基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课件-2026届高三数学一轮复习

第1节　 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 课标要求 1.掌握[课标变化：认识→掌握]柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.掌握球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测画法画出简单空间图形（如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图. 目录/ CONTENTS 考点一 基本立体图形 01 考点二 空间几何体的表（侧）面积 02 考点三 空间几何体的体积 03 提能点 简单几何体的平面展开图 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 基本立体图形 目 录 角度1　基本几何体的结构特征 1. 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相 ⁠ 且 ⁠ 多边形 互相 ⁠ 且 ⁠ 侧棱 互相 ⁠ 且 ⁠ 相交于一点，但不一定相等 延长线交于 ⁠ ⁠ 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 平行　 全等　 平行　 相似　 平行　 相等　 一点 高中总复习·数学 目 录 提醒：常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 高中总复习·数学 目 录 2. 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， ⁠于底面 长度 ⁠且相交于一点 长度相等且延长线交于 ⁠ 轴截面 全等的 ⁠ 全等的 ⁠ ⁠ 全等的 ⁠ ⁠ 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 垂直　 相等　 一点　 矩形　 等腰 三角形 等腰梯 形　 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　） A. ①是棱台，②不是圆台 B. ②是圆台，③是棱锥 C. ③是棱锥，④是棱台 D. ③是棱锥，④是棱柱 解析：　对于A，①不是棱台，因为上、下底面不是相似的多边形，延长 各侧棱不能相交于同一点，故A错误；对于B，②不是圆台，因为上、下底 面不平行，故B错误；对于C，④是棱柱，故C错误；对于D，③是棱锥， ④是棱柱，故D正确.故选D. √ 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C. 棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的 几何体 D. 球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析：根据空间几何体的定义，对选项中的命题判断正误即可.对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，A错误；对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，B错误；对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，C正确；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，D正确.故选C、D. 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 辨别空间几何体的两种方法 高中总复习·数学 目 录 角度2　立体图形的直观图 1. 画法：常用斜二测画法. 2. 规则：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的 夹角为 （或 ），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直. 45°　 135°　 （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在 直观图中变为原来的 ⁠. 不变　 一半　 高中总复习·数学 目 录 结论：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： （1）S直观图＝ S原图形； （2）S原图形＝2 S直观图. 高中总复习·数学 目 录 （1）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述 不正确的是（　B　） A. 三角形的直观图仍然是一个三角形 B. 90°的角的直观图一定会变为45°的角 C. 与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D. 由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 B 解析：对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；C、D显然正确. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画 法画出的这个菱形的直观图的面积为（　B　） A. 2 cm2 B. 2 cm2 C. 4 cm2 D. 8 cm2 B 解析：法一　S菱形＝4×4 sin 60°＝8 （cm2），∴S直观图＝ S菱形＝2 （cm2）. 高中总复习·数学 目 录 法二　如图，A'B'C'D'为菱形的平面直观图，依题意知，B'D'＝2，A'C'＝4 ，过D'作D'E⊥x'轴于点E，从而D'E＝O'D' sin 45°＝ ，∴S直观图A'B'C'D'＝2SA'C'D'＝A'C'·D'E'＝4 × ＝2 （cm2）.故选B. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　在斜二测画法中，原图形与直观图存在特定联系： 平行性不变：平行于x'轴（y'轴）的线段，在原图形中分别平行于x轴（y 轴）； 长度变化：平行于x轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y轴的线 段长度在直观图中变为原来的一半； 面积关系：原图形面积S与直观图面积S'满足S＝2 S'，可利用此快速关 联原图形与直观图面积，求解相关边长、高. 高中总复习·数学 目 录 练1 〔一题多解〕已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝ ，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图 A'B'C'D'的面积为 ⁠. 　 高中总复习·数学 目 录 解析：法一　实际图形和直观图如图1和 图2所示.因为OE＝ ＝1， 由斜二测画法可知O'E'＝ ，E'F＝ ， D'C'＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D‘的面积S'＝ × ＝ . 法二　因为OE＝ ＝1，S原图形＝ ×1＝2，故S直观图＝ ×2＝ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 空间几何体的表（侧）面积 目 录 侧面积和表面积公式 几何体 侧面展开图及面积公式 表面积公式 棱柱 S侧＝各侧面面积之和 S棱柱表＝S棱柱侧＋2S底 棱锥 S侧＝各侧面面积之和 S棱锥表＝S棱锥侧＋S底 高中总复习·数学 目 录 几何体 侧面展开图及面积公式 表面积公式 棱台 S侧＝各侧面面积之和 S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底 圆柱 S侧＝2πrl（r表示底面半 径，l为母线长） S圆柱表＝ （r表示 底面半径，l为母线长） 2πr（r＋l）　 高中总复习·数学 目 录 几何体 侧面展开图及面积公式 表面积公式 圆锥 S侧＝πrl（r为底面半径，l 为母线长） S圆锥表＝πr（r＋l）（r为底面半 径，l为母线长） 高中总复习·数学 目 录 几何体 侧面展开图及面积公式 表面积公式 圆台 S侧＝ （r、r'分别为上、下底面半径，l为母线长） S圆台表＝π（r'2＋r2＋r'l＋rl） （r，r'分别为上、下底面半径，l为母线长） 球 S球＝ （R为球的半径） πl（r＋r'）　 4πR2　 高中总复习·数学 目 录 如图，正四棱台的上、下底面边长分别为a，b，侧棱长为 ，则 此棱台的侧面积为（　　） A. 2a B. 2b C. 2（a＋b） D. （2a＋b） √ 高中总复习·数学 目 录 解析：　将正四棱台沿侧棱展开，得到四个全等的等腰梯形.设h'为侧面 等腰梯形的斜高，h'＝ ＝ ，故该棱台的侧面 积S＝4× （a＋b） ＝2（a＋b） . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利 用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手， 将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展 开图中的边长关系； （3）求简单组合体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的几何体， 先求出这些基本的几何体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何 体的表面积. 高中总复习·数学 目 录 练2 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所 得圆柱的侧面积等于（　　） A. 8π B. 4π C. 8 D. 4 解析：　以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的 旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，故其侧面积为S＝2πr×h＝ 2π×2×2＝8π.故选A. √ 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 空间几何体的体积 目 录 简单几何体的体积公式 几何体 体积公式 柱 V柱＝Sh（S为底面面积，h为高） 锥 V锥＝ （S为底面面积，h为高） 台 V台＝ （S'、S分别为上、下底面面积，h为高） 球 V球＝ （R为球的半径） Sh　 （S'＋ ＋S）h　 πR3　 结论：（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差； （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面 积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　B　） A. 2 π B. 3 π C. 6 π D. 9 π 解析：设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而它们 的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ，故r＝ 3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2021·新高考Ⅱ卷5题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2， 4，侧棱长为2，则其体积为（　D　） A. 20＋12 B. 28 解析：如图，分别取上下底面的中心O1，O，过B1作 B1M⊥OB于点M，则OB＝2 ，O1B1＝ ，BM＝ ，B1M＝ ＝ ，故四棱台的体积为V＝ （S上＋S下＋ ）h＝ ×（4＋16＋8）× ＝ ，故选D. D C. D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求空间几何体的体积的三种方法 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆 柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四 棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ⁠； ​ 解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为 ，易 知四棱锥的高为 ＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×（ ） 2×1＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB 的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为 ⁠. 解析：如图，易知 ＝ ，由正 方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三 棱锥D1-A1MN的高.因为M，N分别为棱BB1，AB的中 点，所以 ＝2×2－ ×1×1－ ×1×2－ ×1×2 ＝ ，所以 ＝ ＝ × ×D1A1＝ × ×2＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 简单几何体的平面展开图 目 录 （1）将一个卡纸立方体的边缘按照如图的虚线切开，然后展开，平 放在桌面上的图形是（　A　） A 高中总复习·数学 目 录 解析：在立方体的六个面中，只有ABCD和CDHG切开三条棱，保留一条棱联结，即只与一个面相联结，其他四个面切开两条棱，保留两条棱联结，即可与两个面相联结，联结顺序是：面ABCD 面BCGF 面ABFE 面EFGH 面AEHD 面CDHG，如图所示. 高中总复习·数学 目 录 （2）如图，S-ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为 30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为 （　A　） A. a B. a C. a D. a A 高中总复习·数学 目 录 解析：把正三棱锥沿SB剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形： △SBC，△SCA，△SAB'，则∠B'SA＝∠BSC＝∠ASC＝30°，∠BSB'＝ 90°，连接BB'，交SC于F，交SA于E，则线段BB'就是△BEF的最小周 长，又SB＝SB'＝a，根据勾股定理知SB2＋SB'2＝BB'2＝2a2， ∴BB'＝ a.故选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　简单几何体的平面展开与还原是空间问题转化为平面问题的思维路 径之一，解决该问题的关键是把握变化过程中的不变量及重合点. 　　求几何体表面的最短路径问题一般是转化为展开图中平面上两点间 的距离求解，充分利用平面几何的知识进行计算. 高中总复习·数学 目 录 练4 （1）如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的 是（　C　） C A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体， ③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）圆台上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB＝20 cm，A在上 底面上，B在下底面上，从AB中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短为（　C　） A. 10 cm B. 25 cm C. 50 cm D. π cm C 高中总复习·数学 目 录 解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆 心为O. 由图得所求的最短距离是MB1，设OA＝R，圆心角是α，则由题 意知10π＝αR　①，20π＝α（20＋R）　②，由①②解得α＝ ，R＝20， ∴OM＝30，OB1＝40，则MB1＝50 cm.故选C. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：86分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列结论不正确的是（　　） A. 底面是正多边形的直棱柱为正棱柱 B. 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥是正 棱锥 C. 正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形 D. 正三棱锥也叫正四面体 解析：由正棱柱、正棱锥的定义可知，A、B正确；正棱台是由正棱锥用平行于底面的平面所截得的几何体，所以正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，C正确；各棱长都相等的三棱锥才叫正四面体，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为 （　　） A. B. 2 C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥ B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝ ＝ ，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（　　） A. π B. π C. 2π D. 3π 解析：由题可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，高h＝ ＝ ＝ ，∴圆锥的体积为V＝ πR2h＝ π.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则三棱锥A1-BCD的侧面积是 （　　） A. （ ＋2 ）a2 B. a2 C. （2 ＋ ）a2 D. a2 解析：　如图所示， ＝ · a· a＝ a2， ＝ ＝ a· a＝ a2.故三棱锥A1-BCD的侧面积为 a2＋2× a2＝ a2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半 径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆 台的母线长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径 为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋R＝6.又中截面将该圆台的侧面 分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知： ＝ ＝ ，解得r＝1，所以R＝5.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为 ＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕如图，将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角 度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是（　　） A. 四棱柱 B. 四棱台 C. 三棱柱 D. 三棱锥 解析：根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕若圆锥SO的底面半径为1，母线长为2，则下列关于此圆锥的 说法正确的是（　　） A. 圆锥SO的侧面展开图的圆心角为π B. 圆锥SO的体积为 π C. 圆锥SO的轴截面面积为 D. 从底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面半周到达底面圆周上另一点A'的 无弹性细绳的最短长度为4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：选项A，设圆心角为θ（弧度），母线长l＝2，底面半径r＝1，底面周长：2πr＝2π×1＝2π，展开图弧长：θ·l＝2θ，由2θ＝2π得θ＝π，故A正确；选项B，由勾股定理求高：h＝ ＝ ＝ ，体积计算：V＝ π×12× ＝ π，故B正确；选项C：过圆锥顶点和底面直径的等腰三角形，底边长是底面直径，为2r＝2，高是圆锥的高，为 ，面积： ×2× ＝ ，故C正确；选项D，将侧面展开为扇形（圆心角θ＝π），展开后点A，A'对应扇形弧的端点和中点，两点间直线距离为最短绳长，扇形半径为母线长2，圆心角π，则△ASA'为等腰直角三角形，最短长度： ＝2 ≠4，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知球的表面积是16π，则该球的体积为 ⁠. 解析：设球的半径为r，则表面积S＝4πr2＝16π，解得r＝2，所以体积V ＝ πr3＝ π×23＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为 cm. 61　 解析：因为圆柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，又铁丝在柱体上 缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，则大矩 形的对角线即为铁丝长度的最小值，此时铁丝长度 的最小值为 ＝61（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （10分）扇面是中国书画作品的一种重要表现形 式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两 条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边 两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 .若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，求该几何体的高. 解：由题意知该几何体为圆台，如图所示，其中AB，CD分别为上、下底面圆的直径， 设圆台的上底面圆的半径为r1，圆心为O1，下底面圆的半径r2，圆心为O2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 则 得 过点A作AM⊥CD，交CD于点M，连接O1O2，则四边形AO1O2M为矩形， 所以△ADM为直角三角形，AO1＝MO2，AM＝O1O2. 圆台的母线长l＝AD＝27－12＝15， 所以圆台的高h＝AM＝ ＝ ＝10 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面 将该圆锥截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截 面面积为（　　） A. 3π B. 2 π C. 2 π D. 2π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分 为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆 锥上的截面，圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面 半径为r1，圆台下底面半径为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知， ＝ ＝2，则小圆锥底面积为π ，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝2π ，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧面积为2π（ － ），下底面积为π ，由于两部分表面积相等，则π ＋2π ＝π ＋π ＋2π（ － ）⇒ ＝ ，因为r2＝2，则r1＝ ，所以截面面积为3π，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝ 2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分 别为V1，V2，V3，则（　　） A. V3＝2V1 B. V3＝V2 C. V2＝2（V1＋V3） D. 2V3＝3V1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题可知V1＝ ＝ ＝ ·B1P，V2 ＝ ＝ －（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝ S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝ ，又BP＝2B1P， 所以V3＝2V1，A正确，D错误；因为 ＝S△ABC·BB1＝3（ S△ABC·B1P＋ S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－ （V1＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔创新交汇〕（2026·湖北武汉四调）已知正四棱锥的侧棱长为 3 ，则当该棱锥的体积最大时，它的高为 ⁠. 解析：设底面边长为a（a＞0），则高h＝ ＝ ，由h＞0，所以0＜a＜3 ，所以体积V＝ a2h＝ ，设f（a）＝27a4－ a6，a∈（0，3 ），则f'（a）＝ 108a3－3a5＝3a3（6＋a）·（6－a），所以当0＜a＜6时，f'（a）＞ 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 0，所以f（a）在（0，6）上单调递增； 当6＜a＜3 时，f'（a）＜0，所以f（a）在（6，3 ）上单调递减， 所以当a＝6时f（a）取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时h＝ ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （13分）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为6，该纸片上的 等边三角形ABC的中心为O，点D，E，F为圆O上的点，△DBC， △ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪 开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F重合，得到三棱锥，则当△ABC的边长变化时，求三棱锥的表 面积的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：由题可知，等边三角形ABC的中心为O，圆O的半径为6， 设三棱锥的底面边长为a，即等边三角形ABC的边长为a， 如图，连接OD，交BC于点G， 由题意可知，OD⊥BC， 则OA＝ × a＝ a，OD＝6， 可知OA＜OD，即 a＜6，则0＜a＜6 ， ∵OD＝6，OG＝ × a＝ a，则DG＝OD－OG＝6－ a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ∴三棱锥的底面积为：S△ABC＝ ×a×a× sin 60°＝ a2， 由题可知，△DBC，△ECA，△FAB全等，则面积相等， ∴三棱锥的侧面积为： 3S△DBC＝3× ×BC×DG＝3× ×a×（6－ a）＝9a－ a2， ∴三棱锥的表面积为：S＝S△ABC＋3S△DBC＝ a2＋9a－ a2＝9a， ∵0＜a＜6 ，∴0＜9a＜54 ，即S∈（0，54 ）， ∴当△ABC的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围是（0，54 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $