精品解析：重庆市巴南区2025-2026学年下期九年级半期测试数学试题卷

2025-2026学年下期初三半期测试 数学试题卷 （全卷共四个大题满分：150分考试时间：120分钟） 注意事顶：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 参考公式：抛物线：的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的右侧正确答案所在的方框涂黑． 1. －4的绝对值是（ ） A. 4 B. C. －4 D. 2. 下列人工智能软件标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别与、相交于点E，F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查方式中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况，选择抽样调查 B. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查 C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 5. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 烷烃是由碳氢元素组成且碳原子间以单键相连的饱和链烃，如图所示是甲烷、乙烷、丙烷的结构式，则当烷烃的化学式中碳原子个数为8时，氢原子个数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象位于第二、第四象限 B. 其图象经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 8. 近年来，重庆市大力发展人工智能机器人产业，已形成完整的机器人全产业链生态，成为国内机器人产业重要集聚区．2023年全市人工智能机器人产量达8万套，经过两年持续增长，2025年产量达到11.52万套，那么这两年机器人产量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F，将线段绕点F逆时针旋转，使点C恰好落在正方形边上点G处，与交于点H，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 10. 已知整式，其中n，为自然数，且．下列说法： ①当时，的最小值为4； ②若，，，为非负整数，满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ③若，，，为正整数（即），满足条件的所有整式M共有15个； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上． 11. 近年来，新能源汽车产业高质量发展，2025年重庆市新能源汽车产量约为1296000辆，数据1296000用科学记数法表示为__________． 12. 为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是_______． 13. 若n为正整数，且满足，则__________． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，于点E，已知，则的半径为__________；将线段沿翻折得到线段，交于点G，连接，交于点M，则的长为__________． 16. 一个四位自然数，若满足，，则称这个四位数为“一生一世数”，例如：四位数4896，∵，，∴4896是“一生一世数”，按照这个规定，最大的“一生一世数”是________；一个“一生一世数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若能被5整除，能被4整除，则满足条件的M的值为________． 三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，数学兴趣小组的同学进行了以下探究，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：已知一条对角线，是平行四边形的一条对角线．作的垂直平分线，垂足为O，分别交于点E，F，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴①________． ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴四边形是③________． ∵， ∴是菱形． 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，德铭与法治老师想要了解学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法、保障身体健康的知识竞赛．竞赛成绩公布后，老师随机抽取了甲、乙两个班各20名学生的成绩，并进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生成绩是：66，72，73，76，82，84，86，87，88，88，88，89，91，93，95，96，98，100，100，100． 乙班20名学生成绩在C组中的数据是：81，86，87，88，89，89，89，89． 甲、乙两个班所抽取学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 87 88 a 乙 87 b 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有1200人，请估计该校九年级参加此次竞赛成绩超过90分的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． （1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ （2）恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 22. 如图，在中，，，，点D是边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向运动，到达点C时停止运动；点Q从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度，沿方向运动，到达点A时停止运动．连接，过点Q作于点M．设运动时间为x秒，线段与的长度之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，点A是某海域补给中心，渔船停靠点C位于补给中心A的南偏西方向100海里处，灯塔B位于停靠点C的正西方向，补给中心A位于灯塔B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求灯塔B与渔船停靠点C之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）补给中心A处的观测人员发现其南偏东的方向D处有大量鱼群，且点D位于点C的正东方向，观测人员立即向渔船停靠点C发送信号，大型渔船在停靠点C后，立即沿正东方向以每小时20海里的速度，前往D处捕鱼（接收信号及通知时间忽略不计）；补给中心A同时派出一艘小型渔船，以每小时10海里的速度从A向D出发，协同捕捞．当两船相距80海里时，它们开始启动协同捕捞作业．请问大型渔船出发多少小时后，两船开始启动协同捕捞作业?（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 25. 在中，，．点D是边的中点，过点D作于点E，连接． （1）如图1，已知，求线段的长； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转至，且在的内部，与交于点O，连接，取的中点F，连接，，求与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，点M为中点，直线l是经过点M的一条直线，把沿着直线l折叠，点E的对应点是N，当面积最大时，请直接写出此时点N到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期初三半期测试 数学试题卷 （全卷共四个大题满分：150分考试时间：120分钟） 注意事顶：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 参考公式：抛物线：的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的右侧正确答案所在的方框涂黑． 1. －4的绝对值是（ ） A. 4 B. C. －4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的概念计算即可．（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．） 【详解】根据绝对值的概念可得：-4的绝对值为4． 故选：A． 【点睛】错因分析：容易题．选错的原因是对绝对值的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆． 2. 下列人工智能软件标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：：将图旋转，与原图不完全重合，不符合题意； ：将图旋转，与原图不完全重合，不符合题意； ：将图旋转，与原图完全重合，符合题意； ：将图旋转，与原图不完全重合，不符合题意． 3. 如图，，直线分别与、相交于点E，F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】解：根据对顶角相等可得， ∵， ∴． 4. 下列调查方式中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况，选择抽样调查 B. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查 C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】范围小、易操作、精确度要求高、无破坏性的调查适合选择全面调查，范围大、工作量大、调查具有破坏性的适合选择抽样调查，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、了解某班学生的身高情况，调查范围小，适合全面调查，该选项不符合题意； B、检测一批袋装食品是否含有防腐剂具有破坏性，适合抽样调查，该选项不符合题意； C、神舟飞船设备零件的质量要求必须全部合格，需要全面调查，该选项不符合题意； D、了解某公园全年的游客流量，工作量大，适合抽样调查，该选项符合题意． 5. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6. 烷烃是由碳氢元素组成且碳原子间以单键相连的饱和链烃，如图所示是甲烷、乙烷、丙烷的结构式，则当烷烃的化学式中碳原子个数为8时，氢原子个数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知，当碳原子个数为时，氢原子个数为，据此即可求解． 【详解】解：当碳原子个数为1时，氢原子个数为， 当碳原子个数为2时，氢原子个数为， 当碳原子个数为3时，氢原子个数为， …… 当碳原子个数为时，氢原子个数为， 当碳原子个数为8时，氢原子个数为． 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象位于第二、第四象限 B. 其图象经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，通过代入验证和性质分析逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为 ， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， 对于A选项，∵ ，∴ 图象位于第二、四象限，A结论正确，不符合题意； 对于B选项，将代入，得 ，∴ 图象经过点 ，B结论正确，不符合题意； 对于C选项，∵ ，当 时，图象在第二象限，∴ 随的增大而增大，C结论正确，不符合题意； 对于D选项，当 时，若 ，则 ，∴ 不成立，D结论不正确，符合题意． 8. 近年来，重庆市大力发展人工智能机器人产业，已形成完整的机器人全产业链生态，成为国内机器人产业重要集聚区．2023年全市人工智能机器人产量达8万套，经过两年持续增长，2025年产量达到11.52万套，那么这两年机器人产量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长规律列一元二次方程求解，舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设这两年机器人产量的年平均增长率为， ∵2023年产量为8万套，经过两年增长后2025年产量为11.52万套， ∴列方程得， 方程两边同除以8得 ， 开平方得 ， ∵增长率为正数，舍去负根， ∴，解得， 即年平均增长率为． 9. 如图，在正方形中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F，将线段绕点F逆时针旋转，使点C恰好落在正方形边上点G处，与交于点H，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，作于，在中，由，，得，，进求出，，再由，得，因此，由旋转性质得，结合勾股定理可证，因此是等腰直角三角形，，过作于，设，利用和的性质，结合 ，解得，进而求出，，由，两边平方得的值． 【详解】解：过作于，作于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴，解得， ∴， 在 中，， 由旋转性质得， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形，得， 过作于， 设， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 在等腰直角中， ，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中n，为自然数，且．下列说法： ①当时，的最小值为4； ②若，，，为非负整数，满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ③若，，，为正整数（即），满足条件的所有整式M共有15个； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，可知，根据即可判断①；找出两个不同的单项式即可判断②；根据自然数及正整数的定义可知，进而求出所有情况即可判断③． 【详解】解：①设， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为4，①正确； ②当时，此时， ∵是自然数，为非负整数， ∴可取和， 此时整式M分别为和， 即满足条件的所有整式M中有不止一个单项式，②错误； ③∵为自然数，，，，为正整数，， ∴， 当时，有共4种不同情况； 当时，同理有6种不同情况； 当时，同理有4种不同情况； 当时，同理有1种不同情况； 可知共有种不同情况， 即满足条件的所有整式M共有15个，③正确； ∴正确的个数是2． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上． 11. 近年来，新能源汽车产业高质量发展，2025年重庆市新能源汽车产量约为1296000辆，数据1296000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：数据1296000用科学记数法表示为． 12. 为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图确定所有等可能的结果数，再找出两人选择同一项运动的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：记羽毛球，滚铁环，篮球三项运动分别为，，， 根据题意画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种， ∴小晴和小茵选择同一项运动的概率是． 13. 若n为正整数，且满足，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】估算的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：， 即， ，且为正整数， ． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，于点E，已知，则的半径为__________；将线段沿翻折得到线段，交于点G，连接，交于点M，则的长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①连接，由垂径定理可得，设，则，然后在中，由勾股定理建立方程求解半径；②先证明，然后解求出，再解求出即可． 【详解】解：①连接， ∵是的直径，，， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，即的半径为； ②由折叠可得，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则在中，由勾股定理得， 解得（舍负） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 16. 一个四位自然数，若满足，，则称这个四位数为“一生一世数”，例如：四位数4896，∵，，∴4896是“一生一世数”，按照这个规定，最大的“一生一世数”是________；一个“一生一世数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若能被5整除，能被4整除，则满足条件的M的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）直接按照题目给的数据代入求值即可； （2）根据已知条件，将四位数四个位置上的数设出来，按照题目的步骤走即可． 【详解】（1）解：∵千位和百位数越大，四位数越大， ∴千位上的数字与百位上的数字均为9， ∵千位上的数字加十位上的数字为13，百位上的数字加个位数上的数字为14， ∴十位上的数字为4，个位数上的数字为5， ∴该四位数为9945． （2）解：设该四位数十位上的数为，则千位上的数为，百位上的数为，个位上的数为， 则， ， ， ∴ ， ， ∵能被5整除， ∴个位数为0或5， ∵个位数为0， ∴的个位数为0或5，则或， ∵， ∴，， 能被4整除， 当时，， ， ∵， ∴， 当时，非整数，排除； 当时，，整数，且能被整除， 当时，，非整数，排除； ∴， 则千位上的数为，个位上的数为， ∴满足条件的的值为． 三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】0，1 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到不等式组的解集，然后写出整数解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴所有整数解为0，1． 18. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，数学兴趣小组的同学进行了以下探究，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：已知一条对角线，是平行四边形的一条对角线．作的垂直平分线，垂足为O，分别交于点E，F，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴①________． ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴四边形是③________． ∵， ∴是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作线段的垂直平分线的步骤作图即可； （2）先证明，然后证明四边形是平行四边形，再由线段的垂直平分线得到邻边相等，即可证明是菱形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，德铭与法治老师想要了解学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法、保障身体健康的知识竞赛．竞赛成绩公布后，老师随机抽取了甲、乙两个班各20名学生的成绩，并进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生成绩是：66，72，73，76，82，84，86，87，88，88，88，89，91，93，95，96，98，100，100，100． 乙班20名学生成绩在C组中的数据是：81，86，87，88，89，89，89，89． 甲、乙两个班所抽取学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 87 88 a 乙 87 b 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有1200人，请估计该校九年级参加此次竞赛成绩超过90分的学生人数是多少？ 【答案】（1）和100；； （2）乙班的竞赛成绩较好，理由见解析（合理即可） （3）420人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可，然后求出九年级D组的人数，即可求解占比； （2）根据平均数、中位数或者众数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：由甲班的20名学生成绩的数据可得，88和100出现的次数最多， ∴众数和100， 乙班A组人数：，B组人数：，20个数据，则中位数是第10，11个数据的平均数， ∴由C组数据可得第10，11个数据是88，89， ∴中位数 ∵ ∴； 【小问2详解】 解：乙班的竞赛成绩较好，理由是：甲班和乙班的平均数一样，但是乙班的中位数高于甲班的中位数，说明乙班有一半以上的学生成绩在88.5分以上． 【小问3详解】 解：（人） 答：该校九年级参加此次竞赛成绩超过90分的学生人数是420人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 21. 某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． （1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ （2）恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 【答案】（1）A奖品单价10元，B奖品单价15元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组、分式方程的应用． （1）通过设未知数，根据两种购买方案的总费用建立二元一次方程组，求解得到两种奖品的单价； （2）结合第一问结果，根据打折后的单价、总花费和数量关系建立分式方程，检验后得到m的值，考查二元一次方程组和分式方程的实际应用． 【小问1详解】 解：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元， 根据题意可得 ， 解这个方程组得， 答：A奖品单价为10元，B奖品单价为15元； 【小问2详解】 解：由（1）可知A原价10元，B原价15元，打折后A单价为元，B单价为元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时， ， 即是原方程的解， 答：m的值为． 22. 如图，在中，，，，点D是边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向运动，到达点C时停止运动；点Q从点C出发，以每秒0.5个单位长度的速度，沿方向运动，到达点A时停止运动．连接，过点Q作于点M．设运动时间为x秒，线段与的长度之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2）图见解析，随x的增大而减小；在上随x增大而增大，在上随x增大而减小； （3）当时，． 【解析】 【分析】（1）证明，求得，据此计算可求得；当时，利用三角形面积公式可求解；当时，作于点，证明，求得，利用三角形面积公式即可求解； （2）列表、描点，连线，画出函数图象，分别写出函数，的一条性质即可； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 当时，点在上，则， ∴； 当时，点在上，则， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，，； 【小问2详解】 解：列表： 1 2 3 5 8 5 2.5 1 2 6 0 描点，连线，函数图象如下： ； 由函数图象知，随x的增大而减小；在上随x增大而增大，在上随x增大而减小； 【小问3详解】 解：根据图象可知：当时，． 23. 如图，点A是某海域补给中心，渔船停靠点C位于补给中心A的南偏西方向100海里处，灯塔B位于停靠点C的正西方向，补给中心A位于灯塔B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求灯塔B与渔船停靠点C之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）补给中心A处的观测人员发现其南偏东的方向D处有大量鱼群，且点D位于点C的正东方向，观测人员立即向渔船停靠点C发送信号，大型渔船在停靠点C后，立即沿正东方向以每小时20海里的速度，前往D处捕鱼（接收信号及通知时间忽略不计）；补给中心A同时派出一艘小型渔船，以每小时10海里的速度从A向D出发，协同捕捞．当两船相距80海里时，它们开始启动协同捕捞作业．请问大型渔船出发多少小时后，两船开始启动协同捕捞作业?（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）灯塔B与渔船停靠点C之间的距离为海里； （2）大型渔船出发小时后，两船开始启动协同捕捞作业． 【解析】 【分析】（1）作于点，在中，解直角三角形求得，，进一步计算即可求解； （2）先证明是等边三角形，设大型渔船出发小时后，大型渔船到达点，此时小型渔船到达点，作于点，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：作于点， 在中，，海里， ∴，， ∵， ∴，∴， 答：灯塔B与渔船停靠点C之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 设大型渔船出发小时后，大型渔船到达点，此时小型渔船到达点， ∴，， ∴，， 作于点， ∴，， ∴， 由勾股定理得，即， 整理得， 解得， ∵， ∴大型渔船出发小时后，两船开始启动协同捕捞作业． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点M的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴得到，再根据点A坐标和得到点C坐标，最后把点A和点C的坐标代入即可解答； （2）先根据抛物线的对称性求得点B的坐标，再求得直线的表达式，设，则，，从而用t表示出，进而根据二次函数的性质得到当有最大值时点P的坐标，然后过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到，可推出当四点共线时，取得最小值，接着设直线的表达式为，直线的表达式为，利用点P的坐标和点E的横坐标可求出m的值，得到点E和的坐标，即可利用两点距离公式解答； （3）根据是等腰直角三角形，可推出该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，然后分情况讨论，当点M在第四象限时，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S，根据直角三角形的性质和等边对等角，结合已知角度关系可推出，从而得到，接着证明，利用相似三角形对应边成比例和矩形的性质，结合线段的和差，设，表示出和，求得z的值，从而得到点N的坐标，进而求得直线的表达式，最后联立抛物线，即可求得答案；当点M在第三象限时，利用抛物线的对称性即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵点，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线， ∴， 设直线的表达式为，把、， ， 解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，设，则，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，此时三点共线，如图所示， ∵，， ∴不妨设直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点E在抛物线的对称轴上，对称轴为直线， ∴点E的横坐标为2， ∴， ∵点和点关于y轴对称， ∴， 把代入直线的表达式为，得， ∴，即直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴，， ∴，， ∴， 即当有最大值时，的最小值为； 【小问3详解】 解：点M的横坐标为或； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， ①当点M在第四象限时，如图所示，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，点是的中点，，， ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∵，轴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，（舍去）， ∴点M的横坐标为； ②当点M在第三象限时，如上图所示，取点关于y轴的对称点， 则，此时点的横坐标为， 又∵的对称轴为y轴， ∴点在抛物线上， ∴点符合条件； 综上，符合条件的点M的横坐标为或． 25. 在中，，．点D是边的中点，过点D作于点E，连接． （1）如图1，已知，求线段的长； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转至，且在的内部，与交于点O，连接，取的中点F，连接，，求与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，点M为中点，直线l是经过点M的一条直线，把沿着直线l折叠，点E的对应点是N，当面积最大时，请直接写出此时点N到直线的距离． 【答案】（1）6，见详解 （2），见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）首先在等腰直角三角形中求出，然后在等腰直角三角形中再求出，进而求出的长； （2）观察图形可以猜想出，结合等腰直角三角形的性质及中点F的条件，分别取，的中点，，连接，，，进而利用斜边上的中点、中位线的性质证明即可； （3）观察图形可知的顶点N是变化的，因此先确定点N的运动轨迹．结合折叠的性质可知它的运动轨迹是以M为圆心，为半径的圆．由于的底边为固定值，因此只要边上的高最大就能保证的面积最大，并且它的高即为点到直线的距离，然后求解即可． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ∵点D是边的中点， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由：如图1，分别取，的中点，，连接，，， 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， 由性质知，，，． 在中，由中位线的性质可知， ，，，． 四边形是平行四边形，，． ， ． 在和中， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，设为沿直线折叠后的三角形，连接，，过点作于． 为对称点， ． 在中，，， ， ． 在中，由勾股定理得 ， ∴点N的运动轨迹是以M为圆心，为半径的圆． 过点作于， 则，． 在中，由勾股定理得 ． 如图3，作于，则的长度等于点到直线的距离， 则当经过圆心时最大，由于底边为固定值，所以此时的面积取得最大值． 由条件可知，则． 是的中点， ， ， ． 当的面积最大时，点N到直线的距离为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、平行四边形、圆、中位线、全等及轴对称等知识．能根据已知条件快速联想有关知识并作出辅助线，熟悉解决几何最值问题的一般思路是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $