精品解析：湖北省宜昌市宜都市2026年春季学期初中毕业年级模拟性测试数学试题

2026年春季学期初中毕业年级模拟性测试 数学试题 （本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，只交答题卡． 参考公式：一元二次方程的求根公式是（），二次函数图象的顶点坐标是，弧长，． 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，比较各数绝对值的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴的绝对值最小，即对应的点与原点距离最近． 2. 正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“慎”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 思 B. 明 C. 笃 D. 辨 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”的特征可得，“慎”的对面是“思”． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等知识点，熟知相关运算法则是解本题的关键． 根据同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 6. 下列事件是不确定事件的是（ ） A. 从只装有个白球的袋子中摸出一个球，是白球 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 抛掷一枚硬币，硬币终将落下 D. 太阳从东边升起 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关事件的定义：一定条件下，一定发生的为必然事件；可能发生也可能不发生的为随机事件；一定不发生为不可能事件；必然事件和不可能事件均属于确定事件；据此判断即可． 【详解】解：、袋子中仅装有个白球，摸出白球必然发生，属于确定事件，不符合题意； 、打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻，也可能播放其他内容，可能发生也可能不发生，属于不确定事件，符合题意； 、抛掷硬币，受重力作用硬币终将落下，必然发生，属于确定事件，不符合题意； 、太阳从东边升起是必然发生的，属于确定事件，不符合题意． 7. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 8. 如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A. 6.5 B. 8.5 C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 10. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷，物理学规定，原子核所带的电荷为正电荷．氢原子中的原子核与核外电子各带1个电荷，则氢原子中的核外电子所带电荷用正数或者负数表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正负数表示相反意义的量，已知原子核与核外电子所带电荷是相反意义的两种量，规定原子核所带电荷为正电荷，据此可推导出核外电子所带电荷的表示． 【详解】解：由题意得，氢原子中的核外电子所带电荷为． 12. 如图，正十边形转盘被分成十个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率 【详解】解：∵转盘被分成十个面积相等的三角形，其中阴影部分占份， ∴指针落在阴影区域的概率为． 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 15. 如图，点为的边上一动点（点与点，不重合），，，与关于成轴对称，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，． （1）的度数为________； （2）当点运动到的中点时，线段的长为________． 【答案】 ①. 135 ②. 【解析】 【分析】（1）连接，证明，推出，即，再证明，推出，据此计算即可求解； （2）由轴对称的性质可得，，，作，交的延长线于点，则，由旋转的性质可得，，证明，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）连接，记与交于点， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵与关于边成轴对称， ∴，，， ∴， 如图，作，交的延长线于点， 则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如下图，在中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，BC∥AD， ∴∠DAF=∠BCE， 在Rt△ADF和Rt△CBE中， ， ∴△CBE≌△ADF， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】先证BC=AD，∠DAF=∠BCE，∠DFA=∠BEC，根据AAS证出△CBE≌△ADF，从而得出BE=DF． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 18. 如图，某物流公司仓库内有一座货架，货架顶部安装了一个装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点，此时．叉车向货架方向行驶一段距离后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． （1）求货架的高度； （2）若，求的值． 【答案】（1）货架的高度为； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，解直角三角形求出，即可解答； （2）设，利用勾股定理求出，进而得到，再利用正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， 答：货架的高度为； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 19. 为营造书香校园氛围，培养学生良好的阅读习惯，某学校实施了《“书香润心”课外阅读计划》，通过设立班级图书角、开展阅读分享会、鼓励家庭共读等形式引导学生积极开展课外阅读．为评估活动成效，学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“每周课外阅读时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取60名学生．根据收集到的数据，将阅读时间（单位：小时）分为、、、四组进行统计，并绘制了“学期初调查数据扇形图”和“学期末调查数据条形图”，部分信息如下所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）在“学期初调查数据扇形图”中，组人数所占比例是______； （2）补全“学期末调查数据条形图”； （3）若该校七年级有600名学生，请估计学期末七年级学生每周课外阅读时间不低于以上（含）的人数为______人； （4）请结合学期初与学期末的统计数据，说一说该校七年级学生的课外阅读习惯是否发生变化，并阐述理由． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4） 解：七年级学生的课外阅读习惯发生改变，理由如下： 学期初组人数占比为，学期末组人数占比为，学期初、组人数共占比为，学期末、组人数共占比为，说明七年级学生的课外阅读时间不足3小时的人数减少了，所以可得七年级学生的课外阅读习惯明显发生改变． 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）利用减去其他项目的占比即可； （2）利用总人数减去其他项的数量，再补全条形统计图即可； （3）根据样本计算总体即可解答； （4）根据各个分组的对比即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：学期末组人数为(人)； 【小问3详解】 解：(人)， 故答案为：； 【小问4详解】 略 20. 【阅读理解】按照国际标准，书籍和纸张的长与宽都有固定的规格．例如：A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 【动手操作】 （1）将纸按如图1所示的方式折叠，通过观察、计算得到纸的长与宽的比值为________； 【应用拓展】 （2）纸的长与宽分别是多少？（结果用根号表示） （3）按如图2所示的方式折叠纸，求长方形的长与宽的比值． 【答案】（1） （2）纸的长与宽分别是； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为，即可得出结果； （2）根据A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，可得纸的长与宽的比为，设纸的长与宽分别是，再根据纸的面积为，列出方程求解即可； （3）设纸宽，则长，由折叠性质得，分别求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长与宽的比值为； 【小问2详解】 解：∵A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同， ∴纸的长与宽的比为， 设纸的长与宽分别是， 由题意得，即， 解得，则， 答：纸的长与宽分别是； 【小问3详解】 解：设纸宽，则长， 由折叠性质得， 因此， 由折叠性质得， 长方形中， 长宽比（大比小）为： ． 21. 如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：如图，连接 ∵的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∵与相切 ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，求出，由垂径定理的逆定理得到，然后由切线的性质得到，即可证明； （2）连接，，，设与交于点F，证明，得到，设，，得到，然后求出，得到是的直径，证明出，得到，代入求出，，利用，然后求出，然后根据阴影部分的面积求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，，设与交于点F ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的直径 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∴的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点O是的中点 ∴ ∴阴影部分的面积 ． 22. 一位滑雪者从山脚坐匀速上升的缆车5分钟后到达山顶，然后休整2分钟，再从山顶滑下．为了了解整个过程中滑雪者的高度与时间的关系，测得一些数据如下表： 时间 0 60 120 180 240 300 420 425 430 440 高度 0 180 360 720 900 850 700 100 （1）表中的值为________，的值为________； （2）若滑雪者从山顶滑下的高度随时间的变化关系可以近似看成一个二次函数，求整个过程中滑雪者的高度与时间的函数关系式； （3）若正半山腰有一观察哨，求这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间． 【答案】（1）540；900 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据和题意即可得到答案； （2）分为三个部分：上山阶段，休整阶段和下山阶段，根据表格中的数据求解即可； （3）把分别代入和中，求出对应的t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，由题意得， 解得， ∴， 综上所述，； 【小问3详解】 解：在中，当时， 在中，当时， ， 解得或（舍去）， ， 答：这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间为． 23. 如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上． （1）的度数为________； （2）如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点． ①的度数为________； ②若，求线段的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质，即可求解； （2）①根据折叠的性质和矩形的性质，可得，再根据平角的定义，计算即可求解；②根据特殊角的三角函数值，可求，，再根据，可说明矩形是正方形，从而，，，最后再根据三角函数，解直角三角形即可； （3）延长交于点，过点作，交、于点、，设，则，，根据矩形的性质，可得，利用“”得，从而可说明四边形是正方形，进而可求，，再说明，可得，，最后根据勾股定理，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得，，， 矩形纸片， ， 点对应点落在直线上，即点，，三点共线， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：①由折叠的性质得，，，，， ，即点，，三点共线， 点在折痕上，即点，，三点共线， ， ，即， ； 解：②矩形纸片， ， 由①知，， 在中，，， 则，， ，即， 矩形是正方形， ， 由折叠得，，， ， ，， ， 在中，，即， 则； 【小问3详解】 解：如图3，延长交于点，过点作，交、于点、， 设，则，， 矩形纸片， ，， （）， ， ， ，则， ， ， ， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， 在中，，即，，，整理得， 左右两边同时乘，得，解得或 则的值为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为． （1）直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； （2）求点的坐标，并用含，的代数式表示； （3）如图，当时，把点向上平移个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； （4）当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】（）由旋转的性质得到，再结合已知条件解答即可求解； （）由旋转的性质结合矩形的性质即可解答； （）先求出线段所在直线的解析式，联立，结合图象，分两种情况讨论即可； （）根据抛物线的解析式可得，即得，得到抛物线的顶点坐标是，令，再根据二次函数的性质及点的位置解答即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，点在轴负半轴上， ∵， ∴， ∴； ∵，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，， ∴轴， 由旋转的性质得， 由（）知， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（）知，由（）知抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的解析式为， 把点向上平移个单位长度得到点，则， 设线段所在直线的解析式为，则， 解得， ∴线段所在直线的解析式为， 联立，得， ∴，即， 解得， ∵抛物线与线段只有唯一的公共点， ∴或， 当时，则，即恒成立； 当时，则，解得； 综上，的取值范围为或； 【小问4详解】 解：由（）知抛物线， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 令， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， 当时，随的增大而增大， ∵顶点随着点向右移动而向上移动，即随的增大，增大， ∴， 又∵点在轴正半轴上， ∴ ， ∴， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期初中毕业年级模拟性测试 数学试题 （本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束，只交答题卡． 参考公式：一元二次方程的求根公式是（），二次函数图象的顶点坐标是，弧长，． 一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，计30分．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“慎”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 思 B. 明 C. 笃 D. 辨 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是不确定事件的是（ ） A. 从只装有个白球的袋子中摸出一个球，是白球 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 抛掷一枚硬币，硬币终将落下 D. 太阳从东边升起 7. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A. 6.5 B. 8.5 C. 11 D. 13 10. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计15分．） 11. 科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷，物理学规定，原子核所带的电荷为正电荷．氢原子中的原子核与核外电子各带1个电荷，则氢原子中的核外电子所带电荷用正数或者负数表示为________． 12. 如图，正十边形转盘被分成十个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是________． 13. 计算的结果是________． 14. 已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 15. 如图，点为的边上一动点（点与点，不重合），，，与关于成轴对称，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，． （1）的度数为________； （2）当点运动到的中点时，线段的长为________． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．） 16. 计算：． 17. 如下图，在中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF． 18. 如图，某物流公司仓库内有一座货架，货架顶部安装了一个装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点，此时．叉车向货架方向行驶一段距离后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． （1）求货架的高度； （2）若，求的值． 19. 为营造书香校园氛围，培养学生良好的阅读习惯，某学校实施了《“书香润心”课外阅读计划》，通过设立班级图书角、开展阅读分享会、鼓励家庭共读等形式引导学生积极开展课外阅读．为评估活动成效，学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“每周课外阅读时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取60名学生．根据收集到的数据，将阅读时间（单位：小时）分为、、、四组进行统计，并绘制了“学期初调查数据扇形图”和“学期末调查数据条形图”，部分信息如下所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）在“学期初调查数据扇形图”中，组人数所占比例是______； （2）补全“学期末调查数据条形图”； （3）若该校七年级有600名学生，请估计学期末七年级学生每周课外阅读时间不低于以上（含）的人数为______人； （4）请结合学期初与学期末的统计数据，说一说该校七年级学生的课外阅读习惯是否发生变化，并阐述理由． 20. 【阅读理解】按照国际标准，书籍和纸张的长与宽都有固定的规格．例如：A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 【动手操作】 （1）将纸按如图1所示的方式折叠，通过观察、计算得到纸的长与宽的比值为________； 【应用拓展】 （2）纸的长与宽分别是多少？（结果用根号表示） （3）按如图2所示的方式折叠纸，求长方形的长与宽的比值． 21. 如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 22. 一位滑雪者从山脚坐匀速上升的缆车5分钟后到达山顶，然后休整2分钟，再从山顶滑下．为了了解整个过程中滑雪者的高度与时间的关系，测得一些数据如下表： 时间 0 60 120 180 240 300 420 425 430 440 高度 0 180 360 720 900 850 700 100 （1）表中的值为________，的值为________； （2）若滑雪者从山顶滑下的高度随时间的变化关系可以近似看成一个二次函数，求整个过程中滑雪者的高度与时间的函数关系式； （3）若正半山腰有一观察哨，求这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间． 23. 如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上． （1）的度数为________； （2）如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点． ①的度数为________； ②若，求线段的长； （3）若，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为． （1）直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； （2）求点的坐标，并用含，的代数式表示； （3）如图，当时，把点向上平移个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； （4）当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $