精品解析：2026年广东省湛江市雷州市第八中学教育集团九年级中考考前模拟数学试卷

雷州市第八中学教育集团九年级中考考前模拟数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的平方根是（　　） A. 3 B. ±3 C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵=3， ∴的平方根是±． 故选：D． 【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值. 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据151亿用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方、积的乘方运算法则以及同底数幂乘除法运算法则分别计算得出答案即可． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 已知抛物线经过和两点，则b的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点和求出对称轴，再根据对称轴为即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵对称轴为， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的对称性，根据点和求出对称轴是解题的关键． 6. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：不等式的解集为在数轴上表示为． 7. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，函数y随x的增大而减小， ∵点，为该函数图象上两点，， ∴， 故选：A． 8. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10. 抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点和是解题的关键．抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线．根据题意可知，，．抛物线经过点和，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得a，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，得， 二次函数与轴交于， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ，，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， 当时， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：，． 12. 如图，在中，，是边上的中线，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线且， ∴． 故答案为： 13. 分解因式： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法是正确解决本题的关键． 先提出公因式再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解∶ ； 故答案为：． 14. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象可得交点坐标． 【详解】解：将方程变形为，  观察函数图象可知，直线与直线的交点坐标为 ，  方程组的解为 ． 15. 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵， ∴AD= ∴DF=ADsin45°= ， ∵AE=AD=2 ， ∴EB=AB−AE= ， ∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC = 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程、计算 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 或； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200， 补全统计图： （2）312名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可； （2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可； （3）画出树状图即可解决问题． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式． 【小问1详解】 解： （名， 喜欢乒乓球的人数；（名， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：（名， 答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名； 【小问3详解】 解：画树状图得： 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种， 恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 18. 如图，在矩形中，点是线段上的一点，且，连接，设． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） （2）， 证明：过点作的垂线，如图， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）根据，求得，根据平行线的性质得到，过点作的垂线，求得，利用证明即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）支点C离桌面l的高度为 （2）当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 20. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）购进A商品的件数最多为20件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； 【小问2详解】 解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 21. 已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点． （1）如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； （2）将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论仍然成立： 连接 延长交于 和都是等腰直角三角形 、分别是、的中点 ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据三角形的中位线的性质即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在上时，当在上时，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵、分别是、的中点． ∴， 又∵ ∴ ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 当在上时， 同理可得，， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ 设 在中，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ 如图所示，当在上时， 同理可得 ∴， 在中，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，中位线的性质；作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若过圆心O，交于点F，，，求． （3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆O的半径． 【答案】（1）见解析 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连结，利用垂径定理得到，利用平行线的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，则可得，最后利用勾股定理解答即可； （3）连结，在射线上取点K，连接，使得，设，则，利用圆的平行线弦的性质得到；利用相似三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用列出方程求得x值，则可求，利用垂径定理求得，利用勾股定理求得，再利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连结，如图， ∵为圆O直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连结，在射线上取点K，连接，使得，如图， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵为直径，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴圆O的半径为5． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州市第八中学教育集团九年级中考考前模拟数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的平方根是（　　） A. 3 B. ±3 C. D. ± 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线经过和两点，则b的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 6. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________，________． 12. 如图，在中，，是边上的中线，若，则_____． 13. 分解因式： _____________． 14. 利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 15. 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程、计算 （1）解方程：； （2）计算：． 17. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 18. 如图，在矩形中，点是线段上的一点，且，连接，设． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 20. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 21. 已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点． （1）如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； （2）将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若过圆心O，交于点F，，，求． （3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆O的半径． 23. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $