精品解析：安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题

安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x-4x-4=0配方后可化为（　　） A. （x-2）=4 B. （x-2）=8 C. （x-4）=4 D. （x-4）=8 6. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 10. 若a，b为正有理数，则有，，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有（ ） ① ②若 (其中b，c为有理数)，则； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 若是一组勾股数，则整数的值为___________． 12. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 13. 已知，则代数式的值是___________． 14. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图）连接，交分别于点，连接，已知，且． （1）___________． （2）阴影部分面积为___________． 三、计算题：本大题共4小题，共24分． 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． （1）在图中画一个，使其三边长分别为，， （2）在（1）的条件下，BC边上的高为_________． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 19. 如图，在中，于点D，，求： （1）的长； （2）的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 21. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 23. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知两点间的距离为___________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．试判断的形状； （3）已知在坐标平面内有一点，为原点，在直线上找一点，使以为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A.=，故不是最简二次根式； B.=，故不是最简二次根式； C.是最简二次根式； D.=5，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得：． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 5. 一元二次方程x-4x-4=0配方后可化为（　　） A. （x-2）=4 B. （x-2）=8 C. （x-4）=4 D. （x-4）=8 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次项的系数利用完全平方差公式：进行配方即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 6. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 7. 若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先通过勾股定理逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后通过三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为2、和， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形，两个直角边长为2、， ∴这个三角形的面积为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 10. 若a，b为正有理数，则有，，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有（ ） ① ②若 (其中b，c为有理数)，则； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：① ，故该结论正确； ②根据题意，可得 ， 则有，解得， 所以，可有，故该结论正确； ③若， 因为 ， 所以，故该结论正确； ④因为 ，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有4个． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【答案】13 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解． 【详解】解：当a最大时，， 当最大时， ，不是正整数， 所以a的值为13． 12. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 13. 已知，则代数式的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用完全平方公式把代数式变形后把已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 14. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图）连接，交分别于点，连接，已知，且． （1）___________． （2）阴影部分面积为___________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】（1）设，则，由，可得，在中，利用勾股定理列方程即可求解； （2）由条件可得，再证明，可得，，再根据阴影部分面积为梯形的面积即可求解． 【详解】解：（1）设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）∵四个直角三角形是全等的， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为． 三、计算题：本大题共4小题，共24分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】 或 ∴． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． （1）在图中画一个，使其三边长分别为，， （2）在（1）的条件下，BC边上的高为_________． 【答案】（1） 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，画出图形即可； （2）过点作于 ．首先证明，再利用面积法解决问题即可． 【小问1详解】 解：，，， 【小问2详解】 解∶过点作于 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，三角形的面积，勾股定理以及逆定理等知识，学会利用面积法解决问题是解题的关键． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2） ， 证明： 【解析】 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【小问1详解】 根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 19. 如图，在中，于点D，，求： （1）的长； （2）的长． 【答案】（1）12 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，再根据等面积法列式，得，再化简代入数值，即可作答． （2）根据勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， , ∴ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 21. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 【小问3详解】 略 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，； （2） 理由如下： 当，时，， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）略 （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 23. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知两点间的距离为___________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．试判断的形状； （3）已知在坐标平面内有一点，为原点，在直线上找一点，使以为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据两点之间的距离公式解答即可； （2）作轴，再求出，然后根据勾股定理逆定理说明是直角三角形； （3）分三种情况：以点O为圆心，为半径画弧，交直线于点， 设点，由点，根据两点之间的距离公式由，可得，求出解；以点M为圆心，为半径画弧，交直线于点，则点，然后根据得出方程，求出解； 以为底边，作的垂直平分线，交直线于点，则点，然后根据得出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：或或或． 以点O为圆心，为半径画弧，交直线于点， 设点，由点， ∴， 当， 即， 解得， ∴点； 以点M为圆心，为半径画弧，交直线于点，则点， ， 当时，， 解得或（舍去），则点； 以为底边，作的垂直平分线，交直线于点，则点， ， 当时，， 解得，则点； 所以点或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $