2026年江苏省南京市中考数学压轴考点专项---二次函数分类练习

2026届江苏省南京市中考数学压轴考点专项---二次函数分类练习 二次函数的图像与性质的应用 考点1 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2025·江苏南京·一模）二次函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的顶点坐标有可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A．B．C．D． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·一模）将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是________．（填写一个即可） 7．（2025·江苏南京·二模）已知．若，则的取值范围是___________． 8．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 9．（2025·江苏南京·二模）将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是___________． 10．（2025·江苏南京·一模）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则______（填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 11．（2025·江苏南京·一模）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是______． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是_______． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是________． 14．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 15．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则____．（填“”“”或“”） 16．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 17．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)若该函数的最大值为8，求该函数的表达式； (2)用含的代数式表示； (3)若，，都在该函数的图像上，且，结合图像，直接写出的取值范围． 18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 19．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 20．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． (1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； (2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； (3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 21．（2025·江苏南京·模拟预测）已知抛物线的对称轴是． (1)求的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，的取值范围是___________． (3)若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________． 22．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． (1)当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． (2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 二次函数的实际应用 考点2 23．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 25．（2025·江苏南京·二模）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． (1)当时，菜园面积的最大值为 ． (2)求菜园面积的最大值（用含的代数式表示）． 26．（2025·江苏南京·二模）某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 27．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 28．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 29．（2025·江苏南京·二模）从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 30．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 31．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 二次函数与几何结合综合应用 考点3 32．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，M、N分别是边上的动点，且，则线段的最小值为 __． 33．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 34．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点． (1)求a，b的值； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值． 36．（2026·江苏南京·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届江苏省南京市中考数学压轴考点专项---二次函数分类练习 二次函数的图像与性质的应用 考点1 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，根据抛物线在对称轴右侧的增减性可得即可得到结果． 【详解】解：设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则， 二次函数， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ， 故选：． 2．（2025·江苏南京·一模）二次函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的顶点坐标有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据函数图象的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由题意，设， 由图象知，, ∴, ∴，, ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴顶点在第二象限． 故选：B． 3．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解． 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 5．（2026·江苏南京·一模）将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】先求出原函数的顶点坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征求出新的图象的顶点坐标，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴新的图象的顶点坐标为，， ∴新的图象对应的函数表达式是，即． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是________．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴有两个公共点，需对应方程的判别式大于零，从而得出 即可． 【详解】解：抛物线方程为，展开得， ∵抛物线与x轴有两个公共点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 因此k可取任意负数，例如 ． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2025·江苏南京·二模）已知．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，运用二次函数求最值是解题的关键． 先求出的取值范围，再将化为，再利用二次函数的性质求解最值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， 则，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当，， 当；， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 9．（2025·江苏南京·二模）将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键． 直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是， 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·一模）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则______（填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值小于时的函数值，得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，即在对称轴右侧，y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（2025·江苏南京·一模）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二次函数的最值问题，先把（是常数）变形，再对比求出，的值，最后进行相加，计算出最小值，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是_______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，结合点A、B、C、D的横坐标，即可得出对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性，即可得到的大小关系． 【详解】解：二次函数图象上有四点，且满足， ∵A的横坐标B的横坐标C的横坐标2，且A的纵坐标C的纵坐标B的纵坐标， ∴抛物线开口向下（）， 若开口向上，离对称轴越远，纵坐标越大，无法满足， ∵且， ∴对称轴在0和2之间， ∵且， ∴对称轴在0和1之间， ∴对称轴到0的距离最近，其次是到2的距离，然后是到﹣2的距离，到4的距离最远， ∴最小，其次，第三，最大， ∴． 故答案为：． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ． ∴平移后， 的解析式为：， ∵，点 在 上，点 在 上，且 ． ∴点 的横坐标为 ．代入的解析式， 得 则代入到的解析式，得 ∵点在抛物线上． ∴． 条件时， 的最大值小于 ∵， ∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得 当时， ， 当时， ， ∴， 且． 解不等式：， ， ， ， ∵， ∴ ． 解得 ． 解不等式：， 即， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为： 14．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】①联立一次与二次函数解析式消去得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于列不等式求解即可；②先代入得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定最短的条件，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点，通过求直线与坐标轴交点证明是等腰直角三角形得到角，即可得，设抛物线上点的横坐标为，表示出铅垂距离，利用三角函数将转化为关于的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得的最小值． 【详解】解：①联立两个函数解析式，得 ， 把①代入②，得 ， 整理，得 ， ， ∵两函数图象无交点， ∴一元二次方程无实数根，即， ∴， 解得； ②当时， 一次函数， 二次函数， 由垂线段最短可知，当垂直于直线时，的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点， 令，代入一次函数得， 令，代入一次函数得，解得， ∴、， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 设抛物线上点的横坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴ 在中，， ​∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值． 15．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数过点， ， 解得：， 过点， ， 解得：，   ， 故答案为：． 16．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合表格数据，得出和的对称轴为直线，整理得，，再结合表格的数据以及对称性进行列式化简，即可作答． 【详解】解：由题意，根据表格数据可得： 二次函数的对称轴为直线， 二次函数的对称轴为直线， 其顶点式分别为，， ∵当时，，， ∴，， ∴ ∴， 故①符合题意； 二次函数的对称轴为直线 二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵ ∴ ∴， 故②符合题意； ∵，， ∴当时，则，， ∴， ∵不一定为0， ∴不一定成立， 故③不符合题意； 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②④． 17．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)若该函数的最大值为8，求该函数的表达式； (2)用含的代数式表示； (3)若，，都在该函数的图像上，且，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（）把对称轴代入公式，点，以及最值代入解析式解出即可． （）把对称轴代入公式，点，代入解析式解出即可． （）画出图像，数形结合观察图像即可． 【详解】（1）∵对称轴为， ∴， ∵图像经过点， ∴ ∴把代入得， ∵二次函数最大值为 8，对称轴为直线 ∴， 联立方程组解得 ∴抛物线解析式为 即 （2）∵对称轴为， ∴， ∵图像经过点， ∴ ∴把代入得； （3）当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大； ∵ ∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更远， ∴ 解得或， ∵， ∴； 当时，抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小； ∵， ∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更近， ∴， ∴， ∵，， ∴在对称轴的右侧，在的左侧， ∵对称轴为直线，， ∴当,在对称轴的两侧时，， ∴， ∴， 综上所述或． 18．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3)或 【分析】（1）根据根的判别式即可证明； （2）计算当时的函数值即可； （3）结合图像，分类讨论进行解题． 【详解】（1）证明：当时， ， ， ∴不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）解：当时，； 当时，； ∴该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是、； （3）解：当时，抛物线开口向上，经过定点、，如图， 点在第一象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则有； 当时，抛物线开口向下，经过定点、，如图， 点在第二象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则点只能在抛物线内部， 即时，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 19．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 20．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． (1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； (2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； (3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，；当时，；当或时， 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，一次函数与二次函数的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，整理，令，解得，，再算出对应的函数值，即可作答． （2）理解题意，建立，结，得出图象C与D有两个公共点； （3）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 令，则， 解得，； 把代入得， 把代入得， 即图象C必过两定点，其坐标分别是和； （2）解：∵记一次函数的图象为D，且二次函数的图象为C， ∴， 整理得 ∴， ∴图象C与D有两个公共点； （3）解：由（2）得 则， ∴， ∵， 如图所示： ∴当或时，； 当时，； 当或时， 21．（2025·江苏南京·模拟预测）已知抛物线的对称轴是． (1)求的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，的取值范围是___________． (3)若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为， (2) (3)b的值为0或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移； （1）利用对称轴即可求出m值，进而求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，求得时的函数值，最小值为顶点的纵坐标，即可求解； （3）先求出翻折部分的函数解析式，画出的图象，再利用平移得到，数形结合即可判断出直线与恰有个交点时的情况，即可得出结论． 【详解】（1）的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为， （2）抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，取得最小值为， ∵ ∴当时取得最大值， 当时，的取值范围是 （3）解：函数W的图象如图所示， ∵，顶点坐标为； 是由平移得到的且过； 由图可知， ①当时，恰与W有3个交点； ②将的图象向上平移后与只有一个交点时，与恰有三个交点， 令，整理得， 与只有一个交点， ， ， 综上，当直线与W恰有3个交点时，b的值为0或． 22．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． (1)当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． (2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 【答案】(1)①6；②i），ii） (2)①③ 【分析】（1）①由题意易得二次函数的解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解； ②i）由题意易得平移后的函数解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解；ii）由题意易得该二次函数的顶点到x轴的距离等于，然后可得新函数的顶点坐标为，进而可得，则问题可求解； （2）由题意易得，然后根据二次函数与一次函数的图像与性质进行排除选项即可． 【详解】（1）解：①由，，可知：， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ②i）将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像，可得平移后的函数解析式为， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ii）∵新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d， ∴该二次函数的顶点到x轴的距离等于， ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵， ∴， 解得：； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ①当a，b确定时，则根据可知：令，则可把此函数看作是关于t与c的一次函数，显然t的值随c的增大而减小，根据二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随c的增大而减小，故原说法正确； ②当a，c确定时，则根据及二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随的增大而增大，故原说法不正确； ③当b，c确定时，则根据可令，则有， ∴当时，则，因为，所以d随t的增大而增大，由于，所以d随a的增大而减小； 当时，则随a的增大而减小，随a的增大而增大，所以的值随a的增大而减小，即d随a的增大而减小，故原说法正确； 综上所述：正确的有①③． 二次函数的实际应用 考点2 23．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 24．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 25．（2025·江苏南京·二模）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． (1)当时，菜园面积的最大值为 ． (2)求菜园面积的最大值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)80 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． 【详解】（1）解：设菜园的宽为，当时，菜园的长为，菜园面积为，则有： ， ∵， ∴有最大值，最大值为80， 即菜园面积的最大值为， 故答案为：80． （2）解：设菜园的宽为，则长为，菜园面积为，则有： 。 ∵， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 即，菜园面积的最大值为． 26．（2025·江苏南京·二模）某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元 【分析】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）设售价为元时，获得的利润为元．求出当时，和当时，与的函数关系式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 将和分别代入， 得：， 解得：， ． （2）解：设售价为元时，获得的利润为元． 当时，， ． 所以，当时，的值最大，最大值为980． 当时，， ， ， 随的增大而增大， 所以，当时，的值最大，最大值为960． 综上，当售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元． 27．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】(1) (2)船不能安全通过此桥，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题，熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键． （1）以中点为原点、所在直线为轴建立坐标系，根据的长度确定、两点坐标，设出二次函数的交点式；再结合水位上升后水面的宽度，确定点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数表达式； （2）先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距的高度；最后通过比较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过． 【详解】（1）解：为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． （2）解：船不能安全通过此桥． 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 28．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 29．（2025·江苏南京·二模）从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 【答案】(1)像到的距离为 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过点Q作，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，求解即可； （2）①结合（1）的知识点，运用尺规作角等于已知角即可； ②根据题意得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． 【详解】（1）解：过点Q作，垂足为N，如图所示： 根据题意得：， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴像到的距离为； （2）解：①根据（1）中可知，，过点的直线交于点，点即为的像， ∴以点为圆形，任意长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，在点处尺规作角等于得到垂直于的直线，且交射线于点，连接得到与平行直线m，则直线m与的一个交点为点P； ②根据题意得，如图所示，过点作于点，设与交于点，直线与交于点，则，四边形是矩形，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：． 30．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 【答案】（1），，，；（2）；（3）水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． （1）分别把，，，代入求值即可； （2）把代入求出即可； （3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【详解】解：（1），，为常数，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）点在二次函数，，为常数，的图象上， ， ， ， 故答案为：； （3）以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 此时，， 设拱桥所在抛物线的解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为， 当拱顶到水面的距离为时，此时， 即， 解得， 水面的宽度为． 31．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 二次函数与几何结合综合应用 考点3 32．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，M、N分别是边上的动点，且，则线段的最小值为 __． 【答案】/ 【分析】本题考查了含角的直角三角形，二次函数最值问题，求出三角形三边和利用二次函数求最值是解题的关键，过点N作于点D，设，根据勾股定理得出进而求出最小值． 【详解】解：过点N作于点D， ， ∴ ， 设， ，， ， ， ， ∴当时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为：． 33．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 34．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点． (1)求a，b的值； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，S的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出，则，的中点坐标为，根据垂直平分，则直线经过的的中点，即直线经过点，据此求出直线解析式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可； （3）求出直线的解析式为；过点P作轴交于F，连接，根据，可得，则；设，则，可得；则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴，的中点坐标为， ∵垂直平分， ∴， ∴直线经过的的中点，即直线经过点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∴ ， ， ∵， ∴当，即时，S有最大值，最大值为， ∴此时， ∴． 36．（2026·江苏南京·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $