第7章 第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第一节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 第七章 立体几何与空间向量 1 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.　 2.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.　 3.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       知识梳理 知识点一　空间几何体的结构特征 5 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相_______且_______ 多边形 互相_______且_______ 侧棱 _____________ 相交于______但不一定相等 延长线交于________ 侧面 形状 ______________ ___________ ___________ 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 知识梳理 知识点一　空间几何体的结构特征 6 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 互相平行且相等，___________于底面 相交于______ 延长线交于___________   垂直 一点 一点 知识梳理 知识点一　空间几何体的结构特征 7 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 ___________ ___________ ___________ _________ 侧面展 开图 ___________ ___________ ___________   矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 知识梳理 知识点一　空间几何体的结构特征 8 1.画法：常用_____________. 2.规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45° 或135°，z'轴与x'轴和y'轴所在平面___________. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________， 平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度___________，平行于y轴 的线段，长度在直观图中变为原来的___________. 斜二测画法 垂直 分别平行于坐标轴 不变 一半 知识梳理 知识点二　直观图 9   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧=_______ S圆锥侧=________ S圆台侧=__________ 2πrl πrl π(r1+r2)l 知识梳理 知识点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 10 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=___________ 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S表=___________ V=πR3 Sh 4πR2 知识梳理 知识点四　柱、锥、台、球的表面积和体积 11 注意：柱体、锥体、台体体积公式之间的关系： 知识梳理 知识点四　柱、锥、台、球的表面积和体积 12 1.如图，长方体ABCD－A'B'C'D'被截去一部分，其中EH∥A'D'∥FG， 则剩下的几何体是(　　) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析：由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱. C 自我评价 13 2.下列说法正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形. D 自我评价 14 3.一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为______________.  解析：设球的半径为R，则2R==， 则R=， 所以S=4πR2=4π×=14π. 14π 自我评价 15 4.已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2，则该正四棱台的表面积为___________.  解析：因为正四棱台的侧面是等腰梯形，正四棱台的上、下底面的边长分别是4，8，高为2，所以侧面梯形的斜高为h1==2，则侧面梯形的面积为(4+8)×2×=12.又上、下底面的面积分别为4×4=16，8×8=64，所以该正四棱台的表面积为16+64+4×12=80+48. 80+48 自我评价 16 直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 常用结论 17 关键能力　重点探究 18 角度1　结构特征 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 AD 考点一　基本立体图形 19 [解析]　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确. 考点一　基本立体图形 20 空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可 方法总结 角度2　展开图 [例2]　(2025·湖南郴州模拟)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和 10，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的下底面圆周上)， M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则 蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　) A.30　　　　　　　 B.40 C.50 D.60 C 考点一　基本立体图形 [解析]　因为圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l， 所以S=πl(10+5)=15πl=300π，解得l=20. 将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O. 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离. 设OA=R，圆心角是α， 则由题意得解得 故OM=OM1=30，OB1=OB=40.因为α=，即△OBM1为直角三角形，则M1B===50. 考点一　基本立体图形 在解决空间折线(段)最短问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化. 注意多面体表面展开图可能有不同的排布(如长方体)，要观察立体图形每个面的形状，全面考虑问题. 方法总结 角度3　直观图 [例3]　(1)(2025·河南新乡模拟)如图所示，水平放置的△ABC用斜二测 画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'=45°，B'O'=C'O'=1， A'O'=，那么△ABC为(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.三边互不相等的三角形 B 考点一　基本立体图形 [解析]　根据斜二测画法还原△ABC如图所示，则OB=OC=OA=1，且OA⊥BC， 因此∠BAC=90°，且AB=AC=，所以△ABC为等腰直角三角形. 考点一　基本立体图形 (2)(2025·福建莆田模拟)如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图， 但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上， 且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 考点一　基本立体图形 [解析]　法一：由直观图可得原图形平面图如图所示， 则△AOB为直角三角形，且OA=O'A'=6.因为S△AOB =OB×OA=12，所以OB=4， 所以O'B'=OB=2. 法二：S直观图=S原图形=3，又S直观图=O'A'·O'B'·sin∠A'O'B'， 所以O'B'=2. 考点一　基本立体图形 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半. 方法总结 1.(多选)下面关于空间几何体的叙述，正确的是(　　) A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C.长方体是直平行六面体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 CD 跟踪训练 解析：当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形，故D正确. 跟踪训练 2.(2025·河南安阳模拟)如图，直三棱柱ABC－ A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC =3，BC=CC1=1，P是BC1上一动点，则CP+ PA1的最小值为(　　) A.5　　　　　　　 B. C.2 D.3 A 跟踪训练 解析：连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形 成一个四边形A1BCC1，如图， 则此时对角线|CP＋PA1|＝A1C达到最小， 在等腰直角三角形BCC1中，BC1＝，∠CC1B＝ 45°，在直角三角形ACB中，AB＝ ，在△A1BA中，A1B＝ ＝2.因为A1C1＝3，BC1＝， 跟踪训练 所以A1＋B＝A1B2，即∠A1C1B＝90°， 对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝1，A1C1＝3，∠A1C1C＝135°， 由余弦定理有CP＋PA1＝A1C＝＝5. 跟踪训练 3.(2025·湖南长沙模拟)如图，一个水平放置的 平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C'， 且O'A'∥B'C'，O'A'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则该 平面图形的高为(　　) A. B.1 C.2 D.2 C 跟踪训练 解析：如图所示，过点C'作C'D'∥A'B'交O'A'于点D'，因为四边形O'A'B'C'为直角梯形，且O'A'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，可得C'D'＝A'B'＝1，在直角△O'C'D'中，可得O'C'＝，根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为2O'C'＝2. 跟踪训练 角度1　空间几何体的侧面积与表面积 [例4]　(1)(2025·福建福州模拟)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍.若△SAB的面积为 5，则该圆锥的表面积为(　　) A.40π B.(40＋40)π C.80π D.(40＋80)π B 考点二　空间几何体的表面积与体积 37 [解析]　如图， 设圆锥底面半径为r，母线长为l，母线SA，SB夹角 为α，则cos α＝，所以sin α＝. 因为△SAB的面积为5，所以l2sin α＝5⇒l＝4.又l＝r⇒r＝2， 所以圆锥的表面积为πr2＋πrl＝(40＋40)π. 考点二　空间几何体的表面积与体积 38 (2)(2025·陕西安康模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1， AA1＝2.若正四棱台的高为2，则其表面积为(　　) A.24 B.12 C.24＋24 D.40＋24 D 考点二　空间几何体的表面积与体积 39 [解析]　设A1B1＝a，则AB＝2a，如图，连接AC， BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接 OO1，由正四棱台的几何性质可知O1，O分别是 上、下底面的中心，所以OO1⊥平面ABCD， OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1为正四棱台的 高h，所以由题可知h＝2.过点A1作A1H⊥AO 交AO于点H，则h2＋，即h2＋，解得a＝2.过点A1作A1H'⊥AB交AB于点H'，则A1H'为斜高，此时A1H'＝，所以正四棱台的表面积为S＝4×＝40＋24. 考点二　空间几何体的表面积与体积 40 空间几何体表面积的求法 1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 方法总结 角度2　空间几何体的体积 [例5]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π [解析]　设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π. B 考点二　空间几何体的表面积与体积 42 (人A必修第二册P119例4)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 高考溯源▶ (2)(2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知 AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.并已知AD＝ 1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A. B. C. D. C 考点二　空间几何体的表面积与体积 44 [解析]　用一个完全相同的五面体HIJ－LMN 与该五面体相嵌，如图所示.因为AD∥BE∥ CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2， CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边 长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，VABC－DEF＝ VABC－HIJ＝×1×1××4＝. 考点二　空间几何体的表面积与体积 (3)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为___________.  [解析]　由正方体棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝.又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，所以·D1A1＝×2＝1. 1 考点二　空间几何体的表面积与体积 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 方法总结 1.(2025·湖南长沙模拟)已知某建筑的造型可近似看作一个圆柱和圆锥 的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π 平方米，则该建筑(含底面)的表面积为(　　) A.(112＋16)π平方米 B.(80＋16)π平方米 C.(112＋18)π平方米 D.(80＋18)π平方米 A 跟踪训练 解析：由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为 3米，底面圆的面积为64π平方米， 设底面圆的半径为r米，则64π＝πr2，∴r＝8， 则圆锥的母线长为＝2(米)， 故该建筑(含底面)的表面积为π×8×2＋2π×8×3＋π×82＝112π＋16π(平方米). 跟踪训练 2.(多选)(2025·湖北黄冈模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的 高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(　　) CD A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 跟踪训练 解析：圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误； 圆锥的母线为R，圆锥的侧面积为R×πR＝πR2，故B错误； 跟踪训练 球的表面积为4πR2，则圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； 圆柱的体积V1＝πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积V2＝×πR2×2R＝πR3，球的体积V3＝πR3， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2， 故D正确. 跟踪训练 3.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径 均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙 的体积之比为___________.  解析：由题可得两个圆台的高分别为 h甲＝(r2－r1)， h乙＝＝2(r2－r1)， 所以. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 54 1.(2025·湖北武汉模拟)下列说法正确的是(　　) A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 解析：虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 55 2.(2025·北京模拟)已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为(　　) A.4　　　　　　　 B. C. D.3 解析：设球体的半径为R，则球的体积为πR3，球的表面积为4πR2，所以πR3＝4πR2，解得R＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 56 3.(2025·四川宜宾模拟)如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合 成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100， 则原圆柱的侧面积是(　　) A.100π　　 B.200π　　　 C.100　　　 D.200 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，依题意可得2rh＝100，所以圆柱 的侧面积S侧＝2πrh＝100π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 57 4.(2025·山东威海模拟)如图，圆柱的底面半径 为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始， 沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最 短长度为3π，则该圆柱的侧面积为(　　) A.4π2 B.2π2 C.5π2 D.4π2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 58 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC(图略)，则AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝2π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×2π＝4π2. A组　基础保分练 59 5.已知四棱柱ABCD－EFGH的高为3，其底面 ABCD水平放置的直观图(斜二测画法)A'B'C'D' 如图所示，其中A'B'＝2A'D'＝2D'C'＝2，A'B' ∥C'D'，则这个四棱柱的体积为(　　) A.3 B. C. D.9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解析：根据斜二测画法，原来平行于y轴的线段，变为平行于y'轴且长度变为原来的一半，平行于 x 轴的线段不变. 因为D'C'＝A'D'＝1，∠C'A'B'＝∠A'C'D'＝，所以△A'C'D'为等腰直角三角形，所以A'C'＝， 故原来的AC＝2A'C'＝2，AB＝A'B'＝2，CD＝C'D'＝1，∠CAB＝， 故原底面如图， 所以四边形ABCD的面积为SABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ＝3，所以四棱柱 的体积是3×3＝9. A组　基础保分练 61 6.(2025·湖南长沙模拟)在推导正四棱台体积公式时，将正四棱台切割 成九部分进行求解.图1为俯视图，图2为立体切面图.E对应的是正四棱台 中间位置的长方体，B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四 个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4， 则该正四棱台的体积为(　　) A.20 B.24 C.28 D.32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 62 解析：如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，四棱锥的体积为a2h＝1，即a2h＝3，三棱柱的体积为ahb＝3，即abh＝6，因此b＝2a， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 于是长方体的体积V＝b2h＝4a2h＝12，所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28. A组　基础保分练 63 7.(多选)(2025·河南郑州模拟)下列说法中，错误的为(　 　) A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABC A组　基础保分练 64 解析：对于A，有一个面是多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面 体叫棱锥，而有一个面是多边形，其余各面都是三 角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误； 对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所 截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等 腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误；对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误；对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 65 8.(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的 母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确 的是(　　 ) A.其侧面展开图是圆心角为π的扇形 B.该圆锥的体积为π C.从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为2 D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABD A组　基础保分练 66 解析：对于A，圆锥底面圆周长为2π，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为π，A正确； 对于B，圆锥的高h＝ ＝1，因此圆锥的体积V＝π××1＝π，B正确； 对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图， 则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 AB＝2OA·sin＝4sin≠2，C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 67 对于D，圆锥轴截面顶角为2θ，则tan θ＝， θ＝，则圆锥轴截面顶角为， 因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角φ∈， 此截面三角形面积S＝×22sin φ≤2，当且仅当φ＝时取等号，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 68 9.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为___________.  解析：棱台的两底面边长分别为2与4，高为3(由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等)，所以棱台的体积V＝×(22＋42＋)×3＝28. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 28 A组　基础保分练 69 10.如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体 叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱 体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面 之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为2且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边 的中点，高为，则该拟柱体的表面积为___________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 70 解析：如图，上底面正六边形的顶点E，D在下底面上的射影分别为点O，P，则EO∥DP，EO＝DP，显然EO⊥OP，所以四边形DEOP为矩形，点O，P是下底面正六边形边的中点，则DE＝OP＝2cos 30°＝3，EM＝DM，EM 2＝EO 2＋OM 2， 设△MED底边DE上的高为h，则h2＝EM2－ ＝3， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 71 因此h＝，该拟柱体上底面面积为S1＝6×× 32＝， 下底面面积为S2＝6×＝18，侧面积为S3＝6×＝18，所以该拟柱体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝＋18＋18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 72 11.(2025·北京模拟)如图是一个正四棱台ABCD－A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm，高30 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 73 (1)求正四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积； 解：如图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别 取B1C1，BC的中点M，N，连接O1M，ON，MN，过 点M作MH⊥ON，垂足为H. 则O1O＝MH＝30 cm，O1M＝10 cm，ON＝20 cm， HN＝10 cm， 所以MN＝＝10(cm)， 所以正四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积 S＝202＋402＋4××(20＋40)×10＝2 000＋1 200(cm2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 74 (2)若要将这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台O1O的体积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：若要将这块石料最大限度打磨为一个圆台，则 圆台O1O的上、下底面圆分别与正四棱台的上、下 底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台O1O上底面圆半径O1Q＝10 cm，下底面圆半 径OP＝20 cm，高O1O＝30 cm， 则圆台O1O的体积为V＝π(102＋202＋10×20)×30＝7 000π(cm3). A组　基础保分练 75 12.如图①所示，在长方形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M是CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到如图②所示的四棱锥P－ABCM. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 76 (1)求四棱锥P－ABCM的体积的最大值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：取AM的中点G，连接PG，因为PA＝PM，则PG⊥AM， 当平面PAM⊥平面ABCM时，点P到平面ABCM的 距离最大，四棱锥P－ABCM的体积取得最大值， 根据面面垂直的性质，易得此时PG⊥平面ABCM， 且PG＝AM＝， 底面ABCM为梯形，面积为(1＋2)×1×， 则四棱锥P－ABCM的体积最大值为. A组　基础保分练 (2)若棱PB的中点为N，求CN的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：取AP的中点Q，连接NQ，MQ. 因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线， 所以NQ∥AB且NQ＝AB. 因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以CM∥AB且CM＝AB， 所以CM∥NQ且CM＝NQ，故四边形CNQM为平行四边形， 所以CN＝MQ＝. A组　基础保分练 13.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心， PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝.若△PAB的面积等于，则该圆锥 的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B B组　能力提升练 79 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径长为r，则r＝.在△AOB中，由∠AOB＝，OA＝OB＝，得AB＝3. S△PAB＝AB·×3×，所以l＝3，则圆锥的高h＝，故V圆锥＝S底·h＝π()2×π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 80 14.(2025·山西太原模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， P为线段AB1的中点，M，N分别为线段AC1和棱C1D1上的动点，则2PM ＋MN的最小值为___________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 2 B组　能力提升练 81 解析：设E是AC的中点，AC＝AB1，CC1＝B1C1， AC1＝AC1， 所以△ACC1≌△AB1C1，则PM＝EM.对任一点M， MN的最小值是M到直线C1D1的距离，过点M作 MN⊥C1D1，交C1D1于点N，过点M作MF⊥A1C1， 交A1C1于点F，连接FN， 由于MF∥AA1，所以MF⊥平面A1B1C1D1，FN，C1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以MF⊥FN，MF⊥C1D1，由于MF∩MN＝M，MF，MN⊂平面MFN， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 82 所以C1D1⊥平面MFN.又FN⊂平面MFN，所以C1D1 ⊥FN，则FN∥A1D1，易得FN＝C1N. tan∠AC1D1＝，MN＝C1N＝FN， MF＝＝FN＝MN， 所以2PM＋MN＝2＝2(EM＋MF)，当E，M，F三点共线，且F是A1C1的中点，M是EF与AC1的交点， 此时EM＋MF取得最小值为1，所以2PM＋MN的最小值为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 83 15.(2025·上海模拟)某种儿童适用型防蚊液储存在一 个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成(其中上 半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)， 容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是 矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积 为圆柱体体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x 毫米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 84 (1)求容器中防蚊液的体积(单位：立方毫米)y关于x的 函数关系式. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由2AB＋2πx＝100得AB＝50－πx， 由AB＞0且x＞0得x∈， 所以防蚊液的体积y＝πx3＋πx2(50－πx)＝ x3＋50πx2，x∈. B组　能力提升练 85 (2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由y＝x3＋50πx2，x∈， 所以y'＝2πx2－3π2x2＋100πx， 令y'＞0得0＜x＜；令y'＜0得＜x＜. 所以y在上单调递增，在上单调递减， 所以当x＝时，y有最大值，此时AD＝2x＝，AB＝， 所以当AD为毫米，AB为毫米时，防蚊液的体积有最大值. B组　能力提升练 86 $$