相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 复习讲义 考点目录 相似的性质与圆的相关计算 相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 知识点解析 考点一相似的性质与圆的相关计算 解题原理 1.圆的固有性质原理 同弧/等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、切线与半径垂直、弦切角等于所夹弧的圆周角、圆内 接四边形对角互补、外角等于内对角。 2.相似三角形性质原理 相似三角形对应角相等、对应边成比例、对应高线/中线划角平分线比等于相似比、面积比等于相似比的平方 3.边角传递原理 利用圆提供大量等角、直角条件，构造三角形相似；再用相似比例关系，求解圆中线段长、半径、弦长、 角度、面积。 解题思路 1.先用圆的性质挖掘等角、直角、互补角： 2.找两个三角形，利用两角相等证相似； 3.列出相似对应边比例式： 4.代入已知线段长度，列方程求未知线段、半径、弦长： 5.遇面积，用相似比平方求面积关系。 考点二相似与圆结合：线段比例、乘积关系证明 解题原理 1.等积式化比例式原理 要证ab=cd,先化成比例：是=号； 转化为证明四条线段所在三角形相似. 2.圆中等角搭桥原理 借助圆：同弧圆周角、弦切角、圆内接四边形外角，提供两组等角，证三角形相似。 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 3.公共角、对顶角原理 利用公共角、对顶角，搭配圆的等角，凑AA相似判定条件。 解题思路 1.把要证的乘积式先改写成比例式： 2.把比例式四条线段归到两个三角形中； 3. 用圆的性质找两组对应角相等，证三角形相似； 4.由相似得对应边成比例： 5.还原比例式为乘积式，完成证明。 考点一 相似的性质与圆的相关计算 【例题分析】 例1.(2026湖北宜昌一模)如图1，ABC内接于⊙0，∠BAC的平分线交00于D,DE与⊙0相切，交AB的 延长线于E. 图1 图2 (I)求证：DE∥BC; (2)如图2，若AB=AC,BC=6,DE=4,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)5V3-2π 【分析】(1)如图，连接OD,求出∠CAD=LBAD,由垂径定理的逆定理得到OD⊥BC,然后由切线的性质得到 OD⊥DE,即可证明DE∥BC; ②连接CD,BD,OB,设0与BC交点九，明△8O△D,得到能设4B=3办 AE=4x,得到BE=AE-AB=x,然后求出LACD=LABD=90°，得到AD是OO的直径，证明出△BEDn△DEA, 将到能-浩。代入求出B8=2,利用。然后求出5m一=35，然后根据阴影部分的面买 =S.OBD+S.DBE-S扇形OBD求解。 【详解】(1)解：如图，连接0D 2 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 D E B 图1 :∠BAC的平分线交⊙0于D, ∴.∠CAD=∠BAD .CD=BD OD⊥BC :DE与O0相切 .OD⊥DE DE∥BC; (2)解：如图，连接CD,BD,OB,设AD与BC交于点F B 图2 CD=BD .CF=BF=-BC=3 2 :DE∥BC ∴.△AFB∽△ADE AB BF 3 ·AEDE4 :设AB=3x,AE=4x :BE AE-AB=x CD=BD :CD=DB :AB=AC,AD=AD 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 .△ACD≌△ABD(SSS :ZACD ZABD :∠ACD+∠ABD=180° .∠ACD=∠ABD=90° .AD是⊙0的直径 OD⊥DE LDBE=∠ADE=90° :∠BED=∠DEA .△BEDn△DEA 能 44x x=2(负值舍去) .BE=2,AC=AB=3x=6=BC .ABC是等边三角形 .LCAB=60° ∠BAC的平分线交⊙0于D, ∠BAD=∠CAD=)∠BAC=30° .∠B0D=2∠BAD=60 .BD=4B-tn 2BAD=4B-tn30=6x2 3 :AD =2BD=43 ∴.OD=0B=25 .S.m-AB.BD=x6x23=63 2 :点O是AD的中点 1 50m=25w=35 :.阴影部分的面积=SOBD+S.DBE-S鬼形OBD =35+)×2x25 60m×(23 360 =5V3-2π. 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 例2.(2026·江苏淮安模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为OO的一条定直径，AE⊥BD于点F.设 AD=x,CD=y,∠ADE=. D C 备用图 (I)①求证：△ABE∽△ACD; ②若匹=g求sma的值. 【特值探究】 3 (2)若x=5,y=10,sina=2,求BD长； 【逆向思考】 (③)点D为O0上AC右侧的任意一点，总有AD+CD=√2BD成立，试判断ABC的形状并说明理由. 【答案】0)0见解析：②字 (2)10; (③)ABC是等腰直角三角形，理由见解析. 【分析】(1)①证明∠AEB=∠ADC,∠ABE=∠ACD,从而证明△ABE∽△ACD即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，sna=45即为相似比，从而得解， AD (2)先利用x=5,sma=,求出AB,再用勾股定理求DE,利用相似三角形对应边相似可求出BE,再利用 BD=DE+BE得解； (3)同(2)法求出BD=xcosa+sina,再利用4D+CD=√2BD,得到2cosa-lx+(N2sina-y=0,再 根据x、y的任意性，即与xy无关，得到√2cosa-1=0,√2sina-1=0,从而得到a=45°，继而证明 ∠ACB=∠BAC=45°，由此得解. 【详解】(1)①证明：：AC为O0的直径， .∠ADC=90°， :AE⊥BD, ∴.∠AEB=90°， .∠AEB=LADC, AD=AD, J 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 .∠ABE=∠ACD, .△ABE∽△ACD; ②解：△ABE∽△ACD, S&ABE (AE21 S.ACD (AD=9 AE 1 AD3' 在RtADE中，sina=4E=」 AD 3 3 (2)解：：在Rt ADE中，AE=ADsinZADE=xsina,x=5,sina= :AB=5x2=3. 5 :DE=AD2-AE2=52-32=4, 由(1)可知△ABE∽△ACD,CD=y=10, BE AE CD-AD' 即BE、3 105' .BE=6, .BD DE +BE =10; (3)解：ABC是等腰直角三角形，理由如下： 在Rt ADE中，DE=ADcosa=xcosa,AE=ADsina=xsina, 由(1)可知△ABE∽△ACD, BE AE CD-AD' 即 BE xsina y .BE=ysina, .BD DE BE xcosa ysina, AD+CD=2BD, ..x+y=2(xcosa+ysina), :(2cosa-1)x+(v2sina-1)y=0 由题意知，上式对于任意x、y恒成立， .√2cosa-1=0且V2sina-1=0, 6 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 cosa=sina- 2 锐角a=45°， 则在00中，∠ACB=a=45°， :AC为⊙0的直径， .LABC=90°， ∠ACB=∠BAC=45°， ABC是等腰直角三角形， 例3.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为⊙0直径，CB是O0的切线，连接AC交O0于点D,点E在AD上， 连接EO并延长交CB于点F,且∠A=∠F. ○ B (I)求证：E为AD中点； (2)若BF=6,BC=4,求AD的长度. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】(1)根据切线的性质可得：∠OBF=90°，从而得到OE⊥AD,再由垂径定理解答即可； BD 2 (2)连接BD,证明aCDB∽aCEF,可得 F5,设OE=x,则BD=2x,EF=5x,0F=4x,根据 ∠DBC=∠F,可得c05∠DBC=cO5∠F,从而得到2-6，进而得到BD=2N5,OF=4N5,然后在R1△0BF和 4=4 Rt△ADB中，利用勾股定理解答即可. 【详解】(1)证明：：AB为OO直径，CB是O0的切线， ∠0BF=90°. :∠A=∠F,∠AOE=∠FOB, 180°-∠A0E-∠A=180°-∠F0B-∠F, ∴.∠AEO=∠OBF=90°，即OE⊥AD, ·AE=DE,即E为AD中点； (2)解：如图，连接BD, > 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 A O 0A=OB,AE=DE, D OE=BD,OE∥BD, 2 △CDBn△CEF,LDBC=LF, BD CB EF CF BF=6,BC=4, BD 4 2 EF4+65 设OE=x,则BD=2x,EF=5x, 0F=4x, :AB为⊙0直径， LADB=90°， .∠BDC=90°， 由(1)得：∠0BF=90°， :∠DBC=∠F, :cos /DBC cos ZF BD BF BC-OF 即2x、6 4=4x1 解得x=√5， BD=2V5,0F=4V5, 在Rt△OBF中，OB=VOF2-BF2= V45-62=25, AB=20B=4V5, 在RIAADB中，AD=VAB2-BD=45-(2=6。 【变式训练】 变式1.(2026四川乐山一模)如图，AB是⊙0的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C,过点B作 直线BD交CE的延长线于点D,且DB=DE. 6 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 (1)求证：BD是⊙O的切线； (②)若AB=12,BD=5,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 鸣 【分析】(I)由DB=DE得到∠DBE=∠DEB,再利用角的互余关系和对顶角证明LOBA+∠DBE=90°，再由OB为 半径，则切线可证； (2)过点D作DF⊥AB于点F,由己知求出EF=3,DF=4,再证明△AEO∽aDFE再求OO的半径即可. 【详解】(1)证明：“DB=DE, .∠DBE=LDEB, ∠DEB=∠AEC, LDBE=∠AEC. 又：EC⊥0A, ∠A+∠AEC=90°. 0A=0B, .LA=∠0BA. L0BA+LAEC=90°. .∠0BA+∠DBE=90°. ∠0BD=90°. 又OB为半径， BD是⊙的切线. (2)解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F, 连接OE, 0 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 :E是AB的中点， :AE BE =6, OE⊥AB, 又：DB=DE,DF⊥AB, .EF=5BE=3. 2 BD=DE=5, DF=BD2-EF2=4, :∠DEB=∠AEC,∠ACE=∠DFE=90°， .∠A=∠EDF. :在△AEO和△DFE中， ∴∠A=∠EDF,∠AE0=∠DFE=90°. :△AE0∽△DFE. AE DF AO DE 64 A05 得40=15 变式2.(25-26九年级下·江西九江阶段检测)如图，AB与⊙0相切于点B,以AB为边作菱形ABCD,交O0于 点C,D,E是对角线BD上一点，在AB,AD上取点F,G,使LFEG=60°. B 0 (1)求证：AD是O0切线； (2)求证：△ABD是等边三角形； (3)若BF=3,DG=9,求⊙0的半径. 【答案】（①）见详解 (2)见详解 10 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 6)135 2 【分析】(1)连接OB,OD,OA,根据切线的性质得出口OB⊥AB口，根据菱形的性质得出口AB=AD口，证明 △ABO≌△AD0(SSS),得出∠0DA=∠0BA=90°，即0D⊥AD☐，结合OD是O0的半径，即可证明AD是O0的切 线； (2)在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB,∠BAD=∠BCD,证明 ∠ABD=LBCD,根据AB=AD得出∠ABD=∠ADB,结合∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB与三角形内角和定理 得出∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°口，即∠ABD=60°，证出口△ABD□是等边三角形： (3)如图，作FM⊥BD于点M,作EN⊥AD于点N,作OH⊥BD于点H,连接OB,OD,设BE=m,DE=n,由(2) 知△ABD是等边三角形，证明△BFE∽△DEG,得出BE·DE=27,进而得到mn=27,根据三角函数得到 ),W=BBF3A，进面得到EM的值，同理待到GN的值，很赛tan ZBEF=tan DGE待到年 2 而得到272-32-5mm- 3√3m.根据mn27求出n=I8,进而求出m三亏，即可求出BD=39 3 2 2 ”,证明△BCD是 等边三角形，根据既周角定别及径定更行气∠80H=60,81一D-?、根表三角前数计第即可。 【详解】(1)证明：连接OB,0D,OA, :AB与OO相切于B,OB是⊙0的半径， OB⊥AB, :四边形ABCD是菱形， :AB=AD, AB=AD,OB=OD,AO=AO, △ABO≌aADO(SSS, ∴∠0DA=∠0BA=90°， OD⊥AD0, :0D是00的半径， 故AD是OO的切线： (2)证明：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB，,LBAD=∠BCD, :0B=0D, 11 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 LOBD=∠ODB, 设∠OBD=∠ODB=x, 则∠B0D=180°-2x, :∠BCD=∠B0D=90°-x, 2 :AB与O0相切于B,OB是O0的半径， .OB⊥AB, .∠ABD=90°-x, .LABD=∠BCD, ·AB=AD, ∴.∠ABD=∠ADB, :LABD=∠CBD,∠CDB=LADB, .∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°， 即∠ABD=60°， 在△ABD中，AB=AD且∠ABD=60°， 故△ABD是等边三角形； (3)解：如图，作FM⊥BD于点M,作EN⊥AD于点N,作OH⊥BD于点H,连接OB,OD,设BE=m,DE=n. A 由(2)知△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，AB=BD, :∠FEG=60°， ∠BEF+∠GED=180°-60°=120°， 在△BFE中，∠BFE+∠BEF=180°-60°=120°， LBFE=∠GED, 又：∠FBE=LGDE=60°， ,a△BFEADEG, BF BE DE DG ZBEF ZDGE 12 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 3_m n9 mn=27. .∠ABD=60°， ·BM=cos60xBF=3 FM=sin60xBF 2 3 :.EM=m-2 ∠ADB=60°， DN=c060xDE-EN=sin60x DE- 2 GN=9- :tan∠BEF=tan∠DGE, FM EN EM GN 3v√2√3n 32 ∷2 m- 9、n 2 :272-35m-V5mn- 3√5n 2 2 解得n=18, 3 :.m=2 +1839 ·BD=3 2 :△ABD是等边三角形， AB=AD=BD=39」 2, :四边形ABCD是菱形， 8C=48=CD=9,∠C8D=∠48n:60. “△BCD是等边三角形， .∠BCD=60°， ∴LB0D=120°， OH⊥BD, ÷∠B0H=60°，BH=BD=39 4 13 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 'sin∠BOH= BH OB =sin60°=5 2 39 “4=5, OB 2 0B=13 , 经检验，OB=13V5是原分式方程的解， 2 2 ·00的半径是3 2 变式3.(2026四川成都.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上一点，⊙0是△ACD的外接圆， 交BC于点F,直径DE交AC于点G. E G D (I)求证：∠CDE=LB; ②若1C=BC,BF=2,an∠4DE=号求CD及BG的长 【答案】(1)见解析 ②CD=0,EG-5 【分析】(I)连接CE,根据直径得出直角，证明LACE=∠BCD,利用圆周角定理得出LACE=LADE,最后利用 三角形的外角定理即可得出结论： (2)连接CO,DF,过点D作DH⊥BF于点H,根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出∠COD=90°， ∠BDF=90°，然后利用勾股定理以及锐角三角函数求出相关线段的长度，证明△ADG∽△BCD,利用对应边成比 例进行求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接CE, F G DE为直径， LDCE=∠ACB=90°， :∠ACE=LBCD, AE=AE, 14 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 :ZACE ZADE, ∠BCD=LADE, :LBCD+LB=∠ADE+∠CDE, :ZCDE ZB (2)解：如图，连接CO,DF,过点D作DH⊥BF于点H, F H:AC=BC,LACB=90°， D B .∠A=LB=45°， .∠C0D=2∠A=90°， :四边形ACFD内接于OO, LBDF=∠ACF=90°， LDFB=LB=45°， .DF=DB, :BF=2, FH=BH=DH=1,BD=DF=√2， :tan LDCH=tan∠ADE=3' 1 CH=3, :CD=V2+32=√0，BC=4, C0=D0=V5,AB=42, :AD AB-BD=32, :∠A=∠B,∠BCD=∠ADE, △ADG∽△BCD, AD DG ·BCCD 即32DG 410 DG=35,EG=25.35-5 2 22 15 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 考点二 相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 【例题分析】 例1.(2026江西萍乡一模)如图，AB为O0的直径，C为O0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延长线上， 且满足∠BCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交⊙O于点F. D B (1)求证：CE为O0的切线； (2)求证：BC2=ABDF; （⑥若AB=0cos∠D4C=手求F的长 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2.8 【分析】(1)连接OC,根据切线的判定证明即可； (2)连接OC,CF,证明△DAC∽△CAB,△DFC∽aCAB,证明即可； (3)由2)可灯∠D4C=∠E4C,得到eos∠BAC=co∠B1C-号利用勾股定理和(2)的结论求解即可： 【详解】(1)证明：连接0C,则0A=OC, D ∴.∠BAC=∠AC0, B :AB为OO的直径， :∠ACB=90°即∠AC0+∠0CB=90°， ∠BAC+∠0CB=90 又：∠BCE=LBAC ·LBCE+L0CB=90° 16 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 0C⊥CE .CE为OO的切线； (2)证明：连接CF,则0C=0A, 0 :ZBAC ZOCA, B E :CD与o0相切于点C, CD⊥OC, :AD⊥CD, .AD‖OC,∠D=90° :∠DAC=∠OCA,∠ACB=∠D=90° :∠DAC=∠EAC, :DAC CAB, DC AC DA CB AB AC' DC CB AC AB' :四边形ABCF是OO的内接四边形， :LABC+∠AFC=180° .∠CFD+∠AFC=180°， ∠CFD=∠ABC, :∠ACB=∠D △DFC∽△CAB, DC DF AC CB CB DF AB CB' .BC2=AB.DF (3)解：(3)由(2)可知LDAC=LEAC, CoS∠BAC=cos∠BAC=4 5 :AB为O0的直径：∠ACB=90° 17 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 AC=ABc0s∠BAC=8 .BC=AB2-AC2=6 BC2=AB.DF DF=3.6 .AC_DA AB AC' .DA=6.4 AF=AD-DF=6.4-3.6=2.8; 例2.(2025·四川泸州三模)如图，已知四边形ABCD内接于半径为r的圆O,且AC⊥BD于P,OE⊥CD于E. H D ◇ B 0求证：0E-4. (2)设Q是圆O上不同于四边形顶点的一点，过Q作QH,⊥AB于H,,QH,⊥BC于H2,QH,⊥CD于H3, QH4⊥DA于H4(其中H2,H,H4未画出). (2.1)求证：QAQB=2r·QH1. (2.2)求证：QH1·QH3=QH2QH4. 【答案】(1)见详解： (2)(2.1)见详解；(2.2)见详解 【分析】(1)通过连接DO并延长，交O0于G,连接CG,OC,OA,OB,利用垂径定理和圆周角定理、圆心 角定理及三角形中位线的性质来证明OE=，B (2)(2.1)构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，再通过相似三角形的性质来证明△H,BQ∽△QKA,进而 可得QAQB=2rQH1. (22),根据圆内接四边形的性质得到∠QDH,=∠CB0,进而证明QH,B△QH,D,得-B OH,OD, 同法可证明 18 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 0m0,为8器-8器、从盾年0h.0,=0明，0 【详解】(1)证明：连接D0并延长，交00于G,连接CG,OC,OA,OB, H :DG是O0的直径， B .∠DCG=90°， .∠G+∠2=90°， :AC⊥BD, LAPD=90°， .∠1+∠DAP=90°， :∠G=∠DAP, ∠1=∠2， 4=3,2-9 ∠4， 2 .∠3=∠4， :AB=CG, OE⊥CD, :CE =DE, 0D=0G, ∴OE是△CDG的中位线， :.OE=CG, 2 :0E=3AB: (2)(21)证明：连接A0并延长，交⊙0于K,连接QK, 19 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 H O A D AK是O0的直径， B P K ∴.∠AQK=90°， QH⊥AB, .∠BHQ=90°， ∴.∠BHQ=∠AQK, ∠HBQ=∠K, ∴△HBQ△QKA, OHOB AO AK' .QAQB=AK·QH1, :00的半径为r, ∴QAQB=2r·QH1: (2.2)证明：根据题意作图如下： H E C 连接DQ, 20 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 :四边形BCDQ是⊙O的内接四边形， .∴.∠CDO+∠CBO=180°， :∠CDQ+∠QDH3=180°， ∠QDH3=∠CBQ, :QH2⊥BC于H2,QH,⊥CD于H3, ∠QH,B=∠QH,D=90°， △QH,B∽△QH,D, H2=9B OH;OD' :QH1⊥AB于H1,QH4⊥DA于H4, ∠QH,B=∠QH,D=90°， :∠QBH=∠QDH4, △QHB△QH,D, OHOB OH OD' oH.oh QHQH’ :.OHOH;=OH2OH. 例3.(2026福建南平·二模)如图，在O0中，P,Q分别是半径OA及其延长线上的点，BP⊥0A交O0于点B, 且O0·OP=0A2，,连接BQ. B 图1 图2 (1)如图1，求证：BQ为⊙0的切线： (2)如图2，CD是经过点P的弦. ①求证：CP.DP=0A2-0P2: ②连接AD交BP于点E,连接AB.求证：∠ADB=∠ABQ 【答案】()见解析 1 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 (2)①见解析；②见解析 OB OP 【分析】1)连接OB,则0B=0A,由O0:0P=04可得O0OB,根据∠BOP=∠QOB可证BOP0OB, 根据相似三角形的性质可得∠OBQ=∠OPB=90°，从而可证B9为O0的切线： (2)①延长BP交O0于点M,连接CM,OB,由勾股定理得：BP2=OB2-OP2,等量代换可得 BP2=OA-OP2，可证△BPD∽△CPM，根据相似三角形的性质可证结论成立； ②由(1)知∠080=90P,由三角形内角和定理可待∠0B1=90-40B,从而可得∠AB0=40B,等量代 换可证结论成立. 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OB,则OB=OA, :0Q·0P=0A2, ∴.0Q·0P=0B2, OB OP 0Q0B, ∠BOP=∠QOB, .∴.△BOP∽△OOB, .∠OPB=∠OBQ, :BP⊥OA, .∠OBQ=∠OPB=90°， QB⊥OB, 又：OB为⊙0的半径， ∴BQ为O0的切线； B (2)①证明：如下图所示，延长BP交⊙O于点M,连接CM,OB, BP⊥OA, .:BP=PM, 在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OB2-OP2, :0B=0A, .BP2 =OA2-OP2, 22 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 BC=BC. LBDC=∠CMB, :∠BPD=∠CPM, :aBPD∽△CPM, BP DP CP MP' :BP.MP=CP.DP ..BP2 CP.DP, ∴.CP.DP=OA-OP2; B M ②证明：如下图所示，由(1)知∠OBQ=90°， .∠ABQ=90°-∠OBA, 在△OAB中， 0A=0B, ∠0BA=∠0AB=180P-∠40B=90°-1∠A0B, 2 ∠AB0=90°- 0-408 ∠A0B, :∠ADB= ∴.∠ADB=∠ABQ. 【变式训练】 变式1.(2025·广东东莞一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,0为AB上一点， 经过点A,D的OO分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. 23 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 (I)求证：BC是OO的切线； (②)连接EF,求证：EF∥BC; (3)求证：AD2=AB·AF· 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】(1)连接0D,利用等腰三角形性质和角平分线定义得到∠0DA=∠CAD,进而证明OD∥AC,利用平行 线性质推出OD⊥BC,结合切线的判定定理即可证明BC是⊙O的切线； (2)根据直径所对的圆周角为直角，再结合平行线判定定理证明，即可解题； (3)连接DF,结合平行线性质，角平分线定义，以及同弧所对的圆周角相等，证明△ABD∽△ADF,利用相似三 角形性质证明，即可解题， 【详解】(1)证明：连接0D, 0D=0A, .∠OAD=∠0DA, :AD平分∠BAC交BC于点D, ∠0OAD=LCAD, ∠ODA=∠CAD, OD∥AC, :C=90°， :∠0DB=∠C=90°，即OD⊥BC, :0D为半径， :BC是OO的切线； 24 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 (2)证明：连接EF, B D :AE为00的直径，∠C=90°， LAFE=90°=∠C, :EF∥BC: (3)证明：连接DF, 0 :EF∥BC, D ∠B=∠AEF, AF=AF, .∠AEF=∠ADF, .∠B=∠ADF, :∠BAD=∠DAF, .△ABD∽△ADF, AD AF AB=AD’ ·AD2=AB·AF. 变式2.(2026安徽六安.一模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,EF⊥BD于点F,连接OD与EF相 交于点G. E A B G 分 D (1)求证：0G=0E; 25 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 (2)若CD=BD,求证：DE2=0G·BE. 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(I)利用等边对等角得出LODB=LOBD,再利用直角三角形两锐角互余得出LDGF=∠BEF,可得 ∠EG0=∠BEF,再利用等角对等边即可得证； (2)连接0C,利用CD=BD,证明∠D0C=∠DOB,再利用OC=OD=OB,证明∠ODC=∠OBD,即可证明 △DE0Q△BBD,得出-，结合0G=0E,即可得证， 【详解】1)证明：OD=0B, .∠ODB=∠0BD, :EF⊥BD, .LEFD=LEFB=90°， 在Rt△DFG中，∠DGF=90°-∠ODB, 在Rt△EFB中，LBEF=90°-∠OBD, :ZDGF =ZBEF, .:∠DGF=∠EGO, :ZEGO LBEF .0G=0E; (2)证明：连接0C, C E A B D CD=BD, .∠DOC=∠D0B, :0C=0D=0B, ∠0cD=∠0Dc-180°-，D0c,208D:200B-180-∠D08 ∴LODC=L0BD, ∠DEO=∠BED, .△DEO∽△BED, 26 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 DE OE BE DE 即DE2=BEOE, 0G=0E, .DE2=0G·BE. 变式3.(2026四川宜宾二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC、BD交于点P,AB=AC,过点A作 AE∥BC交CD的延长线于点E. B (1)求证：AE是⊙0的切线； (2)求证：AB2=BD.CE; (3)若AC⊥BD,AD=6,BC=8,求DE的长. 【答案】()证明见解析 (②)证明见解析 6)186 11 【分析】(I)连接AO并延长交BC于点F,由AB=AC可知，点A为BC的中点，根据垂径定理的推论可知 AF⊥BC,结合AE∥BC可得，AF⊥AE,因此命题得证； (2)由AE∥BC可得∠ACB=∠CAE,由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=∠CAE,∠ACE=∠ABD,从而证明 ACEDBA,则%-C片结合AB=AC即可证明命题； 3)容易证明BCPO△DP,则三兰BC=设BP=4,则4P=3x,由阿股定理可得AB=AC=5 = BP CP 从而求出CP=2x,DP=x,在R1AADP中，使用勾股定理构造方程，求出x=45,进而得到CP=85 2 Dp=6V5,AB=4N5,BD=225.先利用(2)的结论计算出CE,再使用勾股定理计算出CD,最后作差求 5 出DE. 【详解】(1)证明：如图，连接A0并延长交BC于点F, 27 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 F 0 C D :AB=AC, AB=AC,即点A为BC的中点， AF⊥BC, :AE∥BC, .AF⊥AE, AE是OO的切线； (2)证明：：AE∥BC, .∠ACB=LCAE, AB=AB, .∠ACB=LADB, .∠ADB=∠CAE, AD=AD, .∠ACE=∠ABD, .△ACE∽△DBA, AC CE BDB,即4BAC=BDCE, AB=AC, :AB2=BD.CE (3)解：CD=CD, .∠CAD=LCBD, 又：∠BPC=∠APD, .△BCP∽△ADP, AP DP AD6-3. BP CP BC 8 4 ÷AP=3BP,DP=3CP, 4 4 设BP=4x,则AP=3x, 28 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 :AC⊥BD, .∠APD=∠APB=∠CPD=90°， 在RIABP中，AB=VAP2+BP2=V3x2+(4x)2=5x, AB=AC, .AC=5x, 3 CP AC AP 2x DP=CP7x 4 在R1aADP中，AP2+DP2=AD2, =62, 解得r=4V5 ·CP=2x= 85,P=2x=65,AB=5x=45,D=即+p=号x=25 5 2 5 由(2)可知，AB2=BDCE, .CE= AB2 4v5 40V5 BD 22511 5 在RtACDP中，CD=VDP2+CP ÷DE=GE-GD=185 11 29相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明复习讲义 相似的性质与圆的相关计算、相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 复习讲义 考点目录 相似的性质与圆的相关计算 相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 知识点解析 考点一 相似的性质与圆的相关计算 解题原理 1. 圆的固有性质原理 同弧/等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、切线与半径垂直、弦切角等于所夹弧的圆周角、圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 1. 相似三角形性质原理 相似三角形对应角相等、对应边成比例、对应高线/中线/角平分线比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 1. 边角传递原理 利用圆提供大量等角、直角条件，构造三角形相似；再用相似比例关系，求解圆中线段长、半径、弦长、角度、面积。 解题思路 1. 先用圆的性质挖掘等角、直角、互补角； 1. 找两个三角形，利用两角相等证相似； 1. 列出相似对应边比例式； 1. 代入已知线段长度，列方程求未知线段、半径、弦长； 1. 遇面积，用相似比平方求面积关系。 考点二 相似与圆结合：线段比例、乘积关系证明 解题原理 1. 等积式化比例式原理 要证 ，先化成比例：； 转化为证明四条线段所在三角形相似。 1. 圆中等角搭桥原理 借助圆：同弧圆周角、弦切角、圆内接四边形外角，提供两组等角，证三角形相似。 1. 公共角、对顶角原理 利用公共角、对顶角，搭配圆的等角，凑AA相似判定条件。 解题思路 1. 把要证的乘积式先改写成比例式； 1. 把比例式四条线段归到两个三角形中； 1. 用圆的性质找两组对应角相等，证三角形相似； 1. 由相似得对应边成比例； 1. 还原比例式为乘积式，完成证明。 考点一 相似的性质与圆的相关计算 【例题分析】 例1．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 例2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点．设，，． (1)求证：； 若，求的值． 【特值探究】 (2)若，，，求长； 【逆向思考】 (3)点为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直径，是的切线，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，且． (1)求证：为中点； (2)若，，求的长度． 【变式训练】 变式1．（2026·四川乐山·一模）如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 变式2．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，与相切于点，以为边作菱形，交于点C，D，E是对角线上一点，在，上取点F，G，使． (1)求证：是切线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的半径． 变式3．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 考点二 相似的性质与圆结合的线段比例、乘积关系的证明 【例题分析】 例1．（2026·江西萍乡·一模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 例2．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 例3．（2026·福建南平·二模）如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 【变式训练】 变式1．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交于点E，F，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)求证：． 变式2．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，直径与弦相交于点E，于点F，连接与相交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 变式3．（2026·四川宜宾·二模）如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $