福建泉州第五中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

泉州五中2025-2026学年第二学期期中考参考答案 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.C2.B3.D4.B5.C6.A 7.D 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BCD 10.BC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.52元 13.±2 14 14.【详解】(1)已知2 asin A+bsinC=nc sin Asin B,由正弦定理化简得 2sin2A+sin B sinC=msin Asin B sinC, 所以m= C品A当4号时，m45.故8=C营有C了B8=0)月 2sinA 1 2 则有sin sinC=sin B sin-B-5 3 sno sin 2n n2+25s+后升片因9君）版(2m合] 3 4 325、525145 从而sin B sinC∈ 代入m的表达式得m= sin BsinC3 1 33 当且仅当B=C= 143 时取等号，故m的取值范国为+月 (2)对固定的角A,sin Bsin C= cosa-c-cs8-c-c-c+es4]小s4. 当且仅当8=C时取等号，此时m最小，设B=C,则B=”2,s血B=cos子 故M 2sinA 1 4sinA,1 1+cossinA1+cos,令t=tamu>0),由万能公式得simA= 1+12,cos4= 1-t2 2 1+t21 代入化简得m=4+1+f_光，1 。2+22V之2=3·当且仅当9即1=时取等号 2x1 时am4二子=子放衍茶为： 14W3 3 0 第1页（共4页) 四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解11)在△4C中，令西-，C-6,则正=正+正=+片6-a)=号丽+C:3分 3 |a上2,1b=1,a.balb1cosl20°=-1， 所以丽分a--版-64a万-}61-4 .6分 3 (2)AE=AB+BE=AB+BC=AB+14C-AB)）上1-五+乃，8分 AF=AB+BF=AB+LBC=AB+(AC-AB)=自-)a+b,.10分 则A亚.AF=[A-)a+-[1-aHb14,即1-21-四a+[1-)μ+0-a.b+ub=4, 1,17 40-1-0-0-刘+a0-]+=4,化简得：7=52+5业，所以牙元写13分 16.(15分) 【详解】(1)'asi4-bsinB=（2+cinC,由正弦定理得：a-b2=√2bc+c2, .b2+c2-a2√ 2bc 2,即co4=-2 2 2 93分 又A∈(0，m,si4=2 4分 在△ABC中，由正弦定理得： a sinA sinC ，∴sinc=c-sin4_3V26 a26 7分 (2)记CD=t,则BD=AD=3t,:∠ADB=T-∠CDB,.cos∠ADB+coS∠CDB=0..9分 在AMDB和△CDB中，由余弦定理得：9r+g-36,+94-52-0,解得：1=2，…12分 18t2 6t2 吸a1DB是动长为6的三角形，故ZCDB三，△BCD的面积S)X2x6X号3B:5分 17.(15分) 【详解】(1)在图2中，设圆锥的底面圆半径为r,则2=×2x2π，解得，=1.…2分 因为在图1中，点B、C三等分半圆，所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点， 则△18C为等边三角形，所C0=2=2,所以BC-V5 5分 又因为点M、N分别是OB、OC的中点，所以N=BC-5 7分 2 (2)因为Se×5x5x55,圆锥的病h=V2-正-5， .9分 2 24 1 =1x35x5=3, 所以V,-c=×S®cxh=× .11分 3 34 所以VM-ACv= 11 三Vw-02Xac08c= ..14分 2 16 即四面体ACMN的体积为 6 15分 第2页（共4页) 18.(17分) 【详解】(1)设∠BAD=a,C∈(0，)，在△ABD中，AD=2,AE=AB=1, 由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB.AD.C0Sa,得到BD2=1P+22-2.2c0Sa=5-4c0Sa.1分 又S超D三S+S21X2snC士BD3n60,2分 所以aa64-5+sma-5csa-5+2aa哥}2 得到sima-31, 3分 F 又ae，所以a子则e号所以a .4分 6 .5分 (2)①由(a2-b)sinA=2S,则(a2-b2)sinA=2号be.sin A,又sinA≠0， 所以d2-b2=bC,即a2=b2+bC,6分 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA,得到b2+bc=b2+c2-2 bc cosA, 所以bc(2c0SA+1）)=C2,得以b(2C0SA+1)=C,7分 ∴.2sinB.cosA+sinB=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinA.cosB+cosA·simB sinB=sin A.cosB-sinB.cosA=sin(A-B),...... 8分 又0<B<π，-兀<A-B<π， .B=A-B或B+A-B=元，即A=2B或A=元（舍去)，故A=2B,即∠BAC=2∠ABC10分 ②不妨设∠ABC=日，则∠BAC=28,∠ACB=兀-日-20=兀-39..11分 由正弦定理知 m9sm(π-30：所以c=b.s血30 b 12分 sin [0<θ<π 又{0<2θ<π 0<0 13分 0<π-38<π bsin30 +4b ∴.c+4b sin sin30+4sine sin(20+0)+4sin bcOS∠ABC bcose sine.cose sine.cose sin 20-cos0+cos2-sin+4in2cos +2cos0-1+44c+34c03 sin0.cosθ cosθ cosθ cose .15分 又2c0s0<1,∴原式=4cos0+3 c0s≥24cos.3 V =4W5,m16分 当且仅当c心0-子即cs8=9时取等号， 2 第3页（共4页) bcos乙1BC的最小值为4W5,此时ABC= :、c+46 17分 6 19.(17分) 【详解】（1)在图1中的半球中，阴影面为一个圆面， 由球的截面圆性质，可知截面圆半径为5=VR2-正，则阴影面积为S=2=πR2-d):1分 在图1中的圆柱中，阴影面为两个同心圆所夹的圆环面， 因圆柱的底面半径和高都等于R,故小圆的半径为r=d,大圆半径为R, 则阴影面积为S=(R-☑)，2分 因S=⊙，故新几何体的体积等于半球体的体积，即几每体=3 欣3..4分 2 (2)不妨设H>R,先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺得到如图所示的球台， 则球台的高为H-R,下底面半径为R,上底面半径为√R2-(H-R), 5分 H-R 由祖暅原理，球台体积等于与之等高， 底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积，其中小圆锥的底面半径为H-R, 则球台体积为元R(H-R)沉阳-R,……心…7分 将其加上半球的体积。即得球缺的体积：=元R'(H-网(H-用，Rr3R-用 3 …8分 若H<R,则可先计算另一半高为2R-H的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为元 3R3π2R-D3R-2R-D】=四4R-2R-DR+0Eπ3R-H0 3 3 。0广 (3)依题意，该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分是球体的8，去掉3个包含点A的正方体 的面截球所得球缺的 .12分 ×2-32 因V=3 兀， .13分 高为2-5的球缺体积为：w背2-3x2-Q-16-10西 .15分 故所的公头部分的体积为：”名-3日学子a61W)5√。 元.17分 8 4 6 第4页（共4页）桌州五中2025：2026学年第二学期期中考试题 高一数学 (本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上· 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小愿5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合愿目 要求的。 1.若复数2=2+的实部与虚部互为相反数，则实数口的值为() A. -3 B.-1 c D.1 2.化简以下各式，结果不是零向量的为() A.AB+BC+CA B.B+AC-D+C⑦ C.0A-0D+AD D.NO+OP+-M元 3.已知向量a=(cos日，sin8),i=(4,-3),下列选项正确的为() 人若a16,则am0-身 B.若a1不，则m0=号 C.6-的最小值为6 D.若a与a-6垂直，则6--26 4.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则() A.AB//CD B.EF//AB C.GH/IAB D.GH//EF 5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,并 测得∠BDC=120°，∠BCD=15°，CD=20N3米，在点C处测得塔项A 的仰角为30，则塔高AB=() A.105米 B.13米 C.10W6米 D.152米 第1页共4页 △4BC中.角LBC的对边分别为a.bc,若9-2 ineo,coB+Ba,则C。 A.5 B.5 D.2 、己知三校维5-BC中，按5，B,AC两两”且长度都为25以S为球心，4为半各的童 三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（） A号 B. C.2π D.3 、&已知。、方、退平面向量，是单位向量，若非等向量ā与的夹角为冬，向五满足形一纪玉0 则后-利的最小值是() B.5+1 C.2 A.5-1 D.2-5 二、造绑。本题共3小感，每小愿6分，共18分在每小愿给出的造项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知，云是复数，则下列结论正确的是() A.若马-马>0，则名>马 B.若<0，则是纯虚数 C6*-(6+ D.6+z2+,-2f=2+2f 10.如图(1)是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器 内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P,如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2).下 列四个命题中，正确的有() A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.在图1容器中，若往容器内再注入Q升水，则水面高度是容器高度的 C,将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P 图1 图2 D,任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 1,第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成， 构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合。会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1 的圈0，O,0互相过圆心，A,B为圆0上两点，且0A10B, 点C在圆0与圆Q上运动.若OC=0A+rOB(1,HeR, 则下列选项可能成立的是（) (图) (图2) A.1=-2 B.=3 C.A-2μ=-4 D.22+22=5 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12。已知圆台的高为4，上底面半径为2，下底面半径为5，则该圆台的体积为 1。已知关于x的实系数一元二次方程-女+2-0的两个虚根为，，若书一=2，则实数k的值为 14.已知△ABC的内角4B,C所对的边分别为a.b,c,满足2 asin A+bsmC=mcsi血As血B. ()当：号时，m的取值范图是 :(2)当m取得最小值时，tanA=】 四、解答题：本题共5小题，共7门分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，AB=2,AC=1,∠BAC=120°，点E,F在BC边 上且BE=BC,BF=uBC 1)若入=号，用孤C表示恋，并求线段E的长。 》者正正4，求的值 16.(15分) 在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,a=2W3 (1)若asinA-bsinB=(2b+e sinc,求sinC: (2)若D是边AC上一点，且满足AD=3DC=BD,求△BCD的面积， 17.(15分) 如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA 为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题： (I)求圆锥中线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积 图1 图2 第3页共4页 18.(17分) a温设边的中a,G防加彩的@。经 除去直径端点的一点，连接BC,BD mo:助注连彩加在线0方地品D我 时，求cos∠BAC: (2)在△ABC中，记BAC,ABC,∠4CB的对边分别为a6,c △ABC的面积为S,满足(a2-b2)sim∠BAC=2S, C+46一的最小值. O求证：∠B4C=2LABC:②求cos乙ABC 19.(17分) 我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”这就是“祖胞原理”， 意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个 裁面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 图1 图2 (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平 面口上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为项点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何 体，现在用平行于平面α的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心0到截 面的距离为d,分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积. (2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后， 剩下的线段长叫做球缺的高，根据祖跑原理，推导半径为R,高为H的球缺的体积公式 (3)若正方体ABCD-A8GD棱长为、2，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体 积 第4页共4页