总球数为，红球共个，根据概率公式可得 ，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意 例3．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 【变式训练】 变式1．（2026·广东深圳·一模）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 【答案】A 【详解】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53． 变式2．（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， ∴点落在椭圆内部的概率为， ∴椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， ∴椭圆的面积为． 变式3．（2026·安徽安庆·模拟预测）某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，试验次数越多估计越准确，取稳定频率保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，且试验次数越大，估计越准确， 观察表格数据，随着麦粒粒数增加，发芽频率逐渐稳定在附近，结果保留两位小数，可得任取一粒麦粒发芽的概率约为． 故选：C． 2 学科网（北京）股份有限公司 $列举法求概率、游戏公平性问题、由频率估计概率问题复习讲义 列举法求概率、游戏公平性问题、由频率估计概率问题复习讲义 考点目录 列举法求概率 游戏公平性问题 由频率估计概率问题 知识点解析 考点一 列举法求概率 解题原理 1. 满足古典概型：基本事件有限、每个事件等可能发生。 1. 概率核心公式： 1. 列举本质：把所有基本事件不重不漏一一列出，再统计有利事件个数。 解题思路 1. 判断是否为等可能有限事件； 1. 用枚举法、列表法、树状图列出全部基本事件； 1. 数出总事件数、符合题意的事件数； 1. 代入公式求概率，约分化简。 考点二 游戏公平性问题 解题原理 1. 游戏公平判定标准：双方获胜概率相等则公平，不相等则不公平。 1. 本质仍是古典概型求概率，分别算出两方获胜概率再比较大小。 解题思路 1. 用列表或树状图列举所有等可能结果； 1. 分别计算甲方获胜概率、乙方获胜概率； 1. 比较两个概率： · 相等：游戏公平； · 不相等：游戏不公平； 1. 若不公平，可修改规则使双方概率相等，给出公平方案。 考点三 由频率估计概率 解题原理 1. 大数定律：试验次数越多，事件发生的频率越稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。 1. 频率是统计值，概率是理论值；用稳定后的频率近似当作概率。 1. 可用估计出的概率，预测大量试验下事件发生次数。 解题思路 1. 观察表格/折线图中频率变化趋势； 1. 找到频率稳定趋近的数值，作为事件概率估计值； 1. 利用： 进行估算； 1. 理解：频率会波动，概率是固定不变的理论值。 真题速递 1．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 3．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 4．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 5．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 6．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 考点一 列举法求概率 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·三模）习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲．某中学围绕这三个成语开展学习活动，将其分别写在三张不透明的卡片上，卡片背面完全相同（如图）．将三张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． (1)从中随机抽取一张，抽到“．万马奔腾”的概率是________； (2)从中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的成语恰好相同的概率． 例2．（25-26九年级下·湖南·期中）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； (3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 例3．（2026·山东济宁·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【变式训练】 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）当下人工智能飞速发展，为引导学生合理用好AI，自律学习，深耕自我成长，某校八年级举办主题为《理性拥抱AI，自律成就少年》的演讲比赛．经过初赛，小明和小华两位好朋友分别代表自己的班级晋级到决赛．赛前他们到年级进行抽签，年级准备了五个外观完全相同的信封，里面分别装着标有出场顺序1，2，3，4，5的纸条．小明先从五个信封中随机抽取一个，小华再从剩下的信封中随机抽取一个． (1)小明第一个出场的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小华两人恰好相邻出场的概率． 变式2．（2022·江西赣州·模拟预测）中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． (1)张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 变式3．（2026·江苏连云港·一模）为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 考点二 游戏公平性问题 【例题分析】 例1．（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． (1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； (2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 例2．（2026·江西赣州·一模）小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：两人同时出一次手势为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同则为平局． (1)请列表或画树状图说明这个游戏是否公平； (2)直接写出两次游戏都是小红获胜的概率． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在STEM课程中，为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B两张卡片，乙口袋中装有C、D、E三张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E）．课堂上，同学们通过随机抽卡片来分享对应的科学知识． (1)小远从乙口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是化学变化的概率是_____． (2)游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小远分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小智分享．这个规则对小远和小智公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级下·江苏南京·月考）班委为班级联欢会设计了一个“比9点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，将这四张卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，甲同学先从中随机抽一张，然后乙同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于9，则乙同学胜，否则甲同学胜． (1)求甲同学抽到数字3的概率； (2)请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 变式3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 考点三 由频率估计概率问题 【例题分析】 例1．（2026·贵州·一模）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 例3．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 变式1．（2026·广东深圳·一模）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 变式2．（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽安庆·模拟预测）某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $